§4. основные свойства функций

Пример 2. На рис. 60 изобра- жен график скорости движения автомобиля. Охарактеризовать его движение.

Первые полчаса скорость дви- жения автомобиля росла от 0 км/ч до 90 км/ч, то есть автомобиль дви- галсяускоренно.Втечениеследую- щих двух часов (на временном промежутке [0,5; 2,5]) он двигался

с постоянной скоростью 90 км/ч, то есть равномерно. После этого скорость начала уменьшаться и через час автомобиль остановился. Всего он двигался 3,5 часа.

Для функций, заданных аналитически, находить промежутки возрастания и убывания достаточно трудно. Напомним решение этой задачи для уже знакомых вам функций: для линейной, квадратич-

ной и обратной пропорциональности.

У линейной функции y = kx + b коэффициент k равняется тангенсу угла наклона ее графика (прямой) к оси х. Если k > 0, то

tg ϕ > 0 и 0° < ϕ < 90°. Следовательно, угол наклона прямой к оси х

является острым, и линейная функция возрастает (см. рис. 21, а).

Если k = tgϕ < 0, то 90° < ϕ < 180°. Следовательно, угол наклона

прямой к оси х является тупым, и линейная функция убывает (см.

рис. 21, б).

Например, линейная функция y = x 2−1 возрастает, поскольку k = 12 > 0,алинейнаяфункция y = 1 −2x убывает,таккак k = −12 < 0 .

Например, вершина параболи у = х2 + 2х – 3 находится в точке с абсциссой x0 = − 22 = −1 и а = 1 > 0. Поэтому квадратичная функ-

ция у = х2 + 2х – 3 убывает на промежутке (−∞; −1] и возрастает на промежутке [−1; + ∞).

!Рассмотрим теперь обратную пропорциональность. Обратите внимание на то, что функция y = 1x не является убывающейвсвоейобластиопределения (−∞; 0) (0; +∞).

Сравним, например, значения этой функции в точках

х1 = –1 и х2 = 1: у(1) = 1 > y(– 1) = – 1, то есть большему зна-

чению аргумента соответствует большее значение функции. Однако, она убывает на каждом из промежутков

(−∞; 0) и (0; + ∞).

Вспомните график функции y = x и подумайте над тем, является ли она монотонной.

9 Контрольные вопросы

1°. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 63, а)–г), является:

1) возрастающей; 2) убывающей?

2°. Какие из функций, графики которых изображены на рис. 63, а)–г), имеют промежутки постоянства?

3°. Какие из функций, графики которых изображены на рис. 64, а)–г), возрастают на промежутке [0; 1]?

поскольку ее область определения не симметрична относительно

начала координат: точка х = –3 входит в область определения, а точка х = 3 — не входит.

Для доказательства того, что функция не является ни чётной, ни нечётной, целесообразно действовать

следующим образом.

1) Проверить, симметрична ли область определения функции относительно начала координат. Если она не симметрична (см. пример 3, 3)), то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если она симметрична, то продолжать исследование.

2) Подобрать две точки, симметричные относительно начала координат и такие, что f(– x) ≠ f(x) и f(– x) ≠ – f(x). Это и доказывает требуемое утверждение.

Пример 4. Доказать, что функция f(x) = x2 + x не является ни чётной, ни нечётной.

 Её область определения симметрична относительно начала координат, но в симметричных точках 1 и –1 она принимает значения 2 и 0, которые не являются ни равными, ни противоположными числами. Поэтому не выполняется ни равенство f(–x) = = f(x), ни равенство f(– x) = – f(x) для всех х из области определения. Отсюда вытекает, что функция не является ни чётной, ни нечётной.

!Однакосуществуютпроцессы,вкоторыхисследуемаявеличина изменяется скачками. Например, так изменяется в зависимости от времени масса товара, который остается в машине, если его разгружают ящиками (рис. 74, а); сумма денег на банковском счете в зависимости от времени, если этот счет пополняется, но деньги с этого счета не снимаются (рис. 74, б); высота травы на газоне в зависимости от времени, если её регулярно подстригают с помощью газонокосилки (рис. 74, в), и т. п.

Важно научиться работать с подобными функциями.

Поведение функции в окрестности точек разрыва может быть различным. Во-первых, точка разрыва может принадлежать области определения функции, а может и не принадлежать. Так, функция

у = g(х), график которой изображен на рис. 72, определена в точке

78 Функции, их свойства и графики

рис. 73), а может иметь «бесконечный скачок», как у функции y = 1x (см. рис. 67).

На рис. 75–78 изображены различные случаи бесконечных скачков. Мы видим, что графики функций приближаются к прямой х = х0, когда аргумент приближается к х0. Прямую х = х0 в таких случаяхназываютвертикальнойасимптотойграфика.Например,

гипербола y = 1x имеет вертикальную асимптоту х = 0.

Асимптота (по греческиασιµπτϖτος ( asymptotos)) – несовпадающая.

Рассмотрим функцию у = f(х), график

которой изображен на рис. 79. Эта фун- кция имеет две точки разрыва: х1 = 2 и х2 = 3. В точке х1 = 2 функция определена

и f(2)= 3. Точка х2 = 3 является точкой раз-

рыва функции, хотя график в этой точке не делает скачка. В этой точке функция не определена.

Задачи

64°.Исследуйте функцию на четность и нечётность:

66°.На рис. 81, 82 изображены графики функций у = g(х) и у = f(х). Найдите для каждой функции:

1) область ее определения; 2) множество ее значений; 3) нули функции и промежутки знакопостоянства; 4) промежутки возрастания, убывания функции.

67°.На рис. 83 изображена зависимость скорости движения вело-

сипедиста от времени. 1) Какой была скорость движения велосипедиста в момент времени t =18мин?

2) В какие моменты времени ско- рость равнялась 5 км/ч? 3) Укажите промежутки време- ни, в течение которых скорость движения велосипедиста возрастала, убывала, была постоянной.

70.Постройте график функции y = f(x), удовлетворяющей условиям:

1°) функция определена и возрастает на промежутке [–2; 2], f(–2) = –1, f(2) = 1;

2°) функция возрастает на промежутке (–∞; 2] и убывает на промежутке [2; + ∞);

3)функция чётная и убывает на промежутке [–3; 0];

4)функция определена на промежутке [–4; 4], нечётная и возрастающая.

71.На рис. 85, а)–в) изображены графики некоторых функций. Достройте каждый из них (если это возможно) до графика:

1)чётной функции; 2) нечётной функции.

72*.Распределите графики, изображенные на рис. 86, а)–в), на 2 класса по их характерным признакам. Опишите признаки, по которым предложена классификация.

73*.Распределите все функции, графики которых изображены на рис. 87, а)–е), на 3 класса по некоторому свойству. Опишите свойства, общие для функций каждого класса.

1)Постройте график функции.

2)Сколько корней имеет уравнение: f(x) = 1; f(x) = –1; f(x) = x?

Итог

Основные понятия

Геометрическая Определения интерпретация,

примеры

Функция у = f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если для произвольныхточекэтогопромежутках1 иx2,таких,что х1 < x2, выполняется неравенство f(х1) > f(х2).

Функция у = f(х) называется возрастающей на некотором промежутке, если для произвольных точек этого промежутка х1 и x2, таких, что х1 < x2, выполняется неравенство f(х1) < f(х2).

Функция у = f(х) называется чётной, если: 1) её область определения вместе с каждой точкой х содержит и точку –х;

2) для каждого х из области определения функ- циивыполняетсяравенствоf(–x)=f(x).

Функция у = f(х) называется нечётной, если:

1) её область определения вместе с каждой точкой х содержит и точку –х; 2) для каждого х из области определения функ-

циивыполняетсяравенствоf(–x)=–f(x).