§10. Зображення фігур у стереометрії

просто неможливо спроектувати на аркуш паперу — для того, щоб зображення помістилося, паралельну проекцію фігури потрібно пропорційно зменшити (або збільшити в інших ситуаціях).

Зображенням просторової фігури називається фігура, яка подібна паралельній проекції даної фігури на деяку площину.

Дане означення вимагає доповнення. Зрозуміло, що зображення повинно містити якомога більше інформації про фігуру. Навряд чи паралельна проекція куба на рис 204, а) доволі повно відображає особливості цієї фігури. Тому на зображенні многогранників зображають їхні вершини і ребра, видимі й невидимі. Як вже зазначалося, невидимі лінії зображають штриховими лініями. Таким чином, зображення куба на рис. 204, б) більш повно дає інформацію про куб.

На зображенні просторової фігури виділяютьтакожзображенняїїважливихелементів

(наприклад, діагоналей, перерізів тощо). Зазначимо, що в означенні не фіксується ні площина проекцій,

ні напрям проектування. Це і зрозуміло, оскільки зручну для розгляду позицію можна обирати вільно.

Тепер відповімо на запитання: яка фігура може бути зображенням трикутника? Випадок, коли трикутник лежить у проектуючій площині, не розглядатимемо. У цьому разі він проектується на відрізок

(рис. 205).

Оскільки паралельною проекцією трикутника є трикутник (окрім зазначеного вище випадку), то і зображенням трикутника має бути трикутник. Водночас вини-

кає запитання: «А який трикутник можна вважати зображенням даного трикутника?». Як відомо, при па-

ралельному проектуванні змінюються довжини відрізків, міри кутів. Зрозуміло, що паралельною проекцією рівнобедреного трикутника є, взагалі кажучи, різносторонній трикутник, проекцією тупокутного трикутника може бути гострокутний і т. д.

Проведення простих експериментів з картонними моделями трикутників при отриманні їхньої тіні від Сонця чи від віддаленої лампи показує, що форма паралельних проекцій трикутника може бути різною. Більше того, можна переконатись у тому, що за рахунок відповідного розміщення моделі можна отримати як проекцію трикутник заданої форми. Таким чином, розглядаючи різні тіні одного трикутника, можна дійти наступного висновку.

Зображенням даного трикутника може бути довільний трикутник.

Математичне обґрунтування цього факту буде зроблено нижче. Користуючись ним, можна зробити певні висновки щодо зображення деяких чотирикутників.

Із властивостей паралельного проекту- вання випливає, що зображенням паралелограма є довільний паралелограм. Справді, паралелограм діагоналлю розбивається

на два рівні трикутники (рис. 206, а). Зображенням трикутника ABD може бути

довільний трикутник A1B1D1. Добудувавши трикутник A1B1D1 до паралелограма (рис. 206, б), який однозначно визначається цим трикутником, отримаємо наступний висновок.

Зображенням даного паралелограма може бути довільний паралелограм.

Щодо трапецій, то подібного висновку про їхні зображення зробити не можна, оскільки при паралельному проектуванні має зберігатись відношення довжин паралельних основ. Якщо, наприклад, одна з основ удвічі менша від другої, то і на зображенні це співвідношення має зберігатись. Хоча, звичайно, зображенням трапеції має бути трапеція (але не довільна!).

Щодо зображення інших многокутників, то можна вибрати три їхні точки, що не лежать на одній прямій (наприклад, три вершини). Ці точки визначають трикутник, який може зображатись довільним трикутником. Далі, користуючись властивостями паралельного проектування (вони є і властивостями зображень),

можна у деяких випадках будувати зображення всього многокутника.

Навчившись зображати деякі плоскі фігури, розміщені у просторі, можемо приступити до зображення найпростіших просторових фігур.

Зображення прямокутного паралелепіпеда чи куба нічим не відрізняються від зображень довільного паралелепіпеда, бо зображеннямиквадратівтапрямокутниківможутьбутидовільніпаралелограми. Найчастіше куб зображають так, як це зроблено на рис. 207, а). На рис. 207, б–г) теж подано зображення куба. Однак, на відміну від рис. 207, а), за цими зображеннями важко скласти уявлення про властивості куба. На рис. 207, б), в) зображення прості й правильні, тобто виконані за законами паралельного проектування. Проте вони не є наочними. Сказане не означає, що у деяких випадках нам

не знадобиться кожне з наведених зображень.

Розглянемо докладніше побудову зображення паралелепіпеда. У §8 паралелепіпед розглядався як многогранник, гранями якого є шість паралелограмів. У тому самому параграфі розглядався підхід до побудови фігур з відрізків. Скористаємось ним.

У даній площині α побудуємо паралелограм ABCD і через усі його вершини проведемо паралельні прямі, які перетинають площину α (рис. 208). На цих прямих по один бік від площини α відкладемо відрізки АА1, ВВ1, СС1, DD1 однакової довжини. Неважко довести, що точки А1, В1, С1, D1 лежать в одній площині і є вершинами паралелограма A1B1C1D1. Справді, оскільки AA1D1D, ABCD і ВВ1С1С — паралелограми, то A1D1 || AD, AD || ВС, ВС || В1С1 і, згідно з ознакою паралельності прямих (теорема 2 §8), A1D1 || В1С1. Це, зокрема, дає нам змогу стверджувати, що точки A1, B1, C1, D1 лежать у одній площині.

Аналогічно маємо, що А1В1 || D1C1, тобто чотирикутник А1В1С1D1 є паралелограмом.

SABC на рис. 210, а), б) не можна вважати вдалими. У першому випадкувикористанопаралельнепроектуваннянаплощинуграні АВС, а у другому — напрям проектування визначається прямою АВ. В обох цих випадках втрачена об’ємність фігури. У загальному випадку використовують третє зображення (рис. 210, в). Воно є плоским чотирикутником ABCS, у якому проведені діагоналі АС і SB. Невидиме ребро АС зображено штриховою лінією.

Важливим засобом забезпечення наочності зображення є зображення елементів фігури (медіан, бісектрис, середніх ліній, діагоналей тощо), а також найпростіших перерізів.

Побудова зображень різних фігур є невід’ємною складовою розв’язання задач стереометрії.

Часто-густо при розв’язуванні задач необхідно виконати певні побудови на зображенні (провести медіану, вказати центр вписаного кола, побудувати переріз тощо). Ці побудови зазвичай виконуються за властивостями паралельного проектування.

Приклад 1. На довільному зображенні прямокутного рівнобедреного трикутника АВС побудувати зображення:

1) центра О описаного кола; 2) вписаного квадрата, дві сторони якого лежать на катетах три-

кутника, а одна з вершин — на гiпотенузi ВА.

 Нехай зображенням прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (рис. 211, а) є трикутник A1B1С1 (рис 211, б).

1) Центр описаного навколо прямокутного трикутника кола є серединою гіпотенузи. Тому його зображення є серединою зображення гіпотенузи.

Побудова. Розділимо відрізок A1B1 навпіл, точка поділу О1 і є шуканою (рис. 211, в).

186 Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Розглянемо обґрунтування наведених вище висновків стосовно зображення основних плоских фігур.

Теорема 1 (про зображення трикутника).

Будь-який трикутник може бути зображенням даного трикутника.

 Нехай дано трикутник АВС. Візьмемо довільний трикутник KMN. Він може бути зображенням трикутника АВС, якщо існують площина проекцій і напрям проектування, притому такі, що паралельна проекція трикутника АВС подібна трикутнику KMN.

Виберемо площину проекцій α так, щоб вона перетинала площину трикутника АВС по прямій АС (рис. 213). Нам треба вибрати напрям проектування так, щоб проекцією трикутника АВС на площину α був трикутник, подібний трикутнику KMN. Для цього побудуємо у площині α трикутник САЕ, подібний трикутнику

KМN з коефіцієнтом подібності MKAC . Тоді пряма BE задає потріб-

ний напрям проектування. Оскільки трикутник САЕ є паралельною проекцією трикутника АВС, а трикутники САЕ і KMN — подібні, то трикутник KMN є зображенням трикутника АВС. ■

!Ця теорема відкриває широкі можливості для вибору зображень даного трикутника, хоча, звісно, не варто використовувати зображення із властивостями, яких не має оригінал. Наприклад, недоцільно зображати довільний трикутник у вигляді прямокутного.

Переходячи до зображень інших многокутників, зауважимо, що для них, як правило, теореми, аналогічні теоремі 1, не справджуються, хоча окремі їхні властивості зберігаються при зображенні. Передусім йтиметься про паралельність сторін (чому?). У зв’язку з цим наведемо ще одну важливу теорему.

Нехай паралелограм А1В1С1О1 є зображенням паралелограма АВСО (це може бути довільний паралелограм!). Продовживши А1О1 і С1О1 за точку О1 так, щоб О1D1= А1О1, О1F1 = С1О1, побудуємо паралелограм F1O1D1E1 (рис. 214, б). По суті, побудовано паралелограм, центрально-симетричний до паралелограма А1В1С1О1 відносно його вершини О1. Сполучивши точки А1 і F1, С1 і D1, дістанемо зображення правильного шестикутника (рис. 214, в). ■

 Контрольні запитання

1.Котра з фігур на рис. 215, а)–г) не є зображенням квадрата?

2.Котра з фігур на рис. 216, а)–г) не є зображенням куба?

3.На котрому з рис. 217, а)–г) зображення куба не є правильним?

4.На котрому з рис. 218, а)–г) зображення тетраедра не є правильним?

5.Чи є паралельна проекція фігури її зображенням?

6.Чи можна прямокутний трикутник вважати зображенням рівнобедреного трикутника?

7.Чи правильно, що зображенням середньої лінії трикутника є середня лінія його зображення?

8.Чи може паралелограм бути зображенням трапеції?

9.Чи може трикутник бути зображенням тетраедра?

10.Чи можна тетраедр зобразити так, щоб тільки одна його грань була невидимою?

11.Яка найменша кількість ребер куба може бути видимою при зображенні? А найбільша?

12.Якою фігурою є зображення: а) відрізка; б) трикутника; в) трапеції; г) паралелограма; ґ) n-кутника?

Графічні вправи

1.Встановіть, яким граням тетраедра ABCD, зображеного на рис. 219, належать точки P, K, M?

2.Які пари точок з точок X, Y, Z, T, вказаних на зображенні тетраедра на рис. 220, не лежать в одній грані?

3.Якою фігурою є переріз куба площиною, що проходить через точки M, N, P, вказані на рис. 221, а)–г)?

Задачі

174°. Дано зображення рівнобедреного трикутника у вигляді різностороннього трикутника. На цьому зображенні побудуйте зображення:

1) бісектриси кута при вершині;

2) перпендикуляра до основи, проведеного через середину бічної сторони; 3) ромба, дві суміжні сторони якого збігаються з бічними сто-

ронами трикутника.

175. На зображенні рівнобедреного прямокутного трикутника побудуйте зображення квадрата, що лежить у площині трикутника, якщо стороною квадрата є:

1°) катет даного трикутника; 2) гіпотенуза даного трикутника.

176. На довiльному зображеннi рiвностороннього трикутника АВС побудуйте зображення:

1°) точки перетину висот трикутника;

2°) «описаного» прямокутника, одна зі сторiн якого збігається з деякою стороною трикутника, а iнша мiстить протилежну вершину;

3) бiсектриси зовнiшнього кута трикутника.

177. Данозображеннятрикутникаідвохйоговисот.Побудуйтезображення центра кола, описаного навколо цього трикутника.

178. На зображенні прямокутного трикутника, один із гострих кутів якого дорівнює 60°, побудуйте зображення:

1) бісектриси цього кута;

2) висоти, що проведена до гіпотенузи;

3) центра вписаного кола.

179°. Побудуйте зображення ромба і його висоти, проведеної з вершини кута, величина якого становить 120°.

180. Побудуйте зображення квадрата, маючи зображення точки перетину його діагоналей і двох:

1°) сусідніх вершин;

2*) протилежних вершин.

181. На довiльному зображеннi рiвнобiчної трапецiї, бiчна сторона якої дорiвнює меншiй основi, побудуйте зображення: 1°) осi симетрiї трапецiї;

2) вписаного прямокутника, двi вершини якого лежать на бiльшiй основi й одна зі сторiн збігається з меншою основою;

3) центра кола, дотичного до бiчних сторiн i меншої основи трапецiї.

182. Дано зображення рівнобічної трапеції, кути при основі якої дорівнюють 45°. Побудуйте зображення:

1) центра кола, описаного навколо трапеції; 2*) центра кола, дотичного до меншої основи і бічних сторін.

183. Дано зображення кола і одного з його діаметрів. Побудуйте зображення радіусів кола, перпендикулярних до цього діаметра.

184. Дано зображення куба АВСDА1В1С1D1.

1°) Побудуйте лiнiю перетину площин DА1С1 i В1D1D.

2) Знайдiть довжину вiдрiзка цiєї лiнiї, який міститься в кубi, якщо ребро куба дорівнює а.

3) Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через центри трьох попарно суміжних його граней.

185. Дано зображення тетраедра АВСD, точки К, М i Р — середини DC, AD i BD, вiдповiдно.

1°) Побудуйте лiнiю перетину площин АСР i ВМК.

2) Знайдiть довжину вiдрiзка цiєї лiнiї, який мiститься в тетраедрi, якщо довжини всiх його ребер дорiвнюють а.

3) Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки перетину медіан трьох його граней.

186. Побудуйте переріз тетраедра SABC площиною, що проходить через:

1°) середини ребер SA, SC i BC;