Теоретические основы электротехники-1

Зададимся положительными направлениями контурных токов I1, I 2 è I 3 , как показано на рис. 5.25 стрелками внутри контуров. Для рассматриваемой цепи имеем выражения собственных сопротивлений контуров:

В выражение Z33 два раза входит член – j0M45, так как контурный ток I 3 , ïðî-

ходя по катушке L4 от точки, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке L5, также направленную от точки и, следовательно, против направления обхода контура 3. Òîò æå òîê I 3 , проходя по катушке L5 к точке, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке L4, направленную к точке катушки L4, а следовательно, опять против направления обхода контура. По этой причине напряжения j0L4 I 3 è j0L5 I 3 , уравновешивающие ЭДС самоиндукции, противоположны по знаку напряжению –2 j0M 45 I 3 , уравновешивающему ЭДС взаимной индукции, что учи- тывается знаками членов j0L4, j0L5 è –2j0M45 в выражении для Z33.

Точно так же рассуждая, найдем, что ЭДС самоиндукции и взаимной индукции от тока I 3 в катушках L5 è L3 противоположны по направлению, и поэтому член 2j0M53 имеет знак «минус»; ЭДС самоиндукции и взаимной индукции от тока I 3 в катушках L3 è L4 совпадают по направлению, и поэтому член 2j0M43

имеет знак «плюс».

Общие сопротивления контуров выражаются следующим образом:

×ëåí j0M45 входит в выражение Z12 со знаком «плюс», так как ЭДС взаимной индукции в катушке L4 îò òîêà I 2 , направленного от точки на катушке L5, направлена от точки на катушке L4, а следовательно, и согласно с направлением обхода контура 1. По этой же причине ставим знак «плюс» перед членами j0M45 è j0M35 в выражении Z23. В выражении Z31 ÷ëåí j0M43 также имеет знак «плюс», но член j0M45 — знак «минус», так как ток I 3 в катушке L5 направлен к точке,

а следовательно, к точке на катушке L4, т. е. против направления обхода конту-

Приведенная выше методика расчета цепей при наличии взаимной индуктивности показывает, что ЭДС взаимной индукции можно учесть в виде дополни-

274 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

тельного падения напряжения в k-й ветви от тока в m-й ветви. Падения напряжения в ветвях связываются с токами законом Ома в матричной форме: U ZI. При отсутствии ЭДС взаимной индукции матрица Z диагональна, и поэтому имеемU k Z k I k èU m Z m I m . При наличии ЭДС взаимной индукции мы должны учесть дополнительные падения напряжения в k-й ветви в виде

j0M km I m Z km I m

è â ò-й ветви в виде

j0M mk I k Z mk I k .

Ïðè ýòîì

U k Z k I k Z km I m è U m Z m I m Z mk I k .

Дополнительные члены написаны со знаком «плюс», так как токи I k è I m в ветвях k è m направлены от точек. Эти дополнительные члены можно учесть в матрице Z, если элементы на пересечении k-й строки с m-м столбцом и ò-й строки с

k-м столбцом принять равными Zkm j0Mkm è Zmk j0Mmk.

Матрица Z при наличии взаимной индукции между ветвями k è m будет иметь вид

Наличие индуктивных связей, следовательно, приводит к тому, что матрица Z перестает быть диагональной. Однако она остается симметричной, так как

Mkm Mmk и поэтому Zkm j0Mkm j0Mmk Zmk. Индуктивные связи никак не отражаются в графе схемы, поэтому матрицы A, C, D составляются обычным

образом.

Если произвести матричную операцию обращения матрицы сопротивлений Z, можно получить матрицу проводимостей Y, где также учитываются индуктивные связи. По этой причине все методы расчета, а именно метод контурных токов, метод узловых напряжений и метод сечений в матричной форме, могут быть в равной мере применены для расчета цепей с взаимной индукцией.

Для цепи (см. рис. 5.25) матрицы Z è Y Z–1 при наличии взаимной индукции между ветвями Ç è 4, 5 è 3, 5 è 4 и при условии направления токов в ветвях 3, 4 è 5 от точек будут иметь вид

ãäå Y1 1/Z1; Y2 1/Z2; . . .; Y6 1/Z6.

5.19. Трансформаторы с линейными характеристиками. Идеальный трансформатор

Одним из важнейших элементов электрических цепей, в котором специально используются свойства магнитно-связанных контуров, является статическое устройство для преобразования значений тока и напряжения, называемое т р а н с ф о р м а т о р о м. В простейшем случае трансформатор состоит из двух электрически не соединенных и неподвижных друг относительно друга катушек, называемых обмотками трансформатора, связанных между собой потоком взаимной индукции. Если обмотки трансформатора намотаны на ферромагнитный сердечник, то свойства такого трансформатора будут нелинейными. Процессы в трансформаторах с ферромагнитными сердечниками будут рассмотрены в т. III. Здесь будем предполагать, что ферромагнитные сердечники отсутствуют. Условно назовем такой трансформатор линейным, так как процессы в нем описываются линейными уравнениями, т. е. он обладает линейными характеристиками.

276 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Пусть к зажимам одной обмотки трансформатора, которую назовем первичной, приложена ЭДС e1, а к зажимам другой обмотки — вторичной — присоединен приемник (рис. 5.26). Как и прежде, будем считать, что

Ðèñ. 5.26 коэффициент взаимной индукции M задан по величине и знаку для приведенной на рис. 5.26 системы точек.

Обозначим активные сопротивления обмоток r1 è r2, а их индуктивности L1 è L2. По второму закону Кирхгофа имеем

Если напряжение u1 синусоидально, то при установившемся режиме синусоидальными функциями времени будут также i1, i2 è u2, и уравнения трансформатора можно записать в комплексной форме:

Величина Zâõ r + jx представляет собой комплексное входное (эквивалентное) сопротивление всей цепи, состоящей из трансформатора и приемника. Из его выражения следует, что при Zïð эквивалентное активное сопротивление r больше r1. Увеличение эквивалентного активного сопротивления связано с тем обстоятельством, что необратимые преобразования энергии во вторичном контуре происходят за счет энергии, передаваемой от первого контура, где имеется источник энергии, во второй контур, где нет такого источника. Поскольку для заданного значения тока активная мощность, определяющая необратимые преобразования энергии, прямо пропорциональна активному сопротивлению, то поглощение энергии во втором контуре приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления всей цепи.

Эквивалентное реактивное сопротивление x может быть больше x1, åñëè xII < 0, и меньше x1, åñëè xII > 0. ЭДС взаимной индукции во вторичном контуре отстает по фазе от потока взаимной индукции, а следовательно, при M > 0 è îò òîêà I1 на угол /2. При индуктивном характере цепи второго контура (xII > 0) òîê I 2

в предельном случае будет отставать от этой ЭДС на угол /2 и, следовательно, окажется в противофазе с током I1. Это означает, что магнитный поток, обусловленный током I 2 , направлен против магнитного потока, обусловленного током I1, что приводит к уменьшению магнитного потока в первом контуре, и это эквивалентно уменьшению реактивного сопротивления первого контура.

Другая картина наблюдается, если xII < 0. При этом ток во вторичной обмотке имеет емкостный характер и в предельном случае может опережать ЭДС взаимной индукции на угол /2, т. е. совпадать по фазе с током I1. При этом магнитные

потоки самоиндукции и взаимной индукции будут также совпадающими, что равносильно увеличению эквивалентного реактивного сопротивления.

Полагая

причем r è x называют, соответственно, в н о с и м ы м и а к т и в н ы м и р е -

àк т и в н ы м с о п р о т и в л е н и я м и. Представим уравнения трансформатора в виде

Схема цепи, для которой данная система уравнений справедлива, показана на рис. 5.27. Поскольку в этой цепи токи I1, I 2 и напряженияU1,U 2 равны таковым в трансформаторе, эта схема является эквивалентной схемой трансформатора. Если M

лежит между L2 è L1, òî èëè L1 – M, èëè L2 – M будет отрицательно. Это обстоятельство представля-

ет интерес, так как при некоторых задачах, связанных с синтезом электрических цепей, возникает необходимость реализации отрицательной индуктивности в сочетании с положительными индуктивностями, соединенными, как показано на схеме (рис. 5.27).

Метод замены действительной электрической цепи, в которой отдельные контуры связаны друг с другом через взаимную индуктивность, эквивалентной ей электрической цепью, в которой все контуры электрически связаны друг с другом, а взаимная индуктивность между контурами учтена в параметрах отдельных цепей (например, рис. 5.27), находит применение в практике расчета цепей.

278 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

которая носит название к о э ф ф и ц и е н т а с в я з и. Покажем, что во всех реальных случаях k меньше единицы. Пусть активное сопротивление вторичного контура равно нулю и этот контур замкнут накоротко, т. е. r2 0 è Zïð 0. Ïðè ýòîì

Величина Lý должна быть положительной, так как энергия магнитного поля Wì 12 i12 Lý положительна. Следовательно, только в предельном случае, когда

первичный и вторичный контуры расположены столь близко, что поток взаимной индукции и поток самоиндукции в первичной цепи взаимно компенсируются, величина k приближается к единице.

Рассмотрим некоторые особенные свойства трансформаторов в предельных идеализированных случаях.

Предположим, что

При этом уравнения трансформатора запишутся в виде

U1 j0L1I1 j0MI 2 ;

j0MI1 Z ïð I 2 j0L2 I 2 U 2 j0L2 I 2 .

Легко заметить, что при k 1 имеем M – L1L2/M 0 (M L1L2/M), и тогда, обозначая c L1/M, получим

Трансформатор, для которого соблюдается условие U1/ U2 c при любой нагрузке, назовем с о в е р ш е н н ы м т р а н с ф о р м а т о р о м.

Если, кроме вышеуказанных условий, принять, что L1 (практически L1 должно иметь достаточно большое значение, чтобы можно было пренебречь

током U1/(0L1) по сравнению с током c1 I 2 ), то между токами и напряжениями имели бы место соотношения

Трансформатор, для которого соблюдаются эти условия, назовем и д е а л ь - н ы м т р а н с ф о р м а т о р о м. Такой трансформатор действительно обладает свойством изменять токи и напряжения независимо от значения сопротивления, включенного во вторичный контур, в определенное число раз. Для идеального трансформатора получим

откуда видно, что при помощи идеального трансформатора можно произвести также и изменение сопротивления в определенное число раз, не зависящее от характера этого сопротивления. Это обстоятельство особенно важно для рационального конструирования отдельных элементов электриче- ских цепей, например для согласования отдельных участков цепей по их сопротивлениям.

Совершенный трансформатор можно получить, присоединив к зажимам идеаль-

ного трансформатора индуктивности по схемам на рис. 5.28. Реальный трансформатор может быть представлен при помощи идеального трансформатора и дополнительных индуктивностей и активных сопротивлений, учитывающих наличие сопротивлений r1 è r2 и обмоток, а также условие k < 1 (ðèñ. 5.28)

Свойствами, близкими к свойствам идеального и совершенного трансформаторов, обладают трансформаторы с ферромагнитными сердечниками, с достаточно большим числом витков и с большой магнитной проницаемостью ферромагнитного материала.

5.20. Цепи, связанные через электрическое поле

Отдельные части электрической цепи могут быть связаны также при помощи электрического поля. Такую связь называют емкостной. Аналогично магнитной связи степень емкостной связи можно охарактеризовать коэффициентом связи kC, определяемым значениями соответствующих емкостных сопротивлений.

Для коэффициента связи в индуктивно-связанных контурах имеем

ãäå L12 1 M 16 Поэтому, определив аналогично и kC, получим

реактивных мощностей всех приемников. Последние два равенства и выражают теорему Ланжевена.

Для каждого приемника справедливы соотношения

Поэтому для комплексной мощности всей цепи справедливо соотношение

5.22. Расчет сложных цепей при постоянном токе

Расчет сложных электрических цепей при воздействии источников с постоянными во времени ЭДС и токами в установившемся режиме можно производить, используя все изложенные выше методы расчета сложных цепей при синусоидальных ЭДС и токах. Особенность заключается в том, что в реальных индуктивных катушках учитываются только активные сопротивления их обмоток, а в реальных конденсаторах — только их проводимости утечки. Если речь идет о расчете цепи, уже представленной в виде эквивалентной электрической схемы, в которой участки с L è C не обладают потерями, а сопротивления обмоток катушек и проводимости утечки конденсаторов вынесены в отдельные участки, то участки с L следует считать короткозамкнутыми, а участки с C — разомкнутыми. Это вытекает формально из выражений для сопротивлений xL è xC ïðè 0 0. Действительно, при 0 0 имеем xL 0L 0, xÑ 1/(0C) . Физически это связано с тем, что при постоянном токе в катушках не индуцируется ЭДС самоиндукции и при постоянном напряжении на зажимах идеальных конденсаторов ток через них не проходит.

Аналогично при расчете цепей с индуктивными связями при постоянном токе отсутствуют ЭДС взаимной индукции. Это формально учитывается тем, что члены с множителями 0M равны нулю при 0 0.

Естественно, расчет цепей при постоянном токе является более простым, чем при синусоидальных токах, так как вместо комплексных величин в уравнения

282 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

будут входить вещественные величины. Очевидно, что при составлении уравнений надо соблюдать все правила знаков.

Âособом случае, когда в схеме цепи во всех ветвях включены идеальные конденсаторы, при действии постоянных ЭДС ток в такой цепи равен нулю и может стоять вопрос только об отыскании распределения напряжения по конденсаторам цепи. В таком идеализированном случае в предположении, что до начала действия ЭДС все конденсаторы были разряжены, распределение напряжения под действием постоянных ЭДС будет таким же, как распределение синусоидального напряжения в аналогичной схеме, но содержащей во всех ветвях только идеальные конденсаторы, если в ней действуют синусоидальные ЭДС, равные по действующему значению заданным постоянным ЭДС и находящиеся друг с другом в фазе.

Âреальных цепях все конденсаторы обладают конечной проводимостью утечки. Поэтому при действии постоянных ЭДС установившиеся напряжения на конденсаторах будут определяться сопротивлениями их утечек и сопротивлениями остальных участков схемы. Значения емкости конденсаторов при этом на распределение напряжения не оказывают никакого влияния. Последнее соответствует сделанному выше указанию, что в эквивалентной схеме участки с идеальными конденсаторами при расчете должны быть разомкнуты.

5.23. Проблемы расчета установившихся режимов сложных электрических цепей

В предыдущих параграфах в основном рассматривались не столько методы, позволяющие получить решение задачи, сколько методы составления системы уравнений цепи. Для выполнения анализа процессов в цепи эта система должна быть решена относительно выделенных искомых величин (иногда говорят — искомых переменных).

Âматематическом плане такое решение сводится к обращению матриц, т. е.

êнахождению определителя матрицы узловых проводимостей или матрицы проводимостей сечений и их q – 1 алгебраических дополнений или же к нахождению определителя матрицы контурных сопротивлений и его n алгебраических дополнений. При высоком порядке этих матриц такое обращение связано с большим числом вычислительных операций. Если воспользоваться формулой Крамера, согласно которой записаны выражения для контурных токов и узловых напряжений в § 5.11 и 5.12, т. е. непосредственно раскрыть определители

при решении системы с m неизвестными, то потребуется выполнить порядка m m! арифметических операций. Уже для системы уравнений с m 15 число операций достигает 2 1013. И даже использование мощной вычислительной машины, которая может выполнить 109 операций в секунду, время решения затянется на 2 104 с 5,5 ч. Этими формулами имеет смысл пользоваться, если m < 10. По этой причине систему уравнений решают главным образом методом исклю- чения по Гауссу (или его разновидностями). Этот метод требует выполнения меньшего числа операций — порядка 2m3. Однако и такой способ решения имеет смысл применять при m < 10 000, òàê êàê óæå äëÿ m 10 000 число операций равно 2 1012, и вычислительная машина с производительностью 109 операций в секунду такие задачи будет решать в течение 33 мин. Метод непосредственного