§23. измерение расстояний в пространстве

В этом параграфе рассматривается измерение расстояний между основными фигурами стереометрии (точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, плоскостями).

Измерение расстояний между различными физи- ческими объектами является одним из самых рас- пространённых видов математической деятельности человека. Если размерами объекта можно пренебречь, то речь

идет об измерении расстояний между точками, то есть об определении длин отрезков. В других случаях моделирование данных объектовспомощьюточекприизмерениирасстояниймеждуними нецелесообразно или бессмысленно, например, когда речь идет об измерении расстояния между электролампой и столом (рис. 480), если первую можно отождествлять с точкой, то для моделирования стола более пригодна плоскость или ее часть. Аналогичная ситуация возникает при определении расстояния между фасадами зданий (рис. 481), что при математическом моделировании сводится к определению расстояния между параллельными плоскостями; при установлении вертикального рельса на определенном расстоянии от стены (рис. 482) (определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью) и т. п.

Рассмотрим вопрос об измерении расстояний между самыми простыми фигурами в пространстве. Содержание понятия рассто- яния остаётся таким же, как и в планиметрии. Например, рассто- яние d от точки А до прямой а — это кратчайшее расстояние меж- ду этой точкой и точками прямой (рис. 483), а расстояние между параллельными прямыми а и b — это длина d кратчайшего из отрезков, соединяющих точки этих прямых (рис. 484).

Такое же содержание имеет и общее понятие расстояния меж- ду фигурами. Например, измерение расстояния d от пункта А до озера В (рис. 485), расстояния d между озёрами A и В (рис. 486) сводится к измерению кратчайшего отрезка, соединяющего точки этих обьектов.

Обобщение понятия расстояния между фигурами в пространс- тве не вызывает затруднений.

Расстоянием между фигурами называют длину кратчайшего из отрезков, соединяющих точки дан­ ных фигур.

Если фигуры пересекаются, то будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Это и понятно, так как фигуры в целом «не удалены» друг от друга. Для фигур, не имеющих общих точек, расстояние между ними является одной из мер их взаимного рас- положения.

Понятно,чтозадачанахождениярасстояниймеждупроизволь- ными геометрическими фигурами является слишком общей, а потому ограничимся детальным рассмотрением расстояний меж- ду простейшими фигурами пространства — точками, прямыми, плоскостями. Как и в планиметрии, эти расстояния реализуются через длины соответствующих перпендикуляров. Кроме того, к указанным ситуациям часто сводится задача об измерении рас- стояний между более сложными фигурами.

Теорема 1 (о расстоянии от точки до плоскости).

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную плоскость.

Этосвойстворасстоянияотточкидоплос- кости непосредственно вытекает из свойс- тва наклонных и перпендикуляров. Дейс- твительно, перпендикуляр, проведенный

из точки к плоскости, меньше наклонных, проведенных из той же точки к плоскости

(рис. 487).

Теорема 2 (о расстоянии между прямой и плоскостью).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к данной плоскости.

Обоснование этого свойства о расстоянии между прямой и плос- костью опирается на свойства прямой, параллельной плоскости, и теорему 1 о расстоянии от точки к плоскости.

Действительно, расстояние от каждой точки прямой до плоскости равно длине перпен- дикуляра, проведенного из данной точки к

плоскости. Для точек прямой, параллельной плоскости, эти расстояния являются равны-

ми (рис. 488).

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостя- ми).

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй плоскости.

Обоснование теоремы 3 аналогично обос- нованию теоремы 2. Отличие заключается лишь в том, что перпендикуляры проводят- ся из всех точек одной плоскости ко второй

(рис. 489).

Приведеннымисвойствамиширокопользу- ются в различных сферах деятельности чело- века, в быту. Например, с их помощью опреде- ляют расстояния от самолета до поверх­ности

3) Прямая AD и плоскость SBC параллельны, по признаку па- раллельности прямой и плоскости (теорема 1 § 11): AD||ВС. Поэто-

MKL || SBC. Следовательно, искомое расстояние, по свойству рас-

стояния между параллельными плоскостями (теорема 3), равно

Рассмотримболеедетальнодоказательствосвойстврас- стояний в пространстве. Поскольку теорема 1 является прямым следствием свойств наклонных и перпендику-

ляров,рассмотримдоказательствотеоремы2.

Доказательство теоремы 2

Пусть имеем прямую l и параллельную ей плоскость α (рис. 493). Поскольку расстояние между прямой l и плоскостью α — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего их точки, то длина наклонной, соединяющей точки прямой и плоскости, не

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости).

Если все точки прямой лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от плоскости, то прямая и плоскость параллельны.

Теорема 5 (признак параллельности плоскостей).

Если все точки одной плоскости лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

Действительно, при выполнении условий этих утверждений соответствующие фигуры не могут иметь общих точек, иначе бы расстояние между ними равнялось нулю.

Утверждения будут правильными, если условия выполняются не для всех точек, а для нескольких. В первом утверждении до- статочно допустить, что условие выполняется для двух точек пря- мой, во втором — для трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 495, 496). Попробуйте доказать это самостоятельно. Приве- денные утверждения широко используются в практике как при- знаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Так, параллельность поверхности стола полу обеспечивается одинако- вой длиной его ножек.

проектируется в центр описанной около треугольника АВС ок- ружности, то есть в точку О. Поэтому треугольник SOD — прямо-

угольный. По теореме Пифагора, имеем: SO = SD2 −OD2 =

= 16 −3 = 13 (см). Нетрудно увидеть (докажите это, пользуясь подобием треугольников или различными формулами площади

439 см.

6.Верно ли, что расстояние от отрезка до плоскости равно рас- стоянию от одного из его концов до этой плоскости?

7.Все стороны треугольника АВС находятся на расстоянии 3 от плоскости α. Параллельны ли плоскости АВС и плоскость α?

8.Какую фигуру образуют точки, равноудаленные от данной плоскости?

9.Как нужно закреплять провод на столбах, чтобы обеспечить его параллельность к поверхности земли?

10.Как измерить высоту дерева, не поднимаясь на его верхушку?

Графические упражнения

1.Нарис.499изображенкубABCDA1B1C1D1

сребром а, точки М, М1 — середины рё- бер АD, А1D1 соответственно. Найдите расстояние:

1)от точки А до прямой АВ;

2)от точки D1 до прямой АВ;

3)от точки А1 до плоскости ВСС1В1;

4)от точки А1 до плоскости АВ1С1В;

5)от точки М до плоскости AB1C1D;

6)от прямой A1D1 до плоскости AB1C1D;

7)от прямой AD1 до плоскости AB1C1D;

8)между плоскостями AA1D1 и BB1C1.

2.На рис. 500 изображен правильный тетраэдр ABCD, F — середина ВС, О — центр грани АВС. Длина какого отрезка

равна расстоянию:

1)от точки D до плоскости АВС;

2)от точки D до прямой ВС;

3)от точки С до плоскости АОВ?

3.Из центра О квадрата ABCD (рис. 501) проведен перпендикуляр OS к плоскости квадрата. Точка М — середина ВС, Р — основание высоты треугольника OMS,

его медиана. Длине какого отрез- ка равно расстояние:

1)от точки O до плоскости BCS;

2)от точки S до плоскости АВС;

3)от точки С до плоскости BDS? OK —

Задачи

3)от точки О до плоскости МСD, если b = 23 a ;

4)от точки М до прямой СD;

5)между прямыми ОМ и АD.

467.Концы отрезка удалены от некоторой плоскости на 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости.

468. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника лежит точка,

удаленная от каждой вершины треугольника на 10 2 см? 469. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. На ка-

ком расстоянии от плоскости треугольника расположена точка, удалённая на 9 см от:

1) сторон треугольника;

2*) каждой из прямых, содержащих стороны треугольника?

470°. Если из двух точек, находящихся на различных расстояни- ях от плоскости, провести к этой плоскости равные наклон- ные, то большей будет проекция наклонной, проведенной из более близкой к плоскости точки. Докажите это.

471. Если из точки А, находящейся вне плоскости α, опустить перпендикуляр на эту плоскость, а из его основания провес- ти перпендикуляр к прямой ВС, лежащей в плоскости α, то плоскость, проходящая через эти перпендикуляры, будет перпендикулярна прямой ВС. Докажите это.

472*.Плиту прямоугольной формы подняли краном так, что три её вершины удалены от поверхности земли, соответственно, на 2 м, 3 м и 4 м. На каком расстоянии от земли находится четвертая вершина?

473*.Точка А удалена от сторон угла, равного 60°, на 20 см и 7 см, а от его вершины — на 25 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости угла.

474*.Точка, лежащая вне плоскости прямого угла, находится на расстоянии 4 см от каждой из его сторон. Найдите расстоя- ние от точки до вершины угла, если точка удалена от плос-

кости угла на 7 см.

475. Плоскости квадрата АВСD и равностороннего треугольника АВМ взаимно перпендикулярны, АВ = а. Постройте общий перпендикуляр к прямой АС и к медиане МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

476. Пусть АВ — общий перпендикуляр к скрещивающимся пря- мым а и b. Точки A и С лежат на прямой а, точки В и D — на прямой b; АС = ВD. Докажите, что АСВ = ВDС.

Упражнения для повторения

477.В одной полуплоскости, ограниченной прямой АВ, построе-

ны углы: ВАС = 38°, САD = 68°, DАЕ = 85°, ЕАK = 99°.

Определите KАС.

478.Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите их градусную меру.

479.Наблюдатель, находящийся на берегу озера на высоте h над уровнем воды, видит тучку под углом α, а ее отображение — под углом β к горизонту. Найдите высоту тучки над поверх-

ностью озера при α = 53°27', β = 55°42', h = 76,8 м.

Итог

Основное определение

Расстоянием между

произвольными фигу-

рами называют длину кратчайшего из отрез- ков, соединяющих точки данных фигур.

Свойства расстояний

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендику- ляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.

Расстояние между прямой и параллель- ной ей плоскостью равно длине перпен- дикуляра, проведен- ного из произволь- ной точки прямой к данной плоскости.

Расстояние между па- раллельными плос- костями равно длине перпендикуляра,про- веденного из произ- вольной точки одной плоскости ко второй плоскости.