Теоретические основы электротехники-1

ственно отметить, что и в квантовой теории формальное рассмотрение магнитного поля, обусловленного магнитными моментами электронов, приводит к некоторому общему выражению для плотности электрических токов.

Таким образом, имеются все основания понятием «элементарные токи в веществе» охватывать все явления, приводящие к намагниченности вещества, и в этом широком смысле сохранять утверждение, что во всех без исключения слу- чаях магнитное поле связано с электрическими токами.

1.15. Закон полного тока

В соответствии с определением напряженности магнитного поля, данным в предыдущем параграфе, линейный интеграл напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равен электрическому току, охватываемому этим контуром,

ò.е. току сквозь поверхность s, ограниченную этим контуром:

Hdl i.

Âобщем случае, когда ток i распределен по поверхности s с плотностью , различной в разных точках поверхности, имеем соотношение

Hdl ds i.

s

Например, если контур интегрирования охватывает часть сечения проводника с током (рис. 1.44), то в правой части уравнения должна быть учтена только та часть тока в проводнике, которая охватывается контуром интегрирования.

Согласно Максвеллу, в правой части уравнения Hdl i ïîä

Линейный интеграл напряженности магнитного поля вдоль некоторого контура называют м а г н и т о д в и ж у щ е й с и л о й (МДС) вдоль этого контура. Магнитодвижущую силу принято обозначать буквой F.

Используя термин «магнитодвижущая сила», закон полного тока можно выразить следующим образом: магнитодвижущая сила вдоль замкнутого контура равна полному току, охватываемому этим контуром.

Уравнение Hdl i при отмеченной широкой трактовке его правой части ста

новится одним из основных уравнений электромагнитного поля. Действительно, предположим, что токи проводимости и переноса отсутству-

ют и имеются только токи смещения. Но токи смещения в диэлектрике возникают только при изменении во времени электрического поля. Следовательно, уравнение

Hdl i

74 Часть 1. Основные понятия и законы теории

свидетельствует, что при всяком изменении во времени электрического поля возникает в том же пространстве поле магнитное, тесным образом связанное с электрическим полем и с его изменениями и, по сути, представляющее с ним единое электромагнитное поле.

Заметим, что понятие «магнитодвижущая сила» может быть применено и к отрезку линии от точки A до точки B. Ïðè ýòîì

B

FAB Hdl.

A

Пользуясь понятием «магнитодвижущая сила», можно придать следующий смысл величине, которую называем напряженностью магнитного поля. Напряженность поля оказывается численно равной магнитодвижущей силе, приходящейся на единицу длины в направлении линии напряженности поля:

H dF/dl.

Отсюда видно, что единицей напряженности магнитного поля является ампер на метр (À/ì).

Из изложенного в предыдущем параграфе следует, что единицей намагниченности вещества также является ампер на метр (À/ì).

1.16. Основные уравнения электромагнитного поля

Весьма важно при построении любого раздела физики положить в его основу минимальное необходимое число соотношений, принимаемых как опытные факты, рассматриваемых с соответствующими их обобщениями в качестве аксиом. Остальные соотношения должны выводиться из них как следствия, т. е. являться теоремами.

Выше в основу положены, как вытекающие из опыта и соответствующих его обобщений, максвеллов постулат, принцип непрерывности магнитного потока, закон электромагнитной индукции и закон полного тока.

На основании опытного закона Кулона и вытекающей из него для однородной и изотропной среды и электростатического поля теоремы Гаусса, обобщенной затем для любой среды и для любого изменяющегося во времени электриче- ского поля, получили постулат Максвелла:

Dds q,

s

связывающий электрическое поле с электрическими зарядами частиц или тел. Опытный факт непрерывности линий магнитной индукции, непосредственно проверяемый всюду, где это достижимо в магнитном поле, окружающем электрические токи, обобщенный на основе современных физических представлений об элементарных токах в веществе и о магнитных моментах элементарных частиц вещества для магнитного поля внутри любого твердого тела, где непосредственный эксперимент невозможен, сформулирован нами в качестве фунда-

ментального принципа непрерывности магнитного потока:

Bds 0.

s

Следовательно, энергия системы заряженных тел равна полусумме произведений потенциалов тел на их заряды.

Единицей энергии является джоуль (Äæ).

В весьма важном частном случае для заряженного конденсатора имеем два

заряженных тела с зарядами q1 è q2, равными по значению и противоположными по знаку. Приняв q q1 – q2, получаем выражение для энергии заряженного конденсатора:

Обозначая разность потенциалов U1 è U2 обкладок через u и пользуясь соотношением q Cu, ãäå C — емкость конденсатора, получаем

uq Cu2 q2

Wý 2 2 2C .

Покажем, что энергию электрически заряженных тел следует рассматривать как распределенную в электрическом поле, окружающем заряженные тела, что соответствует взгляду на электромагнитное поле как на особый вид материи. Предположив это, мы должны считать, что каждый элемент объема диэлектрика является носителем определенного запаса энергии, и следует говорить об объемной плотности энергии в каждой точке поля. Обозначая объемную плотность энергии электрического поля через Wý , можем выразить энергию системы заряженных тел как энергию всего окружающего их электрического поля в виде интеграла:

Wý Wý dV ,

V

распространенного по всему электрическому полю.

Рассмотрим сначала простейший случай — однородное поле. Таким является поле в средней части между параллельными пластинами (рис. 2.1). Выделим из обеих пластин противоположные друг другу части с по-

верхностями s. Пусть заряды, расположенные на этих частях пластин, равны: q1 – q2 q. Соответствующая им энергия имеет выражение Wý uq/2, причем u — разность потенциалов пластин. Так как поле однородно, то u Ed, ãäå d — расстояние между пластинами. Поток электрического смещения сквозь любую поверхность s, проведенную в диэлек-

78 Часть 1. Основные понятия и законы теории

трике между пластинами параллельно поверхностям пластин и рассекающую все трубки смещения, начинающиеся на заряде q1 q, равен этому заряду (см. § 1.5). Ввиду однородности поля имеем Ds q. Следовательно,

Wý 21 DEsd 21 DEV ,

ãäå V sd — объем диэлектрика, в котором сосредоточено поле зарядов q1 è q2. Энергия, отнесенная к единице объема поля, получается равной

Энергия всего поля, таким образом, может быть представлена в виде интеграла:

E 2

Wý V 2 dV .

Полученное выражение для объемной плотности энергии электрического поля справедливо лишь для изотропной среды, в которой векторы Å è D совпадают по направлению. Покажем, что для анизотропной среды объемная плотность энергии равна

ED2 ,

ãäå ED ED cos есть скалярное произведение векторов Å è D, составляющих друг с другом угол . Соответственно, энергия всего поля может быть представлена выражением

Wý ds dl 21 DE cos ds dl,

ãäå ds — нормальное сечение трубки. Интегрируя вдоль всей трубки и вспоминая, что поток смещения Dds одинаков во всех поперечных сечениях трубки и равен заряду dq на конце трубки (см. § 1.5), получаем

так как интеграл E cos dl равен разности потенциалов на концах трубки.

l

80 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Предположим, что внутреннее сопротивление источника энергии равно нулю или же что оно учтено в сопротивлении цепи. В таком случае ЭДС ek источника, подключенного к зажимам цепи, равна напряжению uk, и работа источника энергии, совершаемая за время dt,

uk ik dt ik2 rk dt ik d k .

Первое слагаемое представляет собой энергию, теряемую в проводниках цепи в связи с необратимым процессом выделения теплоты.

Второе слагаемое представляет собой часть работы источника, связанную с изменением потокосцепления k. Эта часть работы нас непосредственно и будет интересовать. Обозначим ее

ik d k dAk .

Пусть в рассматриваемой системе цепей имеется n отдельных контуров. Полная работа всех источников энергии, затрачиваемая ими в связи с изменением потокосцеплений во всех n контурах системы от нуля до конечного значения, имеет выражение

Предположим, что магнитная проницаемость среды не зависит от напряженности поля и что токи устанавливаются весьма медленно. При этом в среде, окружающей проводники электрических цепей, не совершается никаких необратимых процессов. Все контуры будем считать геометрически неизменяемыми и неподвижными. Следовательно, в системе не совершается механической работы по перемещению контуров. При таких условиях можем утверждать на основании закона сохранения энергии, что вся работа À идет на создание запаса магнитной энергии Wì в системе электрических цепей, т. е. À Wì.

При бесконечно медленном установлении токов магнитное поле, окружающее контуры с токами, может рассматриваться в каждый отдельный момент времени как постоянное поле. Поэтому токи в контурах и потоки, с ними сцепляющиеся, связаны между собой собственными и взаимными индуктивностями, определяемыми при постоянных токах. Эти индуктивности зависят только от геометрических координат системы и от значения магнитной проницаемости.

Поскольку принято, что величина не зависит от напряженности поля, можно пользоваться принципом наложения и рассматривать потокосцепление k ñ k-м контуром как сумму потокосцепления самоиндукции, определяемого током в этом же контуре, и потокосцеплений взаимной индукции, определяемых токами в остальных контурах:

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что работа À не зависит от порядка установления токов. Иначе всегда можно было бы выбрать

такой порядок установления токов и отличный от него такой порядок уменьшения токов вновь до нуля, чтобы энергия, затраченная внешними источниками, была меньше энергии, им возвращенной, что явилось бы нарушением закона сохранения энергии. Поэтому имеем право выбрать порядок установления токов по своему усмотрению. Интегрирование в выражении для работы À проще всего выполнить, если принять, что все токи возрастают пропорционально друг другу, т. е. ip kpik, ãäå kp const. При этом выражение для потокосцепления можно привести к виду

ãäå

p n

p k è mk Lk M kp kp const.

p 1

Следовательно, энергия системы контуров с токами равна полусумме произведений токов в контурах на потокосцепления контуров.

Подставим в полученное нами выражение для энергии Wì выражения потокосцеплений k через токи в контурах и собственные и взаимные индуктивности контуров. Замечая, что Mkp Mpk, получим

Таким образом, энергия системы контуров с токами есть квадратичная функция токов в контурах.

Равенство Mkp Mpk является выражением принципа взаимности для рассматриваемого случая. Справедливость равенства Mkp Mpk можно показать, рассматривая два контура. Устанавливая сначала ток i1, а затем ток i2, получим выражение для энергии L1i12 2 L2 i22 2 M12 i1i2 . Устанавливая ток i2, а затем ток i1, получим L1i12 2 L2 i22 2 M 21i1i2 . Так как энергия магнитного поля контуров не зависит от порядка установления токов, то M12 M21.

Энергию системы токов представляем распределенной в магнитном поле этих токов. Согласно этому, энергию системы токов всегда можно выразить в виде объемного интеграла:

Wì Wì dV ,

V