Теоретические основы электротехники-1

Из полученных выражений видно, что средняя за период мощность на катушке и конденсаторе равна нулю. Средняя за период мощность, т. е. активная мощность, на зажимах всей цепи равна средней за период мощности на участке с сопротивлением r:

194 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

среднее значение мощности равно нулю. Энергия запасается в электрическом поле конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значе- нию возрастает. При этом pC > 0. Энергия возвращается из электрического поля конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает. При этом pC < 0.

Из сопоставления диаграмм рис. 4.18, á è â видим, что в частном случае, для которого построены эти диаграммы, амплитуда напряжения на катушке больше амплитуды напряжения на конденсаторе, т. е. UL > UC. Это соответствует соотношению 0L > 1/(0C). Íà ðèñ. 4.18, ã для этого случая даны кривые тока, напряжения и мощности px на участке цепи, состоящем из катушки и конденсатора. Характер кривых здесь такой же, как и на зажимах катушки, так как в данном случае 0L > 1/(0C). Однако амплитуды напряжения ux и мгновенной мощности px меньше амплитуд величин uL è pL. Это последнее является результатом того, что напряжения uL è uC противоположны по фазе.

На диаграмме рис. 4.18, ä приведены величины на зажимах всей цепи, которые получаются суммированием величин на диаграммах рис. 4.18, à, á è â èëè à è ã. Среднее значение мощности p равно P UI cos 2. Колебания около этого среднего значения происходят с амплитудой UI, что видно из аналитического выражения для p. Òîê i отстает от напряжения u íà óãîë 2. В интервале времени от 0 до t2 мгновенная мощность на зажимах цепи положительна (p > 0) и энергия поступает от источника в цепь. В интервале времени от t2 äî t3 мгновенная мощность на зажимах цепи отрицательна (p < 0) и энергия возвращается источнику.

Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи положительна, то такая мощность называется мгновенной потребляемой мощностью. Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи отрицательна, то такая мощность называется мгновенной выдаваемой мощностью.

Понятие мгновенной мощности позволяет в более формализованном виде определить понятие реактивных и активных элементов электрической цепи. Так, реактивными элементами можно называть такие, для которых интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени равен нулю.

В активных элементах электрической цепи интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени является отрицательной величиной — этот элемент является источником энергии — он выдает энергию. В пассивных элементах цепей интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени положителен — этот элемент потребляет энергию.

Òàê êàê 2 < /2 и, следовательно, cos 2 > 0, то поступающая в цепь энергия, определяемая положительной площадью кривой p(t), больше возвращаемой источнику энергии, определяемой отрицательной площадью кривой p(t).

На рис. 4.19 для различных интервалов времени показаны штриховой стрелкой действительное направление тока и знаками «плюс» (+) и «минус» (–) действительные направления напряжений на зажимах цепи и на всех участках. Стрелками с хвостовым оперением указаны направления потоков энергии в соответствующие интервалы времени.

Схема на рис. 4.19, à соответствует интервалу времени от 0 до t1, в течение которого ток возрастает от нуля до максимального значения. В это время энергия

запасается в катушке. Так как напряжение на конденсаторе по своему абсолютному значению падает, то энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, возвращается и переходит в энергию магнитного поля

катушки. В данном случае 0L > 1/(0C) è pL > pC, поэтому в катушку поступает дополнительная энергия из источника, питающего цепь. Питающий цепь источник покрывает также энергию, поглощаемую сопротивлением r.

Схема на рис. 4.19, á соответствует интервалу времени от t1 äî t2. Òîê i в этом интервале времени убывает, и энергия возвращается из магнитного поля катушки, частично поступая в конденсатор, который при этом заряжается, и частич- но превращаясь в теплоту на участке с сопротивлением r. В этом интервале времени ток имеет еще достаточно большое значение и, соответственно, значительна мощность i2r. Поэтому источник, так же как и в предыдущем интервале времени, посылает энергию в цепь, частично компенсирующую потери в участке с сопротивлением r. Момент t2 харак-

терен тем, что величина i2r уменьшилась настолько, что скорость уменьшения энергии в катушке обусловливает скорость поступления энергии в конденсатор и на участок с сопротивлением r. В этот момент мощность на зажимах всей цепи равна нулю (p 0).

Схема на рис. 4.19, â соответствует следующему интервалу времени от t2 äî t3, в течение которого ток уменьшается от значения при t t2 до нуля. В этот промежуток времени энергия продолжает возвращаться из катушки, поступая в конденсатор, на участок с сопротивлением r и в источник, подключенный к зажимам цепи. В этот интервал времени p < 0.

Весь рассмотренный интервал 0 4 t 4 t3 соответствует половине периода тока (T/2). В нем полностью завершается один цикл колебания энергии, так как период мгновенной мощности в два раза меньше периода тока. В следующую половину периода изменения тока энергетический процесс повторяется и только действительные направления тока и всех напряжений меняются на противоположные.

4.8. Эквивалентные параметры сложной цепи переменного тока, рассматриваемой в целом как двухполюсник

В § 4.4 и 4.5 рассмотрены простейшие цепи переменного тока. Для любой сложной цепи с постоянными параметрами при синусоидальном напряжении на ее входных зажимах общий входной ток цепи будет также синусоидальным и в общем случае сдвинут по отношению к напряжению на угол 2.

196 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Назовем э к в и в а л е н т н ы м п о л н ы м с о п р о т и в л е н и е м в с е й ц е п и отношение действующих напряжения и тока на входе цепи:

zý UI .

Оно может быть измерено с помощью вольтметра и амперметра.

Э к в и в а л е н т н о е а к т и в н о е с о п р о т и в л е н и е в с е й ц е п и определим как отношение активной мощности на зажимах цепи к квадрату действующего тока:

rý IP2 .

Ý ê â è â à ë å í ò í î å ð å à ê ò è â í î å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å â ñ å é ö å ï è îï-

причем знак «плюс» ставим, если 2 > 0, и знак минус, если 2 < 0. Для определения знака угла 2 нужно располагать фазометром или можно, например, поступить следующим образом: включив последовательно с цепью катушку, имеющую индуктивное сопротивление, меньшее абсолютного значения 1 xý 1 рассматриваемой цепи, повторно произвести измерение величин zý , rý и вычислить xý . Если при этом реактивное сопротивление увеличится, т. е. 1 xý 1 > 1 xý 1, òî ýòî

значит, что 2 > 0. В противном случае 2 < 0.

Аналогично определим эквивалентные проводимости из соотношений:

причем, так же как и для xý, будем считать bý > 0 ïðè 2 > 0 è bý < 0 ïðè 2 < 0. В дальнейшем условимся опускать индекс «э».

Установим связь между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями и углом 2. Для активного сопротивления имеем

и из соотношения x2 z2 – r2 z2(1 – cos2 2) z2 sin2 2 для реактивного сопротивления получаем

xzsin 2.

Âпоследнем выражении при извлечении квадратного корня из z2 sin2 2 взят знак «плюс», так как мы условились считать x > 0 ïðè 2 > 0.

Соответственно, для активной проводимости получим выражение

198 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

щие (рис. 4.21) имеет физический смысл только для простой последовательной цепи, рассмотренной в § 4.4, так как при этом активная составляющая равна падению напряжения на участке с сопротивлением r и реактивная составляющая равна падению напряжения на участке, содержащем конденсатор и катушку. Для параллельной цепи (см. § 4.5), а также для сложной цепи такое разложение является чисто формальным. Соответственно, разложение тока на активную и реактивную составляющие имеет физический смысл только для простой параллельной цепи, рассмотренной в § 4.5, а в общем случае является формальным.

4.9. Схемы замещения двухполюсника при заданной частоте

Введенные выше эквивалентные параметры двухполюсника сложным образом зависят от структуры цепи двухполюсника и конкретных параметров ветвей этой цепи. Эти эквивалентные параметры в общем случае сложным образом зависят от частоты приложенного напряжения. Для заданной частоты и конкретной цепи они являются вполне определенными, что дает возможность заменить двухполюсник для этой частоты схемами замещения, изображенными на рис. 4.20.

Заметим, что индуктивности (или, соответственно, емкости), а также сопротивления в последовательных и параллельных схемах замещения различны, в чем легко убедиться из полученных в предыдущем параграфе связей между r, x, g è b.

лютное значение угла 2 до /2. Получим связь между параметрами параллельной и последовательной схем замещения. Имеем

Таким образом, r2 > r1 è C2 < C1. Так как обычно tg << 1, то r2 >> r1, à C1 C2. При значительном изменении частоты от нее зависят все параметры: r1, C1, g2

è C2 обеих схем замещения. Это следует из того, что потери в конденсаторе при переменном напряжении приблизительно пропорциональны квадрату напряжения и первой степени частоты, и поэтому g2 изменяется приблизительно пропорционально частоте. Соответственно, r1 является функцией частоты. Следует учесть, что и tg , вообще говоря, изменяется с изменением частоты. При очень высоких частотах приходится считаться с индуктивностью, которой обладает конденсатор. Все это приводит к тому, что эквивалентные сопротивления и проводимости конденсатора, получаемые рассмотренным в предыдущем параграфе путем, сложным образом зависят от частоты.

Аналогичную картину имеем и в другом простом случае — для одной реальной индуктивной катушки. При низких частотах катушка представляет собой индуктивное сопротивление, но при высоких частотах наличие емкости между витками катушки может привести к тому, что ее эквивалентное сопротивление приобретет емкостный характер. Активное сопротивление катушки также зависит от частоты вследствие влияния поверхностного эффекта и вихревых токов,

Следовательно, вся цепь, состоящая из параллельного соединения этого уча-

При весьма низких частотах, пренебрегая слагаемыми, пропорциональными

Из последнего выражения видно, что даже при весьма низких частотах эквивалентная индуктивность не равна реальной индуктивности катушки. Это неравенство — следствие того, что даже при постоянном токе за счет падения напряжения в активном сопротивлении индуктивной катушки возникает электриче- ское поле, энергия Wý которого должна быть учтена. Действительно,

200 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Еще раз убеждаемся в том, что схемы замещения элементов цепи прежде всего должны правильно отображать картину распределения энергии в системе. Проблема же восстановления схемы и параметров реальной цепи по измеренным на ее входе величинам решается при помощи синтеза электрических цепей.

Из сказанного вытекает, что, определив теоретически или экспериментально параметры цепи или отдельных ее элементов при одной частоте, в частности, при постоянном токе, нельзя пользоваться этими параметрами при другой частоте, не убедившись предварительно в допустимости этого.

4.10. Влияние различных факторов на эквивалентные параметры цепи

В предыдущем параграфе было сказано, что любые сложные цепь или устройство, содержащие два входных зажима, можно представить в виде двухполюсника

èохарактеризовать их эквивалентными параметрами r, x, z, g, b è y. Было отмече- но, что эти параметры сложным образом зависят от конкретной структуры цепи

èот входящих в нее элементов. Вместе с тем эти параметры могут зависеть от целого ряда факторов. Так, например, если в состав двухполюсника входят асинхронные двигатели, то их параметры, а соответственно, и эквивалентные параметры двухполюсника будут зависеть от нагрузки на валу двигателей. Если в состав двухполюсника входит связанный с антенной колебательный контур радиостанции, то на эквивалентные параметры влияет также и излучение энергии.

Âвиде примера сложной зависимости эквивалентных параметров от различ- ных факторов укажем случай для синхронного двигателя, эквивалентное реактивное сопротивление которого может быть отрицательным, хотя в цепи и не содержатся конденсаторы. Такой емкостный режим синхронного двигателя имеет место при достаточно большом токе в обмотке возбуждения, превышающем номинальный ток возбуждения. Пояснить это можно следующим образом. Установим ток возбуждения в роторе таким, чтобы ЭДС, индуцируемая в обмотке статора потоком вращающегося ротора, точно уравновешивала приложенное к обмотке статора от сети напряжение. Естественно, при этом ротор должен вращаться с помощью постороннего двигателя на его валу, так как ток в обмотке статора будет равен нулю и энергия из сети не поступает. При отсутствии такого постороннего двигателя от сети будет поступать незначительный активный ток, обеспечивающий мощность, необходимую для покрытия потерь холостого хода в синхронном двигателе. Назовем ток возбуждения в обмотке ротора при таком режиме номинальным. Если уменьшить ток возбуждения ниже номинального, то ЭДС, индуцируемая в обмотке статора уменьшенным потоком ротора, также уменьшится и из сети пойдет намагничивающий ток, увеличивающий результирующий поток. Такой ток будет носить индуктивный характер.

Если увеличить ток возбуждения выше номинального, то ЭДС, индуцируемая в обмотке статора увеличившимся потоком ротора, может превысить приложенное напряжение и из сети пойдет размагничивающий ток, который будет носить емкостный характер.

На эквивалентные параметры влияет также частота. Такое влияние имеет место, как мы видели, даже для самых простых элементов цепи, таких как реостат, индуктивная катушка и конденсатор. Это связано, в частности, с явлением п о -

âе р х н о с т н о г о э ф ф е к т а, заключающегося в том, что переменный ток распределяется неравномерно по сечению провода — плотность тока у поверхности провода больше, чем во внутренних элементах сечения провода. Неравномерность распределения тока по сечению проводов приводит к увеличению активного сопротивления и уменьшению индуктивности цепи, причем эти обстоятельства проявляются все более сильно с увеличением частоты. Анализ явления поверхностного эффекта будет произведен в последней части курса.

На эквивалентных параметрах цепи сказывается также влияние в и х р е в ы х т о к о в, называемых также токами Фуко, возникающих в проводящих телах, расположенных в переменном магнитном поле электрической цепи. П о т е р и н а в и х р е в ы е т о к и приводят к увеличению эквивалентного активного сопротивления цепи. Вопросу о расчете потерь на вихревые токи будет уделено внимание при изложении теории нелинейных цепей и теории электромагнитного поля.

Все сказанное свидетельствует о сложной зависимости эквивалентных параметров цепи от различных физических величин, в том числе от частоты. Исследуя процессы в цепи при неизменной частоте, будем считать параметры ее участков вполне определенными. Но и изучая зависимость эквивалентных параметров от частоты при изменении последней в некоторых ограниченных пределах, будем полагать сопротивления r реостатов, индуктивности L катушек и емкости C конденсаторов постоянными. Во всех последующих главах этой части, за исключением гл. 8, где зависимость параметров от частоты будет рассмотрена

âвесьма общей форме с учетом возможной зависимости от частоты и величин r, L è C, также будем предполагать, что r, L è C постоянны.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

3.1. Элементы электрических цепей

ВОПРОСЫ

1.Почему в цепи постоянного тока напряжение, измеряемое на зажимах цепи, не зависит от расположения проводов, соединяющих вольтметр с цепью?

2.(О) При каком допущении напряжение, измеряемое на зажимах цепи переменного тока, не зависит от расположения в пространстве проводов, соединяющих вольтметр с цепью?

3.(О) Почему конденсаторы обычно характеризуются малыми индуктивностями?

4.(О) Для определения индуктивности элемента цепи через него пропускают ток i(t) и рассчитывают индуктивность по формуле L Α(t)/i(t). Является ли найденная таким образом индуктивность функцией времени?

5.(О) Между участками электрической цепи протекает ток смещения. Можно ли утверждать, что эти участки обладают друг по отношению к другу электриче- ской емкостью?

6.Влияние межвитковой емкости катушки индуктивности проявляется при частоте тока f 103 Гц. Усиливается ли оно при: à) увеличении; á) уменьшении частоты?

7.(О) Почему при совпадающих условно положительных направлениях тока и напряжения на катушке индуктивности действительное направление напряжения будет определено правильно не только при увеличении, но и при уменьшении тока?

8.При выбранных условно положительных направлениях токов двух индуктивно связанных катушек величина коэффициента взаимной индукции M отрицательна. Каково направление потоков самоиндукции и взаимной индукции?

9.Следует ли при заданном знаке коэффициента взаимной индукции указывать направление токов катушек?

10.Обязательна ли маркировка индуктивно связанных катушек?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Протяженность воздушной двухпроводной линии, соединяющей источник электромагнитной энергии с приемником, составляет 10 км. Можно ли рассматривать это устройство как цепь с сосредоточенными параметрами при частоте тока f 50 Гц? При какой частоте необходимо принимать во внимание волновой процесс в линии?

2.(Р) Катушка индуктивности обладает как электрическим сопротивлением, так и межвитковой емкостью. Изобразите схему электрической цепи, эквивалентную катушке и состоящих из идеальных резистора, катушки и конденсатора.

3.Конденсатор с неидеальным диэлектриком обладает электрическим сопротивлением, а также некоторой индуктивностью. Изобразите схемы электрических