Теоретические основы электротехники-1

124 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

7.(О) Изменит ли направление сила, действующая на общую поверхность двух диэлектриков в условиях из предыдущего вопроса, если конденсатор заряжен, но не отключен от источника?

8.Плоский конденсатор имеет между обкладками два слоя диэлектрика, граница которых нормальна к поверхности пластин. Объясните действие силы на поверхность диэлектриков в условиях из двух предыдущих вопросов.

9.Уединенная заряженная сфера окружена концентрическими слоями диэлек-

трика, имеющего диэлектрические проницаемости 1 > 2, 2 > 3, 3 < 4. Укажите направление сил, действующих на общие поверхности слоев диэлектриков.

10.(О) По гибкому проводу, образующему виток, течет ток. Какую форму стремится придать витку электромагнитная сила?

11.Тороидальный сердечник катушки индуктивности имеет разрез вдоль радиуса толщиной . В каком направлении действует на поверхность разреза электромагнитная сила?

12.Сферическая частица (дробь), вещество которой имеет проницаемость > 0, помещена в однородное магнитное поле. Действует ли на нее электромагнитная сила? Будет ли действовать на нее электромагнитная сила при размещении ее вблизи поверхности одного из полюсов магнита, создающего однородное магнитное поле?

13.В витке, плоскость которого нормальна к линиям внешнего однородного магнитного поля, течет ток. Зависит ли направление электромагнитной силы, действующей на виток, от взаимной ориентации тока и магнитного поля?

14.(О) Вдоль оси кругового витка проходит провод. Существует ли силовое взаимодействие между витком и проводом, если по ним течет ток?

15.(О) Какие электромагнитные силы действуют на две рядом расположенные ферромагнитные сферические частицы, помещенные в однородное магнитное поле?

16.Ток течет по весьма длинной прямолинейной трубе. Испытывает ли внутренняя поверхность трубы давление со стороны магнитного поля?

17.(О) По двум соосным длинным соленоидам с радиусами R1, R2 > R1 и числом витков на единицу длины w1 è w2 текут токи i1 è i2. При каких направлениях и величинах токов сила, действующая на один из соленоидов, равна нулю?

18.Незаряженная проводящая частица, помещенная в неоднородное электриче- ское поле, испытывает действие силы, стремящейся переместить ее в сторону более сильного поля. Почему немагнитный проводник без тока не испытывает действия электромагнитной силы, если он помещен в неоднородное не изменяющееся во времени магнитное поле?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Определите силу притяжения, действующую на единицу поверхности двух параллельных безграничных разноименно заряженных плоскостей, плотность заряда которых равна −. Почему сила не зависит от расстояния между плоскостями?

2.Расстояние между двумя весьма длинными прямыми параллельными проводами, заряженными разноименными зарядами, значительно больше их радиусов. Определите силу, действующую на единицу длины проводов, если напряжение между ними равно u.

3.Найдите силу, действующую на единицу поверхности уединенной проводящей сферы радиусом R с зарядом q.

4.Определите силы, действующие на внутреннюю (r Ri) и внешнюю (r Rå) обкладки: à) однослойного цилиндрического; á) однородного сферического конденсаторов. Напряжение между обкладками равно u.

5.(Р) Поверхность s разделяет две среды с диэлектрическими проницаемостями

1 è 2. Определите силу, действующую на единицу поверхности, если вектор электрического смещения D направлен по нормали к ней.

6.(P) Найдите силы, действующие на единицу поверхности обкладок плоского двухслойного конденсатора (давление), при диэлектрических проницаемостях

слоев 1, 2 и их толщинах d1, d2. Определите давление на границу раздела слоев. Зависит ли направление давления от соотношения между 1 è 2? Напряжение между обкладками равно u.

7. (Р) В плоском двухслойном конденсаторе поверхность раздела диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями 1 è 2 нормальна к его пластинам (рис. В2.4). Определите давление на границу раздела диэлектриков.

8. Уединенная заряженная сфера окружена концен-

9. Диэлектрические проницаемости слоев цилиндрического двухслойного конденсатора равны i, e, ( i > e). Радиусы обкладок Ri, Re, радиус цилиндрической поверхности раздела слоев R0. Рассчитайте силу, действующую на обкладки, а также на общую поверхность слоев. Какая из этих сил изменится, если внутренний слой примет проницаемость e, а внешний — i?

10.Объясните, почему электромагнитная сила, действующая на проводник в точке À, имеет указанное на рис. В2.5 направление. Укажите направление элек-

тромагнитной силы в точках C, D, E проводников. Сила f1 обусловлена действием на провод с током со стороны собственного магнитного поля тока, сила f2 — со стороны магнитного поля другого контура с током (вариант 8).

11.Прямолинейный бесконечно длинный тонкий провод изогнут и образует в точке A прямой угол. Найдите распределение вдоль провода силы, стремящей-

ся его разогнуть. Ток провода i 100 À, 0 всюду.

12. Кратчайшее расстояние между двумя бесконечно длинными взаимно перпендикулярными проводами с токами i 10 А равно d 5 см. Постройте кривую распределения электромагнитной силы вдоль одного из проводов.

126 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

Ðèñ. Â2.5

13. (Р) Длинный прямолинейный провод с током i и прямоугольная рамка с размерами сторон a, b находятся в одной плоскости. Рассчитайте силу, стремящуюся изменить положение рамки, при токе рамки i1. При численном расчете примите a 5 ñì, b 10 ñì, i 10 À, i1 100 А. Кратчайшее расстояние d от провода до ближайшей к проводу и параллельной ему стороне a рамки равно 5 см, 0.

14. (Р) Индуктивность круглого витка можно рассчитать по формуле L R [ + ln 8R/r – 2) + /4]3 если радиус r провода значительно меньше радиуса R витка. Найдите выражение обобщенных сил fR è fr, стремящихся изменить размеры витка. Магнитная проницаемость вещества провода равна . Выполните вычисления для R 8 ñì, r 0,25 ñì, i 20 À ïðè: à) 0; á) .++0.

15. Круглый плоский виток радиусом R из медного провода, радиус сечения которого r, расположен в однородном магнитном поле так, что угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к плоскости витка составляет . Рассчи- тайте силу, стремящуюся изменить радиус R витка при различных направлениях магнитной индукции и тока i витка. Численный расчет выполните при i 100 À, R 4 ñì, r 0,5 ìì, B 0,4 Тл. При каких сила, действующая на виток: à) наименьшая; á) наибольшая?

16. (Р) Определите значение тока i, протекающего по наружной поверхности (при условии резко выраженного поверхностного эффекта) стальной трубы c внешним радиусом R, при котором давление со стороны электромагнитного поля превысит предел прочности − стали и труба начнет деформироваться. Численный расчет выполните при R 1,5 ñì, − 0,1 êã/ìì2.

Примечание. При условии резко выраженного поверхностного эффекта ток те- чет в тонком поверхностном слое трубы.

17.(Р) Весьма длинный соленоид радиусом R имеет w витков на единицу длины. Рассчитайте силу, действующую на единицу длины соленоида и стремящуюся изменить его радиус.

18.Определите характер и величину сил, действующих на однослойную катушку радиусом R, длиной l, с числом витков w, приближенное выражение

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2 127

индуктивности которой можно записать в виде L 4R2w2 10–5 Гн. Численное 9R 10l

значение силы определите при токе i 3A, R 2ñì, w 100, l 8ñì.

19. Индуктивность весьма длинного коаксиального кабеля с радиусом жилы R0 и внутренним радиусом оболочки Ri на единицу его длины при высокой частоте

протекающего по нему тока можно найти, пользуясь выражением L 0 ln Ri .

2 R0

Рассчитайте силу, действующую на единицу длины жилы и оболочки, принимая R0 3 ìì, Ri 6 мм. Ток кабеля i 1 sin wt À.

20. Тороидальная катушка имеет средний радиус R, круглое сечение радиусом r

силы, стремящиеся изменить радиусы R, r катушки. Определите их численные зна- чения при токе катушки 1 А, w 200, r 1 ñì, R 10 ñì.

21. (Р) Тороидальный сердечник прямоугольного сечения имеет равномерно намотанную обмотку с числом витков w 200. Сердечник имеет радиальный зазор 1 мм, внутренний радиус сердечника Ri 0,2 м, внешний — Re 0,25 м, его высота 3 см, i 10 À, 100 0. Рассчитайте силу, действующую на эле-

мент поверхности сердечника, расположенный в центральной части зазора при

Rñð Ri Re . 2

ЗАДАЧИ

1. (Р) Прямолинейный весьма длинный немагнитный провод круглого сечения с током i 1000 А расположен в воздухе параллельно плоской поверхности среды, магнитная проницаемость которой может быть принята бесконечно большой. Рассчитайте силу, действующую на единицу длины провода, при расстоянии между осью провода и поверхностью d 5 10–2 ì.

2. Линейные бесконечно длинные провода размещены на поверхности немагнитного цилиндра радиусом R. Линейная плотность j токов проводов изменяется по окружности сечения цилиндра по закону j jm cos . Найдите радиальную Fr( ) и тангенциальную Ft( ) составляющие силы, действующей на провода, учитывая, что созданное током магнитное поле внутри цилиндра однородное с

магнитной индукцией B 0 jm

2

3. (P) По бесконечно протяженной в направлении осей x, y пластине толщиной 2d протекает электрический ток, плотность которого J iJx постоянна во всех точках пластины. Рассчитайте распределение электромагнитной силы вдоль линии, нормальной поверхности пластины, а также полную силу, сжимающую единицу объема пластины. Выведите формулу для сжимающей пластину силы при переходе к бесконечно тонкой пластине, когда d 0, J и когда пластина переходит в поверхность с линейной плотностью тока j ( 0 всюду).

128 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

4. (P) Круговой контур с током i 10 А расположен в одной плоскости с прямолинейным бесконечно длинным проводом, ток которого i1 1000 А. Кратчайшее расстояние между контуром и проводом равно d 2 см, радиус контура R 5 см. Рассчитайте силу взаимодействия токов контура и провода и постройте зависимость силы F f(2) в точках контура в функции положения точки (0 < 2 4 9). Постройте также зависимость электромагнитной силы вдоль провода.

5. (Р) На внутренней цилиндрической поверхности (R Rñ) статора электриче- ской машины токовая нагрузка (линейная плотность тока) jñ jñm cos , а на поверхности ротора (при Rð < Rñ ) jð jðm cos ( + 2). Статор и ротор выполнены из немагнитного вещества. Рассчитайте зависимость вращающего момента, действующего на ротор, от угла 2, принимая, что длины ротора и статора значительно превышают их радиусы. При каких значениях угла 2 момент имеет: à) наибольшее значение; á) наименьшее значение?

6. (Р) Две плоские поверхности тела, вещество которого имеет бесконечно большую магнитную проницаемость, образуют прямой угол (рис. В2.6). Весьма длинный немагнитный провод с током i 1000 А расположен в воздухе параллельно поверхностям тела. Определите направление и значение силы, действующей на провод,

ïðè h 5 ñì.

Ðèñ. Â2.6

Глава третья

Основные понятия и законы теории электрических цепей

3.1. Электрические и магнитные цепи

Изложенное в предыдущих двух главах со всей ясностью показывает, что любое электромагнитное явление, происходящее в системе заряженных тел и контуров с токами, т. е. в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами на самих заряженных телах и в проводниках, образующих контуры с токами, но и не в меньшей мере физическими процессами в диэлектрике, окружающем эти тела и проводники. Даже можно сказать больше — именно электромагнитное поле в диэлектрике, окружающее заряженные тела и проводники с токами, является носителем энергии системы, которая может передаваться от одной части системы к другой. Электрическое поле заряженных тел целиком находится вне этих тел — в окружающем их диэлектрике. Магнитное и электрическое поля электрических токов, протекающих по проводникам, существуют и вне проводников, и внутри их. Однако электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия же, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрическая емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах.

Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, во всех случаях необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.

Математическое описание электромагнитных полей хотя и дает нам полную картину явлений, оказывается сложным; этому будет посвящена последняя, четвертая, часть курса.

В большинстве случаев представляется возможным достаточно точно описать процессы в электротехнических устройствах, пользуясь только такими интегральными величинами, как электродвижущая сила e E ñòîð E èíä dl,

B

электрическое напряжение u E dl, электрический заряд q Dds, электриче-

A

ñêèé òîê i ds Hdl, магнитный поток ! Bds, не рассматривая распре-

s s

деления в пространстве и изменения во времени величин Eñòîð, Eèíä, E, D, , H è B, характеризующих электромагнитное поле во всех его точках. Такая возможность возникает вследствие того, что мы обычно стремимся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженных хорошо изолирующей средой, например в линиях электропередачи, в электрических сетях, в обмотках электрических машин и т. д., или помещая

130 Часть 1. Основные понятия и законы теории

вдоль этих путей какие-либо другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т. д.

Совокупность устройств и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении, называют электрической цепью.

Точно так же мы во многих случаях стремимся создать определенный путь, по которому должны замыкаться линии магнитной индукции, располагая вдоль этого пути тела из ферромагнитного материала с высокой магнитной проницаемостью, окруженные средой со значительно меньшей магнитной проницаемостью, например воздухом. В этом случае представляется возможным с достаточ- ной точностью описывать процесс с помощью таких интегральных понятий, как магнитодвижущая сила iw Hdl и магнитный поток ! Bds.

s

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о магнитодвижущей силе и магнитном потоке, называют магнитной цепью.

Переход от полной картины явлений в электромагнитном поле к упрощенной картине процессов в электрических цепях с учетом допускаемых при этом отклонений от действительной сложной картины явлений и, следовательно, принимаемых при этом абстракций и будет нашей основной задачей в этой главе. Здесь же введем основные общие понятия теории электрических цепей, относящиеся ко всем ее разделам, и дадим им определения. Развитию этой теории посвящаются вторая и третья части настоящего курса.

3.2. Элементы электрических цепей.

Активные и пассивные части электрических цепей

Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии.

Источниками электромагнитной энергии являются различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида — тепловая, химическая, ядерная, энергия механического движения и т. д. — преобразуется в электромагнитную. Таковыми являются, например, электрические вращающиеся генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и т. д. В настоящее время разрабатываются новые устройства для прямого преобразования тепловой, ядерной и химической энергии в электромагнитную, такие, как, например, магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.

Передающими электромагнитную энергию элементами цепи являются, например, линии электропередачи, электрические сети, линии связи.

Преобразование электромагнитной энергии осуществляется с помощью трансформаторов, изменяющих напряжение и ток, преобразователей частоты, усилителей, а также ионных и полупроводниковых инверторов, преобразующих постоянный ток в переменный, выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный, и т. п.

Приемниками в электрической цепи являются устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида, например в электродвигателях — в механическую работу, в электролизерах и в заряжаемых аккумуляторах — в химическую энергию, в электрических печах и нагревательных устройствах — в тепловую энергию, в радиоприемниках — в акустическую энергию и т. д.

Во всех случаях, когда то или иное устройство — элемент электрической цепи — имеет основным назначением генерирование, передачу, преобразование или потребление электромагнитной энергии, на первый план выдвигается требование его высокого коэффициента полезного действия.

Во многих случаях главным назначением тех или иных элементов электриче- ской цепи является передача или преобразование электрических сигналов, а также выполнение операций измерения тех или иных величин или управления ка- кими-нибудь процессами. Это — телефонные и телеграфные линии связи и их концевые устройства, весьма разнообразные элементы устройств автоматики, электроизмерительных устройств, счетно-решающих и управляющих электронных вычислительных машин, различных радиотехнических устройств и т. д. Для всех них главным требованием является получение определенного качества передаваемого или преобразуемого сигнала. Естественно, и в этих случаях происходят передача и преобразование электромагнитной энергии и имеет значение, хотя и не основное, достижение как можно более высокого коэффициента полезного действия.

Наряду с упомянутыми требованиями элементы электрических цепей должны удовлетворять также многим другим требованиям — надежности работы, долговечности, если необходимо — быстродействию, устойчивости работы, точности действия и т. д.

Соответственно этому электрические цепи современных электротехнических устройств являются весьма сложными. Поэтому и теория электрических цепей все время развивается и ей становятся свойственными все более обобщенные методы. В настоящем курсе, начав с исследования простейших электрических цепей, мы постепенно перейдем к общим методам расчета сложных электриче- ских цепей.

Условимся в дальнейшем часть электрической цепи, в которой действуют источники электромагнитной энергии, называть а к т и в н о й ч а с т ь ю ц е п и, или короче — активной цепью. Ее будем нередко обозначать прямоугольником с буквой À в середине и с тем ииныли иным числом выводов (проводников), с помощью которых она присоединяется к остальной части цепи (рис. 3.1).

Часть электрической цепи, в которой нет источников электромагнитной энергии, будем называть п а с с и в н о й ч а с т ь ю ц е п и, или короче — пассивной цепью. Ее будем обозначать также прямоугольником с соответствующим числом

132 Часть 1. Основные понятия и законы теории

3.3. Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами

Наиболее простые явления имеют место в электрических цепях постоянного тока. Длительный постоянный ток в электрической цепи может быть только или током проводимости, или током переноса. Ток смещения в диэлектрике не может быть постоянным сколь угодно долгое время, так как электрическое смещение и поляризованность диэлектрика не могут возрастать беспредельно без нарушения электрической прочности диэлектрика. Поэтому в цепь постоянного тока могут входить только такие устройства, в которых ток существует в виде тока проводимости, например провода линии передачи, обмотки машин, электролитические ванны, гальванические элементы, аккумуляторы и т. д., или такие, в которых ток существует в форме тока переноса, например электронные лампы. Конденсаторы с идеальным диэлектриком, удельная проводимость которого предполагается равной нулю, не проводят постоянного тока.

Хотя вокруг цепи постоянного тока существует магнитное поле, но оно не изменяется во времени и, следовательно, в цепи постоянного тока не индуцируются ЭДС.

Если изолирующая среда между проводами обладает хотя и малой, но конеч- ной удельной проводимостью, то под действием постоянного напряжения между проводами через нее будет протекать ток утечки. Ток утечки будет отходить в изолирующую среду от всех элементов проводов, соприкасающихся с ней, в результате чего ток вдоль провода будет иметь разные значения. Здесь мы имеем простейшую цепь с распределенными вдоль нее параметрами, а именно с распределенной вдоль цепи проводимостью утечки.

При переменных токах и напряжениях явления в электрической цепи оказываются более сложными. Переменный ток, т. е. изменяющийся во времени ток, может существовать и в диэлектрике в виде тока смещения. Поэтому в электри- ческую цепь переменного тока могут входить также конденсаторы, обкладки которых разделены диэлектриком. При переменном напряжении на конденсаторе возникает переменное электрическое поле между его металлическими обкладками, и следовательно, в разделяющем обкладки диэлектрике возникает ток смещения. С учетом тока электрического смещения линии тока, как было отмечено в § 1.7, оказываются всегда замкнутыми.

Рассмотрим процессы в электрической цепи с последовательно включенным конденсатором, происходящие при зарядке и при разрядке конденсатора. Если не принимать во внимание токов смещения, то эта цепь кажется разомкнутой. Предположим, что при помощи ключа K незаряженный конденсатор включается в некоторый момент времени в цепь источника постоянной ЭДС (рис. 3.3). Конденсатор заряжается; электрические заряды, переносимые от источника ЭДС к обкладкам конденсатора по соединяющим их проводникам, собираются на этих обкладках. По мере увеличения заряда на обкладках возрастает электрическое поле между ними, и в диэлектрике возникают токи электрического смещения. Если охва-