Теоретические основы электротехники-1

Действительно, до образования электрического поля объемная плотность электрического заряда в диэлектрике всюду была равна нулю и связанный заряд q также был равен нулю. Поэтому появление избыточного связанного заряда q одного знака в объеме, ограниченном поверхностью s, после установления поля возможно только вследствие того, что сквозь поверхность s смещающимися в процессе поляризации заряженными частицами переносится заряд Q . При этом абсолютные значения |q | è |Q | должны быть равны друг другу, но сами величины q è Q должны быть противоположны по знаку, так как, если положительный заряд смещается сквозь поверхность s изнутри наружу, то в объеме, ограниченном этой поверхностью, образуется избыток отрицательного заряда.

Итак, имеем

q' Q' Pds.

s

Учитывая, что в результате поляризации появляется связанный заряд q , мы должны рассматривать поле как существующее в пустоте, но созданное не только свободным зарядом q тела, но и связанным зарядом q . Соответственно, можно написать теорему Гаусса в форме

Умножив правую и левую части равенства на 0, получаем:

0 E d s q q' q P d s.

Обозначим через D вектор, равный сумме векторов 0E è P:

D 0E + P,

и назовем его в е к т о р о м э л е к т р и ч е с к о г о с м е щ е н и я. Имеем

D d s D cos ds q,

ss

ò.å. поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен свободному электрическому заряду, заключенному в части пространства, ограниченной этой поверхностью.

Âпоследнем соотношении есть угол между вектором D и нормалью к элементу ds поверхности s.

Единицей электрического смещения является кулон на квадратный метр (Êë/ì2).

Воспользуемся соотношением P E, тогда

D 0E + E 0 + )E E; 0 + .

В анизотропных кристаллических телах при произвольном, но заданном расположении осей 0X, 0Y, 0Z по отношению к главным осям кристалла связь меж-

34 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ду проекциями на оси координат векторов D è E может быть записана в форме, аналогичной той, в которой была записана выше связь между проекциями векторов P è E. При этом диэлектрическая проницаемость является тензорной величиной.

Величина является основной характеристикой диэлектрика и называется а б с о л ю т н о й д и э л е к т р и ч е с к о й п р о н и ц а е м о с т ь ю. Она характеризует диэлектрические свойства вещества, является скалярной величиной для изотропного вещества, равна отношению модуля электрического смещения к модулю напряженности электрического поля и является тензорной величиной для анизотропного вещества. Отношение r 0 называют о т н о с и т е л ь н о й д и э л е к т р и ч е с к о й п р о н и ц а е м о с т ь ю:

Для однородной изотропной среды имеем

Последнее выражение является теоремой Гаусса для любого однородного изотропного диэлектрика.

Понятие об электрическом смещении в диэлектрике и о векторе электриче- ского смещения было введено Максвеллом.

Вторая составляющая P вектора электрического смещения была нами представлена как результат смещения элементарных, обладающих зарядом частиц, входящих в состав вещества диэлектрика, сквозь поверхность, нормальную к направлению смещения этих частиц.

Первая составляющая 0E вектора электрического смещения, которую обозначим через D0, не является результатом смещения электрически заряженных частиц сквозь некоторую поверхность, так как она относится к электрическому полю в пустоте, т. е. к той области пространства, в которой отсутствуют заряженные частицы.

Величина D0 0E, так же как и напряженность поля E, характеризует само электрическое поле в данной его точке. Важно отметить, что физическая размерность величины D0 та же, что и поляризованности P диэлектрика, т. е. электриче- ского заряда, отнесенного к единице поверхности. Это обстоятельство дает возможность сделать весьма важные обобщения, относящиеся к изменяющемуся во времени электрическому полю. Они будут развиты далее в параграфах об электрическом токе и его магнитном поле.

Соотношение

D d s q,

s

устанавливающее равенство потока вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность свободному заряду, заключенному в объеме, ограниченном этой поверхностью, называют иногда о б о б щ е н н о й т е о р е м о й Га у с с а, поскольку оно справедливо уже для любой среды.

36 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Термин «электрический ток» применяют не только для характеристики явления, но и для определения интенсивности этого явления в качестве синонима термина «сила электрического тока».

Чтобы исключить двойное толкование термина «электрический ток», принято прилагательное «электрический» приписывать только явлению.

Полный электрический ток принято разделять на следующие основные виды: ток проводимости, ток переноса и ток смещения.

Электрическим током проводимости принято называть явление направленного движения свободных носителей электрического заряда в некотором объеме V вещества или пустоты, когда qi vi 0. Здесь qi è vi — величина и скорость

движения i-го заряда, входящего в совокупность N свободных зарядов объема V. Некоторые вещества обладают свойством, называемым э л е к т р о п р о в о д - н о с т ь ю, проводить под действием не изменяющегося во времени электриче-

ского поля не изменяющийся во времени электрический ток. Соответственно, вещества, обладающие таким свойством, принято называть п р о в о д н и к а м и или п р о в о д я щ и м и в е щ е с т в а м и. Для них основным электрическим свойством является электропроводность. Существует ряд веществ, для которых характерна сильная зависимость электропроводности от воздействия внешних факторов (например, от температуры, света, электрических и магнитных полей и т. д. ).

Ток проводимости сквозь некоторую поверхность s определяется количе- ством зарядов q, проходящих через нее за единицу времени. В произвольный момент времени ток проводимости равен производной по времени от электриче- ского заряда, переносимого носителями заряда сквозь некоторую рассматриваемую поверхность s, ò. å.

i dqdt .

Электрический ток — величина скалярная. В разных элементах поверхности s направление движения заряженных частиц может быть самым различным. Однако, рассматривая весьма малый элемент поверхности s, можно считать направление движения заряженных частиц во всех точках элемента одинаковым, причем это положение становится все более строгим по мере уменьшения s, т. е. когдаs 0. В связи с этим вводят в рассмотрение векторную ве-

личину — плотность тока, равную пределу отношения тока i сквозь элемент поверхности s, нормальный к направлению движения заряженных частиц, к этому элементу, когда последний стремится к нулю,

и имеющую направление, совпадающее с направлением движения положительно заряженных частиц или, соответственно, противоположное направлению движения отрицательно заряженных частиц.

Если вектор J (рис. 1.12) составляет с положительной нормалью к поверхности угол , то существует соотношение

di J cos ds J ds.

Ток, проходящий сквозь поверхность s конечных размеров, поэтому равен

i J cos ds J ds.

Только в том случае, когда плотность тока во всех точках поверхности одинакова по значению и составляет с нормалью к поверхности всюду один и тот же угол, можно написать

i J cos ds J cos s.

s

Если, кроме того, направление тока нормально к поверхности, то i Js. Такое условие соблюдается при постоянном во времени токе для линейных проводников, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной. Поэтому при изучении процессов в электрических цепях, составленных из линейных проводников, обычно говорят о направлении всего тока в том или ином участке цепи.

В общем случае л и н и я м и т о к а называют линии, к которым векторы плотности тока всюду касательны, и т р у б к а м и т о к а — область, ограниченную трубчатой поверхностью, образованной линиями тока.

Единицей тока является ампер (А) и единицей плотности тока — ампер на квадратный метр (À/ì2).

Характерным отличием тока проводимости в проводниках от других видов тока является то, что плотность тока проводимости при постоянной температуре проводника пропорциональна напряженности электрического поля. При этом в изотропной среде вектор плотности тока J совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля E и линии тока совпадают с линиями напряженности электрического поля. Поэтому для плотности тока проводимости в проводящих средах можно написать

J E.

Величину называют у д е л ь н о й э л е к т р и ч е с к о й п р о в о д и м о - с т ь ю в е щ е с т в а.

Величину 1/ , обратную удельной проводимости, называют у д е л ь н ы м э л е к т р и ч е с к и м с о п р о т и в л е н и е м в е щ е с т в а.

Следовательно, связь между напряженностью электрического поля и плотностью тока может быть представлена в виде

E J.

Единицей удельного сопротивления является îì-ìåòð (Ом м). Действитель-

так как 1 В/А 1 Ом есть единица электрического сопротивления. Соответственно, единицей удельной проводимости является сименс на метр (Ñì/ì).

Возможность характеризовать проводящее вещество определенной величи- ной (или ) является результатом того, что в проводящем веществе средняя скорость заряженных частиц при заданной температуре, а следовательно,

38 Часть 1. Основные понятия и законы теории

и плотность тока остаются в постоянном электрическом поле постоянными, так как кинетическая энергия, приобретаемая этими частицами при ускорении их в электрическом поле, передается атомам вещества и переходит в тепловое движение.

Электрический ток в металлах представляет собой движение электронов проводимости. К проводящим веществам относятся также уголь и электролиты. В электролитах проводимость осуществляется положительными и отрицательными ионами.

Удельная проводимость и, соответственно, удельное сопротивление проводящих веществ зависят от температуры.

Рассмотрим другой вид электрического тока проводимости, именуемый электрическим т о к о м п е р е н о с а, под которым понимают явление переноса электрических зарядов движущимися в свободном пространстве заряженными частицами или телами. Ток переноса отличается от тока проводимости в проводниках тем, что его плотность не может быть представлена соотношением J E, где удельная проводимость есть определенная величина, характеризующая среду, проводящую ток. В случае свободного движения обладающих электриче- ским зарядом частиц или заряженных тел в электрическом поле их скорость не пропорциональна напряженности поля E. Действительно, сила, действующая на частицу с зарядом q в электрическом поле, равна qE. Ускорение такой частицы пропорционально напряженности поля. Соответственно, движение ее в свободном пространстве будет равноускоренным, так как отсутствует сопротивление среды.

Важным видом электрического тока переноса является движение в пустоте элементарных частиц, обладающих зарядом. Не менее важным видом электриче- ского тока переноса является электрический ток в газах. Выразим плотность тока переноса через среднюю объемную плотность заряда движущихся частиц и их скорость v. С этой целью выделим в пространстве прямоугольный параллелепипед, имеющий объем dl ds (рис. 1.13). Пусть ребро dl параллельно вектору скорости.

Заряд внутри параллелепипеда dq dl ds. Весь этот заряд пройдет через поверхность ds за такой промежуток времени dt, в течение которого элементарные заряженные частицы проходят путь dl. Этот промежуток времени определяется условием dl v dt. Следовательно, ток сквозь поверхность ds равен di dq/dt v ds, и для плотности тока имеем J di/ds v. При движении частиц с отрицательным зарядом ( < 0) условное положительное направление тока противоположно направлению движения, и между абсолютными значениями J è v существует соотношение J – v. Оба соотношения для любого знака объединяются в векторной форме:

J v.

При > 0 векторы J è v совпадают по направлению. При < 0 они противоположны.

Если одновременно имеет место движение положительно заряженных частиц со скоростью v+ при объемной плотности зарядов + и движение отрицательно

заряженных частиц со скоростью v– при объемной плотности зарядов –, то плотность тока переноса

Jïåð +v+ + –v– .

Рассмотрим теперь третий вид электрического тока, называемый т о к о м э л е к т р и ч е с к о г о с м е щ е н и я. С этим видом тока приходится считаться при переменном электрическом поле в диэлектрике.

При всяком изменении электрического поля во времени изменяется поляризованность P диэлектрика. При этом в веществе диэлектрика движутся элементарные частицы с электрическими зарядами, входящие в состав атомов и молекул вещества. Этот вид электрического тока в диэлектрике называют э л е к т р и ч е с к и м т о к о м п о л я р и з а ц и и. Так как в диэлектрике заряженные частицы не являются свободными и могут смещаться под действием электрического поля, то ток поляризации называют также электрическим током смещения, причем он составляет, как будет отмечено, дальше, только часть общего тока смещения в диэлектрике. Нетрудно связать плотность J этого тока с изменением поляризованности P вещества.

В § 1.5 величина P была выражена через электрический заряд dQ , перенесенный связанными заряженными частицами, сместившимися в веществе диэлектрика в процессе установления электрического поля, сквозь элемент поверхности ds, нормальный к направлению смещения частиц, в виде P dQ /ds. Если элемент поверхности ds ориентирован по отношению к направлению смещения заряженных частиц произвольно, то, соответственно, будет Pn dQ /ds, ãäå Pn — составляющая вектора P, нормальная к элементу поверхности ds.

При изменении величины P во времени сквозь элемент поверхности ds будет

щая вектора плотности тока J . Таким образом,

J dPn . n dt

Так как расположение элемента поверхности ds может быть выбрано произвольно, то приходим к выводу, что составляющая вектора плотности тока J по какому-либо направлению равна производной по времени от составляющей вектора поляризованности вещества P по этому направлению. В частности, имеем

Вектор плотности тока

J i dPdtx j dPdty k dPdtz dtd iPx jPy kPz ,

ãäå i, j, k — единичные векторы по осям 0X, 0Y è 0Z.

40 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Òàê êàê iPx + jPy + kPz P, òî

J dP/dt.

Итак, рассматриваемая часть вектора плотности тока смещения равна производной вектора поляризованности вещества по времени.

Выше было отмечено, что ток смещения и, соответственно, плотность тока смещения J , обязанные своим появлением изменению поляризованности вещества, составляют только часть всего тока смещения и, следовательно, плотности тока смещения в диэлектрике. Действительно, вектор электрического смещения D в диэлектрике имеет две составляющие, D0 è P:

D D0 + P,

ãäå D0 0E. При изменении электрического поля изменяются обе составляющие; таким образом,

dD dD0 dP . dt dt dt

Вторая составляющая в последнем выражении, как только что было установлено, есть вектор плотности тока J смещения, обязанного своим появлением движению обладающих зарядами элементарных частиц в веществе диэлектрика. Очевидно, и первая составляющая имеет физическую размерность плотности тока. Она характеризует физический процесс в самом электрическом поле при его изменении во времени. Область пространства, рассматриваемого как форма существования материи в виде поля, т. е. область, в которой отсутствуют известные нам частицы материи, ранее была названа пустотой. Следовательно, первую составляющую можно назвать п л о т н о с т ь ю т о к а с м е щ е н и я в п у с т о - те, обозначим ее

Таким образом, вектор плотности всего тока смещения в диэлектрике, кото-

Производную вектора электрического смещения D по времени следует понимать в векторном смысле. Если в точке A вектор смещения изменяется не только по величине, но и по направлению (рис. 1.14), то вектор плотности тока Jñì уже не будет совпадать по направлению с вектором смещения. Направление вектора Jñì есть направление, к которому стремится приращение D вектора смещения D, происходящее за промежуток времени t, когда t 0. На рис. 1.15 и 1.16 приведены частные случаи, когда D меняется только по величине или только по направлению.

Для составляющих вектора плотности тока смещения имеем во всех случаях выражения

При переменном поле ток смещения, принципиально говоря, существует не только в диэлектриках, но также и в полупроводящих и проводящих веществах. Действительно, под действием внешнего поля молекулы этих веществ должны поляризоваться так же, как и молекулы диэлектрика, и, кроме того, должно возникать смещение в пустоте. В полупроводящих веществах с токами смещения приходится считаться только при достаточно высоких частотах изменения электрического поля. В проводящих же веществах токи смещения ничтожно малы по сравнению с токами проводимости даже при весьма высоких частотах. С другой стороны, в изолирующем веществе наряду с токами смещения обычно существуют токи проводимости, хотя они весьма малы по сравнению с первыми уже при низких частотах.

В отношении первой составляющей J0 вектора плотности тока смещения, т. е. плотности тока смещения в пустоте, наглядная интерпретация при современном состоянии науки не может быть дана, так как мы еще не имеем сколь-нибудь детального представления о внутреннем строении электромагнитного поля, о тех внутренних процессах, которые в нем совершаются. Однако, даже не имея для первой составляющей J0 плотности тока смещения представления столь же наглядного, как для второй его составляющей J, можно высказать чрезвычайно важное предположение, а именно: следует ожидать, что важнейшее проявление электрического тока — появление связанного с ним магнитного поля — будет одинаковым для обеих составляющих. Опыт полностью подтверждает такое предположение.

Эти идеи впервые были высказаны Максвеллом и привели к созданию им теории электромагнитного поля. Действительно, согласно этим идеям, при всяком изменении электрического поля, даже в предположении отсутствия в нем частиц вещества (P 0), должно возникать в том же пространстве связанное с электрическим полем магнитное поле, т. е. образуется единое электромагнитное поле. Эти важные представления будут нами развиты подробнее в дальнейшем.

Âсвете сказанного ранее количественно полный электрический ток, или полный ток, есть скалярная величина, равная сумме тока проводимости и тока смещения сквозь рассматриваемую поверхность, т. е.

idqdt dtd s D0 d s.

Âэтом выражении в q входят и заряды свободных носителей, и суммарный связанный заряд, проходящий сквозь поверхность при поляризации вещества. Второй член в выражении для тока представляет собой ток смещения в пустоте,

42 Часть 1. Основные понятия и законы теории

являющийся скалярной величиной и равный производной по времени от потока электрического смещения сквозь рассматриваемую поверхность.

1.7. Принцип непрерывности электрического тока

Вообразим в диэлектрике замкнутую поверхность s (рис. 1.17) и представим, что заряжается тело A, расположенное внутри этой поверхности. При увеличении заряда q тела усиливается окружающее его электрическое поле и возрастает электрическое смещение в диэлектрике. Поэтому сквозь поверхность s изнутри наружу протекает ток смещения. Поток вектора смещения сквозь поверхность s равен свободному заряду q, заключенному внутри поверхности:

D d s q.

s

Возьмем производную от этого равенства по времени. Получим:

есть ток смещения сквозь поверхность s изнутри наружу.

Величина dq/dt есть скорость нарастания свободного заряда, заключенного внутри поверхности s. Увеличение свободного положительного заряда в объеме пространства, ограниченного поверхностью s, возможно только путем переноса положительных зарядов из внешнего пространства внутрь объема или отрицательных зарядов — в обратном направлении.

Этот перенос может быть осуществлен либо при токе проводимости iïð в проводниках, пересекающих поверхность s, либо при токе переноса iïåð, когда заряды переносятся сквозь поверхность на заряженных телах или движущимися в пространстве заряженными частицами. Если dq/dt > 0, то положительные

заряды переносятся из внешнего пространства внутрь объема, ограниченного поверхностью s, а следовательно, сумма токов (iïð + iïåð) будет отрицательна, так как положительной считаем внешнюю нормаль. Таким образом,

Следовательно, сумма токов всех родов — проводимости, переноса и смещения — сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.