§5.

корни n-ой степени

В курсе алгебры уже рассматривалось понятие квадрат-

ного корня из неотрицательного числа. В данном параграфе

обобщим это понятие, определив понятие корня с произволь-

ным натуральным показателем, большим 1.

1. Степенные функции с натуральными показателями

Ранее мы рассматривали функцию у = х2. Её называ-

ют степенной функцией с показателем степени, рав-

ным 2. Теперь мы рассмотрим степенные функции, у

которых показателем степени является любое натуральное число.

Степенной функцией с натуральным показателем

п называют функцию вида у = хп.

Рассмотрим сначала степенные функции

с чётными натуральными показателями, то

есть функции вида у = х2, у = х4, у = х6, ... . Все

функции указанного вида обладают теми же

свойствами, что и функция у = х2, график ко-

торой изображен на рис. 89. Они определе-

ны на множестве действительных чисел. Эти

функции являются чётными. Например, для

функции у = х4 имеем: у(– х) = (– х)4 = х4 = у(х).

Аналогично можно обосновать чётность любой

из указанных функций. Графики этих функ-

ций симметричны относительно оси ординат.

Степенные функции с чётными натуральными показателями

неотрицательны и имеют лишь один нуль: х = 0. Поэтому их гра-

фики лежат в верхней полуплоскости и проходят через начало ко-

ординат. Кроме того, графики всех указанных функций проходят

через точку с координатами (1; 1).

84

Функции, их свойства и графики

Функции у = х2, у = х4, у = х6, ... возрастают на промежутке [0; +∞)

и убывают на промежутке (–∞; 0]. Их графики похожи на график,

изображенный на рис. 89.

Рассмотрим теперь степенные функции с

нечётными натуральными показателями, от-

личными от 1, то есть функции вида у = х3,

у = х5, у = х7, … . Областью определения этих

функций является множество действительных

чисел. Они нечётны. Например, для функции

у = х5 имеем: у(– х) = (– х)5 = – х5 = –

у(х). Графи-

ки этих функций симметричны относительно

начала координат.

Степенныефункцииснечётныминатураль-

ными показателями возрастают. Они имеют

лишь один нуль: х = 0. Их графики проходят

через точку с координатами (1; 1) и похожи на

график, изображенный на рис. 90.

В частности, функцию у = х3 называют кубической, а ее гра-

фик – кубической параболой.

Корни п-ой степени

85

p

3

S3 = 1000 1

+

.

100

от р является степенной функцией.

Эта зависимость S3

p

3

Ответ. S3 =

1000

1

+

.

100

86

Функции, их свойства и графики

Пример

3. Сколько корней имеет уравне-

ние х5 + х – 1 = 0?

 Переписав уравнение в виде х5 =1 – х,

решим задачу графическим методом. В одной

системе координат построим графики функ-

ций у = х5

и у =1 – х. Корни уравнения — это

абсциссы общих точек графиков функций.

Графики пересекается в одной точке (рис. 92).

Следовательно, уравнение имеет один ко-

рень.

Один.

Ответ.

99 Контрольные вопросы

1°.

Пересекает ли график функции у = х6 прямая: а) х = 0; б) у = –1?

2°.

Пересекает ли график функции у =

х5

прямая:

д) у = –1?

а) х = 0;

б)

х = 100;

в)

х = –1000;

г) у = 10;

3.

Какие свойства функций у

=

х4 и у = х5 является общими?

4.

Сколько корней имеет уравнение:

= –7;

г) х11 = 11?

а) х4

= 2;

б) х2

= –3;

в) х5

5.

Даны функции f(x) = x5

и g(x) = x10. Что больше: нуль или число:

а) f(–5) f(–7);

б) f(–10) – f(–20);

в) g(–10) – g(–20)?

6.

Сравните числа:

5

7

4

7

6

7

5

7

5

6

4

6

5

6

−

4

6

а)

и

;

б)

и

; в)

и

;

г)

и

5

.

6

5

5

4

6

5

6

2. Понятие корня n-ой степени

Как известно, квадратным корнем из числа а назы-

вают число, квадрат которого равняется

а. Анало-

гично определяется понятие корня

п-ой степени из

числа а, где

п – произвольное натуральное число, большее 1. Это

Корни п-ой степени

87

Рассмотрим функцию у = х3. Произвольная

прямая у = а пересекает график этой функции

в единственной точке (рис. 93). А это означает,

что для любого числа а существует единствен-

ное значение х, третья степень которого равна

а. Иначе говоря, для любого действительного

числа а существует единственное значение

корня третьей степени из этого числа.

Аналогично можно прийти к общему выво-

ду. Для произвольного действительного числа

а и любого нечетного натурального числа п су-

ществует единственное значение х, п-ая сте-

пень которого равна а. Это значение является

корнем п-ой степени из числа а. При нечётном

п его обозначают через n a (читают: корень

п-ой степени из числа а).

Например, запись 3 −27 означает кубический корень из числа

–27. Из определения корня вытекает, что 3 −27 = –3, так как (–3)3 =

= –27. Запись 5 0,03125 означает корень пятой степени из числа

0,03125. Его значение равно 0,5, поскольку (0,5)5

= 0,5 · 0,5 · 0,5 ×

× 0,5 · 0,5 = 0,03125.

имеет место ра-

По определению, для произвольного числа а

венство:

(2k+1 a)2k+1 = a.

Заметим, что при произвольном натуральном значении k чис-

ло 2k + 1 нечётно.

88

Функции, их свойства и графики

Рассмотрим теперь функцию у = х4. Про-

извольная прямая у =

а при а > 0 пересе-

кает график этой функции в двух точках

(рис. 94), то есть для любого положительно-

го числа а существуют два значения х, чет-

вертая степень которых равняется а. Иначе

говоря, для любого положительного числа а

существуют два значения корня четвертой

степени из этого числа.

Аналогично можно придти к общему выводу. Для произволь-

ного а > 0 и чётного натурального числа п существуют два проти-

воположных числа, п-ая степень которых равна а. При а = 0 такое

число единственное, х = 0. При а < 0 таких чисел не существует.

Пример 4. Вычислить:

(

22)2 + (3 −2)3

.

2

5 32



Согласно

определению

корня п-ой степени, имеем:

( 22)2 + (3 −2)3

22− 2

=

20

= 5.

2

5 32

=

2 2

4

Ответ: 5.

Как известно,

для квадратного корня знаком

a

обозначается неотрицательный корень из неотри-

цательного числа

а.

Корни п-ой степени

89

мы обозначали

через

2k+1 a . Согласно определению, 3 53 = 5,

3 (−5)3 = −5, 3 a3

= a, 5 a5

= a и т.д. для произвольного числа а. Та-

2k+1 a2k+1 = a .

Например,

3 (

3 − 2)3 = 3 − 2, но 4 ( 3 − 2)4 =

3 − 2

= 2− 3 ,

так как

3 < 2.

Пример

5.

Упростить выражение 6 x6

+ 5 x5 .

 Согласно

приведенным

выше

формулам, имеем:

6 x6 + 5 x5

=

x

+ x . Если х ≥ 0, то |x| = x и |x| + x = x + x = 2x. Если же

х < 0, то |x| =

–

x и |x| + x = – x + x = 0.

Ответ: 2х, если х ≥ 0; 0, если х

< 0.

Пример 6.

Построить график функции y = 4 (x − 2)4 .

Так как 4 (x − 2)4 = x − 2 , то имеем фун-

кцию y = |x – 2|, график которой можно полу-

чить из графика функции у = |х| параллель-

ным переносом последнего на 2 единицы в

положительном направлении оси абсцисс

(рис. 95).

как, согласно определению,

3 −

1

= −

1

, − 3

1

= −

1

. Вообще, при

8

2

8

2

Корни п-ой степени

91

1) 6 64 729; 2) 5 8 5 4;

3)

4 3

13

;

4)

4 243

.

81

4 3

Мы видим,

что значения этих выражений равны друг другу, то

есть 3 729

=

6 729.

Ответ:

3 729 = 6 729.

простые множители и применяя определение корня и свойство 1,

можно

вынести

множитель

из-под

знака

корня:

4 48 = 4

24

3 = 4 24

4 3 = 24

3. Выполняя эти преобразования в об-

ратном

порядке,

можно

внести

множитель

под знак

корня:

23 3 = 3 23 3 3 = 3 23 3 = 3 24.

Пример

9. Упростить выражение:

Корни п-ой степени

93

степени: 4 33 3 = 4 3 33 3 3 = 4 3 34 . Согласносвойству3, 4 3 34

= 12 34 .

Применяя основное свойство корня, получим: 12 34 = 3 3.

Итак,

4 33 3 = 3 3.

Ответ. 1) −4 3; 2) 9; 3) 3 3 .

94

Функции, их свойства и графики

3 9

=

6 92

= 6 92 = 6

27 = 6 33 = 3.

6 3

6 3

3

Ответ. 1)

12 2000 ; 2)

3 .

Использовать свойства 1–4 при преобразовании вы-

ражений с корнями следует очень осторожно, обя-

зательно проверяя выполнение условий, при кото-

рых они справедливы. В противном случае можно

2) 4 6a13b6 = 4 a12 4 b4 4 6ab2

=

a

3

b

4 6ab2 = −a3b4 6ab2 , посколь­

ку a > 0,b < 0.

2) −a3b4 6ab2 .

Ответ. 1) a3b4 6ab2 ;

Пример 12. В выражении

b4 a

внести множитель под знак

корня, если b < 0.

 Поскольку b < 0

и

b

= 4 b4 ,

то −b = 4 b4 . Таким образом,

Корни п-ой степени

95

99

Контрольные вопросы

1°.

Какие из следующих чисел являются арифметическими кор-

нями соответствующей степени:

а) 3 −25;

б) 5 25;

в) 4 23;

г) 4 (−7)2 ?

2°.

Как записать корень п-ой степени из отрицательного числа

через арифметический корень той же степени:

а) 3 −15;

б) 5 −37;

в) 7 −23;

г) 9 −7 ?

а°) ( 3 −15)3 ;

б°) 4 74 ;

в) 5 (−37)5 ;

г) 10 (−5)10 ?

4°. Чему равно значение выражения:

а) 3 8 27 125;

б) 3 1000

1

64;

в) 4

16 81 10000;

27

г) 3 27;

д) 3 1000 ;

81

81

е)

4

;

ё) 4

?

0,0256

64

216

625

а)

4

a4 = a ;

б)

4

a4

= −a ; в) 3 a3

= a ; г)

ab = −a −b ?

7*. Верно ли равенство:

а)

a3b = a ab;

б) 3 a4b = a3 ab;

в)

a3b2 = ab a ?

82°.Укажите

промежутки, на которых возрастает и на которых

убывает функция:

2)

3)

1)

y = x3 ;

y = x4;

y = −x3 ;

4)

y = −x4;

5)

y = (1 − x)6 ;

6)

y = (x + 2)5 .

83. Исследуйте на четность и нечётность функцию:

1°)

y = x4 + 2;

2°)

y = −x5 + 2x3 − x;

3°)

y =

4x5

;

4)

y = x3 + x2 + x +1.

x −1

96

Функции, их свойства и графики

84.

Постройте график функции:

1°)

y = (x −2)3 ;

2°) y = x3 −2;

3)

y = (x −3)4 + 2 .

85.

Сколько корней имеет уравнение:

1

1°) x3 = 3 − x ;

2°)

x = x4 ;

3°) x5 +1 =

;

4)

х3 = |x|?

86.

Решите уравнение:

x

= –64;

3) х4 = 625;

4)

х4 = –625.

1) х3 = 64;

2)

х3

87°.Найдите значение выражения:

91

1) 3 2 3 500 ;

2)

4 324 4 4 ;

3)

3 −1

;

4)

3 36 49 ;

125

5)

5

710

;

6)

3 0,027 36 ; 7) 4 48 27 ;

8)

5 162 48 .

35

88°.Представьте выражение в виде дроби:

1)

3

8

;

2)

3 64;

3)

4

5

;

4) 4 625

;

5)

5

6

.

81

27

15

256

a5

89°.Вычислите:

3 48 : 3 3 .

1)

3 243 : 3 9;

2)

3 256 : 3 4;

3)

3 250 : 3 2;

4)

4

90.

Представьте выражение в виде корня из некоторого числа:

1°) 3 3 5;

2°) 4

3 10 ;

3°) 3

4;

4°) 4 5 12; 5) 3 2 5;

6) 5 43 3.

91.

Решите уравнение:

1)

4 x −0,2 = 0 ; 2)

8 x +3 = 0 ;

3)

3 x −2 = 0;

4)

3 x +3 = 0 .

92.

Упростите выражение:

1°)

3 1 b3 ;

2°) 5 243d15

;

3)

4 16a4 ,a > 0

;4)

4 16 c4 ,c < 0 .

8

81

93.

Сократите дробь:

7 + 7

a −1

a −81b

8a −1

1°)

7 +1

;

2°)

;

3)

;

4)

.

a +1

a −9 b

94.

43 a2 + 23 a +1

Вынесите множитель из-под знака корня:

1°) 3 250;

2°) 4 405;

3)

3 54a7 ;

4)

4 32b6 ;

5) 4 5a6 ,a < 0; 6)

3 m8n2 ;

7)

4 16a3b11 .

95.

Внесите множитель под знак корня:

1°) −55 5 ;

2)

b6 2,b ≤ 0;

3) ab4 2,a ≥ 0,b ≤ 0 ;

4) b4 −b .

Корни п-ой степени

97

96.

Упростите выражение:

1°) 2 5 −2 45

+ 2 20

;

2°) 3 40 + 4 162 −34 2 −23 5 ;

3°) 43 6 + 3 135

− 3 384

− 3 40 ;

4°) ( 12 +

75 +

27):

15 ;

5) (3 4 −33 2)(3 16 +33 8 + 93 4);6) (4 3 − 4 27 )(4 3 + 4 27);

7) (4 3 − 4 27)2 −4 3 ;

8) (7 6 6

−64 216)4 .

97.

Найдите область определения функции:

1°) y = 4 5x −15; 2°) y = 3 x2 −1;

3°) y = x

2 −1;

4) y = 5

x

.

x +1

πR4

p − p

бы, вычисляется по формуле: Q =

8η

1 2

, где Q — поток,

l

R — радиус трубы, l — длина трубы, р1

– р2 — разность давле-

ний на концах трубы, η — вязкость жидкости. Выразите ради-

ус трубы R через другие переменные.

1) y =

3

;

2) y = 3 x −2; 3) y = x5 + 2;

4*) y =

x −1

.

x + 2

x −1

98

Функции, их свойства и графики

Итог

Основные понятия

Определение

Примеры

Применение

Корнем п-ой степени

3

−27 = −3 .

Операция извлечения

(n Ν, n > 1) из числа а

Корень четвер-

корня п-ой степени яв-

называется число,

п-ая

той степени из

ляется

обратной для

степень которого равня-

числа

81

рав-

операции возведения

ется а.

няется

3

или

в п-ую степень.

–3.

Арифметическим

кор-

1

1

, 4 81 = 3.

Понятие арифметичес-

нем п-ой степени из не-

3

8

=

2

кого корня приводит к

отрицательного числа а

однозначности нахож-

называют неотрицатель-

дения

неотрицатель-

ное число, п-ая степень

ного корня из неотри-

которого равняется

а.

цательного числа.

Арифметический корень п-ой степени из про-

n ab = n a n b,

изведения двух неотрицательных чисел равен

a ≥ 0,b ≥ 0.

произведению арифметических корней п-ой

степени из этих чисел.

Арифметический корень п-ой степени из дроби,

a

n a

,

числитель которой неотрицателен, а знамена-

n

b

=

n b

тель положителен, равен арифметическому

корню п-ой степени из числителя, деленному

a ≥ 0,b > 0.

на арифметический корень п-ой степени из

знаменателя.

Если показатель корня и показатель степени

n k a = nk a,

подкоренного выражения умножить или раз-

nk amk

= n am .

делить на одно и то же натуральное число, то

значение корня не изменится.