Теоретические основы электротехники-1

64 Часть 1. Основные понятия и законы теории

тах, где переменные магнитные поля особенно сильны. Эта неопределенность становится практически ощутимой при очень высоких частотах и при весьма больших токах в цепи. В таких случаях можно говорить только о напряжении между двумя точками цепи вдоль определенного заданного пути.

Как ранее было показано, линейный интеграл напряженности электрического поля совершенно не зависит от выбора пути между точками A è B в электростатическом поле и электрическом поле постоянных токов, протекающих в неподвижных проводниках, если путь интегрирования не проходит через источники ЭДС. В таких полях ЭДС в любом замкнутом контуре, не проходящем через источники ЭДС, равна нулю. Такие поля могут быть полностью охарактеризованы скалярным электрическим потенциалом, т. е. являются п о т е н ц и а л ь - н ы м и полями. По отношению к ним применим термин «разность потенциалов в точках A è B».

Таким образом, понятие «разность потенциалов», применимое только к потенциальным полям или соответственно к потенциальным составляющим результирующего поля, имеет более узкий смысл, чем понятие «напряжение», применимое к любым электрическим полям.

Разность электрических потенциалов двух точек равна линейному интегралу напряженности потенциального (электростатического и стационарного) электрического поля от одной данной точки до другой.

Для потенциального поля понятия «напряжение между точками A è B» и «разность потенциалов в точках A è B», по существу, совпадают.

Рассмотрим несколько подробнее только что высказанные общие положения на конкретном примере цепи, изображенной на рис. 1.35.

Если бы ток в этой цепи был постоянным, то электрическое поле было бы стационарным и потенциальным, т. е. при этом можно было бы написать

E Eñòàö èëè E Eïîò.

Это электрическое поле связано с зарядами на поверхности проводов и в данном случае является результатом падения напряжения в сопротивлении цепи.

Электрическое напряжение между точками A è B в этом случае, как только что было отмечено, не зависит от выбора пути, и напряжение вдоль любого замкнутого контура равно нулю: Edl 0. Последнее согласуется с тем, что ЭДС в

любом заданном контуре e – d!/dt в таком поле равна нулю, так как ! const. Если ток в проводах цепи станет изменяться во времени, то физически это приведет к изменению электромагнитного поля около проводов. В этом переменном поле напряжение между точками A è B в каждый момент времени зависит от выбора пути между этими точками. При этом формально можно результирующее электрическое поле рассматривать как наложение двух полей — стационарного (потенциального) электрического поля, так же, как при постоянном токе, связанного с зарядами на поверхности проводов, и индуцированного (так называемого в и х р е в о г о) электрического поля, вызванного изменяю-

щимся магнитным полем, и соответственно имеем

E Eñòàö + Eèíä èëè E Eïîò + Eâèõð.

Для стационарного (потенциального) поля для любого замкнутого контура

E ñòàö dl 0.

Для индуцированного (вихревого) поля

и для результирующего поля

E dl E ñòàö + E èíä dl ddt! 0.

При принятом определении понятия «электродвижущая сила» только вели- чина E èíä dl рассматривается как электродвижущая сила. Ее можно предста-

вить как сумму ЭДС на отдельных участках контура, например (см. рис. 1.35) в виде

Пользуясь принятыми определениями понятий «напряжение» и «электродвижущая сила», для замкнутого контура имеем

ò. å. напряжение вдоль замкнутого контура равно ЭДС, индуцируемой в этом контуре. Это получается всегда, так как E ñòàö dl 0. Для отдельных же участков

контура напряжение и ЭДС на участке не равны друг другу, например

òàê êàê

E ñòàö dl 0.

AmB

Если рассматривать некоторый замкнутый контур электрической цепи, то в нем, помимо ЭДС eèíä, индуцируемых изменяющимся во времени магнитным потоком, могут действовать также сторонние ЭДС eñòîð, например электрохими- ческого или контактного происхождения. При этом вместо уравнения (*) будем иметь

E dl E èíä dl E ñòîð dl.

1.13.Связь магнитного поля с электрическим током

Магнитное поле во всех без исключения случаях связано с электрическим током. Электрический ток и его магнитное поле всегда существуют одновременно и, по сути дела, являются лишь разными характеристиками единого физического процесса. В настоящем параграфе поставим перед собой задачу установить связь между ними.

66 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Рассмотрим проводящий контур произвольной формы, по которому протекает электрический ток i (рис. 1.36). Вокруг него существует магнитное поле. Предположим, что контур находится в пустоте.

Составим линейный интеграл магнитной индукции вдоль некоторого замкнутого контура, охватывающего контур с током и изображенного на рисунке штриховой линией. Назовем этот контур контуром интегрирования. Опыт показывает, что независимо от формы контура интегрирования интеграл магнитной индукции вдоль него пропорционален току, охватываемому этим контуром, т. е. имеет место равенство

B cos dl Bdl = 0 i.

Величину 0 назовем м а г н и т н о й п о с т о я н н о й. Она имеет физическую размерность, связанную с размерностью электрической постоянной 0. Действительно, левая часть равенства имеет следующую размерность:

Учитывая размерность электрического тока [i] [q/t], получаем размерность магнитной постоянной:

Следовательно, размерность 0 равна размерности величины, обратной произведению электрической постоянной 0 на квадрат скорости. Числовое значе- ние величины 0 зависит от выбора системы единиц. Единицей магнитной постоянной в системе СИ является генри на метр (Гн/м). Действительно, из приведенной связи между интегралом магнитной индукции по замкнутому кон-

есть единица индуктивности — генри. В этой системе единиц при рациональной форме уравнений магнитная постоянная имеет значение

0 4 10 7 1257, 10 6 Ãí / ì. Справедливость равенства

Bdl = 0 i

может быть проверена следующим опытом.

Возьмем тонкую гибкую ленту из изолирующего материала. Обовьем эту ленту равномерно по всей ее длине тонкой проволокой (рис. 1.37). Пусть w1 — число витков обмотки на единицу длины ленты, s — сечение ленты, нормальное к ее оси, и dl — элемент длины ленты. Магнитный поток сквозь сечение ленты

! Bds. Ввиду малости сечения ленты можно считать

! B cos s. Потокосцепление с витками на отрезке dl ленты

d !w1dl B cos sw1dl. Потокосцепление со всеми витками обмотки ленты на всей ее длине

sw1 B cos dl.

Таким образом, измеряя потокосцепление и зная величины s è w1, получаем возможность измерить интеграл B cos dl вдоль оси ленты. Описанную ленту

для краткости будем называть м а г н и т н ы м п о я с о м. Потокосцепление при постоянном токе i можно измерить с помощью баллистического гальванометра, выключая ток или размыкая ленту и быстро удаляя ее за пределы поля. При переменном токе амплитуду потока можно определить, измеряя амплитуду ЭДС, индуцируемой в обмотке ленты.

Производя опыты с магнитным поясом, убеждаемся, что интеграл Bdl ïî

замкнутому контуру, охватывающему контур с током i, не зависит от формы контура интегрирования и пропорционален току i. Заметим при этом, что если положительное направление обхода контура интегрирования связано с положительным направлением тока i правилом правого винта, то Bdl è i получаются

одного знака. Если контур интегрирования не охватывает тока, то интеграл Bdl

вдоль него равен нулю независимо от формы контура интегрирования. Соотношение Bdl = 0 i выражает неразрывную связь магнитного поля и то-

ка. Действительно, если совместить в магнитном поле контур интегрирования с любой линией магнитной индукции, которая всегда замкнута, и выбрать направление обхода вдоль контура интегрирования в направлении вектора B, то будем иметь Bdl > 0 и, следовательно, i > 0. Таким образом, каждая линия маг-

нитной индукции обязательно охватывает собой электрический ток. Соответственно, электрический ток всегда окружен магнитным полем.

Магнитное поле является основным признаком существования электриче- ского тока. О существовании электрического тока можно судить по различным признакам, например по тепловому или по электрохимическому действию тока. Однако эти проявления тока имеют место лишь при надлежащих условиях, маг-

68 Часть 1. Основные понятия и законы теории

нитное же поле неизменно сопутствует электрическому току. В отдельных слу- чаях можно судить о наличии электрического тока только по его магнитному полю. Таким примером является ток в сверхпроводящем контуре, протекающий без заметного выделения теплоты.

Обобщим соотношение Bdl = 0 i на более сложные контуры. Пусть имеется

несколько контуров с электрическими токами, которые охватываются контуром интегрирования (рис. 1.38). Всегда можно при помощи дополнительных линий разделить этот контур интегрирования на несколько контуров, охватывающих каждый только один ток. Так, изображенный на рис. 1.38 контур ambncpa, охватывающий три тока, можно линиями ad, bd è cd разделить на контуры ambda, bncdb è cpadc, охватывающие каждый по одному току. Имеем

Сложим эти равенства. При этом составляющие интегралов вдоль линий ad, bd è cd попарно скомпенсируются и в левой части останется интеграл вдоль контура ambncpa. Получаем

Bdl = 0 i1 i2 i3 .

ambncpa

Правая часть уравнения представляет собой сумму всех токов, проходящих сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования. На рис. 1.39 эта поверхность заштрихована и обозначена через s. Положительными мы должны считать токи, направленные в сторону поступательного движения правого винта, головка которого вращается в направлении выбранного положительного обхода контура интегрирования, так как при этом направление линий магнитной индукции поля тока совпадает с положительным направлением обхода контура интегрирования. В случае, изображенном на рис. 1.39, токи i1 è i3 положительны, а ток i2 отрицателен.

Может оказаться, что условные положительные направления токов в электри- ческих контурах заданы независимо от выбора положительного направления обхода контура интегрирования. В этом случае в правой части перед алгебраиче- ским выражением каждого тока должен быть поставлен знак плюс или минус в зависимости от того, соответствуют или не соответствуют правилу правого винта условные положительные направления тока и обхода контура интегрирования.

Рассмотрим важный частный случай, когда имеется катушка, состоящая из w витков, по которым протекает ток i, и контур интегрирования охватывает все витки катушки (рис. 1.40). Сумма токов, проходящих сквозь поверхность s, ограниченную контуром интегрирования, при этом равна wi. Следовательно,

Bdl = 0wi.

1.14.Намагниченность вещества

и напряженность магнитного поля

В предыдущем параграфе был рассмотрен случай, когда магнитное поле контуров с токами существует в пустоте. Опыт показывает, что если те же контуры с теми же токами окружить веществом или хотя бы в части пространства около них расположить тела из того или иного вещества, то магнитное поле в большей или меньшей мере изменяется. Это изменение поля является следствием возникновения в самом веществе под действием внешнего магнитного поля определенной ориентации элементарных внутримолекулярных и внутриатомных электрических токов.

Элементарные токи существуют внутри всякого вещества и при отсутствии внешнего поля. Мы представляем себе эти токи как движение электронов по орбитам внутри атомов вещества и как вращение электронов вокруг своих осей. К понятию «элементарный электрический ток» здесь относим и еще не изученное внутреннее движение в элементарных частицах, которое приводит к появлению магнитных моментов этих частиц, о чем будет сказано в конце этого параграфа. Если элементарные токи внутри вещества ориентированы хаотически, то при макроскопическом рассмотрении явления они не создают магнитного поля. Однако если под действием внешнего поля, в которое вносится вещество, появляется в известной мере согласованная ориентация элементарных токов, то они создают свое дополнительное магнитное поле, которое, налагаясь на внешнее поле, изменяет его.

Существуют вещества, в которых элементарные токи под действием внешнего поля располагаются так, что происходит усиление поля. К ним относятся так называемые п а р а м а г н и т н ы е и ф е р р о м а г н и т н ы е в е щ е с т в а. Существует другая группа веществ, называемых д и а м а г н и т н ы м и, в которых под действием внешнего магнитного поля возникают такие дополнительные элементарные токи, которые ослабляют вызвавшее их поле.

Рассмотрим катушку с током i, имеющую w витков, в которую внесено тело из какого-либо вещества (рис. 1.41).

Составим линейный интеграл магнитной индукции вдоль замкнутого контура AmCnA, охватывающего все витки катушки. Часть AmC контура интегрирования расположена внутри тела и часть CnA — в пустоте.

Под действием магнитного поля, вызванного током i в катушке, тело намагничивается, т. е. элементарные токи в веществе тела ориентируются в известной мере между собой согласованно и создают свое магнитное поле. Сумма элементарных токов, охватывающих

70 Часть 1. Основные понятия и законы теории

линию AmC, будет отличаться от нуля. Обозначим эту сумму через i . Будем иметь:

B dl = 0wi 0 i' .

Пусть di — сумма элементарных токов, охватывающих отрезок dl линии AmC. Величина di /dl представляет собой охватывающий линию AmC элементарный ток, отнесенный к единице длины этой линии в данной ее точке M. Естественно, что величина di /dl зависит от направления линии AmC, т. е. от направления отрезка dl в рассматриваемой точке M. При некотором определенном направлении, которое обозначим единичным вектором n0, величина di /dl имеет наибольшее значение. Обозначим отрезок dl в этом направлении через dn и введем векторную величину

di'

M dn n0 ,

которую назовем н а м а г н и ч е н н о с т ь ю в е щ е с т в а.

Намагниченность вещества по значению численно равна сумме элементарных токов, охватывающих единицу длины линии, проведенной через данную точку в таком направлении, чтобы эта сумма была наибольшей. Направление вектора M и есть такое направление. Оно связано с направлением элементарных токов правилом правого винта. Для произвольного направления отрезка dl имеем

didl' M cos ,

где — угол между направлением вектора M и положительным направлением касательной T к линии AmC в рассматриваемой точке M. Таким образом, сумма элементарных токов, охватывающих всю линию AmC, имеет значение

Так как на участке CnA замкнутого контура интегрирования (см. рис. 1.41) нет элементарных токов, то

M dl M dl i' .

AmCnA AmC

Èòàê,

Bdl = 0wi 0 i' = 0wi 0 M dl

èëè

Векторную величину, стоящую в скобках под знаком интеграла, обознача- ют H и называют н а п р я ж е н н о с т ь ю м а г н и т н о г о п о л я. Имеем

HB M.

0

Для изотропного вещества M H è B 0 (1 + ) H H, где — магнитная восприимчивость, а — магнитная проницаемость вещества. В частном случае для пустоты M 0 è B 0H.

Вводя обозначение H в выражение под знаком интеграла, получаем

Hdl wi.

Приведенное определение напряженности магнитного поля для общего слу- чая ценно именно потому, что при этом интеграл напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого контура определяется только макроскопическими токами, протекающими в проводниках, охватываемых контуром интегрирования. Наличие элементарных токов в веществе не влияет на значение интеграла напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура.

Определив напряженность во всех точках магнитного поля, можно провести ряд линий, обладающих тем свойством, что во всех точках этих линий направление касательных к ним совпадает с направлением вектора H. Такие линии называют л и н и я м и н а п р я ж е н н о с т и м а г н и т н о г о п о л я. Их изображают на рисунках со стрелками, указывающими направление вектора H.

Намагниченности вещества M можно дать еще другое определение, связанное с понятием о м а г н и т н о м м о м е н т е э л е м е н - т а р н о г о т о к а. Магнитным моментом m0 элементарного тока i0 называют произведение величины i0 на площадь поверхности s0, охватываемой этим током. Магнитный момент есть векторная величина. Направление вектора m0 (рис. 1.42) принимают вдоль перпендикуляра к площадке s0 и связывают с направлением тока i0 правилом правого винта. Таким образом,

m0 i0s0,

ãäå s0 — вектор, по величине численно равный s0 и имеющий указанное направление.

Выделим внутри намагниченного вещества цилиндр длиной l с основанием s (рис. 1.43) и предположим, что вещество в объеме цилиндра намагничено в макроскопическом смысле однородно. Пусть m — геометрическая сумма магнитных моментов m0 всех элементарных токов в объеме цилиндра. Векторную величину m называют м а г н и т н ы м м о м е н т о м д а н н о г о о б ъ е м а в е щ е с т в а.

Предположим, что цилиндр выделен так, что вектор m направлен по его оси. Все элементарные токи в объеме цилиндра можно заменить одним эквивалент-

ным током i , обтекающим поверхность цилиндра (рис. 1.43), выбрав величи-

0

íó i так, чтобы сохранить значение магнитного момента m, т. е. приняв

0

i s m.

0

Такой выбор необходимо сделать потому, что магнитное поле элементарных токов полностью определяется их магнитными моментами.

72 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Проведем линию AB, проходящую по оси цилиндра. На длине l цилиндра эту

Если вещество намагничено неоднородно, то необходимо перейти к пределу

ãäå m — магнитный момент объема V вещества.

Таким образом, намагниченность вещества в данной точке равна пределу отношения магнитного момента некоторого объема вещества, содержащего данную точку, к этому объему, когда последний стремится к нулю.

Выше было отмечено, что к понятию «элементарный ток» мы отнесли и еще не изученное внутреннее движение в элементарных частицах, которое приводит к появлению их магнитных моментов. Магнитный момент электрона имеет определенное значение, т. е. имеет квантовый характер. Электрон обладает также определенным моментом количества движения. Магнитный момент и момент количества движения электрона можно рассматривать как проявление вращения (спина) электрона вокруг его оси. Действительно, круговое движение элементов заряда электрона около его оси представляет собой замкнутый круговой элементарный ток, который, как всякий электрический ток, окружен связанным с ним магнитным полем. Однако такое простое представление не дает возможности согласовать между собой значения магнитного момента и момента количества движения электрона с возможными значениями радиуса и угловой скорости вращения электрона. Магнитным моментом обладают также и элементарные частицы, не имеющие электрического заряда, например нейтрон.

Таким образом, приходится признать, что магнитные моменты элементарных частиц являются результатом более сложных внутренних процессов в этих частицах, определяющих природу и основные свойства частиц. Однако здесь совершенно естественно продолжить те логические рассуждения, которые привели в свое время к отказу от представления о реальном существовании магнитных масс, подобных электрическим зарядам. То обстоятельство, что магнитное поле было обнаружено около проводников с макроскопическими электрическими токами, а не только около намагниченных тел, дало основание предположить, что и для намагниченных тел магнитное поле обусловливается также электрическими токами, существующими внутри вещества тела в форме элементарных (молекулярных) замкнутых токов.

В то время, когда Ампером впервые было высказано это предположение, еще не было развито представление об электромагнитном строении атомов и молекул вещества. Продолжая это рассуждение, в настоящее время можно предположить, что и магнитный момент элементарных частиц также является результатом некоторого сложного внутреннего движения в этих частицах, имеющего характер замкнутых электрических токов, но это движение значительно более сложно, чем простое вращение электрона как целого вокруг своей оси. Суще-