§22. Перпендикуляр і похила

Теорема 1 (властивість перпендикуляра до площини).

Перпендикуляр, проведений з точки до площини, менший від усякої похилої, проведеної з цієї самої точки до даної площини.

Теорема 2 (властивість похилих і їхніх проекцій).

Похилі до площини, які проведені з однієї точки, рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні проекції. Якщо дано дві похилі, проведені з однієї точки до площини, то більша похила має більшу проекцію, і навпаки, більшій проекції відповідає більша похила.

Усі ці властивості можна вважати наслідками теореми Піфаго- ра. Їх легко можна проілюструвати прикладами з навколишнього середовища.

Вертикальна підпірка до стовпа з ліхтарем (рис. 461) менша від частини стовпа від землі до місця кріплення підпірки (перпен- дикуляр менший від похилої).

При запуску повітряного змія чим більше відмотаєш мотузки (рис. 462), тим далі будеш знаходитись від місця, над яким зна- ходиться змій (більшій похилій відповідає більша проекція).

Під час катання на каруселі (рис. 463) всі знаходяться на од- наковій відстані від стовпа, до якого кріпляться кабінки (рівні по- хилі мають рівні проекції).

Властивості перпендикуляра і похилої широко застосовують- ся в стереометрії для встановлення взаємного розміщення геоме- тричних фігур, вимірювання відстаней. Варто звернути увагу і на зручність користування термінологією, що сформувалась при цьо- му. Розглянемо узагальнення результатів прикладу 1 із § 21.

Задача 1. Довести, що ортогональна проекція вершини пра- вильної шестикутної піраміди на площину основи є центром кола, описаного навколо основи піраміди.

лежних сторін квадрата. За теоремою про три перпендикуляри (теорема­ 3), MN CD, тобто MN — перпендикуляр до прямої CD.

З прямокутного трикутника MPN маємо

MN = MP2 + PN2 = a2 + a2 = 2a. ■

!Порівняйте розв’язання прикладів 2 і 3. Що у них спільного, чим вони відрізняються?

У зв’язку зі значимістю теореми про три перпен- дикуляри (теорема 3) розглянемо докладніше її доведення. При цьому скористаємось способом, пов’язаним із використання її для встановлення

перпендикулярності прямих у просторі.

Дано: АР — проекція похилої АВ до площини α, l α, A l.

Довести: l AB l AP.

Доведення теореми складається з двох частин. Нехай спочат- ку похила АВ перпендикулярна до прямої l, що лежить у площині α (рис. 468, а). Доведемо, що її проекція АР також перпендикуляр-

Приклад 5. З точки М гіпотенузи прямокутного трикутни- ка ABC проведено перпендикуляр MN до площини трикутника. Провести через точку N пряму, перпендикулярну до прямої BC.

 Побудуємо рис. 471 за умовою прикладу. Скористаємось те- оремою про три перпендикуляри. Для цього з точки М проведемо перпендикуляр МK до прямої BC. Відрізок MK є проекцією похи- лої NK, тому він перпендикулярний до BC разом з MK.

Побудова. Через точку М проведемо пряму МK паралельно прямій АС (рис. 472), де K — точка її перетину з прямою BC. Пря- ма NK — шукана. ■

99 Контрольні запитання

1. На рис. 473 зображено дві похилі АВ і АС та їхні проекції РВ і РС на площину α. Яка з цих проекцій більша, якщо:

1) АВ = 6, АС = 4; 2) АВ = 5, АС = 7?

2. З вершини А прямокутника ABCD (AB < BC) проведено пер- пендикуляр AМ до його площини. Точку М з’єднано з точками

B, C, D (рис. 474).

1) Порівняйте довжини відрізків МА, МВ, МС, МD.

2) Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки М до прямої ВС?

3. З вершини С прямого кута прямокутного трикутника ABC проведено перпендикуляр CS до його площини (рис. 475).

1)Яка з похилих SA і SB більша, якщо кут А дорівнює 30°?

2)Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки S до прямої, яка проходить через точку В паралельно прямій АС?

4.Яку фігуру утворюють основи усіх рівних похилих, проведе- них до площини з однієї точки?

5.Пряма проходить через центр кола і перпендикулярна до його площини. Чи рівновіддалені точки прямої від точок кола?

6.Чи правильно, що пряма перпендикулярна до похилої на дея- ку площину, якщо вона перпендикулярна до її проекції на цю площину?

7.Чиправильно,щопряма,якаперпендикулярнадопохилоїнапло- щинуідоїїпроекціїнацюплощину,лежитьуційплощині?

8.Дві рівні похилі, проведені з різних точок до площини, мають рівні проекції на цю площину. Чи рівні кути вони утворюють з перпендикулярами, проведеними з цих точок до цієї площини?

9.Пряма перетинає площину. Чи завжди існує в цій площині пряма, перпендикулярна до цієї прямої?

10.Яку фігуру утворюють точки, рівновіддалені від: а) вершин трикутника; б) прямих, що містять сторони трикутника?

Графічні вправи

1. З центра симетрії О паралелограма ABCD проведено перпендикуляр ОS до його площини (рис. 476).

1)Порівняйте довжини похилих SA і SС.

2) За яких умов довжина похилої SD більша за довжину похилої SА?

3) Довжині якого відрізка дорівнює відстань від точки S до прямої, яка проходить через точку В паралельно прямій АС?

2. З вершини А прямокутного трикутника ABC з прямим кутом С проведено пер- пендикуляр AK до площини трикутни-

ка (рис. 477).

1) Довжина якого відрізка дорівнює від- стані від точки K до катета СВ?

2) Порівняйте довжини похилих KB

і KC.

Задачі

447°. З деякої точки простору проведено до даної площини пер- пендикуляр завдовжки 6 см і похилу завдовжки 9 см. Зна- йдіть довжину проекції похилої і кут, який вона утворює з похилою.

448. Нехай МА — перпендикуляр до площини прямокутника АВСD зі сторонами 15 см і 16 см, МС = 25 см. Знайдіть від- стані від точки М до інших вершин прямокутника.

449. З деякої точки А до даної площини проведено перпендикуляр АО завдовжки 1 см і дві рівні між собою похилі АВ та АС, які утворюють з перпендикуляром кути по 60°, а між собою — пря- мий кут. Знайдіть відстань між основами похилих.

450. З деякої точки до даної площини проведено дві рівні похилі. Кут між ними дорівнює 60°, кут між їхніми проекціями — 90°. Знайдіть кут між похилою та її проекцією.

451. З даної точки простору до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких становить 6 см. Їхні проекції на цю

дено площину α, паралельну прямій BC. Довжина проекції одного з катетів на площину α дорівнює 12 см. Знайдіть про- екцію гіпотенузи.

461. Ескалатор метрополітену має 170 східців шириною 40 см і висотою 20 см. Визначте: 1) довжину ескалатора; 2) кут його нахилу до горизонталі; 3) глибину станції.

Підсумок

Властивості перпендикуляра, похилої та її проекції

Перпендикуляр, проведений з точки до площини, менший від усякоїпохилої,проведеноїзцієї самої точки до даної площини.

BP a, P a, A a BP < BA

Похилі до площини, які прове- дені з однієї точки, рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні проекції.

BP a, P a, BA = BC AP = CP

Якщоданодвіпохилі,проведе- ні з однієї точки до площини, то більша похила має більшу проекцію, і навпаки, — біль-

шій проекції відповідає біль- ша похила.

BP a, P a, BA < BC AP < CP