§19. Зв’язок між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин

Äаний параграф присвячено встановленню зв’язків між паралельністю і перпендикулярністю прямих і площин, які широко застосовуються в геометрії.

Про існування зв’язків між паралельністю та пер­ пендикулярністю у просторі свідчить наш досвід. Справді, стовпи, встановлені вертикально, пара­

лельні між собою (рис. 394); паралельними є вертикально спря­ мовані льодові бурульки (рис. 395), вертикальні колони, якими прикрашені споруди (рис. 396) тощо.

Добре відомий зміст аналогічних зв’язків у планіметрії: два перпендикуляри до однієї прямої є паралельними між собою, і на­ впаки, пряма, яка перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, перпендикулярна і до другої. Однак стосовно прямих у просторі ці твердження не завжди виконуються (спробуйте самі навести відповідні приклади). Натомість можемо ви­ вчати випадки, пов’язані з паралельністю і перпендикулярністю прямих та площин.

Розглянемо детальніше зв’язок між па­ ралельністю прямих і перпендикулярніс­

тю їx до площини. Ці зв’язки відображають

відношення між реальними об’єктами, якими ми користуємось у повсякденному житті. Справді, якщо одну дошку паркану при- ладнано вертикально до поверхні землі, то другу дошку достатньо розмістити паралельно першій, щоб вона також була вертикаль- ною (рис. 397). Цей спосіб побудови паркану ґрунтується на на- ступній теоремі.

Теорема 1 (про дві паралельні прямі, одна з яких перпендику- лярна до площини).

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Наведена теорема є ознакою перпендикулярності прямої і пло- щини, тобто за її допомогою встановлюють перпендикулярність прямої і площини. Її широко використову- ють не тільки в геометрії, а й у практичній

діяльності. Спорудження будівлі з вико- ристанням виска є яскравою ілюстрацією застосування цієї ознаки перпендикуляр- ності прямої і площини. Справді, нитка виска розміщена вертикально, і якщо ріг споруди паралельний нитці, то він також вертикальний (рис. 398).

Розгляд теореми 1 природно породжує запитання: чи будуть паралельними дві прямі, які перпендикулярні до однієї площи- ни? Відповідь на нього нам підказує досвід (два вертикально вста- новлених стовпи — паралельні!) і він підтверджується наступною теоремою, яка є оберненою до теореми 1.

Теорема 2 (про паралельність прямих, перпендикулярних до площини).

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони — паралельні.

Наведена теорема також є ознакою. За її допомогою встанов- люють паралельність прямих у просторових конструкціях. Адже вертикальність чи перпендикулярність до площини іноді легше перевірити (особливо на громіздких об’єктах), ніж паралельність. Йдеться, наприклад, про розміщення поперечних балок при спо- рудженні стелі будівлі, розпізнавання паралельності прямих у геометричних конфігураціях та ін.

380 Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Не менш важливими в геометрії та її застосуваннях є зв’язки між паралельністю площин та їхньою перпендикулярністю до прямої. Йдеться про дві площини і одну пряму. Якщо дві пло- щини паралельні і одна з них перпендикулярна до прямої, то як буде розміщена друга площина по відношенню до цієї прямої? Як розміщені дві площини, якщо вони обидві перпендикулярні до прямої? Відповіді на ці питання також нам підказує досвід прак- тичної діяльності. Якщо вбити цвях у дошку перпендикулярно до однієї сторони дошки,

то він буде перпендикулярним і до проти- лежної (рис. 399). Якщо на вісь колісної пари насадити колеса з обох боків так, щоб їхні площини були перпендикуляр- ними до осі, то площини цих коліс будуть паралельними (рис. 400).

Сформулюємо два взаємно оберне­них твердження, які відображають зв’язок­

між паралельністю площин і пepпeндику- лярністю їх до прямої.

Теорема 3 (про паралельні площини, одна з яких перпендику- лярна до прямої).

Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до прямої, то і друга площина перпендикулярна до цієї самої прямої.

Теорема 4 (про дві площини, перпендикулярні до прямої).

Якщо дві площини перпендикулярні до однієї прямої, то вони — паралельні.

Привертає увагу спорідненість наведених двох пар теорем. Кожну з них можна сформулювати, замінивши термін «пряма» на «площину», і навпаки.

Теореми 3 і 4 також є ознаками.

Ознака перпендикулярності прямої і пло- щини (теорема 3) пов’язана з розміщенням опорнихколонвідноснопідлогиістелі.Якщо площини стелі і підлоги паралельні, то ко- лону досить поставити перпендикулярно до підлоги, щоб вона була перпендикулярною і

до стелі (рис. 401).

Практичну цінність ознаки, вираженої в теоремі 4, ілюструє транспортування за- лізобетонної плити в горизонтальному по-

ложенні за допомогою крана. Для цього використовують чотири однакових троси, кінці яких закріплено в точках А1, А2, А3, А4

плитиідогакаS (рис.402).Оскількиплита висить вільно, то трос, на якому закріплено гак, перпендикулярний до поверхні землі

і розміщений на прямій, що проходить через центр мас плити (для однорідної плити). Якщо знехтувати товщиною плити, то її центр міститься на перетині діагоналей прямокутника А1А2А3А4. Оскільки SA1 = SA2 = SA3 = SA4, то пряма, яка сполучає точку S з точкою пе- ретину діагоналей, перпендикулярна до площини плити (задача 1 §18). Тому, згідно з теоремою 4, плита розміщена горизонтально.

Наведені приклади не вичерпують усього різномаїття засто- сувань розглянутих ознак при вирішенні практичних завдань. Важливими є дані ознаки і для подальшого поглиблення геоме- тричних знань.

Задача 1. Через дану точку провести пряму, перпендикуляр- ну до даної площини.

 Випадок, коли дана точка А лежить в даній площині α, ми розглядали у попе-

редньому параграфі. Нехай тепер точка А міститься поза площиною α. Через довіль-

ну точку В площини α проведемо пряму b, перпендикулярну до площини α (рис. 403). Потім через точку А проведемо пряму, па-

ралельну прямій b (як це зробити?). Вона і

буде шуканою, оскільки її перпендикуляр- ність до площини α обумовлена теоремою 1. ■

Приклад 1. З вершини A квадрата ABCD проведено відрізок AM, перпендикулярний до площини ABC. Побудувати:

1) площину, яка проходить через точку M перпендикулярно до прямої AС;

2) пряму, що проходить через середину відрізка MC перпендику- лярно до площини ABC.

Розглянемодоведеннянаведенихтеоремпрозв’язки між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин. Вказаний зв’язок між двома парами тео- рем і між собою в парах дає змогу сподіватись, що

доведення однієї з теорем полегшить доведення інших. Почнемо з теореми 1. Запишемо її у знакосимвольній формі.

Теорема 1. Дано: а1 || а2, а1 α.

Довести: а2 α.

 Для доведення теореми скористаємось ознакою перпендику- лярності прямої і площини.

Позначимо через О1 точку перетину прямої а1 і площини α. Згідно з теоремою про перетин площини паралельними прямими (теорема 6 § 8), пряма a2, що паралельна прямій a1, теж перетинає площину α в деякій точці О2 (рис. 406, а).

Візьмемо на прямих а1 i a2 точки A1 і A2 по один бік від пло- щини α так, щоб відрізки О1А1 і О2А2 були рівними. Побудова- ний чотирикутник О1А1А2О2 (рис. 406, б) є паралелограмом, тому що О1А1 || О2А2, О1А1 = О2А2. Аналогічно будуємо паралелограм О1В1В2О2 для довільного напряму в площині α. Для цього через точки О1 і О2 в площині α проведемо довільні паралельні прямі, на яких вибираємо точки В1 і В2 аналогічно вибору точок A1 і A2

(рис. 406, в).

З наведених побудов випливає, що чотирикутник А1В1В2А2 є паралелограмом. Справді, відрізки A1A2 і В1В2 — паралельні і рів- ні, за властивостями транзитивності паралельності прямих і рів-

ності довжин (A1A2 || О1О2, O1O2 || B1B2, A1A2 = О1О2, O1O2 = B1B2).

А тепер розглянемо трикутники А1О1В1 і А2О2В2. Вони рівні за трьомасторонами:А1О1 = А2О2, О1В1 = О2В2,запобудовою,А1В1 = А2В2 як протилежні сторони паралелограма. Тому рівні відповідні кути цих трикутників, зокрема, А1О1В1 = А2О2В2. Але ж кут А1О1В1,

за умовою, — прямий. Тому прямим є і кут А2О2В2. А це означає, що пряма a2 перпендикулярна до кожної прямої площини α, яка проходить через точку О2. За означенням, вона перпендикулярна до площини α. ■

Теорема 2. Дано: а1 α, а2 α.

Довести: а1 || а2.

 Нехай прямі a1 i a2 перпендикулярні до площини α, O1, O2 — точки перетину їх з площиною α (рис. 407, а). Через точку O2 про- ведемо пряму b, паралельну прямій a1 (рис. 407, б). За попере- дньою теоремою, b α. Якщо пряма b не збігається з прямою a2, то через них можна провести площину β, яка перетинає площину α по прямій с (рис. 407, в). Прямі a2 і b перпендикулярні до прямої с, за означенням перпендикулярності прямої і площини. Однак у площині через дану точку можна провести лише одну пряму, пер- пендикулярну до даної прямої. Отримана суперечність означає, що прямі a2 і b збігаються, тобто а1 || а2. ■

Доведення теорем 3 і 4 проводиться за такою самою схемою, що і доведення теорем 1 і 2 відповідно. Зробіть це самостійно, корис- туючись вказівкою. наведеною після формулювань теорем 3 і 4.

Важливість розглянутих теорем для стереометрії та її застосу- вань, як вже наголошувалось, пов’язана з тим, що кожна з них є ознакою: перша і третя — ознаки перпендикулярності прямої і площини, друга — ознака паралельності прямих, четверта — ознака паралельності площин. Цим самим розширюються наші можливості при вивченні взаємного розміщення прямих і пло- щин, проведенні побудов.

388 Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Графічні вправи

5)площин DОK і MBL;

6)прямої BK і площини CLD.

4.Побудуйте рисунок за наведеними даними.

1)Площина, що проходить через ребро основи АВ правильно- го тетраедра SABC, перпендикулярна до бічного ребра SC.

2)Через точку М, що лежить на діагоналі основи АС правильної чотирикутної піраміди SABCD, проходить площина, перпендикулярна до АС.

Задачі

407.З вершини прямого кута С рівнобедреного прямокутного три- кутникаABC проведенопряму,перпендикулярнудоплощини цього трикутника, і на ній взято точку S. Побудуйте:

1°) площину, яка проходить через точку S перпендикулярно до прямої AB;

2°) пряму, що проходить через середину відрізка AS перпен- дикулярно до площини ABC;

3°) площину, яка проходить через точку A паралельно пло- щині BCS;

4)пряму, яка проходить через точку C перпендикулярно до площини ABS, якщо AC = 23 CS .

408.Із середини K гіпотенузи BC рівнобедреного прямокутно- го трикутника ABC проведено пряму, перпендикулярну до площини цього трикутника, і на ній взято точку M. Побу- дуйте:

1°) площину, яка проходить через точку M перпендикуляр- но до прямої AC;

2°) пряму, що проходить через середину відрізка AM пер- пендикулярно до площини ABC;

3°) площину, яка проходить через точку A паралельно пло- щині BCM;

4)площину, яка проходить через точку K перпендикулярно до прямої AM, якщо MK = CK.

409.З центра О правильного трикутника АВС проведено пряму, перпендикулярну до площини трикутника, і на ній взято точку S. Побудуйте:

1°) площину, що проходить через точку О, перпендикулярну до прямої ВC;

2°) пряму, що проходить через середину відрізка AS, пер- пендикулярну до площини АВС;

3)площину, що проходить через середину відрізка AS, пер- пендикулярну до прямої OS;

4*) пряму. що проходить через точку А, перпендикулярну до площини BCS.

410.Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте:

1°) пряму, що проходить через центр грані A1B1C1D1, перпен- дикулярну до протилежної грані;

2°) площину, що проходить через вершину А, перпендику- лярну до діагоналі BD;

3) пряму, що проходить, через центр грані AA1B1B перпен- дикулярно до площини ВDD1;

4*) площину, що проходить через точку D перпендикулярно до прямої ВD1 .

411. У тетраедрі SABC всі грані — правильні трикутники, точка О — центр основи АВС, D — середина ребра ВС, точка N на- лежить бічному ребру SA.

1°) Визначте взаємне розміщення прямої SO і площини АВС. 2°) Визначте взаємне розміщення прямої ВС і площини ASD. 3) Проведіть через точку N пряму, перпендикулярну до основи.

4*) Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через точку N перпендикулярно до прямої OS.

412°. Два електричні дроти необхідно протягнути від стовпа висо- тою 7 м до будівлі висотою 4 м. Скільки потрібно мати дроту, якщо відстань від будівлі до стовпа дорівнює 10 м і на про- висання дроту треба додати 3% від розрахункової довжини?

413. Сторожова вежа для охорони ділянки прямокутної форми встановлена в одній з вершин прямокутника. Відстані від спостерігача, що стоїть на вежі, до решти вершин прямокут- ника дорівнюють a, b, c, причому a > b > c. Чому дорівнює висота вежі?

414.Три паралельні прямі a, b, c не лежать в одній площині. Через точку M, що лежить на прямій a, проведено перпен- дикуляри до прямих b і c, які перетинають їх, відповідно, в точках P і Q. Доведіть, що пряма PQ перпендикулярна до прямих b і c.

415.Через точку О, що знаходиться на висоті CD трикутника

,проведено перпендикуляр OM до його площини. До- ведіть, що площина, яка проходить через прямі CD і OM, перпендикулярна до прямої AB.

Дано площину α і пряму a, яка перетинає площину в точці

іне перпендикулярна до α. Доведіть, що в площині α че- рез точку M проходить пряма, перпендикулярна до прямої

,і до того ж лише одна.

417.На прямій, перпендикулярній до площини α, взято дві точки

іB, які не лежать у площині α, а в площині α взято дві точки

іY. Відомо, що XA > XB. Порівняйте відрізки YA і YB.ABC416*. MaAX

Вправи для повторення

418.Доведіть, що всі прямі площини, перпендикулярні до даної прямої площини, утворюють цю площину.

419.Як поділити відрізок навпіл, користуючись лише шаблоном: а) прямого кута; б) гострого кута?

420.Сторони паралелограма дорівнюють 2 м і 16 дм; відстань між більшими сторонами — 8 дм. Визначте відстань між меншими сторонами.

Підсумок

Головні твердження