Теоретические основы электротехники-1

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 43

Если обозначить через без индекса плотность полного тока J J ñì ) и через i — весь ток сквозь поверхность, то для любой замкнутой поверхности будем иметь

i d s 0,

s

что и является общим выражением принципа непрерывности электрического тока. Этот важный принцип гласит: полный электрический ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю. При этом выходящий из поверхности ток считается положительным, входящий — отрицательным.

Таким образом, линии тока нигде не имеют ни начала, ни конца, они принципиально являются замкнутыми линиями. Электрический ток протекает всегда по замкнутым путям.

Из всего сказанного ясно, что принцип непрерывности, или, что то же, принцип замкнутости тока, приобретает всеобщее значение только с введением понятия о токе смещения в диэлектрике и именно с учетом тока смещения в пустоте.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется замкнутость линий тока переноса, т. е. движущихся заряженных тел или частиц. Этот случай имеет глубокое принципиальное значение, так как всякий электрический ток, кроме тока смещения в пустоте, представляет собой движение большого числа отдельных заряженных элементарных частиц.

Рассмотрим уединенный точечный заряд q, движущийся в пустоте со скоростью v (рис. 1.18). В каждый момент времени вектор D в любой точке пространства направлен по радиальной прямой, исходящей из центра заряда,

èимеет величину, равную D 0 E q/(4 r 2) (предполагаем, что v значительно меньше скорости света и, следовательно, поле имеет такой же характер, как

èдля неподвижного заряда).

Ðèñ. 1.18

За промежуток времени t заряд проходит путь z v t. Соответственно новому положению заряда вектор смещения в каждой точке пространства получает новое значение D + D. Вектор плотности тока смещения Jñì dD/dt всюду имеет направление, к которому стремится вектор D ïðè t 0. На рис. 1.18 построены векторы плотности тока в некоторых точках пространства A1 – A5. Если бы мы произвели это построение в достаточно большом числе точек простран-

Следовательно,

AquÀÂ .

Âобщем случае рассматриваемый путь может проходить в любой среде, в ча-

стности он может быть взят целиком в проводнике, целиком в диэлектрике или может проходить частично в проводнике и частично в диэлектрике.

В соответствии с изложенным электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути.

Нередко, говоря о напряжении вдоль некоторого участка пути, употребляют термин п а д е н и е н а п р я ж е н и я вдоль этого участка. Соответственно линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль некоторого замкнутого контура E d l представляет собой сумму падений напряжений вдоль всех уча-

стков этого контура.

Единицей напряжения является вольт (Â).

Из сказанного вытекает, что значение напряженности электрического поля равно падению напряжения, отнесенного к единице длины линии напряженности поля. В самом деле, падение напряжения на пути dl равно du E dl, åñëè ïóòü dl совпадает с линией напряженности поля, и, следовательно, E du/dl. Поэтому единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (1 В/м).

Как было отмечено в § 1.6, в проводящей среде напряженность электрического поля E связана с плотностью тока J соотношением E J, где — удельное сопротивление среды. В простейшем случае для прямолинейного отрезка проводника с постоянным током i, длиной l и сечением s падение напряжения в нем u El, à òîê i Js. Таким образом, u Jl li/s ri. Величина r u/i является электрическим сопротивлением рассматриваемого отрезка проводника. Электрическое сопротивление измеряется в îìàõ (Îì).

Соотношение u ri представляет собой закон Ома для этого участка проводника. Мощность, определяющая коли- чество энергии, выделяемой в проводнике в виде теплоты в единицу времени, имеет выражение p A/t uq/t ui ri2. Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца. Единицей мощности является âàòò (Âò).

Рассмотрим теперь величины, именуемые э л е к т р и ч е - с к и м п о т е н ц и а л о м и р а з н о с т ь ю э л е к т р и ч е - с к и х п о т е н ц и а л о в.

Пусть имеется э л е к т р о с т а т и ч е с к о е п о л е, т. е. поле покоящихся заряженных тел (рис. 1.21). В электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру равен нулю: E d l 0. Ýòî âàæ-

ное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энергии. Предположим, что по замкнутому пути AmBnA (рис. 1.21) перемещается

46 Часть 1. Основные понятия и законы теории

точечное тело с зарядом q. На части замкнутого пути движение будет происходить в направлении сил поля и работа, совершенная силами поля, будет положительной. На другой части замкнутого пути движение будет происходить против сил поля и, соответственно, работа сил поля будет отрицательной. Работа, совершенная силами поля на перемещение тела с зарядом q по всему замкнутому пути, должна быть равна нулю:

q E d l 0, ò. å. E d l 0.

Действительно, при отсутствии этого условия всегда можно было бы выбрать такое направление обхода контура AmBnA, чтобы работа оказалась положительной. Однако после обхода по замкнутому пути система, включая и тело с зарядом q, возвращается в точности в исходное состояние, а это значит, что можно было бы повторять обход контура телом с зарядом q любое число раз и получать при каждом обходе конечную положительную работу. Возможность существования подобного неисчерпаемого источника энергии противоречит принципу сохранения энергии. Таким образом, в электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю. Отсюда непосредственно вытекает независимость линейного интеграла напряженности поля от выбора пути интегрирования при заданных начальной и конечной точках À è Â пути. Действительно,

E d l E d l E d l 0,

B

à òàê êàê ïóòè m è n взяты произвольно, то, следовательно, интеграл E d l

A

в электростатическом поле не зависит от выбора пути интегрирования и является только функцией координат точек A è B.

Величину, равную этому интегралу, называют разностью электрических по-

B

тенциалов точек А и В и обозначают UA – UB. Имеем UA – UB E d l.

A

С другой стороны, этот интеграл равен напряжению вдоль некоторого пути от точки A к точке B. Следовательно, в применении к электростатическому полю термины «напряжение» и «разность потенциалов» относятся к одной и той же величине.

В дальнейшем разность потенциалов будем обозначать буквой u, как и напряжение, в соответствии с чем будем применять обозначение UA — UB uAB.

Из сказанного выше ясно, что разность электрических потенциалов двух то- чек электростатического поля численно равна работе сил поля при перемещении точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице, из одной данной точки в другую.

48 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ности равного потенциала, т. е. является уравнением этой поверхности. Следы поверхности равного потенциала на плоскости чертежа называют л и н и я м и р а в н о г о п о т е н ц и а л а. Очевидно, линии равного потенциала пересекаются с линиями напряженности поля всюду под прямым углом.

Напряженность электрического поля внутри проводников при статическом состоянии зарядов должна быть равна нулю, так как при отсутствии тока (J 0) имеем E J 0. Поэтому в электростатическом состоянии каждое проводящее тело имеет во всем объеме одинаковый потенциал; поверхности этих тел суть поверхности равного потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ним.

Если диэлектрическая проницаемость изолирующей среды, окружающей заряженное проводящее тело, не зависит от напряженности электрического поля, то величина E всюду в диэлектрике, а следовательно, и потенциал U тела будут пропорциональны заряду q тела. Отношение q ê U называется э л е к т р и ч е - с к о й е м к о с т ь ю т е л а:

C Uq ,

причем равным нулю принимается потенциал в бесконечности. Электрическая емкость уединенного тела зависит от геометрических параметров g, определяющих форму и размеры тела, и от абсолютной диэлектрической проницаемости окружающего его диэлектрика: C F(g, ). Если диэлектрик однороден, то C f(g). При указанной оговорке, что не зависит от E, величина C не зависит от q è U.

Для двух проводящих тел, окруженных диэлектриком, при условии, что их заряды равны и противоположны по знаку, т. е. q1 –q2, разность потенциалов этих тел будет пропорциональна заряду одного из них. При этом величина

называется э л е к т р и ч е с к о й е м к о с т ь ю между этими телами. Она зависит от геометрических величин g, определяющих форму, размеры и взаимное расположение тел, а также от абсолютной диэлектрической проницаемости диэлектрика: C F(g, ). Для однородного диэлектрика C f (g).

Система из двух таких тел, специально созданная для использования ее электрической емкости, называется к о н д е н с а т о р о м.

В формуле для емкости между телами берется заряд того тела, от которого отсчитывается разность потенциалов. При этом всегда C > 0.

Единицей электрической емкости служит фарад (Ô).

Единицей абсолютной диэлектрической проницаемости, как было отмечено в § 1.4, является фарад на метр (Ф/м). Действительно, из выражения D/E следует, что единицей величины будет

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 49

Перейдем теперь к последнему из рассматриваемой группы понятий, а именно к понятию «электродвижущая сила».

Характерное свойство всякого потенциального электрического поля, и в ча- стности электростатического поля, а именно равенство нулю линейного интеграла напряженности поля вдоль любого замкнутого контура, относится лишь к области пространства, расположенной вне источников так называемых э л е к - т р о д в и ж у щ и х с и л (ЭДС).

Появление ЭДС связано с наличием электрических полей неэлектростатиче- ского и непотенциального характера.

В общем случае будем говорить, что в замкнутом контуре действует электродвижущая сила e, если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, причем, как будет сейчас показано, этот линейный интеграл равен ЭДС, действующей в контуре:

E d l e 0.

Источниками ЭДС могут являться, например, электрические генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы.

Для уяснения сущности величины, к которой принято относить понятие «электродвижущая сила», рассмотрим в виде примера гальванический элемент (рис. 1.22). Тела A è B, подключенные к зажимам элемента, оказываются заряженными под действием ЭДС элемента. Интеграл вектора E по любому пути в диэлектрике между телами A è B равен разности потенциалов этих тел:

E d l U A U B uAB .

AmB

Однако если изберем путь интегрирования от тела A по соединительному проводнику к положительному электроду элемента, затем через электролит (путь n) к отрицательному электроду и, наконец, по соединительному проводнику к телу B, то должны признать, что вдоль этого пути интеграл равен нулю:E d l 0. Действительно, этот путь лежит целиком

AnB

в проводящей среде. В металле проводимость обеспе- чивается наличием электронов проводимости, в электролите — наличием положительных и отрицательных ионов. Так как J 0, òî íà âñåì ýòîì ïóòè E J 0.

В тонких слоях у поверхностей электродов отсутствие результирующего электрического поля (E 0) является следствием наложения внутри этих слоев

на электрическое поле с напряженностью Eñòàò, образованное зарядами электродов и электролита, равного и противоположного ему стороннего электрического поля с напряженностью Eñòîð, имеющего неэлектростатическое происхождение, что можно записать следующим образом:

E Eñòàò + Eñòîð 0 èëè Eñòàò –Eñòîð.

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 51

С другой стороны,

E d l E ñòàò d l E ñòîð d l e,

AmBnA

òàê êàê

E ñòàò d l 0, à E ñòîð d l E ñòîð d l e.

BnA

Следовательно,

eU A U B ,

ò.å. электродвижущая сила элемента равна разности потенциалов или, ÷òî â äàí-

ном случае одно и то же, напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней цепи (при отсутствии тока в цепи).

Из сказанного видно, что условие E d l 0 справедливо только в области про-

странства вне источников ЭДС.

В примере с гальваническим элементом при отсутствии тока результирующее поле (при макроскопическом рассмотрении явления) внутри элемента всюду отсутствует, что является следствием действия неэлектростатических, в данном слу- чае электрохимических, причин. Соответственно напряжение вдоль пути BnA внутри элемента при отсутствии тока равно нулю.

Введение понятия стороннего электрического поля как составляющей результирующего поля и, соответственно, понятия ЭДС e E ñòîð d l имеет смысл в том

отношении, что именно этой ЭДС определяется работа, затрачиваемая на перенесение обладающих зарядами элементарных частиц, связанная с электрохимиче- скими процессами. Следовательно, именно ЭДС характеризует при прохождении тока преобразование энергии внутри элемента. В связи с этим, говоря об

èс т о ч н и к а х ЭДС, будем употреблять также термин и с т о ч н и к э н е р г и и. Весьма важным обстоятельством является то, что ЭДС элемента почти не за-

висит от электрического тока в его цепи.

Электродвижущие силы возникают также при соприкосновении разнородных металлов. В этом случае возникновение ЭДС, называемых к о н т а к т н ы м и ЭДС, связано с переходом электронов проводимости в месте контакта из одного металла в другой и образованием вследствие этого в одном металле избыточного положительного, в другом — избыточного отрицательного электрического заряда. Этот переход электронов может рассматриваться как результат действия в месте контакта стороннего электрического поля, имеющего неэлектростатиче- ский характер. Появление на соприкасающихся металлах зарядов разных знаков приводит к возникновению так называемой контактной разности потенциалов, равной при отсутствии тока контактной ЭДС. Контактная ЭДС зависит от рода соприкасающихся металлов и от температуры.

Последнее обстоятельство используется в так называемых термоэлементах. Если составить замкнутую цепь из двух разнородных проводников, то при различных температурах t è t0 двух мест спаев этих проводников контактные ЭДС в местах спаев будут различными и не будут взаимно компенсироваться вдоль цепи. В итоге в замкнутой цепи будет действовать результирующая ЭДС, назы-

52 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ваемая т е р м о э л е к т р о д в и ж у щ е й с и л о й. В общее значение термоэлектродвижущей силы войдут также еще дополнительные ЭДС, которые возникают вдоль каждого из двух однородных проводников вследствие того, что один конец их находится в среде более высокой температуры, чем другой. Эти дополнительные ЭДС являются результатом некоторого перехода электронов проводимости от более нагретого конца проводника к менее нагретому вследствие того, что интенсивность теплового движения электронов возрастает с увеличе- нием температуры.

Âтермоэлементе действие ЭДС при прохождении тока связано с преобразованием тепловой энергии в электромагнитную. Обычно применяемые термопары имеют ЭДС порядка нескольких милливольт или десятых милливольта при температурах холодного и горячего спаев соответственно 0 и 100 °С.

Âследующих параграфах понятие «электродвижущая сила» будет расширено включением в него ЭДС, индуцируемых при изменении во времени магнитного потока, и тогда будет дано общее определение этого важного понятия.

Обратим особое внимание на то, что при определении ЭДС, как уже было сказано, путь интегрирования берется внутри источника энергии от отрицатель-

ния на его зажимах B è A интегрирование ведется по пути âíå источника от положительного зажима к отрицательному:

uAB U A U B E d l.

AmB

1.9. Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

Поток вектора магнитной индукции сквозь некоторую поверхность s (рис. 1.23) называют кратко м а г н и т н ы м п о т о к о м сквозь эту поверхность и обозна- чают !. Имеем

! B cos ds B d s.

s s

Магнитная индукция является плотностью магнитного потока в данной точ- ке поля. Действительно, проведя поверхность нормально к вектору B, будем иметь cos 1; d! B ds; B d!/ds.

Единицей магнитного потока является вебер (Вб). Единицей магнитной индукции — тесла, равная веберу на квадратный метр (1 Òë 1 Âá/ì2).

Линиями магнитной индукции называют линии, проведенные так, чтобы касательные к ним в каждой их точке совпадали по направлению с вектором B. Эти линии изображают со стрелками, указывающими направление вектора B.

Часть пространства, ограниченная трубчатой поверхностью, образованной совокупностью линий магнитной индукции, называется т р у б к о й м а г н и т н о й и н д у к ц и и.