§7. основные понятия и аксиомы стереометрии

Ðассматриваются основные фигуры стереометрии, отношения между ними, их свойства.

Вы уже знакомы с одним из разделов геометрии —

планиметрией. В нем изучаются свойства плоских геометрических фигур и отношений между ними.

Но мы живем в пространстве, в котором — три измерения, в отличие от плоскости. Для его восприятия и исследования, для решения практических задач знаний планиметрии недостаточно. Знакомство с геометрией пространства необходимо человеку для его общего развития и профессионального становления.

Геометрия пространства — это математическая наука о пространственных геометрических фигурах, отношениях между ними, а также об их свойствах. Называют ее стереометрией.

Геометрия — греческое γηωμετρια (geometrіa) — зем-

леустройство (землемерие), от γη (ge) или γηa (gea) — земля и μετρεω (metreo) — меряю, измеряю.

Планиметрия — от латинского planum — плоская поверхность, плоскость – и греческого μετρεω — меряю, измеряю.

Стереометрия — от греческих στερεοζ (stereos) —

пространственный и μετρεω — меряю, измеряю.

Возникнув из практики, постоянно обращаясь к ней в процессе своего развития, геометрия стала одной из важнейших математических наук для описания окружающего мира. Основные «действующие лица» в геометрии — геометрические фигуры. Они являются абстракциями объектов реального мира, в которых

Аксиома — от греческого αξιωομα (axioma) — букваль-

но достоинство, уважение, авторитет — в переносном смысле означает то, что не подлежит сомнению, неопровержимо.

Имея исходный набор первоначальных, неопределяемых понятий, можно начинать построение аксиоматической теории. Таким образом, аксиоматическое построение теории осуществляется по такой схеме:

перечисляются неопределяемые понятия;формулируются аксиомы;

определяются новые понятия с помощью неопределяемых и ранее определённых;

доказываются утверждения на основе аксиом и ранее доказанных утверждений.

Утверждения, которые доказывают в аксиоматической теории, называют теоремами. На практике, для удобства работы с ними, теоремам придают различные названия, отображающие сущность теорем или их роль: свойство, признак, формула, лемма, следствие и т. п.

Теорема — от греческого θεωρημα (theorema), от θεωρεω

(theoreo) — присматриваюсь, наблюдаю — утверждение, истинность которого обосновывают с помощью логических рассуждений, опирающихся на аксиомы, или на ранее доказанные утверждения, или на то и другое.

Полезно аксиоматическое построение математической теории представлять себе в виде некоторой интеллектуальной игры, похожей, например, на игру в шахматы. Шахматы как игра определяется выбором доски, составом фигур и правилами игры. При этом никакого значения не имеют размеры доски, форма фигур, их название, а тем более, из чего они сделаны. Кстати, в шахматы можно играть, фиксируя только ходы на бумаге или в памяти компьютера. Бессмысленно говорить об определении пешки или короля самих по себе. Их сущность проявляется в действиях по отношению к другим фигурам. Примерно так же сущность неопределяемых понятий в аксиоматической теории проявляется в аксиомах. Аксиомы теории, как и правила игры, — это условные соглашения. Целесообразность выбора той или другой аксиомы

132 Параллельность прямых и плоскостей

может быть подтверждена использованием аксиоматической теории в решении тех или иных практических задач.

Чтобы заложить фундамент для изучения стереометрии, нам следует ввести основные (неопределяемые) фигуры стереометрии. Содержание соответствующих им понятий будут выражать свойства, характеризующие отношения между фигурами. Эти свойства принимаются без доказательства, то есть они являются аксиомами стереометрии. На основе аксиом мы сможем доказать новые утверждения, развивающие и дополняющие базовые свойства фигур.

Основными неопределяемыми фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Представление о них вы получили, изучая планиметрию, а содержание соответствующих им понятий будет раскрыто в аксиомах.

Прежде всего договоримся относительно обозначений и изображений основных фигур. Точка и прямая изображаются и обозначают-

ся так же, как и в планиметрии. Плоскость чаще всего изображают с помощью параллелограмма (рис. 112, а), ведь именно так выглядят самые распространенные физические модели плоскостей: лист бумаги, крышка стола, классная доска и др. Чтобы подчеркнуть

безграничность плоскости, ее иногда изобра- жают как участок «неправильной» формы (рис. 112, б). Плоскости обозначают малыми греческими буквами: α, β, γ и т. п.

Наряду с основными неопределяемыми понятиями стереометрии будем считать известным из планиметрии содержание таких понятий, как отрезок и его длина, луч, угол и его ве-

личина и т.п., а также некоторых понятий, характеризующих взаимное расположение точек, прямых и плоскостей: точка

А принадлежит прямой l и плоскости β, прямая l ле-

жит в плоскости α, плоскость α проходит через точку А и др.

Отношения принадлежности точек часто обозначают знаком : М l; М α, а отношение принадлежности прямых — знаком : l α. Запись М α означает, точка М не принадлежит плоскости α. Аналогичное содержание имеет запись l α .

Изображения фигур должны учитывать их взаимное расположение. Например, рис. 113 должен показывать наглядно то, что

точка М не принадлежит плоскости α, отрезок АВ лежит в плоскости α, а прямые а и b

не лежат в этой плоскости. Часть прямой b на рис. 113, закрытая изображением плоскости α, обозначена штриховой линией.

Вся совокупность точек, рассматриваемых в стереометрии, образует пространство. Любую часть пространства, то есть некоторую совокупность его точек, называют фи-

гурой.

Фигура — от латинского figura — образ, вид.

Фигура называется плоской, если все ее точки размещены в одной плоскости. Со многими плоскими фигурами вы уже ознакомились, изучая планиметрию. Некоторые неплоские фигуры — куб, шар, цилиндр — также известны вам.

Если различные фигуры имеют общие точки, то говорят, что они пересекаются. Поэтому выражение «плоскости пересекаются» означает, что у этих плоскостей есть общие точки. Пересечение, то есть общую часть фигур, обозначают знаком ∩:

l∩ α,α ∩β.

!Будемисходитьизтого,чтопространствовстереометрии содержит бесконечное множество плоскостей. То есть вне каждой плоскости существует бесконечное множество плоскостей, а вместе с этим и точек, и прямых.

Рассмотрим основные свойства, характеризующие неопределяемое понятие плоскости и его связи с другими основными понятиями.

С1. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она полностью лежит в этой плоскости.

C2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Изучая стереометрию, будем широко использовать соответствиемеждуобъектамиреальногомира,отношениямимеждуними и их геометрическими образами и отношениями между ними. Это соответствие будет служить не только иллюстрацией геометрических понятий и фактов, а даже и неформальным обоснованием их содержательности. При этом следует иметь в виду, что строгие доказательства утверждений существуют и при определенных усилиях могут быть построены.

Отметим также, что стереометрия имеет много аналогий в планиметрии. В частности, подобно тому, как прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости,

!пространство разбивается каждой плоскостью на два полупространства, причем точки А, В принадлежат одному полупространству тогда и только тогда, когда отрезок АВ не пересекает данную плоскость. Будем считать также, что на каждой плоскости пространства можно пользоваться известными понятиями и фактами планиметрии.

Понятия точки, прямой, плоскости и т. п. относятся к основным в стереометрии, так как с них начинается ее построение. Но главной целью стереометрии является изучение сугубо пространственных фигур. Поэтому, чтобы сделать построение стереометрии содержательнее, мы с самого начала будем использовать некоторые простые пространственные фигуры — куб, параллелепипед, пирамиду, шар и др. (рис. 114), отложив их детальное изучение на будущее. Эти фигуры вы уже неоднократно рассматривали, начиная с младших классов.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 118). Первая грань называется основанием, а остальные — боковыми гранями, их общая вершина — вершиной пирамиды. Рёбра, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми. Тетраэдр является частным случаем пирамиды. Каждая его грань может служить основанием.

Пирамида — от греческого πνραμιζ (руrатіs), по-

видимому, от египетского рereтиs — диагональ основания.

Если основанием пирамиды служит п-угольник, то она называется п-угольной. Если основанием пирамиды является правильный п-угольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники с вершинами в вершине пирамиды, то пирамида называется правильной п-уголь- ной. Изображается она при п = 5 так, как показано на рис. 119. Правильный тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды.

Шар с центром в точке О радиуса

R — это множество точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии, не превышающем R (рис. 120).

Итак, имеем ряд основных понятий и аксиом сте- реометрии. Построение теории начнем с доказательства утверждения, равнозначного по содержанию аксиоме С2. Эта аксиома определяет один из

способов задания плоскости в пространстве, что, кстати, позволя-

ет плоскость, определяемую точками А, В, С, называть плоскостью АВС. Однако с помощью точек и прямых плоскость можно задать иначе. Опыт подсказывает, что плоскость однозначно определяется прямой и точкой вне её или же двумя пересекающимися прямыми. Согласно правилам построения стереометрии на аксиоматической основе, эти утверждения необходимо доказать, исходя из аксиом.

Теорема 1 (о плоскости, проходящей через прямую и точку).

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит плоскость и к тому же только одна.

 Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Возьмем на прямой а две точки В и С (рис. 121). Согласно аксиоме С4, прямая а — единственная прямая, проходящая через точки В и С.

Поскольку точка А, по условию теоремы, не принадлежит прямой а, то точки А, В и С не могут лежать на одной прямой.

Согласно аксиоме С2, существует плоскость α, содержащая точки А, В, С, и, в соответствии с аксиомой С1, эта плоскость содержит прямую а. Следовательно, искомая плоскость существует.

Любая другая плоскость β, проходящая через прямую а и точку А, содержит точки В и С. Так как через точки А, В, С можно провести лишь одну плоскость (аксиома С2), то плоскость β совпадает с α. А это значит, что искомая плоскость — единственная.

Анализируя доказательство теоремы, нетрудно прийти к выводу, что через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей. Расположение каждой из них определяется некоторой точкой, не лежащей на данной прямой. Это можно проиллюстрировать, например, вращая двери относительно неподвижных навесов. Еще один способ задания плоскости сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2 (о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом лишь одна.

 Пусть прямые а и b имеют одну общую точку О. Возьмём на этих прямых произвольные точки А и В, отличные от О (рис. 122).

Точки А, О, В не лежат на одной прямой, поэтому существует плоскость α, содержа-

щая эти точки (аксиома С2). Плоскость α содержит прямые а и b (аксиома С1). Следовательно, через данные прямые проходит плоскость.

Каждая иная плоскость β, проходящая через прямые а и b, содержит точки А, О, В, и, согласно аксиоме С2, должна совпадать с плоскостью α, поскольку эти точки не лежат на одной прямой.

Следующая задача содержит утверждение, которое будет широко использоваться при последующем изучении стереометрии.

Задача 1. Доказать, что в пространстве существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

 Необходимо доказать существование четырех точек, которые нельзя поместить в одну плоскость, то есть, что не существует плоскости, проходящей через эти четыре точки.

Возьмем произвольную плоскость α и в ней выберем три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой (рис. 123, а). Поскольку вне плоскости α существуют точки пространства, то выберем из них произвольную точку D (рис. 123, б). Не существует плоскости β, которая содержала бы точки А, В, С, D. В противном случае плоскости α и β совпадали бы (по аксиоме С2), и точка D принадлежала бы плоскости α.

Вприведенных аксиомах и теоремах шла речь о прямых

иплоскостях, задаваемых тем или иным способом. Нам и дальше придется строить в пространстве различные фигуры, опираясь на их свойства. Задачи на построение в стереометрии аналогичны задачам на построение в планиметрии. Однако, в стереометрии нет инструментария для построения плоскости. Да и изображение пространственных построений на плоском рисунке не всегда

адекватно воспроизводит реальность. Поэтому в стереометрии под построением понимают доказательство возможности всех шагов процесса построения. При этом считается, что плоскость построена, если определены три точки, не лежащие на одной прямой, или прямая и точка вне прямой, или две пересекающиеся прямые, или же другие элементы, определяющие плоскость. Для построения прямой достаточно иметь две ее точки.

Естественно считать, что на каждой плоскости возможны

все построения, известные из планиметрии.

Пример 1. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости α, а вершина С — вне её. Точка M делит отрезок СВ в отношении 3 : 4, а точка N делит отрезок СА в отношении 1 : 4, считая от С. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью α.

 Условиям примера соответствует рис. 124, а). Прямая MN лежит в плоскости АВС. Пересечением этой плоскости с плоскостью α является прямая АВ. Поэтому искомая точка пересечения расположена на прямой АВ. Прямые АВ и MN лежат в плоскости АВС и, как это вытекает из условия, пересекаются. Найдем их точку пересечения, продлив отрезки АВ и NМ до пересечения в точке K (рис. 124, б). Она и является искомой точкой пересечения прямой МN и плоскости α.

Пример 2. Построить линию пересечения плоскости, проходящей через вершины А1, С1 куба АBCDA1B1C1D1 и середину K ребра BB1, с плоскостью грани АBСD.

 Чтобы построить искомую прямую пересечения, достаточно найти две ее точки. Для нахождения этих точек воспользуемся решением примера 1. Поскольку прямая С1K лежит в плоскости грани BCC1B1, то точка М пересечения прямых С1K и СВ является

одной из точек искомой прямой пересечения (рис. 125), а вторая точка N является точкой пересечения прямых АB и A1K в плоскости грани АBB1A1. Прямая МN является искомой.

Для введения геометрических фигур, как плоских, так и пространс-

твенных, можно применять конс- труктивный подход. Этот подход предусматривает построение фигур из отрезков. Продемонстрируем его на следующих примерах.

Пусть в некоторой плоскости α имеем отрезок ВС и точку А, лежащую вне прямой ВС (рис. 126, а). Соединим отрезками все точки отрезка ВС с точкой А (рис. 126, б). Фигура, состоящая из точек всех построенных отрезков, является треугольником.

Если же имеем отрезок ВС и по одну сторону от прямой ВС отложим от каждой точки отрезка равные и параллельные между собой отрезки (рис. 127), то концы этих отрезков образуют отрезок AD (докажите!), а фигура, образованная из всех точек этих отрезков, является параллелограммом.

Теперь понятно, как в пространстве можно конструктивно ввести некоторые фигуры, например, пирамиды, в частности тетраэдры.

Возьмем четырехугольник ABCD в плоскостиα,атакжеточкуS внеплоскостиα.Соединим точку S со всеми точками четырёхугольника ABCD (рис. 128).

142 Параллельность прямых и плоскостей

Совокупность всех точек отрезков, соединяющих точку S с точками четырехугольника ABCD, образует фигуру, которая яв-

ляется четырехугольной пирамидой.

Обычно четырехугольную пирамиду изображают, как это сделано на рис. 129.

Аналогично строят пирамиды, основаниями которых служат многоугольники с про-

извольным числом сторон. Для изучения пространственных фигур целесообразно рас-

сматривать пересечения этих фигур с плоскостями. Такие пересечения называются сечениями, если по обе стороны от плоскости пересечения — секущей плоскости — есть точки фигуры.

Нетрудно убедиться в том, что сечениями параллелепипеда или пирамиды являются многоугольники. Действительно, из аксиомы

C3 вытекает, что пересечением секущей плоскости и грани фигуры является отрезок.

Таким образом, при пересечении данных фигур с плоскостью получим ограниченные отрезками фигуры на плоскости, то

есть многоугольники. Так, сечением куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 130) плоскостью, про-

ходящей через вершины А, В1, D1, является

треугольник AB1D1, а сечением пирамиды

SABCD плоскостью, проходящей через вер-

шину S и диагональ основания AC является

треугольник ASC (рис. 131).

 Контрольные вопросы

1.Какими тремя точками, указанными на рис. 132, плоскость α определяется однозначно?

2.Через какие три точки, указанные на рис. 133, можно провести еще одну плоскость, отличающуюся от плоскости α?

3.Какая из точек D, Е, F на рис. 134 мо-

жет быть точкой пересечения прямой

иплоскости β? Четырехугольник АВСD — паралле- лограмм, K CD. Какая из точек L, М,

на рис. 135 может быть точкой пере-

сечения прямой ВK с плоскостью α? Две вершины треугольника прина- длежат плоскости. Принадлежит ли ей третья вершина? Всегда ли через три точки можно провести единственную плоскость?

Можно ли утверждать, что один из диаметров окружности принадлежит плос-

кости, если две точки этой окружности принадлежат этой плоскости?

Чтобы придать устойчивость геодезическим (теодолитам, нивелирам и т. п.), их обычно треногах. Почему?

На сколько частей делят пространство три плоскости они имеют ровно одну общую точку?

Всегда ли через четыре точки можно провести плоскость Столяр с помощью линейки проверяет, хорошо ли отшлифо вана поверхность. Как он это делает?

Можно ли торт разрезать на восемь частей, сделав лишь три

разреза?4.8.9.7.6.5. АВN инструментамзакрепляют на, если10. ?11. -12.

Графические упражнения

1. Укажите взаимное расположение прямых а, b и плоскости α, изображенных на рис. 136, а)-г).

129.Плоскость γ пересекает плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Докажите, что если прямые a и b пересекаются, то точка их пересечения лежит на линии пересечения плоскостей α и β.

Даны две прямые, не лежащие в одной плоскости. Через каждую из них проведена плоскость, пересекающая другую прямую. Докажите, что проведенные плоскости пересекаются по прямой, пересекающей каждую из данных прямых.

Фигура состоит не менее чем из двух точек и обладает таким свойством,чтопрямая,соединяющаядвееепроизвольныеточки, полностьюпринадлежитэтойфигуре.Докажите,чтоданнаяфигураможетбытьлишьпрямой,плоскостьюилипространством.

132.Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через:

1°) прямую А1С1 и точку В; 2°) точки B, D, C1; 3°) прямые A1K и BK, где K — середина ребра B1C1;

4)через точки A1, D и центр грани DCC1D1;

5)через точку A и центры граней АВВ1А1 и ADD1A1.

133.ПостройтесечениеправильноготетраэдраSABC плоскостью, проходящей через:

1°) середины ребер AB, BC и SB;

2°) середины ребер AB, BC и центр грани SBC;

3)середину ребра BC и центры граней SBC, SAB;

4)центры граней SBC, SAB, SAC.

Упражнения для повторения