§15. свойства и графики тригонометрических функций

В этом параграфе будут рассмотрены свойства тригономет­ рических функций, построены их графики. Будет рассматри­ ваться специфическое свойство этих функций — периодичность. Периодические функции описывают различные ситуации (аст­ рономические явления, жизнедеятельность организма и т. п.), периодически повторяющиеся. Ðассматриваются гармонические колебания, описывамые тригонометрическими функциями.

1. Периодические функции

При введении тригонометрических функций аргу- мент обозначался буквой t, поскольку буквы х и у использовались для обозначения координат точки Pt. Теперь вернемся к привычным обозначениям: х — независимая переменная, у — зависимая переменная, то есть у = sin х,

у = cos х, у = tg x.

Так как числам х, х ± 2π на тригонометрической окружности соответствует одна и та же точка Px, то имеют место равенства:

sin(x ± 2π)= sin x, cos(x ± 2π) = cosx .

Это свойство функций у = sin х и у = cos х называют периодичностью. Оно заключается в том, что значения функции повторяются через равные промежутки изменения аргумента. Точный смысл понятия периодичности функции содержится в следующем определении.

Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что область определе-

ния функции вместе с каждой точкой х содержит точки х ± Т и при этом выполняется равенство f(х ± Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Из того, что каждой точке на тригонометрической окружности соответствует бесконечное множество чисел,отличающихсядруготдругана2πk,k Z,вытекает, что тригонометрические функции у = sin х и

у = cos х для чисел х + 2πk при всех k Z принимают одно и то же значение: sin (х + 2πk) = sin х, cos(x + 2πk) = cos х, то есть пе-

риодами функций у = sin х и у = cos х являются числа 2πk, k ≠ 0, k Z. Все эти периоды кратны 2π. Естественно возникает вопрос: «Существуют ли другие положительные периоды этих функций, меньшие 2π?» Ответ на него дает следующее утверждение.

Теорема 1. Наименьший положительный период функций

у = sin х и у = cosх равен 2π.

 Покажем, что других периодов, кроме чисел 2πk, k ≠ 0, k Z,

эти функции не могут иметь. Действительно, если Т — период функции у = sin х, то sin (x + T) = sin x для любого х, в частности для х = 0, то есть sin T = sin 0 = 0. Но sin Т обращается в нуль при Т = 0; Т = π; Т = 2π и, вообще, при Т = пπ, п Z, и только при этих

значениях.

Число π не является периодом рассматриваемой функции.

вует значение х из области определения функции, такое, что sin (x + π) ≠ sinx. Следовательно, наименьшим положительным периодом функции у = sin х является число 2π.

Доказательство того, что 2π — наименьший положительный период косинуса, аналогично.

Подобное утверждение справедливо для функций у = tg х и у = сtg х.

Теорема 2. Наименьший положительный период функций у = tg х и у = сtgх равен π.

 Из формул приведения вытекает, что числа πk, k ≠ 0, k Z, являются периодами функций у = tg х и у = ctg х. Поскольку tg х

и только в этих точках, то не существует положительного числа, меньшего π, которое могло бы быть периодом тангенса. Следовательно, наименьшим положительным периодом функции у = tg х

является число π. Доказательство того, что π — наименьший положительный период котангенса, аналогично. Рекомендуем провести его самостоятельно.

Наименьший положительный период периодической функции называют основным периодом этой функции. Все другие ее периоды кратны основному периоду. Для функций у = sinx и у = cos х основной период равен 2π, а для функций у = tg х и у = ctg х основной период равен π. Простейшим примером периодической функции, не имеющей основного периода, является постоянная функция, определенная на всей числовой оси.

Пример 3. Найти основной период функции у = sin 3х.

 Областью определения данной функции является числовая ось. Числа 2π3n , nZ, — периоды для функции у = sin3x:

Если Т — произвольный положительный период для sin3x, то sin3(x + Т) = sin3x при каждом х, поскольку число 3Т также явля-

шим положительным числом является число 23π , то есть основной период функции sin 3х равен 23π .

Ответ. 23π .

Анализ примера 3 подсказывает следующее свойство периодических функций и содержит идею его доказательства.

Теорема 3. Если функция f является периодической с ос-

новным периодом Т, то функция у = Af(kx + b) + l, где А,

k ≠ 0, b, l — некоторые числа, также является периоди-

ческой, причем ее основной период равен Tk .

Результатрешенияпримера3согласуетсясосформулированным свойством: основной период функции у = sin 3х равен 23π . Из этого свойства вытекает, что основные периоды функций у = sin 4x, y = cos 2x , у = tg 2x соответственно равны 24π = π2 , 2π : 12 = 4π , π2 .

 Контрольные вопросы

1°. Верно ли утверждение: если периодическая функция в какойто точке принимает значение 1, то это значение она принимает в бесконечном множестве точек?

2°. Является ли число 3π периодом функции у = sin х? 3°. Является ли число 5π периодом функции у = tg х?

4.Каков основной период функции: а) sin 5х; б) cos 3x ; в) sin πх?

5.Чему равняется f(–9), если функция у = f(x) является периодической с периодом 5 и f(1) = 0?

6*. Является ли функция y = cos x периодической?

7.Может ли быть периодической функция, возрастающая на всей области определения?

2. Свойства и графики функций у = sin х и у = cos х

Рассмотрим простейшие свойства функций у = sin х и у = cos х, пользуясь определениями синуса и коси-

нуса, и построим их графики.

Свойство 1. Функции у = sin х и у = cos х определены на всей

числовой оси.

 Действительно, каждому действительному числу х можно поставить в соответствие точку тригонометрической окружности. Абсцисса этой точки равна косинусу числа х, а ордината — синусу числа х.

Свойство 7. Множеством значений функций у = sin х и

у = cos х является отрезок [–1; 1].

По определению синуса, |sin x| ≤ 1. Для произвольного числа

аиз промежутка [–1; 1] существует по крайней мере одна точка тригонометрической окружности, ордината которой равна а. Это означает, что функция у = sin х принимает все значения из промежутка [–1; 1]. Аналогично обосновывается это свойство для функ-

ции у = cos х.

Свойство 8. Функции у = sin х и у = cos х непрерывны на

всей числовой оси.

 Действительно, при непрерывном изменении значения х точка Px непрерывно перемещается по тригонометрической окружности, а потому ее координаты cos х и sin х меняются непрерывно.

Построим график функции у = sin х с использованием рассмот-

ренных свойств синуса. Так как эта функция периодическая с

динаты. Это соответственно точки с абсциссами 3π и π. Ординаты

шим и наименьшим значениями функции на данном промежутке, которые она принимает соответственно в точках 3π и π.

Ответ. 12 ; – 1.

Свойства и графики синуса и косинуса позволяют решать разнообразные задачи, связанные с этими функциями, а именно: «читать» графики, сравнивать значения этих функций, решать уравнения,

неравенства и т. п.

Пример 5. Решить уравнение: sin x = x – π.

 В одной системе координат построим графики функций

у = х – π, у = sin х. Они пересе-

каются в одной точке (рис. 317), как видно из графиков. Абсцис-

3) График функции у = sin 3х является результатом сжатия графика у = sin х к оси ординат в 3 раза (рис. 319).

б) параллельным переносом на 2 единицы в отрицательном

направлении вдоль оси ординат; в) сжатием к оси абсцисс в два раза;

г) растяжением от оси абсцисс в два раза?

8.Что больше: а) sin 6π или sin 8π ; б) cos 40° или cos 75°?

9.Возрастает или убывает функция у = cos х на отрезке:

Свойство 1. Функция у = tg х определена при всех действительных значениях х, кроме x = π2 + πk, k Z , а функция

у = ctg х определена при всех действительных значениях х, кроме x = πk, k Z .

 Действительно, функция у = tg х определена при всех значениях х, кроме тех, при которых знаменатель выражения tg х =

=sin x равняется нулю. А условию cos x = 0 как раз и удовлетво- cos x

ряют значения x = π2 + πk, k Z . Аналогично доказывается вторая часть свойства.

Свойство 2. Функции у = tg x и у = ctg x — периодические с наименьшим положительным периодом π.

Это свойство обосновано в п. 1.

но найти несколько точек графика и соединить их непрерывной линией. Как и при построении синусоиды, разобьем промежуток

построим четыре точки (рис. 320), принадлежащие графику фун-

непрерывности функции) непрерывной кривой, будем иметь эс-

киз графика функции на промежутке 0; π .

2

образованием симметрии, воспользовавшись нечётностью танген-

са (рис. 321).

Тем самим получили график функции у = tgx на промежутке, длина которого равна наименьшему положительному периоду π тангенса.

Так как функция у = tgx является периодической, то на третьем этапе ее полный график можно построить с помощью параллель-

ного переноса полученного графика вдоль оси х на ±π; ±2π и т. д. (рис. 322). График функции у = tgx называют тангенсоидой.

График функции у = ctg х можно получить из графика функции у = tg х. Для этого, в соответствии с формулой приведения

ctgx = −tg x + π2 , достаточно график функции у = tgx парал-

лельно перенести в отрицательном направлении оси х на π2 , а

затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс. На рис 323 тангенсоида изображена тонкой

линией, сдвинутая тангенсоида – штриховой, график функции

у = ctg х — жирной.

В окончательном виде график функции у = ctg х изображён на рис. 324.

Пример 8. Найти абсциссы точек пересечения графика функ-

(рис. 325), увидим, что та

точки пересечения имеют аб-

сциссы х0 + π; х0 – π, х0 + 2π, х0 – 2π и т. д. Итак, x = 3π + πk,k Z.

Ответ: 3π + πk,k Z.

Свойство 6 монотонности функций у = tg х и у = ctg х имеет простую геометрическую интерпретацию.

Если х возрастает от – π2 до π2 , то tg х, то есть коор-

дината точки Вх, являющейся точкой пересечения прямой OPx с линией тангенсов, воз-

растает от – ∞ до + ∞ (рис. 326). Иначе говоря,

если х = 0, то tg х = 0, а когда х приближается

кπ2 , оставаясь меньше π2 , tg х возрастает

иможет принимать какие угодно большие значения.

Аналогично, из геометрического смысла котангенса вытекает, что если х возрастает

от 0 до π, координата точки Сх на линии ко-

большие значения.

Обоснуем свойство 7 о множестве значений функций у = tg х и у = ctg х.

 Докажем, что произвольное действительное число а может

быть значением тангенса некоторого числа. Рассмотрим тригоно-

две точки на тригонометрическй окружности сближаются (расстояние между ними становится каким угодно малым), то соответствующие точки на линии тангенсов также сближаются (рис. 329). Аналогично

обосновывается это свойство для функции у = сtg х. Напомним, что непрерывная функция описывает процессы, которые происходят плавно, то есть когда исследуемая величина за малый промежуток времени

изменяется мало (см. § 4).

Применим к графикам функций у = tg х и у = сtg х преобразования графиков функций, рассматривавшиеся ранее, а именно: па-

на ось х совершает колебания вдоль горизонтального диаметра ВС длиной 2А, достигая то крайнего правого положения В, то крайнего левого положения С. Точно так же и ее проекция Му на ось у совершает колебания вдоль вертикального диаметра DF, также достигая то наивысшего положения D, то самого нижнего положения F. Установим законы движения точек Мх и Му. Построим единичную окружность с центром в точке О и обозначим через Т точку пересечения луча ОМ с этой окружностью. Координаты точки Т = Рωt + α равны cos (ωt + α) и sin (ωt + α), а потому, из соображений подобия, координаты точки М определяются формулами:

х = A cos(ωt + α), у = A sin (ωt + α).

Эти формулы описывают отклонение точек Мх и Му от точки О — центра окружности. Они задают законы движения точек Мх

и Му, которые называются гармоническими колебаниями.

Отметим, что при А = 1, ω = 1, α = 0 получим соответственно функции x(t) = cos t, у(t) = sin t.

Колебательные движения широко распространены в окружающем мире. Представления о них дают и океанские волны, и маятниковые часы, и качели, и нервные импульсы. С ними связано распространение звука и света. Многие из этих явлений можно описать с помощью гармонических колебаний.

Введем некоторые понятия, связанные с гармоническими колебаниями проекций на координатные оси точки, равномерно движущейся по окружности с центром в начале координат. Точку О — середину отрезка, вдоль которого проходит гармоническое колебание, — называют положением равновесия, число А — амплитудой колебания. Амплитуда характеризует величину наибольшего отклонения от положения равновесия.

Число ω, как известно, является угловой скоростью вращения точки. За 2π единиц времени точка повернется на угол 2πω рад,

при этом ее проекции на ось х и на ось у выполнят 22πωπ = ω пол-

ных колебаний. Число ω, то есть количество полных колебаний за 2π единиц времени, называется еще круговой частотой коле-

баний.

Число α, характеризующее начальное положение точки на ок-

ружности, называется начальной фазой колебания, ωt + α — фазой колебания.

298 Тригонометрические функции

Время Т, в течение которого точка М совершает полный оборот,

называется периодом гармонического колебания. За период

Т проекция Мх точки М на ось х дважды пройдет все свои возможные положения и возвратится в начальное положение. Исключе-

ния составляют лишь предельные положения В и С (см. рис. 333), каждое из которых точка пройдет один раз.

Так как за 2π единиц времени координата точки совершает ω полных колебаний, то одно полное колебание она совершает за

Пример 10. Построить график закона гармонического колебания

y= 5sin 2t + π .

3

Представим выражение для закона гармонического колеба-

кой последовательности: сначала строим график функции у = sin t

предыдущего графика к оси ординат в два раза) (рис. 335) и, нако-

284.На рис. 337, 338 изображены части графиков функций с периодом Т. Постройте графики этих функций на промежутке

[–2Т; 2Т].

285.Докажите, що число Т является периодом функции y = f(x), если:

288.Постройте график функции y = sinx, x [−π;2π] и укажите на нём точки, для которых: