Теоретические основы электротехники-1

Ïðè 1 > 2 сила направлена в сторону перемещения поверхности, т. е. в направлении среды с меньшим значением диэлектрической проницаемости. Как видно, сила f численно равна разности объемных плотностей энергии электрического поля по обе стороны поверхности S раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями.

6. Так как емкость двухслойного конденсатора выражается формулой

то силы, действующие на единицы площади пластин, примыкающих к диэлектрику с проницаемостью 1, 2, равны:

Давление на границу раздела находим, используя решение предыдущей задачи:

Сопоставление выражений для f1, f2 è fã позволяет записать соотношение между ними: f2 f1 = fã .

7. Так как емкость конденсатора определяется выражением

ãäå l0 —длина конденсатора в направлении, нормальном плоскости рисунка (см. рис. В2.4), то искомое давление

13. Электромагнитную силу рассчитаем двумя способами. Сила, действующая на ближнюю к проводу параллельную ему сторону f1 Bai +aii /2 d, так что полная сила, стремящаяся переместить рамку, равна

что приводит к полученному выше выражению. Подставляя численные значе- ния, получаем f 1,3 10 4 Í.

394 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Для заданных численных значений получаем: à) при магнитной проницаемости вещества провода, равной +, fr –8 10–3 Í, fR 1,2 10–3 Í, á) при магнитной проницаемости вещества провода, равной 500 +, fr –8 10–3 Í, fR 3,26 10–2 Í.

Òàê êàê ñèëà fR положительна, то под ее действием виток стремится увеличить радиус R. Обобщенная сила fr отрицательна, поэтому на провод витка действуют также сжимающие его силы.

16. Сжимающую проводник электромагнитную силу, действующую на едини-

H — напряженность магнитного поля на поверхности проводника, ðàâíàÿ i/2 R.

17. Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида является однородным напряженностью H iwl iw . Магнитный поток, проходящий через сече-

щуюся изменить радиус R соленоида, находим по формуле

fdWdRì , ãäå Wì Li22 21 0 w 2R2i2; f 0 w 2Ri2.

21.Действующие на поверхности сердечника в зазоре электромагнитные силы

можно рассчитать с помощью выражения f s 0,5 0 H 2 , ãäå H — напряженность магнитного поля, являющаяся функцией положения точки в зазоре. Учитывая

малость зазора ( << 2 Rñð), считаем, что напряженность магнитного поля зависит только от радиальной координаты r точки. Так как по условию следует найти электромагнитную силу при r Rñð, то рассчитаем напряженность магнитного поля в зазоре при r Rñð. Учитывая, что напряженность магнитного поля H в зазоре и в сердечнике Hc связаны соотношением Hc r 1H , и записывая уравнение

H d l iw для кругового контура радиусом R, охватывающего обмотку, получа- ем: Hc(2 Rñð – ) + H iw, откуда находим величины

Подставляя заданные численные значения, получаем f 1,1 104 Í/ì2.

ЗАДАЧИ

1. Магнитное поле в воздухе сохранится тем же при замене ферромагнитного тела на среду с магнитной проницаемостью 0 и размещении воображаемого прямолинейного весьма длинного немагнитного провода с током того же направления и вели- чины, что и заданный, в точке À (ðèñ. Ð2.4)

Искомая электромагнитная сила, действующая на единицу дли-

3. Разместим начало прямоугольной системы координат в центре пластины, направив оси x, y, z как указано на рис. Р2.5.

Магнитное поле тока пластины характеризуется единственной составляющей Hy(z) напряженности, равной, в соответствии с законом полного тока,

Hy 8 Jz ïðè | z | 4 d,

| fz | JBy 0 J 2z. Полная сила, сжимающая объем V 2d x y пластины, рав-

d

íà Fz 2 fz dz 0 J 2 d 2. При переходе к бесконечно

0

тонкой пластине имеем lim J d j, так что сжимаю-

d 0

J

щая пластину электромагнитная сила, приходящаяся на единицу ее поверхности x y равна Fz 0 j2.

Электромагнитная сила, действующая на единицу длины Rd2 контура, направлена при указанных направлениях токов i è i1 по радиусу от центра контура и равна

dFr 2 (R d R cos 2) .

5. Однородное магнитное поле с индукцией B 0 jcm , созданное током статора, 2

имеет в области 0 < r < Rñ радиальную составляющую Br 0 jcm sin . Êàñà-

2

396 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Mâð 2 ft Rp d 0 Rp jpm jcm sin 2 .

0

Как видно, наибольший вращающий момент достигается при 2 2, наименьший

ïðè 2 2.

Ïðè 2 0, вращающий момент обращается в нуль.

6. Магнитное поле в воздухе не изменится, если, устранив идеальную ферромагнитную среду, перейти к однородной с магнитной проницаемостью 0, разместив дополнительно к заданному три провода с токами, направления которых указаны на рис. Р2.7. Дей-

ствующая на провод электромагнитная сила f Bli, с учетом того, что магнитная индукция в месте расположения заданного провода

равна

3.1. Элементы электрических цепей

ВОПРОСЫ

2.При допущении о том, что можно пренебречь ЭДС, индуцированной в контурах измерительной цепи переменным магнитным потоком, создаваемым переменным током цепи, в которой производят измерения.

3.Конденсаторы не содержат, как известно, ферромагнитных элементов, служащих для усиления магнитного поля. Конденсаторы не являются также многовитковыми устройствами. В рабочей зоне конденсаторов, т. е. там, где концентрируется электрическое поле, ток протекает между его пластинами. Поэтому влияние индуктивности конденсаторов как элементов электрической цепи на их свойства незначительно.

Принципиальным является наличие индуктивности у любого конденсатора вследствие существования между обкладками магнитного поля, связанного с электри- ческим током. При некоторых условиях индуктивность конденсаторов оказывает влияние на свойства содержащих их цепей. В этих случаях применяют специально разработанные малоиндуктивные конденсаторы.

4.В линейных элементах цепи магнитный поток всегда изменяется пропорционально изменению вызывающего его тока, поэтому их отношение, определяющее индуктивность, не зависит от времени.

5.Да, можно.

7. При уменьшении тока катушки действительное направление напряжения на ней должно быть направлено в сторону, противоположную току катушки. Этот результат мы и получаем при формальном нахождении напряжения на катушке,

равного uL Ldtdi. Òàê êàê dtdi< 0, òî è uL < 0, т. е. действительное направление ве-

личины противоположно условно принятому.

УПРАЖНЕНИЯ

2. При низких частотах протекающего по катушке индуктивности тока сопротивление провода, а также межвитковая емкость не оказывают большого влияния на ее параметры. С увеличением частоты тока возрастает как сопротивление провода (вследствие явления поверхностного эффекта), так и влияние межвитковой емкости, так что схема эквивалентной катушке электрической цепи должна содержать резистор и конденсатор (рис. Р3.1).

4.Если контур представляет собой окружность, то он охватывает наибольший магнитный поток и, следовательно, имеет наибольшую индуктивность. Индуктивность минимальна, если площадь образованного проводом контура наименьшая, как показано, например, на рис. Р3.2.

5.Индуктивность резистора значительно уменьшится, если выполнить намотку двойным проводом, для чего необходимо сложить провод вдвое и обмотать вокруг каркаса как показано на рисунке. В этом случае в соседних точках провода ток течет в противоположных направлениях. В соответствии с законом полного тока магнитный поток, создаваемый током двойного провода (рис. Р3.3), весьма мал и резистор с такой намоткой характеризуется малой индуктивностью.

7. Используя выражение Wì 0,5 Li2, можем найти индуктивность L отрезка кабеля длиной l: L 2Wì/i2,, для чего рассчитаем энергию магнитного поля отрезка кабеля.

Так как магнитное поле вне кабеля отсутствует, то искомую энергию поля полу- чаем, вычисляя интеграл (см. рис. Р3.4)

Wì lr2 2H 2 2 rdr

0

398 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

и учитывая, что напряженность H магнитного поля описывается различными выражениями при 0 < r < r1 è ïðè r1 < r < r2:

i2 l 0 i2 l ln r2 .

16 4 r1

индуктивности (сравните с результатом, полученным в § 3.5), приводят к одинаковому выражению для расчета индуктивности L.

3.2. Источники в электрических цепях

ВОПРОСЫ

4.Пересечение с осью ординат соответствует режиму холостого хода, а с осью абсцисс — режиму короткого замыкания.

5.Рассмотрим простейший из способов определения

внутреннего сопротивления источника.

Таким образом можно выполнить измерения в режиме холостого хода источ- ника (ключ Ê разомкнут) и в режиме короткого замыкания (ключ Ê замкнут и r 0).

Резистор с известным сопротивлением r0 включаем для ограничения тока через амперметр и токовую обмотку ваттметра.

7.Алгебраическая сумма ЭДС ek, входящая в левую часть уравнения второго закона Кирхгофа, записанного для контура, состоящего только из идеальных источ- ников ЭДС, равна сумме падений напряжений на пассивных элементах контура, то есть нулю в рассматриваемом случае. Таким образом, величина одного из источников ЭДС может быть выражена через величины остальных источников.

8.Рассуждение, аналогичное приведенному в ответе на предыдущий вопрос, справедливо и в рассматриваемом случае для уравнения первого закона Кирхго-

фа, записанного для узла, к которому подходят только ветви, содержащие источ- ники тока. Следовательно, алгебраическая сумма величин источников тока должна быть равной нулю.

принимает значение 0,5. При rïð величина > стремится к своему наибольшему значению 1.

3.3. Топологические понятия схемы электрической цепи

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть граф имеет N узлов, тогда к каждому из них подходит по N – 1 ветви, следовательно общее число ветвей равно m N (N – 1)/2.

3.4. Законы Кирхгофа

ВОПРОСЫ

3. Необходимо определить напряжения на всех ветвях кроме ветви с идеальным источники тока и далее найти напряжения на ветви источника тока из уравнения второго закона Кирхгофа, записанного для любого контура, проходящего по этому источнику и ветвям, напряжения на которых известны.

3.5. Топологические матрицы

УПРАЖНЕНИЯ

3. Элементы матрицы А могут быть равны либо нулю, либо 81. Кроме того, в каждом столбце матрицы А должны быть один или два ненулевых элемента. Если в столбце два ненулевых элемента, то они должны иметь противоположные знаки. Таким образом, в матрице А, представленной в упражнении 3, содержится не менее шести ошибок.

3.6. Уравнения электрических цепей

УПРАЖНЕНИЯ

1. Преимущества включения в граф цепи последовательно включенных ветвей заключается в том, что в результате решения системы уравнений Кирхгофа, составленной по этому графу, будут определены напряжения этих ветвей. В слу- чае, если последовательно соединенные ветви рассматриваются как одна ветвь

402 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

тора. Далее строим векторы U L2 , U r 2 , U 2 U 3 , IC3 , I1 I 2 I 3 , U C1, U U 1 U 2 . На векторной диаграмме показан угол сдвига по фазе напряжения на входе це-

пи и тока в неразветвленном участке. При принятых параметрах элементов цепи (длинах векторов) угол оказался положительным, однако при других соотношениях длин векторов он может быть и другим. Векторную диаграмму, при построении которой параметры элементов цепи могут выбираться произвольными, называют качественной.

14. Задача имеет несколько решений. Цепь не может содержать только резисторы, но если они и есть в цепи, то их количество не может быть больше одного. Напряжение на четырех реактивных элементах равно нулю (рис. Р4.5) при

0L1 0L2 1/0C1 1/0C2.

15. Схема одной из такиõ öåïåé и ее векторная диаграмма изображены на рис. Р4.6. Угол между векторами U rC è U L составляет 120Μ.

Как видно из векторной диаграммы, углы между векторами I 2 è I, I è U , U è I 3 равны 30Μ, так что получаем

I 2 I cos 30Μ 23 3,46 A; I 3 sin 30Μ 2 A; P UI cos 30Μ 4003 693Âò.

4.3. Ток в цепи с последовательным и параллельным соединением элементов r, L, C

ВОПРОСЫ

1. Варианты: à — íåò; á — äà, ïðè UL UC ; â — íåò; ã — да, при этом также UL UC.

4. Если умножить обе части равенства z r + x íà òîê I, то получаем Iz Ir + IxUà + Uð, ãäå Uà, Uð — активная и реактивная составляющие действующего зна- чения напряжения U Iz. Так как напряжения uà, uð сдвинуты по фазе на 90o,