Теоретические основы электротехники-1

Индуцируемая в контуре ЭДС достигает наибольшей амплитуды, если его стороны сдвинуты на угол , т. е. когда провода контура опираются на диаметр статора. ЭДС минимальна при 0. При размещении проводов контура в пазах статора индуцируемая в нем ЭДС сохраняется той же, так как сцепленный с ним магнитный поток, как и скорость его изменения сохраняются теми же.

1.7. Индуктивность и взаимная индуктивность

ВОПРОСЫ

2.Если две катушки с индуктивностями L1 è L2 не связаны взаимноиндуктивно, то при их последовательном соединении получаем L L1 + L2. При наличии взаимной индукции и последовательном соединении катушек значение L может

быть как больше, так и меньше значения L1 + L2, что определяется знаком взаимной индуктивности.

3.Если катушка намотана проводом из немагнитного материала, то ее индуктивность не зависит от тока. При использовании провода из ферромагнитного материала индуктивность катушки зависит от протекающего по ней тока.

4.В условии ненасыщенного состояния материала сердечника его магнитная проницаемость велика, магнитный поток, сцепленный с катушкой, также велик и индуктивность катушки оказывается большей, чем при насыщении материала сердечника, когда его магнитная проницаемость уменьшается.

5.Чем плотнее уложены витки (шаг намотки при этом мал), тем больше индуктивность катушки, так как линии магнитной индукции тока любого витка сцепляются с большим числом витков при их плотной укладке.

7. Внесение сердечника из проводящего немагнитного материала в окно катушки с постоянным током не изменяет ее индуктивности, так как сцепленный с ней магнитный поток при этом не изменяется. Если ток катушки переменный, то ее индуктивность при внесении такого сердечника уменьшится, так как индуцируемые в нем токи ослабляют магнитное поле катушки. Этот эффект проявляется резче при увеличении частоты изменения тока и удельной электрической проводимости вещества сердечника.

9. Магнитный поток, сцепленный с отрезком соленоида длиной l, равен

11. При совмещении двух одинаковых контуров поток самоиндукции каждого контура равен потоку взаимной индукции, в связи с чем наибольшее значение взаимной индуктивности получается равным индуктивности каждого из конту-

ров. В этом случае величина k M , называемая коэффициентом связи, при-

L1L2

нимает наибольшее значение, равное 1.

384 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

УПРАЖНЕНИЯ

6. Допущение о бесконечно малом сечении провода с конечным током приводит к бесконечно большой плотности тока провода и бесконечно большой напряженности магнитного поля на его оси. Действительно, вблизи бесконечно тонкого провода напряженность магнитного поля пропорциональна величине 1/R, стремящейся к бесконечности при r 0. Магнитный поток, сцепленный с бесконечно тонким проводом с током i, обращается также в бесконечность, так как

него предела интеграла (здесь l — элемент длины провода). Поэтому индуктивность проводов либо контуров, составленных из проводов с бесконечно малым сечением, не имеет смысла.

Рассматривая уединенный прямолинейный провод конечного сечения радиусом R, также можем придти к заключению, что его индуктивность не имеет смысла, так как выражающий сцепленный с проводом магнитный поток инте-

чески необоснованным допущением об отсутствии обратного тока и возможностью протекания тока только в одном направлении.

9. Ток в кольце будет изменяться так, чтобы сцепленный с кольцом в начальный момент времени магнитный поток сохранял свое значение постоянным. Например, при уменьшении внешнего магнитного поля по линейному закону B(t) B0 – B0 t/t0 (вариант ã) ток в кольце будет нарастать по закону i(t) kt (0 < t < t0 , k const).

11. При деформации кольца изменяется его индуктивность и, следовательно, должен изменяться ток i, так как сцепленный с кольцом магнитный поток ! Li сохраняет свое значение неизменным. Увеличению тока в 1,5 раза соответствует уменьшение индуктивности кольца также в 1,5 раза.

13. Так как виток сохраняет сцепленный первоначально с ним магнитный поток ! Li неизменным, то из уравнения Li1 Li 8 B0 S cos находим i1 i L–1B0 S cos .

При согласно направленных потоках ! è B0 S cos в последнем выражении сле-

386 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

так как интегралы вдоль путей bc è àd равны нулю. Охватываемый контуром abcd

à ïðè x > 0 B > By, то при движении вдоль оси õ и пересечении листа магнитная индукция претерпевает разрыв, причем ее изменение при õ 0 равно By 0 j. Лист с распределенным на нем током носит название поверхностного токового слоя или просто слоя тока.

8. Линейную плотность j тока находим из условия iw j2 R, ãäå w — число про-

9. Анализируя магнитное поле на линии 0, можем убедиться в том, что вектор Â магнитной индукции имеет единственную составляющую. Эта составляю-

Таким образом, при переходе через точку r R при 0 касательная к окружности r R составляющая магнитной индукции имеет скачок B Be – Bi 0 jm.

Для расчета магнитного потока, сцепленного с проводом, задаем ток i катушки и находим магнитный поток, замыкающийся по сердечнику:

Как видно, взаимная индуктивность

1.10. Намагниченность вещества и закон полного тока

ВОПРОСЫ

1. Справедливы неравенства Bi > B0, Hi < H0.

5.Значения интеграла l Bd l, вычисляемые вдоль этих путей, различны: вдоль контура, пересекающего тело, он равен 0 i 0 l M d l, тогда как вдоль контура, не пересекающего тело — l Bd l 0 i. В соответствии с законом полного тока значения интеграла l H d l, вычисляемого вдоль двух контуров, одинаковы.

6.В точках r > R напряженность магнитного поля H i2 r сохраняется неиз-

менной зависимо от того, охвачен ли провод с током i ферромагнитной трубой или нет. Таким образом, изолированный ферромагнитный цилиндр, охватывающий провод, не может служить экраном для магнитного поля. Во всех точках, не принадлежащих ферромагнитному цилиндру, магнитное поле не изменится, если цилиндр удалить.

7. Напряженность магнитного поля в среде, магнитная проницаемость которой принята бесконечно большой, обращается в нуль. При этом магнитная индукция принимает конечное значение и магнитный поток, проходящий внутри тела с бесконечно большой магнитной проницаемостью, будет конечным.

Удобное во многих приложениях допущение о бесконечной магнитной проницаемости вещества, упрощающее расчет поля, можно принять не всегда. Так, например, нельзя принять допущение о бесконечно большой проницаемости вещества трубчатого ферромагнитного цилиндра, соосного с прямолинейным проводом, с током (см. вопрос 6). В соответствии с законом полного тока напряженность магнитного поля в стенке трубы H i/2 R не равна нулю при любом значении магнитной проницаемости вещества трубы. Поэтому при допущенииполучаем бесконечно большими как магнитную индукцию в стенке трубы, так и магнитный поток в ней.

12. Нет, не следует. Это следует из закона электромагнитной индукции.

УПРАЖНЕНИЯ

3. Напряженность магнитного поля H iw/l сохраняется неизменной после введения сердечника, поэтому в сердечнике получаем магнитную индукцию Bñ Hiw/l и намагниченность Ì B/ 0 – H iw( / 0 – 1)/l. Обозначив сечения соленоида и сердечника через s0 è sñ , запишем индуктивность соленоида дли-

íîé l (см. ответ на вопрос 9, с. 383) L0 0w 2 s0/l , L1 0w 2 (s0 – sñ)/l + w2sñ /l . Из соотношения L1/L0 n получаем sñ/s0 (n – 1) ( / 0 – 1).

4. Так как стержень намагничен однородно, то его магнитный момент равен m MV, ãäå V sl Ξ объем стержня. Ток соленоида i0, эквивалентный элементарным токам намагниченного стержня, и создающий такой же магнитный момент,

MV

равен i0 s

линейная плотность j il0 постоянна. Во всех точках вне стержня магнитная

388 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

индукция тока i0 и намагниченного стержня совпадают. Также совпадают и напряженности их магнитных полей. В то же время в точках объема стержня и в соответствующих точках соленоида напряженность магнитного поля различна, тогда как магнитная индукция одинакова. Таким образом, поля вектора магнитной индукции намагниченного стержня и соленоида с током совпадают во всем пространстве, тогда как поля вектора напряженности магнитного поля совпадают только в точках вне стержня.

5. Представим намагниченный цилиндр в виде набора бесконечно длинных пластин прямоугольным сечением каждая (рис. Р1.10). Токи, эквивалентные каждой из однородно намагниченных пластин, протека-

ют по линиям a1b1, c1d1, а также a2b2, c2d2, a3b3, c3d3 и т. д. в направлениях, параллельных оси z цилиндра.

Токи и их линейные плотности связаны с намагни- ченностью M цилиндра соотношениями i1 ±M a1b1,

i2 8M a2b2, Π3 j1 8M, j2 8M и т. д. Уменьшая толщину каждой из пластин и переходя к пределу при

anbn 0, получим, что линейная плотность поверх-

ностного тока, распределенного по контуру сечения цилиндра, равна j 8Mt, ãäå Mt — касательная к контуру составляющая вектора намагниченности вещества цилиндра. При x > 0, имеем j +Mt > 0, à ïðè x < 0: j –Mt < 0.

Ïðè r > R поля векторов магнитной индукции (а также напряженности магнитного поля) намагниченного цилиндра и токов плотностью j 8Mt совпадают, однако, при r < R совпадают только поля вектора магнитной индукции, тогда как поля вектора напряженности магнитного поля различны.

6. Подобно решению предыдущей задачи разбиваем намагниченный шар на совокупность дисков толщинами a1b1, a2b2 и т. д., каждому из которых ставим в соответствие эквивалентный контур с током линейной плотностью j(2) M2(2), не зависящей от угла 2. Òàê êàê M2(2) M cos 2, òî j(2) M cos 2, если принять 2 /2 ïðè y R.

10. С учетом заданных условий можем утверждать, что линии напряженности магнитного поля внутри и вне пластины параллельны ее длинным сторонам и в принятой системе координат имеют единственную составляющую Hx. Для нахождения поля внутри пластины вычисляем интеграл H dl по контуру abcd

(ðèñ. Ð1.11): H dl H dl H dl 2H(y)bc. Здесь интегралы по отрезкам ab

bc da

è cd обращаются в нуль, так как в точках этих отрезков векторы H è dl взаимно перпендикулярны. Учитывая, что ток сквозь сечение, ограниченное контуром abcd, равен J 2ybc, находим: H(y) J y iy/ h, ãäå J — плотность тока в пластине. Для нахождения напряженности магнитного поля в точках вне пластины выбираем контур ÀÂÑD и, выполняя аналогичные преобразования, получаем выражение H J /2 i/2h. Таким образом, магнитное поле изменяется по линейному закону внутри пластины и сохраняется постоянным вне ее.

Ðèñ. Ð1.11 Ðèñ. Ð1.12 Ðèñ. Ð1.13

16. Напряженность магнитного поля принимает наибольшие значения в точках окружности r Ri, а наименьшие — в точках окружности r Re (рис. Р1.12, Р1.13). Учитывая, что на каждой из окружностей в силу симметрии напряженность магнитного поля постоянна, из уравнения H dl iw получаем:

Hi iw/2 Ri, He iw/2 Re.

2.1. Энергия системы заряженных тел. Энергия контуров с токами

ВОПРОСЫ

3.При сближении тел возрастает емкость между ними, в связи с чем при постоянстве разности их потенциалов энергия электрического поля, равная 0,5Cu2, также возрастает.

4.Энергия электрического поля, равная 0,5q1U1 + 0,5q2U2 возрастает, так как потенциалы тел при их сближении увеличиваются.

6. Емкость между проводами увеличивается, в связи с чем увеличивается и энергия электрического поля линии.

9. Электрические поля вне шаров совпадают, однако внутри их они различны: внутри проводящего шара оно отсутствует, тогда как внутри шара с распределенным зарядом оно отлично от нуля. Поэтому энергия электрического поля объемно заряженного шара превышает энергию электрического поля проводящего шара на величину, равную

15. Одна из причин более широкого распространения машин, использующих магнитные, а не электрические поля, заключается в том, что плотность энергии

390 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

9. Средние значения магнитной индукции в продольном B| | и поперечном B7 направлениях равны

трического поля в конденсаторе равна 0,5CU 2, получаем искомое отношение, которое оказывается равным 1 и сохраняется постоянным при изменении величин C èëè r. Это отношение показывает, что коэффициент полезного действия работы источника при зарядке конденсатора равен 0,5, так как ровно половина поступающей от источника энергии преобразуется в тепловую и безвозвратно теряется в резисторе.

12. Магнитное поле при r < R однородное с индукцией

B 0 jm (см. упр. 9, c. 386). Трубка магнитной индук- 2

ции, имеющая координату x (рис. Р2.1), охватывает

2

не весь ток обмотки i jm Rcos d 2 jm R, à ëèøü

2

392 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

увеличении емкости, что происходит при малом перемещении границы раздела слоев в сторону слоя с меньшей диэлектрической проницаемостью. Таким образом, сила направлена в сторону слоя с диэлектрической проницаемостью 9 < .

7. Направление действия силы при подключенном к конденсатору источнике сохранится то же.

10. Под действием электромагнитной силы виток деформируется так, что увели- чивается охватываемая им площадь. Таким образом, контур стремится принять форму круга.

14.Электромагнитная сила на виток со стороны тока провода не действует, так как в любой точке витка направления векторов магнитной индукции, созданной током провода, и плотности тока витка совпадают.

15.При расположении частиц вдоль линии напряжен-

ности поля (рис. Р2.3) вид поля между частицами и с их внешних сторон различен: поле имеет большую напряженность в области между частицами, в этой же области неоднородность поля увеличивается. Поэтому действующие на частицы механические силы притягивают частицы друг к другу. При произвольном относительно линии напряженности поля начальном расположении частиц они будут стремиться занять положение, указанное на рисунке.

17. Òîêè i1, i2 соленоидов должны создавать внутри соленоида с меньшим радиусом магнитные поля противоположных направлений. Тогда при i1w1 – i2w2 i2w2

магнитные индукции при 0 < r < R1 è R1 < r < R2 равны и направлены в противоположные стороны, так что соленоид радиусом R1 не испытывает действие электромагнитной силы.

УПРАЖНЕНИЯ

5. При малом перемещении dg поверхности S, происходящее под действием силы f, энергия электрического поля изменяется на величину

ãäå D1 D2 D, при условии, что электрическое поле создается электрическими зарядами, сохраняющими постоянное значение при перемещении dg поверхности S.

Таким образом,

è ñèëà f , действующая на единицу поверхности, равна