§13. Тригонометрические функции числового аргумента

В этом параграфе будут определены тригонометрические функции для произвольного числового аргумента. ×асто поло­ жение подвижных обúектов, например, небесных тел, опреде­ ляют с помощью углов, в частности, углов вращения. Поэтому функции, описывающие их движение, нередко своим аргумен­ том имеют меру угла. Следовательно, целесообразно обобщить понятие угла и подробнее обсудить вопрос о его измерении.

1. Радианное измерение углов

Известно, что в планиметрии рассматривают углы, градусная мера которых находится в промежутке от 0° до 180°. Но на практике приходится рассматривать углы, мера которых больше 180°.

Например, самолет из пункта А должен перелететь в пункт В. Курс самолета определяют с помощью угла между направлением линии полета

и направлением меридиана «юг — север», который отсчитывают против движения часовой стрелки (рис. 262).

Следовательно,прирешениитаких задач приходится уже рассматривать углы в промежутке от 0° до 360°.

В геометрии углы рассматриваются как фигуры, образованные с помощью двух лучей, имеющих

общее начало. Лучи называются сторонами угла, их общая точка — вершиной угла.

Теперь, рассматривая угол, покажем, как эта фигура образовалась: один из лучей будем рассматривать как неподвижный, а второй луч — как движущийся от начального положения, в котором

236 Тригонометрические функции

он совмещался с неподвижной стороной. Эту вторую сторону мы

будем называть подвижной и будем считать, что угол образуется

вращением подвижного луча вокруг вершины угла. Полученные

при этом углы называют углами вращения. На рис. 263 изображен угол, образованный вращением подвижного луча ОА1 вокруг точки О, с неподвижным лучом ОА. Траекторией движения точки А1 луча ОА1 является линия АА1. Она является дугой окружности с центром в точке О и с радиусом ОА1 (или ОА). Следовательно, точка движется по дуге окружности

радиуса R = ОА.

Обычно углы в геометрии измеряют в градусах: 1 градус (1°) —

го угла. Углы вращения тоже можно измерять в градусах. Но часто более удобной является другая мера.

При вращении фиксированная точка подвижного луча описывает дугу окружности с центром в вершине угла (рис. 264). Измерение

углов вращения можно заменить измерением длины дуги окружности. Чтобы исключить влияние величины радиуса, мерой угла считают не длину дуги l, а отношение этой длины к радиусу R. Такая мера называется радианной.

!Отношение пути, пройденного точкой А, к радиусу R не зависит от радиуса. Поэтому это отношение может быть принято за меру угла вращения.

Радианной мерой угла вращения называется отношение пути, пройденного от начального положения фиксированной точкой подвижного луча, к расстоянию от этой точки до начала луча.

Численно радианная мера угла вращения равняется пути, пройденному точкой подвижного луча, находящейся на единичном расстоянии от вершины.

За единицу при радианном измерении угла вращения принимают меру угла, опирающего-

ся на дугу, длина которой равна длине радиуса (рис. 265). Эта единица называется радианом.

Термин «радиан» происходит от латинского radius — радиус.

Движение точки по окружности во многом похоже на движение точки по прямой. Чтобы определить положение точки на прямой, недостаточно знать путь, пройденный ею от исходной точки, — нужно указать еще направление движения. Обычно на прямой фиксируют положительное направление, а положение точки определяется одним числом, положительным или отрицательным.

Вращение подвижного луча вокруг вершины угла возможно в двух противоположных направлениях. Геометрически два угла на рис. 266–267 являются равными, но как углы вращения их следует считать различными.

При вращении на плоскости будем считать положительным направлением вращения направление против движения часовой стрелки (рис. 268). Вращение по часовой стрелке будем считать отрицательным (рис. 269). Соответственно, углы, образованные такими вращениями, будем измерять положительными и отрицательными числами.

Например, часы на рис. 270 показывают 10 минут одиннадцатого, или без 50 минут один-

надцать часов. Здесь вращение минутной стрелки измеряется или отрицательным числом (по часовой стрелке), или положительным, только выбор направления мы обозначаем не знаком минус или плюс, а словами «10 минут одиннадцатого» и «без 50 минут одиннадцать».

Угол в 90° получим, если луч ОА1 совершит четверть полного оборота вокруг точки О против

часовой стрелки (рис. 271, а); результатом полуоборота луча ОА1 против часовой стрелки является угол 180° (рис. 271, б). Угол

Пример 2. Точка равномерно движется по окружности, радиус которой R = 40 см, с линейной скоростью v = 80 см/с. Найти угловую скорость точки.

 За одну секунду точка проходит путь, равный 80 см. Нужно найти меру угла, на который поворачивается точка за 1 с. Из определения радиана вытекает, что углу в 1 рад соответствует дуга, длина которой равна длине радиуса. Поскольку длина пути, который проходит точка за 1 с, вдвое больше радиуса, то соответствующая дуга окружности соответствует углу в 2 рад.

Ответ. 2 рад/с.

Используя отрицательные меры углов, можно модуль меры

любого угла, в пределах полного оборота, привести к числу, не

превышающему полуоборота. Например, при градусном измере-

нии углов вместо промежутка 0° ≤ α ≤ 360° можно всегда рассмат-

ривать углы в промежутке – 180° ≤ α ≤ 180°, при радианном изме-

В географии, астрономии, где применяется градусная система измерения углов, пользуются также меньшими единицами изме-

рения: 601° =1′ (угловая минута), 601′ =1′′ (угловая секунда). Градусной мерой угла пользуются в оптических приборах.

Минута — от латинского minuta — уменьшенное (частица), от minuo — уменьшаю, разбиваю на мелкие части.

Секунда — от латинских secunda (division gradi) —

второе (деление градуса), secundus — следующий.

В технике за единицу измерения углов принимают полный

нутого угла, или большое деление угломера, равное 100 «тысяч-

ным». В мореходстве единицей измерения является румб, равный

1 части полного оборота.

32

 Контрольные вопросы

2. Тригонометрическая окружность

Как известно, между действительными числами и точками координатной прямой существует вза- имно однозначное соответствие. Представим себе, что точка движется по координатной прямой от начала координат. Если она движется в положительном направлении и пройдет расстояние, равное трем единицам измерения длины, то она попадет в точку А(3) (рис. 275). Если же она

движется в направлении, противоположном направлению координатной прямой, и пройдет то же расстояние, то она попадет в точку В(–3) (рис. 275). Обратите внимание на то, что в обоих случаях расстояние, пройденное точкой, равно модулю координаты точки, в которую она попадает.

Вообще, пусть дано произвольное число t. Будем считать, что точка движется вдоль прямой, причем в положительном направлении, если t > 0, и в отрицательном направлении, если t < 0. Когда пройденное расстояние будет равняться |t|, точка попадет

метрической окружности соответствует точка Рt. По построению, точку Рt получают из точки А поворотом ее вокруг начала координат на t радиан, поскольку на единичной окружности длина

Аналогично, точки P3π , P−π будут совпадать соответственно c точ-

2

ками D, С.

!Продолжая эти построения, придем к выводу, что раз-

личным числам может соответствовать одна и та же точка тригонометрической окружности.

Эта неоднозначность напоминает такую реальную ситуацию:

велотрек имеет длину 350 м, велосипедист находится на рас-

стоянии 150 м от финиша. Какой путь он проехал?

Если он только начал соревнование, то он проехал 350 – 150 = = 200 м, если уже проехал один круг, то — (200 + 350 1) м = 550 м, два круга — (200 + 350 2) м = 900 м; если проехал п кругов, то путь будет равняться (200 + 350 п) м. Потому однозначного ответа на поставленный вопрос дать невозможно.

Пример 3. Изобразить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам 6π; 4π; 3π.

Для точек, построенных в примере 3, нетрудно указать прямо-

угольные координаты, пользуясь соотношениями между сторонами и углами прямоугольных треугольников.

Пример 4. Найти прямоугольные координаты точек Pπ , Pπ , Pπ .

Координаты точек, построенных в примере 4, позволяют находить координаты точек тригонометрической окружности, соответствующих числам, выраженным в долях числа π.

Пример 6. Найти прямоугольные координаты точек P5π , P7π , P4π .

Приближенно можно изображать точки тригонометрической окружности, соответствующие произвольным числам.

Пример 7. Изобразить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам 1, –2, 3, –5.

 Числу 1 соответствует точка Р1, расположенная на дуге АВ ближе к точке В, так

как длина дуги АВ равна π или прибли-

жённо 1,5. Чтобы уточнить2ее положение, отложим от точки А в положительном направлении угол в 1 радиан, приближенно

равный 180π ° ≈ 57,3° (рис. 282). Его можно

построить с помощью транспортира.

Для построения точки Р–2, соответствующей числу –2, отложим от точки А в отрицательном направлении дугу в 2 рад. Соответс-

248 Тригонометрические функции

пример 4), а следовательно всем числам 4π + 2πn,n Z . Точка Q соответствует чис-

лу 34π и, следовательно, всем числам

34π + 2πn,n Z .

2) Прямая х = −12 пересекает тригонометрическую окружность в точках Е и F

(рис. 284). Точка Е соответствует числу 4π

3

(см. пример 6) и, следовательно, всем числам 43π + 2πn,n Z . Точка F соответствует

числу 23π и, следовательно, всем числам

23π + 2πn,n Z .

Ответ. 1) 4π + 2πn,n Z , 34π + 2πn,n Z ;

2)43π + 2πn,n Z , 23π + 2πn,n Z .

Контрольные вопросы

Синусом числа t называется ордината точки Pt.

sin t = у.

Косинусом числа t называется абсцисса точки Pt.

cos t = х.

Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу.

tg t = cossintt .

Котангенсом числа t называется отношение косинуса числа t к его синусу.

ctg t = cossintt .

Косинус — от латинского complementi sinus: complementus — дополнение, а sinus — впадина, углубление; буквально: дополнение углубления.

Тангенс — от латинского tangens — тот, который касается, tango — касаюсь.

Котангенс — от латинского complementi tangens.

Каждому числу t соответствует единственная точка Pt тригонометрической окружности, а следовательно, единственные абсцисса и ордината этой точки. Собственно, именно поэтому sin t, cos t, tg t, ctg t являются функциями переменной t, принимающей значения из множества действительных чисел. Их называют триго-

нометрическими функциями.

!Дляуглов,рассматриваемыхвгеометрии,приведенные определения совпадают с определениями соответствующих величин в геометрии. Если угол t лежит в первой координатной четверти, то абсцисса и ордината точки Pt являются длинами катетов прямоугольного треугольника ОPtQ (рис. 287, б). В этом случае определения тригонометрических функций совпадают с определениями для острых углов прямоугольного треугольника. В других четвертях значения тригонометрических функций также могут быть найдены из прямоугольных треугольников, только при этом следует учитывать знаки координат точки Pt и связь угла t с острым углом треугольника.

252 Тригонометрические функции

Знаки значений тригонометрических функций числа t определяются положением точки Pt на тригонометрической окружности.

Пример 11. Определить знаки чисел: sin 20°; cos 130°; tg 214°; ctg 356°.

 Построим на тригонометрической ок-

ружности точки, соответствующие углам вра-

щения на 20°; 130°; 214°; 356° (рис. 290).

При вычислении значений тригонометрических фун- кций числа (или, что то же самое, меры угла враще- ния, заданной в радианной мере) с помощью калькулятора переключатель устанавливают в положение Р (радиан). То же самое делают при нахождении значения аргумента

по заданному значению тригонометрической функции.

Пример 12. Составить таблицу значений функции h = t + sin t

для таких значений t: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.

 Чтобы выполнить задание, воспользуемся калькулятором.

чески. В то же время тангенс и котангенс ввели как некоторые отношениясинусаикосинуса.Однакоихтакжеможноохарактеризовать геометрически.

Прямая, проходящая через точку с координатами (1; 0) перпендикулярно оси абсцисс, называется линией

тангенсов (рис. 291).

Линия тангенсов имеет уравнение х = 1, ее можно считать координатной прямой с направлением и масштабом оси у и с началом в точке А.