§5. корені n-го степеня

У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невід’ємного числа. У даному параграфі узагальнимо це поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1.

1. Степеневі функції з натуральними показниками

Раніше ми розглядали функцію у = х2. Її аргумен- том є основа степеня, значення функції при кожно- му значенні аргументу є другим степенем аргумен-

ту. Таку функцію називають степеневою. Показник степеня у даному випадку дорівнює 2. Можна розглядати степеневі функції з показниками, відмінними від 2.

тобто має справджуватись рівність 17 = 24 + а. Звідси одержимо а = 1. Отже, маємо функцію у = x4 + 1.

2) Графік функції у = x4 + 1 можна одержати із графіка функції у = x4 паралельним перенесенням його на 1 одиницю у додатному напрямі осі ординат (рис. 91, а).

3) Необхідно встановити, у скількох точках функція набуває значення 2. Перетнемо графік функції прямою у = 2. Графік перетинається у двох точках (рис. 91, б). Отже, рівняння x4 + 1 = 2 має два корені.

Рівняння x4 + 1 = –2 коренів не має, бо графік функції у = x4 + 1 не перетинається прямою у = –2 (рис. 91, в). 

Багато залежностей між величинами описуються за допомогою степеневих функцій з натуральними показниками.Наприклад,об’ємкубаV єстепеневою функцією від довжини його ребра а: V = а3; об’єм

кулі V є кубічною функцією її радіуса R: V (R) = 43 πR3 ; п’ятий член

геометричної прогресії є степеневою функцією від знаменника q: b5 = b1 q4.

!В останніх двох прикладах залежність має вигляд: y = axn, де х — аргумент, п — натуральне число, а — дея-

ке дійсне число. Такі функції зазвичай теж називають степеневими, як і функції виду y = a(x – b)n.

Розглянемо декілька задач на застосування степеневих функ- цій.

Приклад 2. Вкладник поклав на свій рахунок до банку 1000 грн. Банк нараховує щорічно за схемою складних відсотків р%. Знайти залежність розміру внеску через три роки S3 від р.

 Згідно з формулою складних відсотків, маємо:

багатьох задач, що зводяться до знаходження коренів рівняння хп = а. Наприклад, знаходження сторони куба х за його об’ємом V зводиться до розв’язання рівняння х3 = V.

Коренем n-го степеня (n N, n > 1) з числа а назива-

ється число, n-ий степінь якого дорівнює а.

Так, коренем четвертого степеня з числа 256 є число 4, а також –4, бо 44 = (–4)4 = 256; коренем п’ятого степеня з числа 243 є число

3, оскільки 35 = 243.

Число 5 є коренем третього степеня з числа 125, оскільки 53 = 125, і коренем четвертого степеня з числа 625, бо 54 = 625.

Корінь третього степеня називають ще кубічним коренем. Мабуть, це пов’язано з тим, що об’єм V куба за його стороною х об- числюється за формулою V = х3. Довжина сторони куба є кубічним коренем з його об’єму.

Операцію знаходження кореня п-го степеня з числа а назива-

ють добуванням кореня п-го степеня з числа а. Корінь п-го степеня визначено лише для натуральних п ≥ 2.

!Зрозуміло, що кореня парного степеня з від’ємного чис- ла не існує, бо парний степінь будь-якого дійсного чис- ла є додатним числом.

Так само при довільному парному показнику кореня, що дорівнює 2k, знаком 2k a ми позначили невід’ємний корінь 2k-го степеня з числа а. Тому 2k a2k = a .

Справді, число |a| є невід’ємним і його 2k-ий степінь дорівнює а2k. У цій формулі не можна випускати знак модуля, інакше для від’ємних значень а одержимо неправильні результати. Так,

4 (−1)4 = 4 1 =1. Якщо ж скористатися зазначеною формулою і випус- титизнакмодуля,одержимопомилковийрезультат 4 (−1)4 = −1 .

Згідно з наведеними вище формулами, маємо: 6 x6 + 5 x5 =

=|x| + x. Якщо х ≥ 0, то |x| = x і |x| + x = x + x = 2x. Якщо ж х < 0, то

|x| = –x і |x| + x = –x + x = 0. 

Відповідь. 2х, якщо х ≥ 0; 0, якщо х < 0.

99 Контрольні запитання

1°. Чи правильно, що число –3 є коренем четвертого степеня з числа 81?

2°. Чи правильно, що корінь четвертого степеня з числа 81 дорів- нює –3?

3°. Скільки існує коренів п’ятого степеня з числа –1024?

6(−2)3 ; 5 (−2)3 (−3)2 ; 4 (−2)3 (−3)2 ?

6.Відомо, що об’єм V кулі обчислюється за формулою V = 43 πR3 , де R — радіус кулі. Кубічним коренем з якого числа є радіус кулі,

якщо V = 4,5?

7.Чому дорівнює: а) 4 74 ; б) 6 (−7)6 ; в) 5 (−7)5 ?

8*. Між якими двома послідовними цілими числами міститься число 3 15?

3. Арифметичний корінь n-го степеня та його властивості

Вище зазначалось, якщо п — непарне число, то ви- раз n a має зміст при будь-якому значенні а; якщо

п— парне число, то вираз n a має зміст лише при

а≥ 0 і набуває тільки невід’ємного значення.

Вираз n a при а ≥ 0 має зміст як при парному п, так і при непар- ному п, і значення цього виразу є невід’ємним числом. Його назива- ютьарифметичнимкоренемп-гостепенязчислаа.Числоаназива-

ється підкореневим виразом, п — показником кореня.

Арифметичним коренем п-го степеня із невід’ємного числа а називають невід’ємне число, п-ий степінь якого дорівнює а.

Корінь непарного степеня із від’ємного числа можна виразити че- резарифметичнийкорінь.Наприклад, 3 −18 = −3 18 ,оскільки,згідно

з означенням, 3 −18 = −12 , −3 18 = −12 . Взагалі, при довільному до-

датному а і при непарному п справджується рівність n −a = −n a. Нам уже відомі властивості арифметичного квадратного коре-

ня. Аналогічні властивості має арифметичний корінь п-го степе- ня і при п ≥ 2.

В л а с т и в і с т ь 1. Якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, то n ab = n a n b.

Арифметичний корінь п-го степеня з добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку арифметичних коренів п-го степеня з цих чисел.

В л а с т и в і с т ь 2. Якщо а ≥ 0 і b > 0, то n ab = nn ab .

Арифметичнийкоріньп-гостепеняздробу,чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює арифметичному кореню п-го степеня із чисельника, поділеному на арифметичний корінь п-го степеня зі знаменника.

Аналізуючи останній приклад, можна висловити наступні при- пущення.

В л а с т и в і с т ь 3. Якщо а ≥ 0, то для натуральних n і k, більших від 1, справджується рівність n k a = nk a.

В л а с т и в і с т ь 4. Якщо а ≥ 0, то для натуральних n, m і k, n > 1, справджується рівність nk amk = n am .

Властивість 4 іноді називають головною властивістю кореня. Її можна сформулювати так:

якщо показник кореня і показник степеня підкорене- вого виразу помножити або поділити на те саме нату- ральне число, то значення кореня не зміниться.

Наприклад, 8 34 = 3; 8 36 = 4 33 .

Властивості 1–4 дають змогу вносити множник під знак ариф- метичного кореня і виносити множник з-під знака кореня.

Наприклад, розкладаючи підкореневий вираз числа 4 48 на прості множники і застосовуючи означення кореня і властивість

1, можна винести множник з-під знака кореня: 4 48 = 4 24 3 = = 4 24 4 3 = 24 3. Виконуючи ці перетворення у зворотному поряд- ку, можна внести множник під знак кореня: 23 3 = 3 23 3 3 = = 3 23 3 = 3 24.

Приклад 9. Спростити вираз:

1) 3 54 + 4 48 −33 2 −34 3; 2) 27 4 9; 3) 4 33 3.

 1) Виносячи множники з-під перших двох коренів, матимемо:

3 54 + 4 48 −33 2 −34 3 = 3 27 2 + 4 16 3 −33 2 −34 3 =

=3 27 3 2 + 4 16 4 3 −33 2 −34 3 = 33 2 + 24 3 −33 2 −34 3 = −4 3.

2)Скориставшись головною властивістю кореня і властивістю

1, одержимо: 27 4 9 = 27 4 32 = 27 3 = 27 3 = 81 = 9.

3) Внесемо множник 3 під знак арифметичного кореня третьо-

Відповідь. 1) −4 3;2) 9; 3) 3 3 .

Якщо потрібно перемножити або поділити корені з додатних чисел з однаковими показниками, то, згідно із властивостями 1 і 2, достатньо перемножити або поділити їхні підкореневі вирази і записати добуток або частку під знаком кореня з тим самим по- казником.

!Якщо ж показники коренів, що перемножуються або діляться, різні, то необхідно їх привести до спіль- ного показника. Це робиться на підставі головної властивості кореня, тобто кожний показник кореня множиться на підібраний додатковий множник од- ночасно з піднесенням підкореневого виразу до того самого степеня. За спільний показник слід взяти най- менше спільне кратне показників коренів, що пере- множуються або діляться.

Приклад 10. Подати вираз у вигляді кореня з деякого числа: 1) 3 2 4 5; 2) 36 39 .

 1) Оскільки множники є коренями різних степенів, то при- ведемо їх до спільного показника. Найменшим спільним кратним показників 3 і 4 є число 12. Показники коренів слід помножити на додаткові множники: 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3. Згідно з головною властивістю кореня, маємо:

3 2 4 5 = 3 4 24 4 3 53 = 12 24 12 53 .

Користуючись властивістю 1, перемножимо отримані корені з

однаковими показниками: 12 24 12 53 = 12 24 53 = 12 2000 .

2) Враховуючи те, що найменшим спільним кратним показни-

ків коренів, тобто чисел 3 і 6, є число 6, то, згідно із головною влас- тивістю кореня, матимемо:

Використовувати властивості 1–4 при перетворенні виразів з коренями слід дуже обережно, обов’язково перевіряючи виконання умов, за яких вони справ- джуються. У супротивному випадку можна одержа-

ти неправильний результат. Наприклад 4 a2 = a лише при а ≥ 0.

При від’ємних значеннях а ця рівність є неправильною. Щоб пе- реконатись у цьому, підставте, наприклад, а = –1, і подивіться, якого вигляду набуде права частина рівності.

Якщо а < 0, то для застосування властивості 4 необхідно спо- чатку перетворити корінь: 4 a2 = 4 (−a)2 . Оскільки – а > 0, то до

= 4 (−a)2 = −a.

Приклад 11. Винести множник з-під знака арифметичного кореня: 1) 4 6a13b6 (a > 0,b > 0); 2) 4 6a13b6 (a > 0,b < 0).

 1) 4 6a13b6 = 4 6a12 a b4 b2 = 4 a12 4 b4 4 6ab2 = a 3 b 4 6ab2 =

= a3b4 6ab2 , оскільки a > 0,b > 0.

2) 4 6a13b6 = 4 a12 4 b4 4 6ab2 = a 3 b 4 6ab2 = −a3b4 6ab2 , оскіль-

ки a > 0,b < 0. 

Відповідь. 1) a3b4 6ab2 ; 2) −a3b4 6ab2 .

Приклад 12. У виразі b4 a внести множник під знак кореня, якщо b < 0.

 Оскільки b < 0 і b = 4 b4 , то −b = 4 b4 . Таким чином, b4 a =

=−4 b4 4 a = −4 b4a , згідно із властивістю 2. 

Відповідь. −4 b4a .

99 Контрольні запитання

1°. Які з наступних чисел є арифметичними коренями відповід- ного степеня:

6.За яких значень букв, що входять до виразів, справджується рівність:

Задачі

82°.Вкажіть проміжки, на яких зростає і на яких спадає функція:

96 Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки

Вправи для повторення

100. Побудуйте графік функції:

101.Знайдіть множини значень функцій, заданих у задачі 100.

102.В яких точках графіки функцій, перелічених у задачі 100, перетинають осі координат?

Підсумок

Основні поняття

Головні твердження