ББК 22.1я72 74.262.21 А94

Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (приказ МОН Украины №177 от 03.03.2010 г.)

Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л., Слипенко А.К.

А94 Математика. 10 класс. Учебник для общеобраз. уч. заведений: Уровень стан- дарта. — Тернополь: Навчальна книга – Богдан, 2011. — 496 с.

ISBN 978-966-10-1703-9

Предлагаемый учебник соответствует программе по математике для 10-го класса уровня стандарта, рекомендован Министерством образования и науки Украины. Он направлен на подготовку учащихся к широкому и сознательному применению математики. Эту ориентацию обеспечивают содержание курса, характер изложения учебного материала, отбор иллюстраций и примеры при- ложений, система упражнений и контрольных вопросов.

Для учащихся и учителей общеобразовательных учебных заведений.

ББК 22.1я72

Охраняется законом об авторском праве.

Ни одна часть этого издания не может быть воспроизведена в любом виде без разрешения автора или издательства

! обращение к читателю

Дорогой юный друг!

Перед Вами учебник по предмету «Математика». Его главное предназначение — помочь Вам систематизировать, расширить и углубить знания и умения, необходимые для математического моделирования и исследования процессов и явлений с помощью функций, уравнений, геометрических фигур и других математических объектов, овладеть смежными предметами (физикой, химией, биологией и т. д.), и тем самым удостовериться в могуществе математических методов для познания окружающей действительности, в решении различных проблем.

Учебник для 10 класса состоит из четырех разделов. Каждому разделу предшествует материал, изучавшийся ранее и необходимый для изучения этого раздела. Он представлен в виде таблиц. Для обеспечения готовности к изучению материала раздела приводится диагностический тест.

Разделы учебника состоят из параграфов, которые, в свою очередь, делятся на пункты. К каждому пункту даны контрольные вопросы, целью которых является обеспечение активного усвоения основных понятий и фактов в их взаимосвязи.

Изложение учебного материала в каждом пункте структурировано по уровням. На первом уровне (он обозначен буквой Б) излагаются основные понятия, факты, темы, хотя, чаще всего без формальных доказательств. Этот материал являетя базой для дальнейшего изучения темы, более основательного и полного.

На другом уровне (он обозначен буквой О) приводится более полноеобоснованиепредыдущегоматериала,егораширение,приводятся примеры его применения. Материал на этих двух уровнях обеспечивает овладение предметом в соотвествии с требованиями программы уровня стандарта.

Изложение теоретического материала сопровождается примерами и решением типовых заданий соответствующего уровня. Начало и конец доказательств утверждений и решений примеров и задач обозначены знаками  и ■.

Система задач, упражнений и контрольных вопросов, приведен- ных в учебнике, имеет три уровня сложности: первый уровень слож- ности обозначен символом «°», второй не имеет обозначений, третий обозначен символом «*».

В общую систему заданий включены упражнения на повторение, которыедолжныспособствоватьобеспечениюготовностиковладению последующим материалом, сохранению умений и навыков, сформи- рованных при изучении предыдущих разделов.

Каждый раздел завершается материалом для подготовки к тема- тическому оцениванию, состоящим из вопросов для самоконтроля (с ответами) и образца тематической контрольной работы. Для повторе- ния и систематизации учебного материала раздела приведены соот- ветствующие таблицы.

Учебник содержит указания и ответы к задачам, предметный ука- затель.

Чтение книги не является легким делом. Некоторые фрагменты доказательств оставлены для самостоятельной проработки. Не про- пускайте их!

Желаем успехов!

Коллектив авторов

Обознаения для ориентирования в учебном материале

, — две ступеньки усвоения учебного материала

!— обратите внимание

— начало решения задачи, доказательства теоремы  — конец решения задачи, доказательства теоремы ° — задачи первого уровня сложности * — задачи третьего уровня сложности

— контрольные вопросы— графические упражнения

— границы для различных типов задач— существует объект! — существует единственный объект

— знак логического следования: если ..., то— равносильность: тогда и только тогда

! введение

Развитие общества и математика

Однойизхарактерныхособенностейнашеговремениявляетсяширокое применение математики в различных отраслях деятельности человека. Без математики не обойтись при проектировании и строительстве зданий, производстве приборов и их деталей, важную роль играет эта наукавпланированиихозяйственнойдеятельности,управлениитехнологическими процессами, организации работы предприятий и т. п.

Существенное ускорение процесса математизации науки, техники, хозяйственной деятельности началось в середине ХХ ст. Оно связано с созданием электронно-вычислительных машин, автоматизацией процессов производства, новейшими технологиями, существенными изменениями в характере труда человека.

Математика стала универсальным средством моделирования и исследования окружающего мира, надежным орудием решения практических задач. Поэтому изучение математики, ее приложений является неотъемлемым условием формирования мировоззрения человека и подготовки современного специалиста — квалифицированного рабочего, техника, инженера, экономиста и т. д.

Практика — основной источник развития математики

Несомненно, математика возникла на ранней стадии развития человечества под воздействием потребностей практической деятельности. Развитие ремесел, земледелия, торговли и обмена, навигации, управление государством потребовали усовершенствования измерений и расчетов.

Невозможно точно ответить на вопрос, когда именно были сформированы первые математические понятия. Однако есть убедительные письменные свидетельства (папирусы, глиняные таблички), подтверждающие высокий уровень математических знаний у развитых цивилизаций Древнего Востока — в Египте и Вавилоне — за три-две тысячи лет до н.э. Математика того времени имела ярко выраженный конкретный характер. Её достижения дошли до нас в виде задач, большинство из которых относятся к разряду хозяйственных, и их решений. В них

речь идет об измерении площадей и объемов, о подсчетах урожая и ве- личины налогов, о вычислениях, связанных с уплатой долгов и др.

Примерно в VII ст. до н.э. начался расцвет греческой цивилизации, отличавшейся от стран Древнего Востока политическим строем, эконо- микой и культурой. Расцвет науки и искусства в Древней Греции со- провождался плодотворными теоретическими исследованиями. Стрем- ление древних греков понять строение Вселенной, определить роль и место человека в природе и обществе привели к утверждению новых форм рационального мышления. В математике эта форма мышления проявляласьвстремлениидоказатьвсеутверждения,исходяизнеболь- шогоколичестваначальныхутверждений.Дотоговремениматематика имела «рецептурный» характер. Поэтому обоснование общепринятых практических «рецептов» стало одной из основных задач греческих ма- тематиков. Уже в ІІІ ст. до н.э. Евклид создал книгу «Начала», в кото- рой в дедуктивной форме изложил основы тогдашней математики. На протяжении двух тысячелетий «Начала» Евклида считались образцом строгости и существенно влияли на развитие математики. Впрочем, ак- сиоматический метод, с помощью которого Евклид изложил основы гео- метрии, является общепризнанным при построении современных наук и не только математических.

В Древней Греции были сделаны открытия, которые на многие века определили направления развития математики. Вместе с до- стижениями теоретического характера ученые того времени имели много сугубо практических достижений. Самым знаменитым пред- ставителем прикладной математики того времени историки считают Архимеда (примерно 287—212 гг. до н. э.). Он был не только мате- матиком, но и талантливым инженером. Его труды по вычислению площадей и объемов стали предвестниками мощнейших современ- ных методов математики.

Последний период развития античного общества связан с влия- нием Римской империи, где, в отличие от Греции, математикой ин- тересовались мало. Любопытно, что в V ст. н.э. римский император Юстиниан даже запретил занятия математикой под угрозой смерти.

После упадка Римской империи центр математических исследова- ний переместился на Восток. Наиболее значительными достижениями средневековой математики является использование в Индии совре- менной десятичной позиционной системы записи чисел, введение от- рицательных чисел и нуля, создание арабскими математиками (альКараджи, аль-Бируни, аль-Хайами и др.) основ алгебры, впоследствии выделившейсявсамостоятельныйразделматематики.Математические исследования на Востоке имели арифметико-алгебраический характер и были более прикладными, чем во времена античности. Арабские ма- тематики, учитывая необходимость астрономических исследований и потребности навигации, существенно развили тригонометрию.

Вто время, когда Восток продолжал развиваться, Западная Ев- ропа постепенно приходила в упадок. Феодальные дрязги, низкий уровень культуры и производства никоим образом не способствовали развитию науки. Изучение математики в культурных центрах того времени — монастырях — ограничивалось изучением арифметики и основных понятий геометрии.

Вначале XII ст. экономическая жизнь Запада активизируется, устанавливаются торговые связи с Востоком. Благодаря арабам Ев- ропа знакомится с трудами греческих ученых, в европейских странах оживляется интерес к математике.

Конец средневековья (XV-XVI ст.) в Западной Европе характери- зуется бурными изменениями, связанными с распадом феодального общества и формированием рыночных отношений. Развитие про- мышленности, торговли, мореходства, печатного дела привело к рас- цвету культуры, искусства и науки. Математика становится важным средством научного Возрождения. В процессе активных занятий ею ученые создали современную алгебраическую символику.

Уже в эпоху Возрождения началось использование различных ма- шин и механизмов в мануфактуре, в строительстве, горном деле и т. д. Появились предпосылки для развития теоретической механики

иизучения механического движения. Ученые должны были позабо- титься о создании соответствующего математического аппарата. В начале XVII ст. Рене Декарт (1596 — 1650) ввел в обращение поня- тие переменной величины. С тех пор основным объектом математики стало понятие функции. Усилиями Ньютона, Лейбница, их учеников

ипоследователей для изучения функциональных зависимостей был разработан новый математический аппарат. Его применение при ре- шении задач механики, астрономии и других наук надолго опреде- лило последующие пути развития математики.

Развитие рыночных отношений в XVIII и XIX веках сопровож- далось перестройкой производства с применением паровых машин, других технических средств. Развитие математики в то время было тесно связано с технической революцией, требованиями практики. Создание геометрических теорий, развитие понятия о числе, изуче- ние функций стимулировались необходимостью решения научнотехнических проблем в области кораблестроения и мореходного дела, баллистики, гидротехники, геодезии и картографии, астрономии.

Со временем непосредственное влияние практики на развитие математики несколько уменьшилось. Однако становление различ- ных естественных и технических наук, прежде всего — физики, было тесно связано с усовершенствованием математических методов, рас- ширением сферы их приложений.

Таким образом, связь математики с практикой чаще всего осу- ществляется через естественные и технические науки.

Важным источником развития математики является ее внутрен- ние потребности, направленные на систематизацию теорий, их обоб- щение, совершенствование научных методов и т.п.

Развитие математики в XIX ст. определялось как ее внутренними потребностями, так и потребностями практики. Яркие результаты были получены и на том, и на другом пути. Нередко абстрактные математические теории со временем становились прикладными. Так, например, неевклидова геометрия, творцами которой были не- мец К.Ф. Гаусс (1777–1855), венгр Я. Больяи (1802–1860) и россия- нин Н.И. Лобачевский (1792–1856), появилась благодаря попыткам усовершенствовать «Начала» Евклида. В начале ХХ ст. это открытие стало неотъемлемой частью современных физических теорий.

Еще большую роль в изучении окружающего мира играет мате- матика в XX ст. Её возможности существенно выросли в результате создания электронно-вычислительных машин. Современный этап развития общества характеризуется значительным ростом сфер при- менения математики.

Чем же объясняется многообразие применений математики и уни- версальность ее методов? Во-первых, математика использует доста- точно общие и четкие объекты для описания окружающих явлений (геометрические фигуры, числа, уравнения, векторы и т. д.). А, вовторых, учеными разработан ряд мощных методов исследования ма- тематических объектов: метод координат, алгебраические методы, методы математического анализа и др.

Таким образом, математика является удобным и эффективным средством для описания и исследования закономерностей реального мира.

Математическое моделирование

Применение математики для описания и исследования процессов и явлений действительности ставит нас перед необходимостью найти ответ на вопрос: «А в чем заключается сущность решения прикладной задачи с помощью математики?». Собственно, об этом мы и поговорим.

Всем вам приходилось применять математические знания для рас- чета скорости заполнения бассейна, времени выполнения работы и др. Эти приложения предусматривают замену реальных объектов и отно- шений между ними математическими объектами и отношениями меж- ду ними (функциями, уравнениями, геометрическими фигурами).

Для этого необходимо прежде всего выделить существенные ха- рактеристики реальных объектов и отношений между ними, про- игнорировав несущественные, а потом — именно их заменить ма- тематическими объектами и связями между ними. Процесс такого замещения называют математическим моделированием.

Математическими моделями обычно называют чаще всего приближенные описания какого-то класса явлений внешнего мира,

невозможно сделать, следует продолжить исследование математичес- кой задачи и научиться характеризовать точку С другими средствами.

Но еще более важным и более сложным является уточнение ре- шения в связи с тем, что численность населения в пунктах А и В различна. Учет этого фактора значительно усложняет задачу. Еще более сложной становится ситуация, если учитывать и другие естест- венные условия, например, ситуацию, когда напрямик идти нельзя. Учет всех факторов почти невозможен в общем случае. Но при конк- ретных условиях математик всегда построит математическую модель для этой задачи и предложит приемлемый вариант ее решения.

Подводя итоги, можно утверждать, что процесс математического моделирования состоит из трех этапов:

1) выбор или построение математической модели для описания данной задачи;

2) исследование построенной модели, то есть решение ма- тематической задачи;

3) интерпретация результатов исследования, установление

соответствияполученногорезультатацелямисследований.

При необходимости уточняется математическая модель и резуль- таты, вытекающие из ее исследования.

Построение математической модели основывается на абстраги- ровании от всех свойств объекта познания, кроме количественных и пространственных. При построении математической модели всегда возникает необходимость пренебрегать теми или иными сторонами реальности. О качестве построенной модели можно судить лишь по результатам сравнения реальности с информацией, полученной пу- тем исследования модели. Таким образом, метод математического моделирования исходит из практики, создавая математические мо- дели явлений и процессов, и возвращается к ней, чтобы обосновать целесообразность создания модели.

Выводы

Основой применения математики, как уже отмечалось, является процесс математического моделирования. К этой деятельности Вы готовились, изучая курс математики в основной школе. Там созда- вался запас математических моделей, формировались навыки их построения и исследования.

В данном курсе предусматривается систематизация, углубление и расширение знаний, полученных в основной школе, а также совер- шенствование навыков моделирования. Для моделирования реаль- ных объектов и отношений, с которыми Вы будете иметь дело при изучении других дисциплин, в будущей профессиональной деятель- ности, необходимо существенно расширить средства математическо- го моделирования и исследования математических моделей, за счет введения новых классов функций и математических методов. Дан- ная книга поможет Вам в достижении этих целей.