§9. Паралельне проектування

Розглядається основний спосіб побудови рисунків у стереометрії — паралельне проектування, його властивості.

При вивченні стереометрії одним із найважливі- ших є питання про зображення просторових фігур на площині. Складність полягає у тому, що плоскі зображення не можуть повною мірою дати уявлення про всі особливості просторової фігури. Йдеться загалом про побудову таких

зображень, які б відображали властивості оригіналу й уможливлювали достатньо просте, наочне і однозначне

ознайомлення з ним.

Спосіб побудови зображення фігури підказують нам тіні, що падають від її просторової моделі. При цьому можливі два випадки. У першому з них промені виходять з точкового джерела світла (лампи, ліхтаря), розміщеного поблизу моделі (рис. 163). Цій ситуації відповідає центральне проектування. За його законами формується зображення предметів на сітківці ока. Проте центральне проектування спотворює одне з основних відношень геометрії — паралельність (приміром, нам здається, що паралельні залізничні колії збігаються на горизонті) (рис. 164). Крім того, створення такого зображення є досить складною справою.

Якщо спроектуємо на площину всі точки деякої просторової фігури F, то дістанемо фігуру F1 у площині проекцій (рис. 167).

Паралельною проекцією фігури називається фігура, складена з паралельних проекцій усіх точок даної фігури.

Домовимося далі позначати площину проекцій через α, пряму, що задає напрям проектування, — через а, а проекцію точки, прямої

тощо — тією самою літерою, що й дану фігуру, але з індексом 1. Для побудови паралельних проекцій фігур і відтворення за

ними властивостей фігур слід знати властивості паралельного проектування.

Зрозуміло, що проекцією кожної проектуючої прямої є

точка.

! Далі, у теоремах 1–3, йтиметься про проектування пря-

мих і відрізків, що не лежать на проектуючих прямих.

Одна з найважливіших властивостей паралельного проектування добре ілюструється утворенням прямолінійної тіні від нитки чи дроту.

Теорема 1 (властивість паралельної проекції прямої і відрізка).

Паралельною проекцією прямої є пряма, а проекцією відрізка — відрізок.

На рис. 168, а) пряма l проектується на пряму l1. Її відрізок АВ проектується на відрізок А1В1 (рис. 168, б).

Площину, яка утворена сукупністю проектуючих прямих, що перетинають дану пряму l, називатимемо проектуючою площиною для прямої l. Проекція прямої l є перетином площини проекцій з проектуючою площиною для цієї прямої.

Наступну властивість паралельного проектування можна вважати обґрунтуванням відомого факту: сонячні тіні від паралельних стовпів — паралельні.

Зрозуміло, що паралельна проекція плоскої фігури зберігає далеко не всі властивості оригіналу. Насамперед це стосується властивостей, пов’язаних з вимірюваннями. У загальному випадку при паралельному проектуванні не зберігаються не тільки довжини, а й величини кутів. Проте водночас паралельна проекція фігури містить багато інформації про фігуру.

Приклад 1. Дано паралельну проекцію рівнобедреного трикутника. Побудувати проекцію:

1)медіани, проведеної до однієї з бічних сторін;

2)висоти, опущеної на основу трикутника.

Нехай маємо рівнобедрений трикутник АВС з основою ВС (рис. 176, а) і його паралельну проекцію — трикутник А1В1С1

(рис. 176, б).

1) Якщо СМ — медіана до бічної сторони АВ, то М — середина відрізка АВ (рис. 176, в). Тоді проекція М1 точки М, згідно з теоремою про відношення довжин проекцій паралельних відрізків, є серединою проекції А1В1 сторони АВ. Тому відрізок С1М1 — проекція медіани СМ.

Побудова. Будуємо проекцію точки М, це середина М1 відрізка А1В1 (рис. 176, г). Відрізок С1М1 є проекцією медіани, проведеної до однієї з бічних сторін, за теоремою 1.

2) Враховуючи те, що висота, опущена на основу рівнобедреного трикутника, є одночасно і медіаною, для побудови її проекції достатньо побудувати проекцію медіани АN.

Побудова. Будуємо проекцію точки N, це середина N1 відрізка В1С1 (рис. 176, г). Тоді відрізок А1N1 є проекцією висоти, опущеної на основу трикутника. 

!Щоб відрізняти оригінал і його проекцію, будемо зображати проекцію на зображенні площини проекцій

(див. рис. 176, б, г).

Приклад 2. Точки А i В знаходяться по один бік від площини α; А1, В1 — їхнi паралельні проекції на цю площину, АА1 > ВВ1.

1) Побудувати точку перетину K прямої АВ з площиною α.

2) Знайти відстань між серединою вiдрiзка KВ i її проекцією на площину α, якщо KВ1:В1А1 = 3:1 i АА1 = 8 см.

 1) Побудуємо рисунок, який відповідає умові прикладу (рис. 177, а), користуючись означенням паралельної проекції. Прямі АА1 і ВВ1 — паралельні, а тому лежать у площині АА1В1. Площина АА1В1 перетинає площину α по прямій А1В1. Пряма АВ лежить у площині АА1В1. Оскільки АА1 > ВВ1 і АА1 || ВВ1 (чотирикутник АА1В1В — трапеція з основами АА1 і ВВ1), то пряма АВ перетинає пряму А1В1 у деякій точці. Ця точка і є точкою перетину прямої АВ з площиною α, адже пряма А1В1 лежить у площині α.

Побудова. Проводимо прямі АВ і А1В1, знаходимо точку K їхнього перетину (рис. 177, б).

2) З розв’язання попереднього завдання випливає, що дане завдання зводиться до планіметричної задачі. Зобразимо його умову на рис. 177, в), де М — середина відрізка BK, MM1 || BB1, AA1 = = 8 см, KB1 : B1A1 = 3 : 1. Необхідно знайти довжину відрізка MM1. За побудовою, трикутники MM1K і AA1K — подібні (AA1 || MM1). Тому справджується рівність:

MM1 = KM1 .

AA1 KA1

Оскільки AA1 = 8 см, то для знаходження MM1 залишилося знайти відношення KМ1 : KA1 або KА1 : KМ1. За умовою,

B1 A1 = 13 KB1. Тому

Паралельна проекція кола називається еліпсом.

На площині еліпс зображають у вигляді овала (рис. 180). Ця фігура відіграє помітну роль у математиці та природознавстві. Досить сказати, що траєкторії руху Землі та інших планет навколо Сонця — еліптичні.

Еліпс має багато чудових властивостей. Деякі з них можна обирати у якості його означення. Наприклад, еліпс є витягнуте (чи

стиснене) коло від (до) його діаметра.

Еліпс — від грецького ελλειψιζ (elleipsis) — упущення, недолік, недостача.

Зрозуміло, що паралельною проекцією круга є частина площини, обмежена еліпсом.

Наведемо доведення властивостей паралельного проектування, поданих вище.

Доведенн я теореми 1 про паралельну

проек ц³ю прямо¿ ³ в³др³зка .

 Нехай маємо площину проекцій α, напрям проектування, заданий прямою a, i пряму l, l a (рис. 181, а). Аби побудувати

проекцію прямої l, треба через усі її точки провести прямі, паралельні прямій а, і розглянути точки перетину їх з площиною α. Із задач 1, 2 §8 випливає, що сукупність проведених прямих утворює площину β. Пряма l1 перетину площин α і β (рис. 181, б) ієпаралельноюпроекцієюпрямоїl наплощинуαприпроектуванні паралельно прямій а.

Справді, кожна точка прямої l1 є точкою перетину площини α з проектуючою прямою, що проходить через деяку точку прямої l, тобто є паралельною проекцією деякої точки прямої l. І навпаки, кожна проектуюча пряма, що перетинає пряму l, лежить у площині β. Таким чином, проекція кожної точки прямої l належить прямій l1. Якщо на прямій l задано відрізок АВ, то проекції його точок розміщені на проекції прямої l, тобто на l1. З побудови проекцій точок прямої l випливає, що проекції точок, що містяться між точками A і В, розміщені між проекціями А1 і В1 точок А і В

(рис. 181, в), і навпаки. Таким чином, проекцією відрізка є відрізок. ■

Доведенн я теореми 2 про проек ц³ ¿ паралельних

прямих .

 Нехай дано площину проекцій α, пряму а, яка визначає напрям проектування, і паралельні прямі b і с.

Якщо деяка проектуюча пряма перетинає обидві прямі b і с, то проектуючі площини для цих прямих збігаються з площиною β, що проходить через паралельні прямі b і с (рис. 182). Така площина визначається прямими b і с однозначно (теорема 5 §8), а проекції прямих b і с збігаються з перетином спільної проектуючої площини з площиною α.

Якщо ж не існує проектуючої прямої, яка перетинає обидві прямі b і с, то проекції b1 і с1 цих прямих є паралельними. Справді, припустимо, що у прямих b1 і с1 є спільна точка М (рис. 183). Тоді проектуюча пряма, що проходить через точку М, перетинатиме і пряму b, і пряму с. Тобто спільна проектуючи пряма існує. Ця суперечність доводить паралельність проекцій b1 і c1 .

Доведенн я теореми 3 про в³дношенн я довжин

проек ц³й паралельних в³др³зк ³в.

 Спочатку розглянемо випадок, коли дані відрізки АВ і ВС лежать на одній прямій і мають спільний кінець В (рис. 184). Проектуючі прямі АА1, ВВ1, СС1 — попарно паралельні і лежать в одній проектуючій площині разом з даними відрізками АВ, ВС і їхніми проекціями A1B1 і В1С1. Проведемо у цій площині через точку В пря-

Аналогічно доводяться інші твердження теореми 4 (доведіть їх самостійно). 

Задача 1. Дано три точки, що не лежать на одній прямій і містяться по один бік від площини проекцій, і їхні паралельні проекції. Побудувати лінію перетину площини проекції з площиною, яка проходить через дані точки.

 Нехай А, В, С — дані точки, α — площина проекцій, А1, В1, С1 — проекції даних точок (рис. 186).

Щоб побудувати лінію перетину площин, досить знайти дві її точки. Шукана пряма повинна містити точки перетину прямих АВ і ВС з площиною α (чому?). Для побудови точки М перетину прямої АВ з площиною α проведемо площину, яка проходить через паралельні проектуючі прямі АА1 і ВВ1. Ця площина є проектуючою для прямої АВ, і шукана точка М міститься в цій площині (чому?). Для побудови точки М досить знайти точку перетину прямих АВ і А1В1 (рис. 187). Аналогічно будуємо точку перетину N прямої ВС з площиною α. Пряма MN — шукана. Цю пряму називають слідом площини АВС на площині проекцій α.

Аналізуючи наведену побудову, можна виявити умови існування сліду площини АВС на площині проекцій α. Прямі АВ і А1В1 перетинаються тоді і тільки тоді, коли довжини відрізків АА1 і ВВ1 різні (чому?). Аналогічний висновок стосується прямих ВС і В1С1, АС і А1С1. Таким чином, якщо довжини відрізків АА1, ВВ1, СС1 рівні, то неможливо побудувати слід площини АВС на площині проекцій α, тобто ці площини не перетинаються. Якщо хоча б два з цих відрізків мають різні довжини, то така побудова можлива. 

!З наведених міркувань можна зробити висновок, корисний для побудови сліду площини АВС. Якщо довжини відрізків АА1, ВВ1, СС1 відрізняються мало, то слід площини АВС на площині проекцій α буде дуже відда-

лений від проекцій точок А, В, С. Тому при виконанні

побудови сліду на аркуші паперу виникають труднощі: слід може не поміститись на рисунку.

Приклад 3. Побудувати на площині грані АВС тетраедра ABCD слід площини α, яка поділяє ребро AD навпіл, а ребра BD і CD у відношенні 2 : 1 і 1 : 2 відповідно, рахуючи від точки D.

 Нехай площина α перетинає ребра AD, BD, CD тетраедра ABCD у точках K, M, L відповідно (рис. 188, а). Задача полягає у побудові сліду площини KML на площині АВС. Для цього достатньо побудувати дві точки лінії перетину цих площин.

Прямі KM і AB лежать в одній площині і перетинаються. Це випливає з того, що точки K і M поділяють сторони трикутника ABD урізнихвідношеннях(згадайтетеоремуФалеса!).Позначимо точку перетину прямих KM і AB через X (рис. 188, б).

Аналогічно обґрунтовується те, що прямі LM і CB перетинаються, і будуєтьсядругаточкаY —точкаперетинупрямихLM іBC (рис.188,в). Отже,слідомплощиниα наплощиніABC єпрямаXY.

 Контрольні запитання

1. На рис. 189 зображено площину проекції α, напрям проектування а і точку А. Яка з точок M, N, P може бути паралельною проекцією точки А?

2. Котрий з рис. 190, а)–г) не може бути зображенням паралельних проекцій прямих а і b на дану площину, якщо прямі а і b: 1) паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні?

7.Чи може паралельною проекцією прямої бути промінь?

8.Чи завжди паралельною проекцією прямої є пряма?

9.Чи можуть проекції двох прямих, що перетинаються, бути паралельними?

10.Чи перетинаються прямі, якщо їхні проекції перетинаються?

11.Чи правильним є твердження, що проекція середини відрізка є серединою його проекції?

12.Чи може паралелограм бути паралельною проекцією трапеції?

13.Чи може паралельна проекція висоти трикутника бути медіаною його проекції?

14.Чи правильно, що фігура є відрізком, якщо її паралельна проекція — відрізок?

Графічні вправи

1.На рис. 196 зображено точки А, В та їхні паралельні проекції на площину α. Яка з точок M, N, P може бути зображенням проекції точки С, яка належить відрізку АВ?

2.На рис. 197 зображено точки А, В та їхні паралельні проекції на площину α. Яка з точок M, N, P може бути точкою перетину відрізка АВ з площиною α?

3.Побудуйте рисунок, який відповідає наведеним даним.

1)Дано паралельну проекцію А1В1С1 трикутника АВС і відрізок В1М1 — проекцію медіани ВМ.

2)Прямокутник ABCD не має спільних точок з площиною α. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А1, В1, С1, D1.

3)Дано паралельну проекцію прямокутника і точки перетину його осей симетрії.

4) Дано паралельні проекції квадрата, центра кола, вписаного в квадрат, і точок дотику кола до сторін квадрата.

4. Маємотрикутнупірамідутаїїпаралельніпроекції(рис.198,а–ґ). Для кожного випадку опишіть площини проекцій та напрями проектування.

5. Побудуйте паралельну проекцію куба ABCDA1B1C1D1 на площину грані ADD1A1, якщо напрям проектування паралельний прямій: 1) CD; 2) CA; 3) CA1; 4) C1О, де О — центр грані

ABCD.

6. Побудуйте слід площини MNP на площині нижньої грані прямокутного паралелепіпеда на рис. 199, а)–г).

7. Побудуйте слід площини MNP на площині основи піраміди на рис. 200, а)–г).

Задачі

154°. Дано паралельні проекції ромба АВСD i точки М на стороні ВС. Побудуйте:

1) проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до діагоналі ВD;

2) проекцію точки, яка поділяє діагональ ВD у відношенні 1:3, якщо рахувати від точки В.

155°. Дано паралельну проекцію рівнобічної трапеції АВСD. Побудуйте:

1) проекцію точки М, яка поділяє меншу основу DС у відношенні 1:3, якщо рахувати від точки D;

2) проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до основи АВ.

156. Дано паралельну проекцію рівностороннього трикутника АВС. Побудуйте проекцію:

1°) медіани, проведеної з вершини В; 2°) бісектриси кута А; 3°) висоти, проведеної з вершини С;

4) центра кола, вписаного в трикутник АВС.

157. Дано паралельну проекцію рівнобічної трапеції. Побудуйте проекцію:

1°) середньої лінії трапеції;

2) осі симетрії трапеції;

3) висоти, проведеної з вершини тупого кута.

158. Дано еліпс, що є паралельною проекцією кола. Зобразіть проекції:

1) центра кола;

2) вписаного в коло рівнобедреного прямокутного трикутника;

3) вписаного в коло квадрата.

159. Точки А i В знаходяться по різні боки від площини β, а А1, В1 — їхні проекції на площину.

1°) Побудуйте точку перетину K прямої АВ з площиною β. 2) Знайдіть відстань мiж серединою відрізка АВ i її проекцією на площину β, якщо АK : KВ = 2 : 1, а ВВ1 = 8 см.

160. Точки А, В знаходяться по один бік від площини α; А1, В1, вiдповiдно, — їхні паралельні проекції на α, а М — середина відрізка ВВ1.

1°) Побудуйте точку перетину K прямої АМ з площиною α. 2)ЗнайдітьдовжинувiдрiзкаВ1K,якщоАА1 =8см,ВВ1 =4см,

А1В1 = 6 см.

171*. Побудуйте паралельну проекцію куба на площину однієї з граней, якщо напрям проектування паралельний деякій діагоналі куба.

Вправи для повторення

172.Дано трикутник ABC. Пряма, паралельна прямій AB, перетинає сторону AC у точці A1, а сторону BC — у точці В1. Знайдіть довжину відрізка A1В1, якщо:

1)AB = 15 см, AA1 : AC = 2 : 3;

2)AB = 8 см, AA1 : A1C = 5 : 3;

3)В1C = 10 см, AВ : ВC = 4 : 5;

4)AA1 = а, AB = b, A1C = c.

173.Що являє собою множина точок перетину всіх прямих, які проходять через точки бічної сторони трапеції паралельно її основам, з прямою, що проходить через іншу бічну сторону?

Підсумок

Головні властивості паралельного проектування

Паралельною про- екцією прямої є пряма, а проекцією відрізка — відрізок.

Проекції паралель- них прямих — паралельні або ж збігаються.