§12. Паралельність площин

3. Дві площини не мають спільних точок. У цьому разі їх називають паралель-

ними.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Паралельність площин позначається знаком ||: α || β.

Як завжди, при введенні геометричних понять постає проблема їхнього існування. Існування площин, які перетинаються, є характерною ознакою простору. І цим ми вже багато разів користувались. Менш очевидним є існування паралельних площин. Жодного сумніву немає, що, наприклад, площини протилежних граней куба є паралельними, тобто не перетинаються. Але безпосередньо, за означенням, це встановити неможливо. Для розв’язання поставленого питання, a також інших питань, пов’язаних з паралельністю площин, необхідно мати ознаку паралельності.

Для пошуку ознаки доцільно розглядати площину, «зіткану» з прямих. Очевидно, що кожна пряма однієї з паралельних площин має бути паралельною до другої. У протилежному випадку площини матимуть спільну точку. А чи достатньо паралельності площині β однієї прямої площини α для того, аби площини α і β були паралельними? Безумовно, ні (обґрунтуйте це!). Практичний досвід свідчить, що двох таких прямих, які перетинаються, достатньо. Щоб закріпити на щоглі паралельну до землі площадку, досить покласти її на дві прикріплені до щогли балки, паралельні до землі (рис. 245). Можна навести ще багато прикладів застосування цього прийому забезпечення па-

ралельності плоских поверхонь реальних об’єктів (спробуйте це зробити!).

Наведені міркування дозволяють сформулювати наступне твердження.

Теорема 1 (ознака паралельності площин).

Якщо дві перетинні прямі однієї площини паралельні другій площині, то ці площини є паралельними.

кою паралельності площин (теорема 1). Справді, прямі PN і NM перетинаються і паралельні площині ABB1, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1 §11), адже відрізки PN і NM

з’єднують середини протилежних сторін квадратів, тому вони паралельні сторонам квадратів: PN || A1B1, NM || B1B.

2) Площини NMA і A1C1C перетинаються по прямій AA1 (рис. 249). Справді, прямі AA1 і СС1 — паралельні, за ознакою паралельності прямих (AA1 || BB1, BB1 || CC1). Тому пряма AA1 лежить у площині A1C1C. Аналогічно обґрунтовується належність прямої AA1 площині NMA.

3) Площини A1NM і PC1C (рис. 250) — паралельні, за ознакою паралельності площин. Справді, NM || C1C. Тому пряма NM паралельна площині PC1C. Відрізки PC1 і A1N також паралельні, оскільки чотирикутник PC1NA1 є паралелограмом (А1Р || NC1, A1P = NC1). Таким чином, пряма A1N паралельна площині PC1C. Прямі A1N і NM перетинаються.

4) Площини МAD1 і DB1C перетинаються (рис. 251). Хоча лінію їхнього перетину побудувати непросто, але вказати одну точку цієї лінії неважко. Справді, прямі A1D і B1C — паралельні, оскільки чотирикутник A1B1CD є паралелограмом (A1B1 = AB = CD, A1B1 || AB, AB || CD). Тому пряма A1D належить площині DB1C. Прямі A1D і AD1 перетинаються в точці, яка є спільною для площин МAD1 і DB1C. ■

Наведену ознаку паралельності площин іноді зруч- ніше використовувати у дещо іншій формі.

через a i b лінії перетину площини δ з площинами α i γ, а через с — лінію перетину площин δ і β (рис. 253). Згідно з теоремою 2, a||с i b||с. Тобто в площині δ через точку М проходять дві прямі, паралельні прямій с. Суперечність свідчить про неправильність припущення. ■

Відношення паралельності площин має ряд властивостей, які мають аналоги в планіметрії.

Теорема 4 (про відрізки паралельних прямих між паралельними площинами).

Відрізки паралельних прямих, що відтинаються паралельними площинами, рівні між собою.

 Нехай дано дві паралельні площини α і β і відрізки АВ i CD паралельних прямих a i d, які відтинаються цими площинами (рис. 254, а). Проведемо через прямі a i d площину γ (рис. 254, б). Вона перетинає площини α і β по прямих АС i BD, які, згідно з теоремою 2, паралельні. Тому чотирикутник ABCD — паралелограм, його протилежні сторони AC i BD — рівні. ■

З наведеної властивості випливає, що якщо від усіх точок площини відкласти по один бік від площини паралельні відрізки однакової довжини, то кінці цих відрізків утворюють дві паралельні площини. Саме на цій властивості ґрунтується побудова паралелепіпеда за допомогою відкладення відрізків (рис. 255).

 Побудуємо рисунок, який відповідає умові (рис. 257, а).

1) Площини KEF i ABC — паралельні, за ознакою паралельності площин (теорема 1′): перетинні прямі KE і KF площини KEF паралельні перетинним прямим AB і AC площини ABC (на них лежать середні лінії відповідних трикутників).

Площини DEF i ABC перетинаються по прямій BC, бо пряма BC належить обом площинам, а співпадати вони не можуть — точки А, В, С, D не лежать в одній площині.

2)Площина AFB перетинається з площиною KEC по прямій, яка містить точку Р, тому що прямі СЕ і BF, які лежать у цих площинах, лежать у площині BCD і перетинаються в точці Р. Другою точкою є точка перетину Q прямих AF і CK у площині ACD (рис. 257, б). Очевидно, що ця точка є центром мас грані ACD. Шуканим перетином є пряма PQ.

3)Побудуємо переріз, вказаний в умові, користуючись ознакою паралельності площин. Проведемо через точки P і Q прямі, паралельні прямим DВ і DА відповідно (рис. 257, в). Ці прямі перетинають відрізок CD у точці L. Останнє випливає з властивості центра мас трикутника — він поділяє медіани трикутника у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Залишилось застосувати теорему Фалеса. Таким чином, площини PLQ і BDA — паралельні. Шуканим перерізом є трикутник LSN.

За побудовою, трикутники BCD і SCL — подібні з коефіцієнтом

подібності CECP = 32 . Тому LS = 32 BD . Аналогічно встановлюються рівності: LN = 32 AD , NS = 32 AB . Звідси випливає, що трикутники

LSN іАBD—подібнізкоефіцієнтомподібності 32 .Завластивостями

Доречно звернути увагу на те, що відповідь залежить лише від площі грані АBD. Тому рівність усіх ребер є лише засобом знайти цю площу. Таким чином, дану задачу можна суттєво узагальнити. ■

313 a2 .

 Контрольні запитання

1.Чи правильно, що дві площини паралельні, якщо кожна пряма, яка лежить в одній площині, паралельна другій площині?

2.Площини α і β — паралельні. Чи існують мимобіжні прямі, які лежать у цих площинах?

3.Дві сторони трикутника паралельні деякій площині. Чи паралельна цій площині третя сторона трикутника?

4.Дві сторони паралелограма паралельні деякій площині. Чи правильно, що площина паралелограма паралельна даній площині?

5.Чи можуть бути нерівними відрізки двох прямих, які відтинаються паралельними площинами?

6.Чи може перерізом куба бути рівнобічна трапеція?

Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник?

Чи правильно, що дві площини, які паралельні одній і тій самій прямій, паралельні між собою?

Лінії перетину площин α і β площиною γ паралельні між собою. Чи пapалельні площини α і β?

Чи можуть три грані куба бути паралельними одній площині?

Графічні вправи

1. На рис. 258 зображено куб ABCDA1B1C1D1, точки M, N, K, L, Р є серединами відповідних ребер. Заповніть за наведеним зразком таблицю, вибравши необхідне розміщення площин α і β.

α × β α || β α = β

2. На рис. 259 зображено тетраедр ABCD, точки K, F, M, N, Q — середини відповідних ребер. Укажіть:

1) площину, що проходить через точку K паралельно площині ABC;

2) площину, що проходить через пряму ВD паралельно площині MNQ.

3. Визначте,чимєперерізфігуриплощиною, щопроходитьчерезданітриточки,зображені на рисунках 260, а)–ґ) і 261, а)–г).

4.Побудуйте рисунок за наведеними даними.

1)З вершин паралелограма ABCD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які перетинають другу площину відповідно в точках A1, B1, C1, D1.

2)Трикутник A1B1C1 є проекцією трикутника ABC на паралельну йому площину α. Точка М — середина ВС, М1 — проекція точки М на площину α.

Задачі

207.У кубi АВСDА1В1С1D1 точки О, О1 — центри граней АВСD i А1В1С1D1 вiдповiдно, М — середина ребра АВ.

1°) Визначте взаємне розміщення площин МО1О і АDD1;

АВD1 і СО1С1.

2°) Побудуйте точку перетину площини DСС1 i прямої МО1 та лiнiю перетину площин МСС1 i А1D1С1.

3)Знайдіть площу перерізу куба площиною, яка паралельна площинi АD1С1 i проходить через точку О1, якщо ребро куба дорівнює а.

208.У тетраедрі АВСD точки К, L, Р — центри мас граней АВD, ВDС, АВС вiдповiдно, а М — середина ребра АD.

1°) Визначте взаємне розміщення площин АСD і КLР; МLК

і АВС.

2°) Побудуйте точку перетину площини АВС i прямої МL та лiнiю перетину площин МКL i АВС.

3)Знайдіть площу перерізу тетраедра площиною, яка проходить через точки К, L i М паралельно прямій АD, якщо всі ребра тетраедра дорівнюють а.

209.Дано куб АВСDА1В1С1D1. Точки L, M, M1 — середини ребер AB, AD і A1D1 відповідно.

1°) Визначте взаємне розміщення площин B1D1D і LMM1.

2)Побудуйте площину, що проходить через точку М паралельно площині АСС1.

3)Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точку M1 паралельно площині CDD1.

4)Визначте взаємне розміщення площин МА1В1 і СDМ1.

5)Побудуйте площину, що проходить через пряму C1D1, паралельну площині CDM1.

210.У правильній чотирикутній піраміді SABCD усі ребра рівні між собою. Точки L, M і N — середини ребер AS, BS, CS відповідно.

1°) Визначте взаємне розміщення: прямих LM і BC; прямої LN і площини ABD; площин LMN і BDC.

216.Побудуйте переріз куба, який є: 1°) рівностороннім трикутником; 2) п’ятикутником.

217.Побудуйте переріз тетраедра, який є паралелограмом.

218°. Доведіть,щопротилежніграніпаралелепіпеда—паралельні. 219. Доведіть, що множина всіх прямих, які проходять через

дану точку і паралельні даній площині, утворює площину, паралельну даній.

220. Дано чотири точки A, B, C, D, які не лежать в одній площині. Доведіть, що кожна площина, паралельна прямим AB і CD, перетинає прямі AC, AD, BD, BC у вершинах паралелограма.

221. Доведіть, що площина і пряма, яка не належить цій площині, паралельні між собою, якщо обидві вони паралельні одній і тій самій площині.

222. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведено площину паралельно грані ABCD. Ця площина перетинає ребра BB1 та CC1 у точках M і N відповідно. Доведіть, що кут MON — прямий.

223. Доведіть, що дві площини паралельні між собою тоді і лише тоді, коли кожна пряма, яка перетинає одну з площин, перетинає і другу.

224*. У трикутній піраміді SABC через відрізки AD і CE, де D — середина SB, а E — середина SA, проведіть перерізи піраміди, паралельні між собою.

225. Знайдіть геометричні місця:

1) середин усіх відрізків з кінцями на двох даних паралельних площинах; 2*) середин відрізків з кінцями на двох даних мимобіжних прямих.

226*. Сторона АВ трикутника АВС, що лежить у площині α, паралельна плoщині β. Рівносторонній трикутник А1В1С1 є паралельною проекцією трикутника АВС на площину β; АВ = 5,

ВС = 6, АС = 9.

1) Визначте взаємне розміщення прямих АВ і А1В1, ВС

і В1С1, А1С1 і AC.

2) Знайдіть площу трикутника А1В1С1.

227*. Дано дві мимобіжні прямі. Вкажіть множину всіх точок простору, через які можна провести пряму, що перетинає кожну з двох даних прямих.

Готуємось

до тематичного оцінювання з теми «Паралельність прямих і площин»

?Завдання для самоконтролю

1.Чотири точки не належать одній площині. Чи можуть деякі три з них лежати на одній прямій?

2.Чи можуть три різні площини мати рівно дві спільні точки?

3.Чи можуть дві мимобіжні прямі бути одночасно паралельними третій прямій?

4.Чи правильно, що прямі а і b не паралельні, якщо не існує прямої с, паралельної а і b?

5.Чи можуть рівні відрізки мати нерівні проекції?

6.Чи може промінь бути паралельною проекцією прямої?

7.Чи може квадрат бути зображенням куба?

8.Чи правильно, що через дану точку простору можна провести тільки одну площину, паралельну даній прямій?

9.Чи завжди через дану точку можна провести пряму, яка паралельна двом даним площинам, що не містять цю точку?

10.Чи можна через дві мимобіжні прямі провести паралельні площини?

Відповіді до завдань для самоконтролю

Зразок контрольної роботи

Два паралелограми АВСD і АВС1D1 лежать у різних площинах. 1°) Визначте взаємне розміщення прямих CD і C1D1.

2°) Визначте взаємне розміщення прямої C1D1 і площини АВС. 3°) Побудуйте лінію перетину площин DD1С1 і ВСС1.

4°) Визначте взаємне розміщення площин АDD1 і ВСС1.

5) Через точку М, яка поділяє відрізок АВ у відношенні 2 :1, рахуючи від точки А, проведіть площину α, паралельну площині С1ВС.

6) Побудуйте точку перетину прямої АС з площиною α і знайдіть відношення, в якому ця точка поділяє відрізок АС.

Розділ 3.

Тригонометричні

Функції

Із тригонометричними функціями ви вже мали справу на уроках з геометрії. Досі їхні застосування, в основному, обмежувалися розв’язуванням трикутників, тобто йшлося про знаходження одних елементів трикутника за іншими. З історії математики відомо, що виникнення тригонометрії пов’язане з вимірюванням довжин і кутів. Однак, тепер сфера її застосу-

вань є набагато ширшою, ніж в давнину.

Слово «тригонометрія» походить від грецьких τριγωνον (trigonon) — трикутник і µετρεω (metreo) — міряю, вимірюю. Буквально воно означає вимірювання трикутників.

У цьому розділі систематизується уже відомий вам з курсу геометрії матеріал, продовжується подальше вивчення тригонометричних функцій та їхніх застосувань для характеристики періодичних процесів, зокрема, обертального руху, коливальних процесів тощо.

Більшість застосувань тригонометрії стосується саме періодичних про-

цесів, тобто процесів, які через рівні проміжки часу повторюються. Схід і захід Сонця, зміни пір року, обертання колеса – це найпростіші приклади таких процесів. Механічні й електромагнітні коливання є також важливими прикладами періодичних процесів. Тому дослідження періодичних процесів є важливим завданням. І роль математики в його розв’язанні є визначальною.

готуємось до вивчення теми «Тригонометричні функції»

Вивчення теми «Тригонометричні функції» доцільно розпочати з повторення означень і властивостей тригонометричних функцій кутів трикутників та їхніх застосувань для розв’язування як прямокутних, так і довільних трикутників.

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів прямокутного трикутника

Таблиця 24

Синусом гострого кута називають відношення протилежного катета до гіпотенузи:

sin α = ac .

Косинусом гострого кута називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

cosα = bc .

Тангенсом гострого кута називають відношення протилежного катета до прилеглого:

tgα = ab .

Котангенсом гострого кута називають відношення прилеглого катета до протилежного:

ctgα = ab .

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів

від 0° до 180°

Таблиця 25

sin α = Ry ; cosα = Rx ;

tg α = xy ; ctg α = xy .

(х; у) — координати точки А, розміщеної на верхньому півколі, α — кут, утворений радіусом ОА кола з віссю х.

Значення синуса, косинуса, тангенса, котангенса деяких кутів

9.Чому дорівнює cos α, якщо α — гострий кут прямокутного трикутника і sin α = 135 ?