§15. Властивості і графіки тригонометричних функцій

У цьому параграфі буде розглянуто властивості тригонометричних функцій, побудовано їхні графіки. Ðозглядатиметься специфічна властивість цих функцій — періодичність. Ïеріодичні функції описують різні ситуації (астрономічні явища, життєдіяльність організму тощо), які періодично повторюються. Ðозглядаються гармонічні коливання, які описуються періодичними функціями.

1. Періодичні функції

При введенні тригонометричних функцій аргумент позначався буквою t, оскільки букви х і у використовувались для позначення координат точки Pt . Те-

пер повернемось до звичних позначень: х — незалежна змінна, у — залежна змінна, тобто у = sin х, у = cos х, y = tg x.

Оскільки числам х, х ± 2π на тригонометричному колі відповідає одна й та сама точка Px , то мають місце рівності:

sin(x ± 2π) = sin x, cos(x ± 2π) = cos x .

Цю властивість функцій у = sin х і у = cos х називають періодичністю. Вона полягає у тому, що значення функції повторюються через рівні проміжки зміни аргументу. Точний зміст поняття періодичності функції міститься у наступному означенні.

Функція у = f(х) називається періодичною, якщо існує таке число T ≠ 0, що область визначення функції

разом з кожною точкою х містить точки х ± Т і при цьому виконується рівність f(х ± Т) = f(x). Число Т називається періодом функції.

!Звертаємо увагу на те, що рівність f(х ± Т) = f(x) має справджуватисьдлявсіхзначеньхізобластівизначення

функції. Для окремих функцій можна вказати числа, додавання яких до одного значення аргументу не змінює значення функції, водночас додавання до іншого значення аргументу — змінює. Такі числа не є періодами функції.

Функції у = sin х і у = cos х є періодичними з періодом 2π. Цей факт використовувався у § 14 при обчисленні значень синуса і косинуса.

Періодомтангенсаікотангенсаєчислоπ,щовипливаєзформул зведення: tg(t + π) = tg(t – π) = tg t.

Якщо число Т є періодом функції у = f(x), то числа 2Т, 3Т, … і взагалі пТ, п Z, п ≠ 0, також є її періодами. Справді, наприклад, f(х + 2Т) = f((x + Т) + Т) = f(х + Т) = f(х). Звідси випливає, що періодами функцій у = sin х і у = cos х є числа 4π, 6π, … , а періодами функцій у = tg х і у = ctg х є числа 2π, 3π, 4π … .

На графіку функції її періодичність з періодом Т відображається наступним чином.

Якщо графік періодичної функції з періодом Т паралельно перенести на Т одиниць уздовж осі абсцис у додатному чи від’ємному напрямах, то він перейде сам у себе.

На рис. 305 зображено графік періодичної функції з періодом l.

Для побудови графіка періодичної функції з періодом Т достатньо побудувати його на відрізку завдовжки Т (рис. 306), а потім

побудований графік паралельно перенести вздовж осі абсцис в обох напрямах на відстані Т, 2Т, 3Т і т. д. (рис. 307).

Стала функція, що визначена на всій числовій осі, є періодичною. Її період — будь-яке число, відмінне від нуля. Справді, для сталої функції у = с справджується очевидне співвідношення: у(х + Т) = с = у(х) для будь-якого дійсного х при будь-якому Т ≠ 0 (рис. 308).

Періодичними функціями описуються різні фізичні процеси: маліколиваннямаятника,обертанняпланетнавколоСонця,сила змінного струму тощо. Найпростішим приладом для ілюстрації періодичних процесів є годинник. Положення кінців стрілок повторюються через рівні проміжки часу. Для секундної стрілки цей проміжок складає 60 с, для хвилинної — 60 хв, для годинної —

12 год.

Ïðèê ëàä 1. Нехай функція y = f(x) є періодичною з періодом 3 і f(1) = 2. Чому дорівнює f(–8)?

 По-перше, зазначимо, що функція y = f(x) визначена при

х = –8, бо, за означенням періодичної функції, область визначення

даної функції разом з точкою х = 1 містить точки: 1 – 3 = –2, –2 – 3 =

= –5, –5 – 3 = –8. По-друге, f(–8) = f(–8 + 3) = f(–5) = f(–5 + 3) = f(–2) = = f(–2 + 3) = f(1) = 2.

Відповідь. 2.

Приклад 2. Довести, що періодом функції y = sin2x є число π.  Функція y = sin2x визначена на всій числовій осі. Тому її

область визначення разом з кожною точкою х містить точки х ± π. Підставимо замість х у вираз для цієї функції х + π:

sin (2(x + π))= sin (2x + 2π) = sin2x. Той самий результат одержи-

мо, якщо замість х у вираз для цієї функції підставити х – π. За означенням, число π є періодом функції y = sin2x .

З того, що кожній точці на тригонометричному колі відповідає безліч чисел, які відрізняються одне від одного на 2πk, k Z, випливає, що тригонометричні функції у = sin х і у = cos х для чисел х + 2πk при

всіх k Z набувають того самого значення: sin (х + 2πk) = sin х, cos(х + 2πk) = cos х, тобто періодами функцій у = sin х і у = cos х є числа 2πk, k ≠ 0, k Z. Усі ці періоди кратні 2π. Природно виникає запитання: «Чи існують інші додатні періоди цих функцій, менші від 2π?» Відповідь на нього дає наступне твердження.

Теорема 1. Найменшийдодатнийперіодфункційу=sin х і у = cos х дорівнює 2π.

ня функції, таке, що sin (x + π) ≠ sin x . Отже, найменшим додатним

періодом функції у = sin х є число 2π.

Доведення того, що 2π — найменший додатний період косинуса,

аналогічне.

Подібне твердження справджується для функцій у = tg х

і у = сtg х.

Теорема 2. Найменший додатний період функцій у = tg х і у = сtg х дорівнює π.

 Із формул зведення випливає, що числа πk, k Z, k ≠ 0, є періодами функцій у = tg х і у = ctg х. Оскільки tg х при

і тільки в цих точках, то не існує додатного числа, меншого від π,

яке б могло бути періодом тангенса. Отже, найменшим додатним періодом функції у = tg х є число π. Доведення того, що π — найменший додатний період котангенса, аналогічне. Рекомендуємо про-

вести його самостійно.

Найменший додатний період періодичної функції називають основним періодом цієї функції. Всі інші її періоди кратні основному періоду. Для функцій у = sinх і у = cos х основний період дорівнює 2π, а для функцій у = tg х і у = ctg х основний період дорівнює π. Найпростішим прикладом періодичної функції, яка не має основного періоду, є стала функція, визначена на всій числовій осі.

Ïðèê ëàä 3 . Знайти основний період функції у = sin 3х.

 Областю визначення даної функції є числова вісь. Числа

Відповідь. 23π .

Аналіз прикладу 3 підказує наступну властивість періодичних функцій і містить ідею її доведення.

Теорема 3. Якщо функція f є періодичною з основним періодом Т, то функція у = Af(kx + b) + l, де А, k ≠ 0, b, l —

деякі числа, також є періодичною, причому її основний період дорівнює Tk .

Результат розв’язання прикладу 3 узгоджується зі сформульованою властивістю: основний період функції у = sin 3х до-

рівнює 23π . Із цієї властивості випливає, що основні періоди функ-

цій y = sin 4x, y = cos x2 , y = tg 2x відповідно дорівнюють 24π = 2π ,

2π : 12 = 4π , 2π .

 Контрольні запитання

1°. Чи є правильним твердження: якщо періодична функція в якійсь точці набуває значення 1, то цього значення вона набуває у безлічі точок?

2°. Чи є число 3π періодом функції у = sin х? 3°. Чи є число 5π періодом функції у = tg х?

4.Який основний період має функція: a) sin 5х; б) cos 3x ; в) sin πх?

5.Чому дорівнює f(–9), якщо функція y = f(x) є періодичною з періодом 5 і f(1) = 0?

6*. Чи є функція y = cos x періодичною?

7.Чи може бути періодичною функція, яка зростає на всій області визначення?

2. Властивості та графіки функцій у = sin х і у = cos х

Розглянемо найпростіші властивості функцій у = sin х і у = cos х, користуючись означеннями синуса і косинуса, і побудуємо їхні графіки.

Властив³сть 1. Функції у = sin х і у = cos х визначені на

всій числовій осі.

 Справді, кожному дійсному числу х можна поставити у відповідність точку тригонометричного кола. Абсциса цієї точки є ко-

синусом числа х, а ордината – синусом числа х.

Властив³сть 2. Функції у = sin х і у = cos х — періодичні з найменшим додатним періодом 2π.

Цю властивість доведено у попередньому пункті.

Властив³сть 3. Нулями функції у = sin х є числа πn, n Z, а нулями функції у = cos х — числа 2π + πn,n Z.

тину з прямою х = t. Точка перетину належатиме графіку функції у = sin х, оскільки її ордината збігається з ординатою точки Pt і дорівнює sin t.

Побудувавши таким чином усі 4 точки графіка і сполучивши їх, враховуючи зростання і неперервність функції, неперервною

Оскільки, за формулами зведення, sin(2π −t) = −sint , тобто ординати точок t і 2π – t протилежні одна одній, то на проміжку

[π;2π] точки графіка функції у = sin х розміщуються симетрично до точок графіка з проміжку [0;π] відносно точки (π; 0) (рис. 313).

3)Графік функції у = sin 3х є результатом стиску графіка

у= sin х до осі ординат утричі (рис. 319).

Властив³сть 1. Функція у = tg х визначена при всіх дійсних значеннях х, крім x = 2π + πk, k Z , а функція у = сtg х

визначенапривсіх дійсних значеннях х, крім x = πk, k Z .

 Справді, функція у = tgx визначена при всіх значеннях х,

крім тих, при яких знаменник виразу tg х = sin x дорівнює нулю. cos x

А умову cos x = 0 якраз і задовольняють значення x = 2π + πk, k Z. Аналогічно доводиться друга частина властивості.

Властив³сть 2. Функції у = tg х і у = сtg х періодичні з найменшим додатним періодом π.

Цю властивість обґрунтовано у п. 1.

Властив³сть 3. Нулями функції у = tg х є числа πk, k Z, а нулями функції у = сtg х — числа x = π + πk, k Z .

Справді, нулі функції у = tg x збігаються2з нулями функції

у= sin х, а нулі функції у= ctg x – з нулями функції у = cos х (див.

п. 2).

у = tg х симетричний відносно початку координат. Так само доводиться ця властивість для функції у= ctg x.

280 Розділ 3. Тригонометричні Функції

Цю властивість обгрунтовано у § 14.

Властив³сть 6. Функція у = tg х зростає на проміжку

− π; π , а функція у = сtg х спадає на проміжку (0; π).

2 2

 Ця властивість випливає з означень тангенса і котангенса.

її графік, як і для функції у = sin х, у три етапи. На першому етапі

чити декілька точок графіка і з’єднати їх неперервною лінією. Як

графік симетрично відносно осі абсцис. На рис. 323 тангенсоїду

зображено тонкою лінією, зсунуту тангенсоїду — штриховою, графік функції у = ctg х — жирною.

В остаточному вигляді графік функції у = ctg х зображено на рис. 324.

Відповідь. 3π + πk, k Z.

Властивість 6 про монотонність функцій у = tg х і у = сtg х має просту геометричну інтерпретацію.

Якщо х зростає від – 2π до 2π , то tg х, тобто координата

точки Вх, яка є точкою перетину прямої OPx з лінією тангенсів, зростає від –∞ до +∞ (рис. 326). Інакше кажучи, якщо х = 0, то tg х = 0, а

колихнаближаєтьсядо 2π ,залишаючисьменшимвід 2π ,tgхзростає і може набувати як завгодно великих значень.

Аналогічно,згеометричногозмістукотангенсавипливає,щоколи хзростає від 0 до π, координата точки Сх на лінії котангенсів, яка є точкою перетину прямої OPx з лінією котангенсів і дорівнює

сtgх, спадає від +∞ до –∞ (рис. 327). Інакше кажучи, якщо х = 2π , то сtgх = 0, а коли х наближається до 0, залишаючись більшим

від 0, значення сtgх зростає і може набути як завгодно великих значень.

Обґрунтуємо властивість 7 про множину значень функцій у = tg х і у = сtg х.

 Доведемо, що довільне дійсне число а може бути значенням тангенса деякого числа. Розглянемо тригонометричне коло

і проведемо лінію тангенсів (рис. 328), по- значивши на ній точку В(1; а). Сполучимо точки О і В та позначимо літерою Р точку перетину прямої ОВ з колом. Точка Р від-

повідає деякому числу х, що належить

проміжку − π; π ,їїкоординати— (cosх;sinх).ТомуР В=tgx=а.

2 2 0

Аналогічно властивість доводиться для у = сtg х.

Властивість 8, тобто неперервність, зокрема, функції у = tg х, випливає з того, що якщо дві точки на тригонометричному колі зближуються (відстань між ними стає як завгодно малою), то відповідні точки на осі тангенсів також зближуються (рис. 329). Аналогічно обґрунтовується ця властивість для функції у = сtg х. Нагадаємо, що неперервна функція описує процеси, які відбуваються плавно, тобто коли досліджувана величина за малий

проміжок часу змінюється мало (див. § 4).

Застосуємо до графіків функцій у = tg х і у = сtg х перетворення

графіків функцій, які розглядались вище, а саме: паралельне пе-