Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
978-966-10-1703-9_Математика 10 кл Учебник Уровень стандарта.pdf
Скачиваний:
619
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
26.2 Mб
Скачать

§17. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшими тригонометрическими уравнениями называ­ ют уравнения: sin õ = à, cos õ = à, tg õ = à, ctg õ = à. Íекоторые из них решались в предыдущих параграфах. Ãлав­ ной особенностью тригонометрических уравнений является то, что они могут иметь бесконечное множество корней, с чем связаны определенные трудности в нахождении и даже в записи их решений. Íаучить преодолению этих трудностей является важным задачей данного параграфа.

1. Уравнение sin x = a

Уравнение sin х = а будем решать, пользуясь триго-

нометрической окружностью или графиком функции у = sin x. Сущность первого способа, связанного с тригонометрической окружностью, заключается в том, чтобы за-

писать все числа, которым соответствуют точки тригонометрической окружности с ординатой а. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Решить уравнение: sin x =

 

3

.

2

 

 

 

Найдем сначала на тригонометричес-

кой окружности точки с ординатой

 

3

. Та-

 

2

 

 

 

 

ких точек, очевидно, две: М1 и M2 (рис. 341).

Они симметричны относительно оси ординат.

Найдем числа, которым соответствуют эти

точки. Поскольку sin 3π = 23 , то числу 3π со-

ответствует точка М1, а числу π − 3π = 23π

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

329

точка М2, ей симметричная относительно оси ординат. Действи-

тельно, sin

2π

 

 

π

 

π

 

3

.

 

= sin

π −

 

= sin

 

=

 

3

3

2

 

 

 

3

 

 

 

Таким образом, все числа, которым соответствует точка М1,

имеют вид

 

π + 2πn,n Z , а все числа, которым соответствует точ-

 

 

3

 

 

 

 

 

ка М2, —

 

2π

+ 2πn, n Z . То есть множество решений данного

3

 

 

 

 

 

 

2π + 2πn,

уравнения состоит из двух серий чисел: x = π + 2πn, x =

n Z .

 

 

3

3

 

 

 

 

2π

 

 

Ответ.

π + 2πn,

+ 2πn, n Z .

 

 

 

 

 

3

3

 

 

Второй способ решения тригонометрического уравнения sin x =

= а базируется на применении графика функции у = sin x. Проил-

люстрируем его на том же примере.

 

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х и y =

3

(рис. 342). Они пересекаются в бесконечном мно-

2

 

 

 

 

 

 

 

 

жестве точек. Задание состоит в том, чтобы найти абсциссы этих

точек. На промежутке, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции у = sin х, то есть числу 2π, функция

принимает все свои значения. Значение

 

3

на отрезке [0; 2π] она

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

принимает в двух точках: х =

π и х =

2π

, так как sin π =

и

3

2

 

2π

 

 

 

 

3

3

 

3

 

 

 

π

π

 

. Следовательно, учитывая, что пе-

sin

 

= sin π −

= sin

 

=

 

3

3

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

риоды синуса равняются 2πп, n Z, п ≠ 0, множество решений

330

Тригонометрические функции

данного уравнения можно записать в виде двух серий чисел: x = 3π + 2πn, x = 23π + 2πn, n Z .

Приведенные способы решения уравнения sin x =

3

отличают-

2

 

 

 

 

ся лишь геометрической интерпретацией корней этого уравнения.

Запись всех решений уравнения sin x =

3

стала возможной,

2

 

 

 

 

поскольку нам удалось указать два корня этого уравнения, кото-

рым на тригонометрической окружности (или на графике) соответствуют две различные точки. Если решать уравнение sin x = = 0,3, то мы пока еще не можем этого сделать, поскольку не знаем способа записи чисел, синус которых равен 0,3. Таким образом, для решения уравнения sin х = а (|a| < 1) нужно научиться находить по крайней мере два числа, синус которых равен а, и которым соответствуют на тригонометрической окружности две различные точки.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию решений уравнения sin х = а. Для этого построим графики функций у = sin х, у = а (рис. 343). Если |а| > 1, то эти графики не пересекаются, то есть данное уравнение не имеет решений. Если |а| 1, то прямая у = а бесконечно много раз пересекает график функции у = sin х, то есть уравнение sin х = а имеет бесконечное множество решений. В час-

тности, если а = 1, то точки пересечения имеют вид x = π2 + 2πn ;

при а = – 1 графики пересекается в точках x = − π2 + 2πn, n Z.

Пусть |а| 1.

 

π

;

π

функция у = sin x возрас-

На отрезке

2

2

 

 

 

 

 

 

 

тает и принимает все значения от –1 до 1. При каждом

а [–1; 1] прямая у = а пересекает на этом отрезке график функции у = sin х лишь в одной точке, поэтому уравнение sin х = а

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

331

имеет на этом отрезке один корень. Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают так: х = arcsin a.

Арксинусом числа а называется такое число из про-

межутка π; π , синус которого равен а.

2 2

Таким образом, запись х = arcsin a означает: 1) −

π

x

π

и

2) sinx = a.

2

 

2

 

 

 

 

 

! Обращаем внимание на то, что arcsin а определен только для –1 а 1.

Арксинусы произвольных конкретных чисел из промежутка [1; 1] можно находить приближенно с помощью математических таблиц или калькулятора.

Пример 2. Вычислить: 1) arcsin

1

; 2)

 

 

 

2

 

 

; 3) arcsin0,6 .

2

arcsin −

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Так как

1

= sin

π

и − π

<

π

< π

, то arcsin

1

= π . Подчерк-

 

 

 

 

2

 

 

 

6

2

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

нём, что хотя sin

5π =

1

, но arcsin

1

5π , ибо 5π

 

 

содержится вне

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

;

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

промежутка −

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Поскольку

 

 

2

 

 

 

π

 

 

 

 

π

 

и

 

 

 

 

π

 

π

 

π

,

 

то

 

 

 

= −sin

 

 

= sin

 

 

 

2

≤ −

4

2

 

 

2

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin −

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание на то, что arcsin

 

 

 

= −arcsin

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3) Пользуясь калькулятором, найдем: arcsin 0,6 0,644.

 

 

Ответ. 1) π ; 2) − π

; 3) 0,644.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем в общем виде решение уравнения sin х = а, 1 < а < 1.

На тригонометрической окружности содержатся две точки с ординатой а (рис. 344, 345). Одним из чисел, которому соответствует

332

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка М1, является число arcsin а, а числу (π – arcsin а) соответствует точка М2. Таким образом, учитывая, что числа 2πп, n Z, п ≠ 0, являются периодами функции у = sin х, решения уравнения sin х = а при |а| < 1 имеют следующий вид:

х = arcsin а + 2πп, х = π arcsin а +2πп, n Z.

Обе эти формулы можно записать в сокращенной форме: x = (1)k arcsina + πk,k Z.

Полученная формула дает те же значения х, что и две предыдущие формулы, если рассмотреть случаи k = 2п, k = 2n +1, n Z.

Действительно, при k = 2n имеем: x = (1)2n arcsina + π 2n =

=arcsina + 2πn; приk = 2n + 1 имеем: x = (1)2n+1 arcsina + π (2n +1) =

=(1)2n (1) arcsina + 2πn + π = π −arcsina + 2πn.

Возвратимся к решениям уравнения sin x = 0,3. Их можно записать так:

x = arcsin 0,3 + 2πk, k Z , x = π arcsin 0,3 + 2πk ,k Z ,

или x = (1)k arcsin0,3 + πk,k Z.

Решения уравнений sin х = 1 и sin х = –1 были найдены выше, а именно:

x =

π

+ 2πn,

x = −

π

+ 2πn, n Z .

 

2

 

 

2

 

Найденная общая формула дает те же результаты, то есть применима и при |а| = 1.

Решения уравнения sin х = 0, по указанной формуле, принимают вид: x = πn, n Z .

Пример 3. Решить уравнение: 1) sin х = 0,7; 2) sin 2х = 0,8. 1) Решение имеет вид: х = (–1)n arcsin 0,7 + πп, п Z.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

333

2) 2х = (–1)n arcsin (0,8) + πп, п Z, х =

1

(–1)n arcsin (0,8) +

πn

,

2

2

п Z.

 

 

 

 

 

 

Ответ. 1) (–1)n arcsin 0,7 + πп, п Z;

 

 

 

 

2) 1 (–1)n arcsin (0,8) +

πn

, п Z.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Число arcsin а обладает следующими важными свойствами.

Свойство 1. sin (arcsin а) = а.

Это равенство вытекает непосредственно из определения арксинуса.

Свойство 2. arcsin (–а) = arcsin а.

Для его доказательства, согласно определению арксинуса, следует показать:

1) sin(–arcsin а)= – а; 2) − π2 ≤ −arcsina π2 .

Первое равенство является следствием нечётности синуса и определения арксинуса. Второе соотношение непосредственно вытекает из определения арксинуса.

Теперь решения уравнения sin 2х = –0,8 из примера 3 можно записать в виде

х = 12 (–1)n+1 arcsin 0,8 + π2n , п Z.

Свойство 2 имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 346). Точки М1 и М2 соответствуют числам arcsin а и arcsin (–а). Эти числа противоположны, так как соответствующие дуги симметричны относительно оси абсцисс.

Практически важным является умение выделять решения тригонометрического уравнения, удовлетворяющие определенному условию.

334

Тригонометрические функции

2

2. Найти:

1)все решения уравнения;

2)его наибольший отрицательный корень;

3)решения, принадлежащие промежутку π; 3π ;

2 2

4)решения, принадлежащие промежутку (−π;4π);

5)решения, удовлетворяющие условию cos x > 0.

1) Все решения уравнения имеют вид:

 

k

 

 

2

 

 

 

 

 

k+1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

k+1

π

 

 

 

 

 

x = (1)

 

arcsin −

 

 

 

+ πk = (1)

 

arcsin

 

+ πk = (1)

 

 

 

 

+ πk,k Z.

 

 

2

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Все решения уравнения можно также

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записать в

виде

 

 

 

двух

серий

чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

2πn,

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 347).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 4 +

x =

4

 

+

2πn,n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольший отрицательный корень можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получить при п = –1. Соответственно имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 5π 2π = −3π

,

 

x = 2π = − π .

Боль-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шим из них является число − π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

3π

4

 

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

принадлежит корень

.

 

 

 

 

 

 

3) Промежутку

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Чтобы найти те решения уравнения, которые принадлежат промежутку (−π;4π), необходимо решить относительно п нера-

венства −π < 54π + 2πn < 4π, − π < 74π + 2πn < 4π .Последовательнобудем иметь: − 94π < 2πn < 114π , −114π < 2πn < 94π , отсюда − 98 < n < 118 ,

118 < n < 98 ,n Z.

Следовательно, для обеих серий решений п может принимать значения –1, 0, 1 и только эти значения. Поэтому искомые решения найдем, если подставим эти значения п в выражения для общих ре-

шений уравнения. Будем иметь: −34π, 54π, 134π; 4π, 74π, 154π.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

335

5) Условию cos x > 0 удовлетворяет лишь вторая

серия:

x = 74π + 2πn,n Z , поскольку лишь эти числа соответствуют точ-

кам тригонометрической окружности с положительными абсциссами.

Ответ. 1) (1)k+1 4π + πk,k Z;2) − 4π ; 3) 54π ;

4) −34π , 54π , 134π; − 4π , 74π , 154π;5) 74π + 2πn,n Z .

Решение более сложных тригонометрических уравнений сводится к простейшим с помощью замен переменных, алгебраических преобразований, тригонометрических формул.

Пример 5. Решить уравнение: 3sin2 x – 5sin x – 2 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно sin х.

Сделав замену sin x = t, получим уравнение

 

 

 

 

 

3t2 – 5t – 2 = 0.

 

 

Корни этого уравнения t = 2 и t = −

1 . Уравнение sin х = 2 реше-

 

 

 

 

3

1

 

ний не имеет. Решения уравнения sin x = −

имеют следующий

вид:

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

n+1

arcsin

1

+ πn , n Z.

x = (1)

arcsin −

 

+ πn = (1)

 

3

 

 

3

 

 

 

 

Ответ. (1)n+1 arcsin13 + πn , n Z.

1°. Чему равен:

б) arcsin (–0,5);

в) arcsin 1?

а) arcsin 0,5;

2°. Имеет ли смысл запись:

в) arcsin 1,3;

а) arcsin 0,3;

б) arcsin (–0,3);

г) arcsin (–1,5);

д) arcsinπ;

е) arcsin 2 ?

Контрольные вопросы

 

3°. Можно ли из равенства sinπ = 0 сделать вывод, что arcsin 0 = π?

4°.

Может ли уравнение sin х =

а иметь:

 

 

 

 

 

а) только одно решение;

б) только два решения?

5°. Может ли arcsin а принимать значения:

 

3

 

 

а) π ; б) –π;

в) − π ; г)

π ; д)

2 ;

е) −

; ё) 1,5?

 

 

 

6

3

2

 

2

 

336 Тригонометрические функции

6. Прикакихзначенияхасправедливоравенствоsin(arcsinа)=а?

7.

Сколько решений уравнения sin х =

1 содержится на отрезке

 

[0; 8π]?

 

2

 

π

 

 

 

 

+ пπ, п Z уравнения

8.

Как из общего решения х = (–1)n 6

 

sin х = 1

найти наименьший положительный корень этого

 

2

 

 

 

уравнения?

 

 

 

 

2. Уравнение cos x = а

 

 

 

Уравнениеcosх=а,такжекакиуравнениеsinx =а,

 

 

 

 

 

 

будем решать, пользуясь тригонометрической ок-

 

 

 

ружностью или графиком функции у = cos x. Нужно

научиться записывать все решения этого уравнения. Необходимые рассуждения аналогичны приведенным при решении уравнения sin х = а, потому изложим их кратко.

Если |а| > 1, то уравнение cos х = а не имеет решений. При а = 1 прямая у = а пересекает график функции у = cos х в точках х = 2πп, п Z. При а = –1 прямая у = а пересекает график функции у = cos х в точках х = π + 2πп, п Z. При |а| < 1 уравнение cos х = а также имеет бесконечно много решений.

На отрезке [0, π] функция у = cos х убывает и принимает все значения от 1 до – 1 (рис. 348). При произвольном а [–1; 1] прямая у = а пересекает на этом отрезке график функции у = cos х в одной и только одной точке, поэтому уравнение cos х = а имеет на отрезке [0, π] только один корень. Этот корень называют арк-

косинусом числа а и обозначают так: х = arccos а.

Арккосинусом числа а называется такое число из промежутка [0; π], косинус которого равен а.

Таким образом, запись х = arccos а означает: 1) 0 ≤ х ≤ π и

2) cos х = a. Как и arcsin а, arccos а определен только для –1 ≤ а ≤ 1.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

337

Пример 6. Вычислить:1)

arccos

1

;2)

 

 

3

 

;3)arccos(–0,2).

2

arccos

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1) arccos 1 =

π

, так как cos π

= 1

и 0

π

≤ π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

3

2

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2)

Из соотношений cos(π − α) = −cosα

 

и

 

cos

π =

 

имеем:

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

5π

6

 

5π

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

cos π −

 

= −

 

 

 

,тоесть arccos

 

 

= π −

 

 

=

 

 

,ибо 0

6

≤ π.

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

2

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

Обратите внимание на то, что arccos

 

 

3

 

= π − arccos

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Пользуясь калькулятором, имеем: arccos(– 0,2) 1,77.

 

 

Ответ. 1) π

; 2)

5π

; 3) 1,77.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем в общем виде решения уравнения cos х = а, –1 < а < 1. На тригонометрической окружности имеются две точки М1 и М2 с абсциссой а (рис. 349, 350). Одним из чисел, которым соответствует точка М1, является число arccos а, а одним из чисел, которым соответствует точка М2, является число –arccos а. Все числа, которым соответствуют точки М1 и М2, имеют вид:

arccos а + 2πп и –arccos а + 2πп, п Z.

Таким образом, решения уравнения cos х = а при |a| < 1 можно найти по формуле:

х = ± arccos а + 2πп, п Z.

Решения уравнений cos х = 1 и cos х = –1 были найдены выше, а именно:

x = 2πn, x = π + 2πn, n Z .

338

Тригонометрические функции

Общая формула даёт такие же результаты при |а| = 1. Решения уравнения cos х = 0 по указан-

ной формуле принимают вид: x = ± 2π + 2πn, n Z . Но их можно записать проще:

x = π

+ πn, n Z ; ведь числам, записанным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двумя последними формулами, соответству-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ют те же две точки Pπ

і P

π

 

тригонометри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческой окружности (рис. 351).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Решить уравнение: 1) cos х = 0,8; 2) cos 3х = –0,5.

1) Решение имеет вид:

х = ± arccos 0,8 + 2πп, п Z.

 

 

 

2)

Так как cos

2π

= −0,5, 0 ≤ 2π ≤ π ,

то

 

arccos(−0,5) =

2π , и

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3x = ± 2π + 2πn,n Z , или x = ± 2π

+ 2πn , n Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

9

 

 

3

 

2π

+ 2πn

 

 

 

 

 

Ответ. 1) ± arccos 0,8 + 2πп, п Z; 2) x = ±

, n Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

3

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись результатами решения примеров 2, 7 и по-

добных им, приведём таблицу значений arcsin х

и arccos

х для

наиболее употребительных значений

х.

 

 

 

 

Таблиця 30

 

Значения х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

2

 

3

 

1

1

2

 

 

3

–1

Выражение

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

2

 

arcsin x

0

π

 

 

π

π

π

 

π

π

π

π

 

 

 

 

6

 

4

 

3

 

2

 

6

 

4

 

 

 

3

2

 

 

аrccos x

π

π

 

 

π

π

0

2π

3π

5π

π

 

2

3

 

4

 

6

 

3

 

4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число arccos а обладает следующими важными

 

 

 

 

свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 1. cos (arccos а) = а.

 

 

 

 

 

 

 

 

Это равенство вытекает непосредственно из определения арккосинуса.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

339

Свойство 2. arccos (–а) = π – arccos а.

Для его доказательства, согласно определению арккосинуса, следует показать:

1) cos(π – arccos a) = – a; 2) 0 ≤ π − arccosa ≤ π.

Первое равенство является следствием формул приведения и

определения арккосинуса: cos(π – arccos a) = – cos(arccos a) = – a.

Второе соотношение непосредственно вытекает из определения арккосинуса и свойств неравенств:

0 ≤ arccosa ≤ π, − π ≤ −arccosa 0,0 ≤ π − arccosa ≤ π.

Свойство 2 имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 352). Точки

М1 и М2 соответствуют числам arccos а и arccos (–а), эти точки симметричны относи-

тельно оси ординат, радианные меры соответствующих дуг дополняют друг друга до

π, поэтому arccos (–а) = π – arccos а.

Пример 8. Решить уравнение: 2cos x +1 = 0. sin x

Уравнение равносильно системе 2cosx +1 = 0, Решим урав-

sinx > 0.

нение 2cos x + 1 = 0, или cos x = −1 . Применяя свойство 2, будем

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

иметь:

 

 

 

 

 

+ 2πn =

x = ±arccos

2

+ 2πn = ± π −arccos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

+ 2πn,n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=± π −

+ 2πn = ± 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь из этих решений отберем те, кото-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рые удовлетворяют неравенству sin x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся тригонометрической

окруж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ностью. Решения уравнения 2cos x

+ 1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображаются двумя точками тригонометри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческой окружности (рис. 353). Но лишь одной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из них (той, которая лежит во второй четвер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти) соответствуют

числа х,

для

которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x > 0, а именно

x =

2π + 2πn,n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 23π + 2πn,n Z.

340

Тригонометрические функции

Применение рассмотренных в § 16 тригонометрических формул дает возможность свести решение более сложных тригонометрических уравнений к решению простейших.

Пример 9. Решить уравнение: cos х + cos 3х = 4 cos 2х.

Преобразовав левую часть согласно формуле суммы косинусов, получим

2 cos 2х cos х = 4 cos 2х.

Отсюда

cos 2х (cos х – 2) = 0.

Тогда cos 2х = 0 или cos х = 2. Второе уравнение решений не имеет, а решения первого имеют следующий вид:

2x = 2π + πn, x = 4π + π2n , n Z.

Ответ. 4π + π2n , n Z.

Контрольные вопросы

1°. Чему равняется:

 

 

 

 

 

а) arccos

2

; б)

 

 

2

 

; в) arcos (–1); г) arcos 0?

 

arccos

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2°.

Имеет ли смысл запись:

 

 

 

 

 

в) arccos 1,3;

 

а) arccos 0,3;

 

б) arccos (0,3);

 

г) arccos (1,5);

 

д) arccos π;

0,3)?

е) arccos

2 ?

3°.

Какой знак имеет число arcсos(

 

 

4°.

Может ли arccos а принимать значения:

 

 

а)− π ;

б) π ;

в)

2π

; г)

 

4π

;

д)

3 ; е) –1;

ё) 3,5?

 

 

3

 

5.

3

4

3

 

 

 

 

 

 

Прикакихзначенияхасправедливоравенствоcos(arccosа)=а?

6.

Сколько решений уравнения cos х = 1

содержится на отрезке

 

[0; 7π]?

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

7.

Как из общего решения х = ±

+ 2пπ, п Z, уравнения cos х =

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − 23 получить наибольший отрицательный корень этого уравнения?

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

341

8.Какой заменой: sinx = z или cosx = z — удобнее решать уравнение:

а) 2sin2 x – cos2 x + 3sinx = 0; б) 2sin2 x – cos2 x + 3cosx = 0?

 

 

 

3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

 

 

 

Рассмотрим уравнение tg x = а. Поскольку множес-

 

 

 

 

 

 

твом значений тангенса является множество всех

 

 

 

действительных чисел, то это уравнение при каж-

 

дом а имеет

решение. Прямая у = а пересекает график функции

у = tg

х бесконечно много раз (рис. 354).

 

 

 

 

 

π

;

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На промежутке

2

2

 

функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ция у = tg х возрастает и прини-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

маеткаждоесвоёзначениелишь

 

 

 

 

 

 

один

раз.

Поэтому

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg х =

 

 

 

 

 

π

;

π

 

 

 

 

 

 

 

а на промежутке −

 

2

2

име-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ет только один корень. Этот корень

 

 

 

 

 

 

 

называют арктангенсом числа а

и обозначают так: х = arctg

а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арктангенсом числа а называется такое число из

промежутка π; π , тангенс которого равняется а.

2 2

Таким образом, запись х = arctg а означает: 1) − π < x < π

22

и2) tg x = a .

!Обращаем внимание на то, что arctg а определён для всех действительных а.

Так как функция у = tg х периодическая с периодами πп, п Z, п 0, то все корни уравнения tg х = а находят по формуле:

х = arctg а + πп, п Z.

Пример 10. Вычислить: 1) arctg 3; 2) arctg(1).

1) Так как tg π

=

3

и −

π

<

π

<

π

; то arctg

3 =

π.

3

 

 

 

2

 

3

 

2

 

 

3

342

Тригонометрические функции

 

 

2) Так как

 

π

 

= −tg

π

= −1 и

π

< −

π

<

π

, то arctg (–1) =

 

 

tg

4

 

4

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 1) π

; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

Обратите внимание на то, що arctg(1) = −arctg1.

 

 

 

 

Пример 11.

Решить

уравнение:

1)

 

tg x =

1

; 2) tg x

= −2;

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3)ctgx = − 13 .

1) x = arctg 13 + πn, или x = 6π + πn, n Z.

2)x2 = arc tg(2)+ πn, n Z, x = 2arctg(2) + 2πn, n Z.

3)Если ctgx = − 13 , то tg x = − 3 , и наоборот. Поэтому эти

уравнения

равносильны. Отсюда x = arctg(−

3) + πn = −

π

+ πn,

n Z.

 

 

 

 

3

 

π

 

 

 

π

 

Ответ. 1)

+ πn, n Z ; 2)

2arc tg(2)+ 2πn,

n Z ; 3) −

+ πn,

n Z.

6

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения ctg х = а можно свести к решению уравнения tgx = 1a при а 0, а можно воспользоваться специальной фор-

мулой.

Рассмотрим уравнение сtg х = а. Так как множеством значений котангенса является множество всех

действительных чисел, то это урав- нение при каждом а имеет решение. Прямая у = а пересекает гра-

фик функции у = сtg х бесконечно много раз (рис. 355).

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

343

На промежутке (0; π) функция у = ctg х убывает и принимает каждое своё значение один раз. Поэтому уравнение ctg х = а при каждом а на промежутке (0; π) имеет лишь один корень. Этот корень называют арккотангенсом числа а и обозначают так: х = arcctg а.

Арккотангенсом числа а называется такое число из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

Таким образом, запись х = arcctg а означает: 1) 0 < x < π и

2) ctg х = а.

! Обращаем внимание на то, что arcctg а определён для всех действительных а.

Так как функция у = ctg х периодическая с периодами πп, п Z, п ≠ 0, то все корни уравнения ctg х = а находят по формуле:

х = arcctg а + π п, n Z.

Пример 12. Решить уравнение: 1) ctg х = –1;

2)(tg x + 2)( 3 ctg х – l) = 0.

1) Так как ctg 34π = −1 и 0 < 34π < π , то arcctg(−1) = 34π. Поэто-

му x = arcctg(−1)+ πn = 34π + πn, n Z.

! Обращаем внимание на то, что arcctg(−1) = π − arcctg1.

2) Следствием данного уравнения является совокупность урав-

нений: tgx + 2 = 0 и 3 ctg x 1 = 0 . Решим первое уравнение совокупности: tgx = −2; x = arctg(2) + πn,n Z. Установим, являются

ли найденные числа корнями данного уравнения. Поскольку при этих значениях х выражение во вторых скобках имеет смысл (ведь

из равенства tg х = –2 вытекает, что ctg х = −12 , то найденные значения х являются корнями данного уравнения. Решим второе уравнение совокупности: ctgx = 13 , x = arc c tg 13 + πn = 3π + πn, n Z. При этих значениях х выражение в первых скобках имеет

344

Тригонометрические функции

смысл, потому найденные значения х являются корнями данного уравнения.

Ответ. 1) 34π + πn, n Z.; 2) arctg (–2) + πп; 3π + πn, n Z.

Воспользовавшись результатами решения примеров 10–12 и др., составим таблицу значений arctg х и arcctg х для наиболее употребительных значений х.

Значения х

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 31

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

1

3

 

–1

3

Выражение

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg x

0

π

π

π

π

π

π

 

 

 

6

 

4

3

 

 

6

4

 

3

arcctg x

π

π

π

π

2π

3π

5π

2

3

 

4

6

3

4

6

 

 

 

 

 

Числа arctg а и arcctg а обладают следующими важ-

 

 

 

 

ными свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 1. tg (arctg а) = а; ctg (arcctg а) = а.

Эти равенства вытекают непосредственно из определений арктангенса и арккотангенса.

Свойство 2. arctg (– а) = – arctg а; arcctg (– а) = π – arcctg а.

Докажем второе из этих равенств. Для этого, согласно определению арккотангенса, следует показать:

1) ctg(π – arcctg a) = – a; 2) 0 < π − arcctga < π.

Первое равенство является следствием формул приведения и определения арккотангенса: ctg(π – arcctg a) = – ctg(arcctg a) = –a.

Второе соотношение непосредственно вытекает из определения арккотангенса и свойств неравенств:

0 < arcctga < π, − π < −arcctga < 0,0 < π − arcctga < π.

Первое равенство доказывается аналогично.

Приведенные равенства имеют простую геометрическую интерпретацию. Точки М1 и М2 на линии тангенсов (рис. 356) соответствуют числам arctg а и arctg (–а). Эти числа противоположны, так как соответствующие дуги на тригонометрической окружности симметричны относительно оси абсцисс.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

345

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки М1 и М2 на линии котангенсов (рис. 357) соответствуют числам arcctg а и arcctg (–а). Эти точки симметричны относительно оси ординат, радианные меры соответствующих дуг на тригонометрической окружности дополняют друг друга до π, поэтому arcctg (–а) = π – arcctg а.

Пример 13. Решить уравнение: x 1ctgx = 0.

Область определения данного уравнения определяется соотношениями: x – 1 ≥ 0, x ≠ πn,n Z. Его следствием является сово-

купность уравнений: x 1 = 0, ctgx = 0, решениями которых являются соответственно числа: x =1, x = π2 + πn,n Z. Последняя серия решений принадлежит области определения уравнения, то

есть удовлетворяет условию х ≥ 1, только при целых неотрица-

тельных значениях

п.

 

 

 

 

 

Ответ. x =1, x =

π + πn,n = 0,1,2,....

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Пример 14. Решить уравнение: tg x + 3ctg x = 2

3.

Обозначим tg х через у. Тогда ctg x =

 

1

 

= 1 , и уравнение

 

tg x

принимает вид: y + 3 = 2 3,

 

 

y

или y2 2

3y + 3 = 0. Найденное

 

y

 

 

 

 

 

уравнение имеет один корень

3 . Решением уравнения tg x = 3

являются числа x =

π + πn, n Z.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Ответ. 3π + πn, n Z.

346

Тригонометрические функции

В уравнении

а sin2 x + b sin x cosx + c cos2 x = 0

каждое слагаемое имеет степень 2. Такое уравнение называется

однородным уравнением второй степени относительно sin х и cos x. Вообще, уравнение с неизвестными u и v, в котором

каждое из слагаемых имеет одну и ту же степень относительно неизвестных, называется однородным относи-

тельно u и v.

Такие уравнения решаются делением на старшую степень косинуса или синуса.

Пример 15. Решить уравнение:

4sin2 x – 8sin x cos x + 10cos2 x = 3. Заменим 3 на 3(sin2 x + cos2 x):

sin2 x – 8 sinxcosx + 7cos2 x = 0 .

Получили однородное уравнение второй степени. Разделим обе его части на cos2 x.

! Потери решений при этом не будет, поскольку cos х и sin х не могут одновременно равняться нулю.

Следовательно

sin2 x

− 8sin x +7 = 0, tg2x 8tg x +7 = 0; tg x =1,

 

x = π

cos2 x

cos x

или tg x = 7;

+ nπ,

x = arctg7+ nπ, n Z .

Ответ. π

4

 

 

+ nπ, arctg7+ nπ, n Z.

4

 

 

 

Контрольные вопросы

 

 

 

 

 

1°.

Чему равняется:

 

 

 

 

 

 

 

а) arctg 1;

 

б) arctg (– 1);

 

в) arcctg 3;

 

г) arcctg (

3);

д) arctg 0;

 

 

е) arcсtg 0?

2°.

Можно ли из равенства tg π = 0

сделать вывод, что aгctg 0 = π?

3°.

Какой знак имеет число: а) arctg(–2,3); б) arcсtg(–2,3)?

4°.

Может ли aгctg а принимать значения:

 

 

3

 

 

а) π ; б)

π ;

в) −π ; г) −

π ; д)

2

; е) −

; ё) 1,5?

 

 

 

6

3

 

3

 

2

 

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

 

347

5°.

Может ли aгcctg а принимать значения:

 

 

 

 

а) π ;

 

б) 0;

в) − π ;

г)

 

3π

; д) 4;

е) –1; ё) π ?

 

 

4

6.

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

При каких значениях а

справедливо равенство:

 

 

a) tg (arctg а) =

а;

 

 

б) arctg (tg а) =

а?

7.

Может ли уравнение ctg x =

а:

 

 

 

 

 

 

а) иметь ровно одно решение; б) иметь ровно два решения;

 

 

в) не иметь ни одного решения?

 

 

 

 

8.

Сколько решений уравнения tg х = 1 содержится на отрезке

 

 

[0; 5π]?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Чему равняется наименьший положительный корень уравне-

 

 

ния tg

х = –2?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Однородны ли относительно sin х и cos х следующие уравне-

 

 

ния:

 

 

 

 

 

б)sin2 x –2cos2 x +3sinx cosx =0;

 

 

a) sin х + 3 cos х = 0;

 

 

 

 

в) sin2

x + 2sinx

– cos2 x = 0;

 

г) sin3 x

– 3sin2 xcosx + cos3 x = 0;

 

 

д) 4sin2 x – 8sin x cos x + 10cos2 x = 3 ?

 

 

 

 

 

 

4. Простейшие тригонометрические неравенства

 

 

 

 

Простейшие

тригонометрические

неравенства,

 

 

 

 

 

 

 

 

как и простейшие тригонометрические уравнения,

 

 

 

 

можно решать с помощью графиков тригонометри-

 

ческих функций и тригонометрической окружности. Рассмотрим

на примерах общие подходы к их решению.

 

 

Пример 16. Решить неравенство: sinx

 

2

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку синус — периодическая функция с периодом 2π,

то достаточно найти решения неравенства на произвольном промежутке длиной 2π, например, на отрезке [0, 2π].

Рассмотримграфикифункцийу=sinхи y =

2

наотрезке[0,2π]

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(рис. 358). На этом отрезке уравнениеsin x =

 

 

имеет два решения:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

348

Тригонометрические функции

х =

 

π

и x =

3π

, поэтому все решения данного неравенства на отрез-

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

x 3π. Учитывая пе-

ке [0, 2π] определяются соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

риодичность функции sin х, параллельным переносом вправо и

влево на 2π, 4π ...,

получим: π

+ 2πn x

3π + 2πn, n Z.

Эта

запись означает,

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что множество

решений неравенства явля-

ется

объединением

 

промежутков

 

15π

 

; −

13π

 

; −

5π

 

...,

 

4

 

 

 

 

 

 

, −

4

,

 

 

 

3π

9π

 

11π

17π

 

19π

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

,

 

;

 

 

 

 

 

,

 

 

;

 

 

,. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сокращенно это объединение промежутков будем записывать

так:

π

+ 2πn;

3π

 

 

 

 

 

,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+ 2πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим то же самое неравенство с помощью тригонометричес-

кой окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим на тригонометрической окруж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ности точки, ординаты которых равны

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 359). Для этого через точку на оси орди-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нат с ординатой

 

2

проведем прямую,

 

па-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раллельную оси х,2 пересекающую тригоно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метрическую окружность в точках Pπ и P3π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ординаты всех точек дуги P BP

больше

 

 

2

 

или равны

2

.

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому на отрезке [0, 2π] данному неравенству удовлетворяют все значения х, для которых

4π x 34π.

С учетом периодичности функции у = sin х имеем тот же самый результат: 4π + 2πn x 34π + 2πn, n Z.

Ответ: π + 2πn; 3π + 2πn , n Z.

4 4

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

349

Пример 17. Решить неравенство: cos х > −12 . Через точку на оси абсцисс с абсциссой

1 (рис. 360) проведём прямую, параллель-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ную оси у. Эта прямая пересекает тригоно-

 

 

 

 

метрическую окружность в точках P

и P

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все точки дуги P

 

 

,

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AP

 

кроме ее концов,

 

 

 

 

2π

2

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 . Поэтому на от-

 

 

имеют абсциссу, большую −

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

резке [–π; π] решения данного неравенства определяются соотно-

шением

 

 

 

2π

< x < 2π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом периодичности функции

у = сos х будем иметь:

2π

+ 2πn < x < 2π + 2πn, n Z.

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим это неравенство с помощью графика функции у = сos х.

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом 2π, то достаточно найти решения неравенства на произвольном промежутке длиной 2π, например, на отрезке [–π; π]. Удобство выбора именно этого отрезка станет понятным в дальнейшем.

Рассмотрим графики функций у = сos х и у = –1 на отрезке [–π;π] (рис. 361). На нем уравнение cos x = −12 имеет два решения:

х = 23π и x = 23π . Необходимо найти все те значения х, для которых соответствующие точки графика функции у = cos х лежат выше прямой y = −12 .

350 Тригонометрические функции

На отрезке [–π; π] все решения данного неравенства определяются соотношением − 23π < x < 23π. С учетом периодичности функ-

ции у = cos х множество решений неравенства можно записать так: − 23π + 2πn < x < 23π + 2πn, n Z.

Если бы мы выбрали отрезок [0, 2π], то решения данного неравенства на этом отрезке не образовывали бы сплошного проме-

жутка, а состояли из двух интервалов:

 

0;

2π

и

4π

 

. Все

 

3

 

 

3

; 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

решенияданногонеравенствасоставлялибыобъединениедвухсо-

вокупностей промежутков:

 

2πn;

2π

 

и

4π

 

,

 

3

+ 2πn

 

3

+ 2πn; 2π + 2πn

 

 

 

 

 

 

 

 

n Z. Как видим, выбор отрезка [–π; π] привел к более удобной

записи решения.

 

 

 

 

2π

+ 2πn;

2π

 

, n Z.

Ответ:

3

3

+ 2πn

 

 

 

 

 

Пример 18. Решить неравенство: tg х –1.

 

 

 

 

 

Поскольку тангенс — периодическая

 

 

 

 

 

функция с периодами

 

πп, n Z,n 0, то

 

 

 

 

 

достаточно найти решения неравенства на

 

 

 

 

 

произвольном промежутке длиной π, на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пример, на

 

 

π

;

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим графики функций у = tg х и

 

 

 

 

 

 

π

;

π

(рис. 362). На этом проме-

 

 

 

 

 

у = –1 на −

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жутке уравнение tg х = –1 имеет одно реше-

ние x = − π

. Для решения неравенства не-

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обходимо найти все те значения х, для которых соответствующие

точки графика у

= tg

х

расположены выше прямой у = –1 или же

лежат на этой прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

;

π

 

все решения данного неравенства оп-

На промежутке −

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ределяются условием:

π

x < π. Поскольку периодами танген-

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

351

са являются числа πп, n Z , п 0, то множество решений данного

неравенства можно записать так: − π + πn x <

π + πn, n Z.

 

 

 

 

 

 

π

 

π

4

2

 

 

 

 

 

 

+ πn;

 

 

 

Ответ:

4

2

+ πn , n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие тригонометрические неравенства, свя-

 

 

 

 

 

 

занные с тангенсом и котангенсом, можно также

 

 

 

 

 

 

решать с помощью линий тангенсов и котангенсов

 

 

 

 

 

 

на тригонометрической окружности. Покажем их

применение к неравенству, рассмотренному в примере 18.

 

Отметим на линии тангенсов точку

 

В(1; –1) (рис. 363). Обратите внимание на

 

то, что абсциссой точки В является абс-

 

цисса точки

Р0

(все точки на линии тан-

 

генсов имеют одну и ту же абсциссу, рав-

 

ную 1), через которую проходит линия

 

тангенсов, а ординатой — число, стоящее

 

в правой части неравенства. Соединим

 

точку В отрезком с центром окружности.

 

Этот отрезок пересекает окружность в

 

точке

P

π , соответствующей числу − π ,

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

тангенс которого равняется –1. Для решения неравенства нужно

найти все те значения х, для которых соответствующие точки ли-

нии тангенсов расположены не ниже точки В. На промежутке

 

π

;

π

 

все решения данного неравенства определяются услови-

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ем: −

π

x <

π. С учетом периодичности функции у = tg х получи-

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

ли тот же ответ, что и выше.

 

Пример 19. Решить неравенство: ctg х < 3 .

Отметим на линии котангенсов точку B( 3 ; 1) (рис. 364). Опять обращаем ваше внимание на то, что ординатой точки В является число 1 — ордината точки Pπ , через которую проходит ли-

2

ния котангенсов, а абсциссой — число, стоящее в правой части

352 Тригонометрические функции

решаемого неравенства. Соединим точ-

ку В отрезком с центром окружности.

Этот отрезок пересекает окружность в

точке P , соответствующей числу π ,

6

6

π

 

котангенс которого равняется

3 . Для

решения неравенства нужно найти все те значения х, для которых соответствующие точки линии котангенсов расположены левее точки В. На промежут-

ке (0; π) всерешенияданногонеравенстваопределяютсяусловием:

π

< x < π. С учетом периодичности функции у = сtg х имеем:

6

 

 

π

+ πn < x < π + πn, n Z.

6

π

 

 

 

Ответ:

+ πn; π + πn , n Z.

 

6

 

Контрольные вопросы

2

 

 

1°.

Можно ли решения неравенства sin x

 

записать в виде

2

 

 

3π + 2πn x π + 2πn, n Z ?

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

2°.

Можно ли решения неравенства сos х > −1

записать в виде

 

4π + 2πn x

8π + 2πn, n Z ?

2

 

 

 

 

 

3°.

3

3

 

 

 

Имеет ли решения неравенство:

 

 

 

a)sin x ≤ −1 ; б) cos x >1 ; в) cos x 1 ?

4.Совпадают ли множества решений неравенств tg х –1 и

сtg х –1?

При каких значениях а все действительные числа удовлетворяют неравенству:

a)sin х > а; б) sin x a ; в) sin х < а; г) sin x a ?

При каких значениях а не имеет решений неравенство:

a)cos х > а; б) cos x a ; в) cos х < а; г) cos x a ?

Существует ли значение а, при котором все действительные числа удовлетворяют неравенству:

а) tg х > а; б) tg х a ; в) tg х < а?5*

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

353

8*. Может ли не иметь решений неравенство:

 

a) tg х < а;

б) cos x a ;

в) ctg х > а?

 

Задачи

353°. В какой четверти тригонометрической окружности лежит

 

точка Pt, если:

 

 

 

 

2) t = arcsin (–0,8);

 

 

 

 

 

1) t

= arcsin 0,6;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) t

= arccos 0,8;

 

 

 

4) t = arccos (–0,6)?

 

 

 

 

354.

Вычислите:

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

2°) sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°) sin arccos

2

 

 

 

arcsin

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4°) cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

cos arcsin

 

;

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

sin(arccos0,6);

 

 

6) cos(arcsin (0,8)).

 

 

355°. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin2x =

 

3

 

;

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

3x +

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

cos

x

 

 

 

 

1

;

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

π

 

 

 

3

;

 

 

 

 

 

2

= −

2

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

sin

x

=

1 +

 

 

3

;

 

 

 

6)

 

 

2x

 

π

 

= 4 −

 

 

7 ;

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

cos

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

2 sin x

= −1 ;

 

 

 

8) 4 sin2 x = 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) (2 sin х + 1) (1 + cos x) = 0;

 

9) 9 sin2x

= –1;

 

 

 

 

 

11)(1–

2 cosх)(3–2sinx)=0; 12) cos 2x = –0,6;

 

 

 

 

 

 

 

 

13) sin

x

= 0,2;

 

 

 

14) cos (х + 0,5) = 0,9.

 

356.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите нули функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

y = 2sin x +1;

 

2)

y = 1 sin x

2

;

3)

y = 2cos x + 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

357.

Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

sin x

 

 

 

= 0 ;

 

 

2)

sin x

= 0 ;

 

 

 

3)

1 + cos2x

= 0 .

 

1 + cos x

 

 

sin3x

 

 

 

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

354

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции

358. Укажите все нули функции:

 

1)

y = sin x

cos x ;

 

 

 

2)

y = cos x tgx +1 ;

3)

y = sin 1

;

 

 

 

 

 

4)

y = cos x sin x .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

359*.Найдите решения уравнения, принадлежащие указанному

промежутку:

 

 

 

 

 

 

1) sinx = −

1

,

 

3π

 

;

 

2

x

2

;2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) cos2x =

 

2

, x [0;6π];

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)sin x π = 3 , x [−π; 3π].

2 4 2

360.Найдите решения уравнения, удовлетворяющие приведенному условию:

1) cosx = −

3

,sin 2x < 0 ;

2) cos2x = 0,cos x < 0 .

2

 

 

 

361.Найдите:

1)величину углов ромба, если отношение его периметра к одной из диагоналей равно 3;

2)величину острых углов прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу в отношении 1 : 3.

362.Выразите: 1) острые углы прямоугольного треугольника через его гипотенузу с и площадь S; 2) периметр сектора через его радиус R и радиус r окружности, вписанной в него.

363°. В какой четверти тригонометрической окружности лежит

точка Pt, если:

 

 

2) t = arctg (–0,4);

 

1) t = arctg 0,4;

 

 

 

3) t = arcctg 1,8;

 

4) t = arcctg (–1,6)?

 

364°. Вычислите:

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) tg arcctg

 

 

;

2) tg arc tg

 

 

;

3

3

 

 

 

 

 

 

 

3)

ctg (arc tg (

3));

 

4)

ctg (arcctg (−1)).

365°. Решите уравнение:

 

 

 

 

1)

 

π

 

 

3

 

2)

ctg

x

= −1;

tg x +

 

= −

 

;

2

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

355

3)

tg2x = 3;

4)

ctg x = 3

2;

 

5)

tg2 x =1;

6)

ctg2x = 3;

 

 

 

2

 

 

π

 

7)

ctg3x = −0,3;

8)

= 0;

3 tg x +

 

 

 

 

 

5

 

9)(ctg x + 3)(tg2x +1) = 0;

10)2sin x + π 1 (2ctg x +1) = 0.

6

366°. Найдите нули функции:

1)

y = tgx +1;

2)

y =

1 tgx

3

;

3)

y = 2ctgx +

6

.

367. Решите уравнение:

 

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

tgπx = 3 ;

2)

x 1ctgx = 0

;

3)

tg

 

x

 

=1 .

 

 

 

 

 

 

368.Найдите решения уравнения, удовлетворяющие приведенному условию:

1) ctgx = −

3

,tg x

< 0 ;

2) tg2x = 0,cos x < 0 ;

3

 

2

 

 

3)tg x2 = 3,sin 3x > 0 .

369.Найдите наименьший положительный корень уравнения:

1)

tg(3x +75°) =1 ;

2) (ctgx +1)( 3 + tgx) = 0 ;

3)

tg(5x + 2) = 0 .

 

370*.Найдите решения уравнения, принадлежащие указанному

промежутку:

 

 

 

 

3π

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

 

3π

 

 

 

1)

tg x = −

3,

 

 

 

;

;

 

2)

ctg 2x =1,

 

;

 

 

x

2

2

 

 

x −π;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x

 

π

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

π

 

 

 

3π

 

π

tg

 

+

=

 

,

x [0; 6π];

ctg 3x

 

 

= −1, x

 

;

.

2

3

4

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

371. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

2sin2 x 3sin x +1 = 0;

 

 

 

4 cos2 x + sin x =1;

 

 

 

 

 

3)

ctg

2 x

π

 

 

 

 

x

π

 

4 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

+ 3ctg

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

tg x + 5ctg x = 6;

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7cos x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

356

 

 

 

Тригонометрические функции

372.

Решите уравнение:

2)

 

 

1)

2 sin3 x sin2 x = 0;

cos5x(1 + cos x) = 0;

 

3)

ctg x cos x =1 sin x;

4)

sin 2x tgx = 0.

373.

Решите уравнение:

2)

 

 

1)

sin3x = cos3x;

sin2 3x = 3cos2 3x;

 

3)

sin2 x + 5sin x cos x + 4 cos2 x = 0 ;

 

4)

3sin2 x −7sin x cos x + 6 cos2 x =1 ;

 

5)

4 sin2 x cos2 x 9cos4 x = 0 ;

 

 

 

6)

1 3cos2 x = sin 2x ;

 

 

 

7)

cos2x + cos2 x 1 sin 2x = 0 .

 

 

374.

 

2

 

 

Решите уравнение:

2)

 

 

1)

sin 2x + sin x = 0;

sin3x = sin 2x + sin x;

 

3)

sin x + sin3x + cos x + cos3x = 0;

 

 

4)

cos x cos2x = sin3x;

5)

sin2 x + sin2 2x =1;

 

6)

cos x sin x =1;

7) 1 cos2x = 4 sin x;

8)sin2 x + sin2 2x + sin 23x = 32 .

375.Найдите величину углов ромба, если отношение длин его диагоналей равно 2.

Выразите:

1)углы равнобедренного треугольника через его основание

иплощадь S;

2)углы равнобокой трапеции через её основания а и b (a > b) и площадь S.

1)Высота равнобедренного треугольника делится высотой, проведенной к боковой стороне, в отношении 1:3, считая от основания. Найдите углы треугольника.

2)Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, проходит через точку пересечения его высот (ортоцентр треугольника). Найдите углы треугольника.

Сумма двух равных высот равнобедренного треугольника равна третьей высоте. Найдите углы треугольника.

В прямоугольном треугольнике проекция одного из катетов на гипотенузу вдвое больше второго катета. Найдите углы треугольника.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

357

380°. Запишите с помощью неравенства мно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жество всех чисел

х (рис. 365), которым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствуют точки дуги:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

BmA1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

A1nB1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

BA1B1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

A1B1A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

381°. Решите неравенство:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin x >

1

;

 

2) sin x ≥ −

 

;

3) sin x <

 

 

;

 

 

4 )

sin x ≤ −

1

;

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

cos x

 

 

3

;

6)cos x > −

 

 

2

;

7) cos x <

1

;

 

 

 

 

8 )

cos x ≤ −

1

;

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

tg x ≥ −

3 ;

10) tg x >

 

1

 

;

 

11) tg x 1;

 

 

 

 

12) tg x < −

1

 

;

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

13) ctg x > −1;

14) ctg x <

 

 

 

15) sinx < 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

382.

Решите неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin 2x >

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

x

 

 

 

>1;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

2

 

< −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

3

>

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

383.

Решите уравнение:

2) |sin x| =

− sin x; 3) tg x = |tg x|.

 

 

 

 

 

 

 

1) cos x

=

 

|cos x|;

 

 

 

 

 

 

384. Найдите область определения функции:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1)

y =

2sin x +1;

2) y =

1

2 cos x;

3)

 

y =

.

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

385*.Точка совершает гармонические колебания вдоль верти-

кального диаметра по закону

 

π

t

π

. В какие про-

y = 6sin

3

6

 

 

 

 

 

 

межутки времени она будет удалена от точки равновесия на расстояние, не превышающее 3?

386*.а) В круговой сектор вписана окружность. Каким должен быть центральный угол сектора α, чтобы радиус вписанной окружности не превышал трети радиуса сектора?

б) Каким должен быть больший острый угол α прямоугольного треугольника, чтобы длина гипотенузы более чем вдвое превышала длину меньшего из катетов?

358

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции

 

 

 

Итог

 

 

 

Основные понятия

Определе-

Геометрическая

Применение

 

ние

иллюстрация

 

Арксинусчисла

 

 

 

 

sin х = а, 1 а ≤ 1.

 

 

 

 

а [–1; 1] —

 

 

 

 

x = (1)k arcsina + πk,k Z.

 

 

 

 

такое число α,

 

 

 

 

 

что:

 

 

 

 

 

sin

α = а;

 

 

 

 

 

π

π

 

 

 

 

 

2

≤ α ≤ 2 .

 

 

 

 

 

a [–1; 1] —

такое

число

α

из

отрезка

[0;

π], что

cos α

= a.

Арккосинус

числа

Арктангенс числа а — такое число α,

что: tg α = a ;

2π < α < π2 .

Арккотангенс числа а — та- кое число α ,

что: ctg α = а;

0 < α < π .

cos х = а, 1 а ≤ 1.

х = ± arccos а + 2πk, k Z.

tg х = а

х = arctg а + πk, k Z.

сtg х = а

х = arcсtg а + πk, k Z.

1

готовимся к тематическому оцениванию по теме «Тригонометрические функции»

?Задания для самоконтроля

1.В какой четверти находится точка Pt, если t равняется:

а) 2π; б) 89π; в) 4; г) −179π; д) 5,7π?

2.Каким числам из промежутка (0; 3π) на тригонометрической окружности соответствует точка Рt c:

а) ординатой 0; 1; –1; б) абсциссой 0; 1; –1?

3.Чему равны координаты точки Рt на тригонометрической окружности, если t равняется:9

 

а) 0;

б)

π;

 

в)

3π

;

г) π;

 

д) − π ?

 

 

 

4.

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

На какой угол повернется за 5 с точка на ободе колеса маши-

 

ны при равномерном движении, если за 2 с колесо делает 6

 

оборотов?

 

 

 

 

 

 

на тригонометрической окруж-

5.

Сколько существует точек Pt

 

ности, если для соответствующих значений t:

 

а) cos t = 1;

 

б) sin t

= 0,7;

 

 

в) sin t = –1;

 

г) cos t = –0,6?

6.

На какой угол следует повернуть минутную стрелку часов,

 

чтобы перевести часы вперед:

 

б) на 20 мин;

 

 

а) на 10 мин;

 

 

 

 

 

 

 

 

в) на 1 ч;

 

 

 

 

 

 

 

г) на 2 ч 40 мин?

7.

Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс числа t, если t

 

равняется:

 

 

 

16π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 3;

 

б)

 

;

 

 

 

в) 7?

8.

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Какие из приведенных ниже точек принадлежат тригономет-

 

рической окружности:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) А(0,3; 0,7);

б)В(–0,8;–0,6);

 

в) C

 

;

 

 

; г) E(0; 0)?

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

360

Тригонометрические функции

9.Могут ли синус и косинус одного и того же аргумента одновременно равняться:

а)

3

и

4

;

б) 1 и 0;

в) 0,9 и 0,1;

г) −

1

и −

2

?

5

5

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

10.Могут ли тангенс и котангенс одного и того же аргумента одновременно равняться:

а)

1 и 2;

б) 0,6 и 0,8;

в) 2 +1

и

2 1 ;

г) 5 и −

1

?

 

2

 

 

 

 

 

 

5

 

11. Какие из приведенных функций являются чётными; нечёт-

ными; не являются ни чётными, ни нечётными:

cos x;

 

 

а)

y = cos x ;

б)

y = x + cos x;

в) у = x2

 

 

г)

y = sin2 x;

д)

y = sin x cos x;

е)

y = sin x + cos x ?

 

 

12.Возрастающей или убывающей является функция у = sinx на промежутке:

 

а)

 

3π

 

 

 

 

 

 

б)

[2; 3];

 

 

 

 

 

 

в)

π

;

3π

 

 

2

; 2π ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

г)

[0; π];

 

 

 

д) [0; 1];

 

 

 

 

 

 

е)

[π; 2π]?

13.

Что больше:

 

4π

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

а)

sin

π

или sin

;

 

б)

cos

или cos π

;

 

9

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

9

 

 

г)

 

 

9

 

 

 

 

3

 

 

sin1

или sin2 ;

 

cos2

или cos3

 

?

 

14.

Какие

из заданных чисел

являются

периодами функции

 

у = cos x:

 

 

 

 

 

π;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) π;

 

 

б) 2π;

 

 

в) 3π;

г)

 

д) 4π;

е) 5π;

ё) 6π?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

наибольшее значение

Чему равняется на промежутке

4

3

 

 

функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) у = сtg x?

 

 

 

 

 

 

а)

у

= tg x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

Какое из чисел больше:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

tg

3π

 

или tg

3π

;

 

б)

ctg

π

или ctg

π

?

 

 

 

8

 

4

5

 

17.

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чему равен наименьший положительный период функции:

 

а)

y = sin3x ;

б) y = cos x ;

в)

y = tg x ;

 

г)

y = ctg2x ?

18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Каково множество значений функции:

 

 

 

 

 

 

 

а)

y =

1 cos2x ;

 

 

 

б)

y = cos x 2;

 

 

 

 

в)

y = cos(1 x)?

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Готовимся к тематическому оцениванию по теме

361

19.Какое наибольшее и какое наименьшее значения принимает функция:

 

π

 

 

 

 

 

π

?

 

 

 

а) y = 2cos

3x ;

 

б) y = 3sin x +

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

20.

Известно, что sin25° = а. Чему равняется sin50°?

 

 

21.

Может ли не иметь решений уравнение:

 

 

 

 

 

 

а) sin x = а;

 

 

б) cos x =

а?

 

 

 

 

 

 

Сколько решений на промежутке [0; 7π] имеет уравнение:

 

 

а) sin x = 1 ;

б) sin x = −

2

; в) cos x =

2

;

г)

cos x = −

3

?

 

2

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

23.Какие из следующих значений: −23π; 2π; 3π; 1; 0; 5; 23π; 34π;

56π; 76π; 4 не может принимать arcсos а?

24.Какиеизследующихзначений: − 6π , − 4π ,0, 6π , 4π , 3π , 79π , 23π , 34π ,

3,2;3,5; 56π , π не может принимать arcctga ?

25.Чему равняется:

а)

 

 

 

1

 

б)

 

2

 

 

2

 

 

cos arccos

2

 

;

sin arcsin

 

+ arccos

 

 

?

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.Какие из нижеприведенных уравнений являются однородными относительно sin x и cos x:

a)sin x +3cos x = 0; б) sin x + cos x =1;

 

в)

sin2 x + 2cos x 3cos2 x = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

2sin2 x +3sin x cos x 5cos2 x = 0;

 

 

д) sin2 x + cos2 2x = 0;

е)

2sin2 x 3sin x cos x = 0?

27.

Имеет ли решения неравенство:

 

 

 

 

в) sin x > 1?

 

 

а) cos x < 1;

б) sin x

≥ 1;

 

 

 

 

 

28.

Найдите все решения неравенства:

≥ 1.

 

а) cos x ≤ −

1; б) cos x ≥ 1;

в) sin x ≤ − 1; г) sin x

29.

Найдите все решения неравенства:

 

 

а)

 

1 sin x 1;

б)

 

1 < cosx <1.

 

30.

При каких значениях х выполняется равенство:

 

 

а)

 

cos x

 

= cos x ;

б)

 

 

sin x +1

 

= −sin x 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

cos x 1

 

 

= cos x 1 ;

г)

 

 

sin x

 

= −sin x ?

 

 

 

 

 

 

 

 

31.

При каких значениях х имеет смысл выражение sin 2x 1 ?

362

Тригонометрические функции

Ответы к заданиям для самоконтроля

1. а) В первой; б) во второй; в) в третьей; г) в первой; д) в четвертой. 2. а) π; 2π;

б) π ;

5π ; в)

3π

; г) π ;

3π ;

5π ; д) 2π; е) π. 3. а) (1; 0); б) (0; 1); в) (0; –1); г) (–1; 0);

2

2

2

2

2

2

д) (0; – 1). 4.

5400°. 5. а) 1; б) 2; в) 1; г) 2. 6. а) 60°; б) 120°; в) 360°; г) 960°. 7.а) +,

–, –; б) – +, –; в) +, +, +. 8. В, С, D. 9. а) Да; б) да; в) нет; г) да. 10. а) Да; б) нет;

в) да; г) нет. 11.

Чётные: а), в) г); нечётная: д); ни чётные, ни нечётные: б), е).

12. а) Возрастающая; б) убывающая; в) убывающая; г) не является монотон-

ной; д) возрастающая; е) не является монотонной. 13. а) sin 49π ; б) cos 29π ;

в) sin 2; г) cos 2. 14. б), д), е). 15. а) Не существует; б) 1.16. а) tg

3π

; б)

ctg π .

8

 

2π

 

 

π

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

5

17. а)

;

б) 4π; в) 2; г) 3π; д)

;

е) π. 18. а)

 

;

;

б) [–3; –1]; в) [–1; 1].

3

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

19.а) 2 и – 2; б) 3 и – 3. 20. 2a 1 a2 . 21. а) Да; б) да. 22. а) 8; б) 6; в) 7; г) 7.

23.23π ; 2π ; 3π ; 1; 76π ,4. 24. 6π ; 4π ; 3,2; 3,5; π. 25. а) − 12 ; б) 0. 26. а), г),

д). 27.а) Да; б) да; в) нет. 28.а) π + 2πn,n Z;

б) 2πn,n Z;

в) − π + 2πn,n Z;

 

π + 2πn,n Z.

 

 

 

 

 

2

г)

29. а) х R; б) x (2πn; π + 2πn) (π + 2πn;2π + 2πn),n Z.

 

2

 

π

 

 

π

 

π

 

 

30. а)

+ 2πn;

+ 2πn,n Z;

в) х = 2πn,n Z ;

x

2

2

+ 2πn ,n Z ; б) x = −

2

 

 

 

 

 

 

 

 

г) x [π + 2πn; 2π + 2πn],n Z . 31. 4π + πn,n Z.

Образец контрольной работы №3

1.Дана функция у = f(x), где f(x) = 2cos(2π – x).

1°)Выясните,являетсялифункцияу=f(x)чётнойилинечётной. 2°) Является ли функция у = f(x) периодической? Если да, то найдите ее основной период.

3°) Постройте ее график на промежутке [–π; π].

4)Найдите множество значений функции у = f(x).

5)Найдите координаты точек пересечения графика функции у = f(x): а°) с прямой x = 23π; б) с прямой у = – 1.

2.Дано уравнение: sin2x = 22 . а°) Решите его.

б°) Найдите его наименьший положительный корень.

Готовимся к тематическому оцениванию по теме

363

в) Найдите те его решения, которые принадлежат промежут-

ку [2π; 3π].

г) Найдите те его решения, которые удовлетворяют условию: tg x ≤ 0.

д) При каких значениях х функция у = sin 2x принимает значения, меньшие чем 22 ?

Графики тригонометрических функций

Таблица 32

364

Тригонометрические функции

 

Свойства тригонометрических функций

Область

определения

Нули

Основной период

Чётность и нечётность

Множество

значений

Наибольшее и наименьшее значения

Непрерывность

Область

определения

Нули

Основной период

Чётность и нечётность

Множество

значений

Наибольшее и наименьшее значения

Непрерывность

y = sin x R

πn, n Z

2π

Нечётная

[1; 1]

унаиб = 1 при

х = 2π + 2πk

унаим = 1 при

х = 2π + 2πk ,

k Z

Непрерывна y = tg x

x 2π + πk , k Z

πn, n Z

Таблица 33 y = cos x

R

2π + πn,n Z

2π

Чётная

[1; 1]

унаиб = 1 при

x = 2πk

унаим = 1 при

x = π(2k +1) , k Z

Непрерывна y = ctgx

x ≠ πk , k Z

2π + πn,n Z

π

π

Нечётная

Нечётная

R

R

Наибольшее и на-

Наибольшее и на-

именьшее значения

именьшее значения

не существуют

не существуют

π

x = πk , k Z — точ-

x = 2 + πk , k Z —

ки разрыва

точки разрыва

 

Готовимся к тематическому оцениванию по теме

 

 

 

365

 

Некоторые тригонометрические формулы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество зна-

Множество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений ар-

Формула

чений аргумен-

гументов, при

п/п

тов, при которых

которых имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет смысл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

смысл правая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

левая часть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

часть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg α =

 

1

 

 

 

 

α ≠ π + kπ, k Z

α ≠

π k, k Z

ctg α

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α ≠

π

+ kπ, k Z

 

 

 

 

 

 

tg α + tg β

 

π

 

 

2

 

 

2

tg (α + β)=

 

α + β ≠

+ kπ, k Z

β ≠

π

+ kπ, k Z

1 tg αtg β

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

π + kπ, k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + β ≠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α ≠

π

+ kπ, k Z

 

 

 

 

 

 

tg α − tg β

 

π

 

 

2

 

 

3 tg (α − β)=

 

α − β ≠

+ kπ, k Z

β ≠

π

+ kπ, k Z

1 + tg αtg β

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π + kπ, k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α − β ≠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2tg α

π π

 

α ≠

π

+ kπ, k Z

 

 

 

 

 

2

4

tg 2α =

 

 

 

 

α ≠ 4 +

2 k, k Z

 

 

 

 

1 tg2 α

α ≠ ±

π

+ kπ, k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg α

 

 

 

 

 

 

 

5

sin α =

 

 

2

 

 

 

α R

α ≠ π + 2kπ, k Z

1 + tg2 α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg2 α

 

 

 

 

 

 

 

6

cos α =

 

 

2

 

 

 

α R

α ≠ π + 2kπ, k Z

1 + tg2 α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

366

Тригонометрические функции

Решение простейших тригонометрических уравнений

 

Таблица 35

Типуравнения

Решение

sin x = a

Если |а| > 1, то уравнение не имеет решений.

Если |а| ≤ 1, то x = (1)k arcsina + πk,k Z.

Частные случаи

sin x = 0

sin х = 1

sin х = –1 cos х = а

cos х = 0

cos х = 1 cos х = –1 tg х = а ctg х = а

x = πn, n Z

x = π2 + 2πn, n Z x = − π2 + 2πn, n Z

Если |а| > 1, то уравнение не имеет решений.

Если |а| ≤ 1, то х = ± arccos а + 2πп, п Z.

Частные случаи

x = π2 + πn, n Z x = 2πn, n Z

x= π + 2πn, n Z

х= arctg а + πп, п Z

х = arcctg а + πп, п Z

Смысл чисел arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a

Таблица 36

Число

 

 

 

Смысл

х = arcsin a

1)

π

π

 

2

x 2 ; 2) sin x = a.

х = arccos a

1)

0

х ≤ π; 2) cos х = a.

х = arctg а

 

 

π

π

1) − 2

< x < 2 ; 2) tg x = a.

 

х = arcctg а

1)

0

< x < π; 2) ctg х = а.

Перпендикулярность

прямых

иплоскостей

Вразделе «Параллельность прямых и плоскостей» рассмотрены различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

Вчастности, обстоятельно изучалось отношение параллельности. Однако многочисленные применения геометрии связаны, в первую очередь, с измерением геометрических величин (расстояний, углов и т. п.). Предметом многих измерений являются пересекающиеся прямые и плоскости. Поэтому

необходимо более детально исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей, ввести величины, характеризующие это расположение.

Частным случаем расположения прямой и плоскости, имеющих одну общую точку, является перпендикулярность, моделирующая отношение вертикальности между физическими телами и другие подобные отношения (например, гвоздь, забитый в стену). Воспользовавшись понятиям перпендикулярности, мы сможем измерять расстояние от точки до плоскости, от прямой до параллельной ей плоскости, расстояние между параллельными плоскостями. На этих измерениях основано измерение расстояния между произвольными реальными объектами.

Не менее важным является введение количественных характеристик взаимного расположения пересекающихся прямых и плоскостей — угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями. Эти понятия родственны планиметрическому понятию угла между прямыми (да и определяются с его помощью).

Готовимся к изучению

темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Прямоугольный треугольник

Таблица 37

Теорема Пифагора и соотношения между сторонами и углами

прямоугольного треугольника

с2 = а2 + b2, sin A = ac = cos B, sin B = bc = cos A, tg A = ab , tg B = ab .

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два подобных данному и подобных между собой треугольника.

Вписанная и описанная окружности

Таблица 38

Около любого треугольника можно описать окружность и при этом толь-

ко одну. Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Готовимся к изучению темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

369

Параллельность прямых и плоскостей

Таблица 39

Для установления параллельности двух прямых в пространстве достаточно проверить:

найдется ли прямая, параллельная каждой из данных прямых;

будут ли данные прямые линиями пе- ресечения двух параллельных плоско-

стей третьей.

Для установления скрещиваемости двух прямых в пространстве достаточно проверить:

найдется ли плоскость, в которой ле- жит одна из данных прямых и которую

пересекает вторая прямая в точке, не принадлежащей первой прямой.

Для установления параллельности прямой, не лежащей в даной плосоксти, и этой плоскости достаточно проверить:

найдется ли в плоскости прямая, па- раллельная данной прямой.

Для установления параллельности двух плоскостей достаточно проверить:

найдутся ли в одной из плоскостей две пересекающиеся прямые, соответствен- но параллельные двум прямым второй плоскости;

найдется ли плоскость, параллельная каждой из данных плоскостей.

 

 

 

 

тест для диагностики

 

 

 

 

готовности к изучению

 

 

 

 

темы

 

 

 

 

 

«Перпендикулярность

 

 

 

 

прямых и плоскостей»

1.

Прямая

AB не принадлежит

плоскости

 

COD. Сколько общих точек имеют плоскос-

 

ти AOB и COD, изображенные на рисунке?

 

А. Одну.

 

Б.

Две.

 

 

 

В. Бесконечное множество.

 

 

 

Г. Ответ отличается от приведенных.

2.

Пересечением плоскостей AED и AFB, изобра-

 

женных на рисунке, является ...

 

 

A. точка

А.

Б.

отрезок АС.

 

 

B. совокупность двух точек {A; C}.

 

Г. прямая АС.

 

 

 

 

3. На изображении тетраэдра в одной грани не

 

лежат точки …

Б. X и Z.

 

 

 

А. X и Y.

 

 

 

4.

В. Y и T.

 

Г. Z и T.

и АЕFD лежат в

Два прямоугольника АВСD

 

различных плоскостях. Прямые

ВС и ЕF ...

 

A. пересекаются.

Б. параллельны.

 

B. скрещиваются.

 

 

 

 

Г. могут быть расположены по-разному в за-

 

висимости от расположения плоскостей.

5. Проекцией двух параллельных прямых не может быть …

 

А. одна прямая.

 

Б. одна точка.

 

В. две прямые.

 

 

Г. две точки.

6. Проекцией квадрата не может быть …

 

A. отрезок.

 

 

Б. ромб.

 

B. прямоугольник.

Г. трапеция.

7. Если d — длина отрезка, d1

– длина его параллельной проек-

 

ции на плоскость, то ...

 

 

 

А. d > d1.

 

Б. d < d1.

В. d = d1.

 

Г. ни одно из приведенных утверждений не является пра-

 

вильным.

 

 

 

 

Тест для диагностики готовности к изучению темы

371

8.

Сколько существует плоскостей, параллельных

 

 

 

ребру ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 и проходящих че-

 

 

 

рез вершину D?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A. Ни одной.

Б.

Одна.

 

 

 

 

 

 

 

 

B. Две.

Г.

Бесконечное множество.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Сколько плоскостей можно провести через вершину треугольни-

 

ка, параллельных его стороне, не содержащей эту вершину?

 

A. Ни одной.

 

 

Б. Одну.

 

B. Бесконечное множество.

Г. Не более одной.

10.

На рисунке точки D, Е, F, G — середины

 

рёбер тетраедра AS, SC, BC,

AB. Найдите

 

периметр четырёхугольника

DEFG,

если

 

DG = 4 см, АС

= 16 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

А. 24 см.

Б.

16 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 32 см.

Г.

40 см.

параллельны плоскости α. Как

11.

Известно, что прямые а и b

 

расположены прямые а и b?

 

 

 

 

 

 

 

 

A. Параллельны.

Б. Пересекаются.

 

 

 

 

 

 

 

B. Совпадают.

 

Г. Могут быть расположены по-разному.

12.

Если диагонали трапеции параллельны плоскости α, то осно-

 

вания трапеции ...

Б. параллельны α.

 

A. лежат в плоскости α.

 

B. пересекают

α.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г. могут пересекать α, а могут быть ей и параллельными.

13.

Если линии пересечения плоскостей

α и β плоскостью γ па-

 

раллельны, то плоскости α и β ...

 

 

 

 

 

 

 

A. параллельны.

 

Б. пересекаются.

 

B. параллельны или совпадают.

 

 

 

 

 

 

 

Г. могут быть параллельными или пересекаться.

14.

Периметр многоугольника, полученного в сече-

 

нии куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,

 

 

 

 

 

проходящей через середины ребер АВ и ВС па-

 

 

 

 

 

раллельно ребру

DD1, равен ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А. 2а.

Б. 2 2a .

 

 

 

 

 

 

 

B.2(a + 2a) . Г. 2a + 2a .

15.Сечением правильного тетраэдра плоскостью не может быть …

A.трапеция. Б. равносторонний треугольник.

B.ромб. Г. правильный шестиугольник.