§12.Параллельность плоскостей

Ðассматривается отношение параллельности плоскостей, его свойства и применения.

Наглядное представление о расположении двух

плоскостей дает моделирование с помощью плоскостей поверхностей смежных стен, потолка и пола комнаты, двухъярусных кроватей, двух скрепленных листов бу-

маги и т. п. (рис. 242–244).

Хотя существует бесконечное множество вариантов взаимного расположения различных плоскостей, для установления и характеристики которых в последующем будут применены измерения углов и расстояний, мы сначала остановимся на таких, где в основу классификации (как и прямых с плоскостями) положено количество их общих точек.

1. Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают (аксиома С2, §7).

2. Общие точки двух плоскостей расположены на одной прямой, являющейся линией пересеченияэтихплоскостей(аксиомаС3,§7). Такие плоскости пересекаются.

3.Две плоскости не имеют общих точек.

Вэтом случае их называют параллельны-

ми.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей обозначается знаком ||: α || β.

Как всегда, при введении геометрических понятий возника-

ет проблема их существования. Существование пересекающих-

ся плоскостей является характерным признаком пространства,

и этим мы уже многократно пользовались. Менее очевидным яв-

ляется существование параллельных плоскостей. Нет никакого

сомнения в том, что, например, плоскости противоположных гра-

ней куба параллельны, то есть не пересекаются. Но непосредс-

твенно, по определению, это установить невозможно. Для реше-

ния поставленного вопроса, а также других вопросов, связанных с

параллельностью плоскостей, необходимо иметь признак параллельности.

Для поиска признака целесообразно рассматривать плоскость,

«сотканную» из прямых. Очевидно, что каждая прямая одной из

параллельных плоскостей должна быть параллельна другой.

В противном случае плоскости будут иметь общую точку. Доста-

точно ли параллельности плоскости β одной прямой плоскости α

для того, чтобы плоскости α и β были параллельными? Безуслов-

но, нет (обоснуйте это!). Практический опыт свидетельствует, что

двух таких пересекающихся прямых достаточно. Чтобы закрепить

на мачте параллельную земле площадку, достаточно положить ее

сти параллельны второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

 Пусть пересекающиеся прямые а и b плоскости α параллельны плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны методом от противного. Для этого допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой

т (рис. 246). Прямые а и b пересекать прямую т не могут по условию. Однако тогда в плоскости α через одну точку проведены две прямые, не пересекающиеся с прямой т, то есть параллельные ей. Это противоречие

и завершает доказательство теоремы.

Признаком параллельности плоскостей пользуются при горизонтальном размещении плоских конструкций (бетонных плит, пола, диска угломерных приборов и т. п.) с помощью двух уровней, размещенных в плоскости конструкции на пересекающихся прямых. На основании этого признака можно выполнить построение плоскости, параллельной данной.

Задача 1. Через точку, лежащую вне данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной.

Пусть даны плоскость β и точка М вне плоскости (рис. 247, а). Проведем через точку М две пересекающиеся прямые а и b, параллельные плоскости β. Для этого нужно взять в плоскости β две пересекающиеся прямые с и d (рис. 247, б). Потом через точку М провести прямые а и b, параллельные прямым с и d соответствен-

но (рис. 247, в).

Пересекающиеся прямые а и b параллельны плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11). Они определяют однозначно плоскость α. Согласно доказанному признаку, α || β.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пользуясь признаком параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), нетрудно установить, что из условия теоремы 1′ вытекает условие теоремы 1. Применение теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 2 §11) завершает обоснование эквивалентности условий теорем 1 и 1′.

Естественно возникает вопрос об однозначности приведенного в задаче 1 построения. Поскольку нам придется не раз воспользоваться этим свойством, то выделим его как отдельную теорему. Однако сначала рассмотрим другое утверждение.

Теорема 2 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

 Пусть даны параллельные плоскости α, β и плоскость γ, их пересекающая (рис. 252). Обозначим линии пересечения

через а и b. Эти прямые лежат в плоскости γ и не пересекаются, поскольку плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому пря-

мые а и b — параллельны.

Теорема 3 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

 Построение такой плоскости выполнено в задаче 1. Однозначность построения докажем методом от противного. Допустим, что через точку М проведены две различные плоскости α и γ, па-

раллельные плоскости β (рис. 253), и прямая т — линия их пересечения. Проведем через точку М плоскость δ, пересекающуюся с прямой

т и плоскостью β (как это можно сделать?). Обозначим через а и b

линии пересечения плоскости δ с плоскостями α и γ, а через с — линию пересечения плоскостей δ и β (рис. 253). Согласно теореме 2, а || с

и b|| с. То есть в плоскости δ через

точку М проходят две прямые, параллельные прямой с. Противоречие свидетельствует о неверности предположения.

Отношение параллельности плоскостей обладает рядом свойств, имеющих аналоги в планиметрии.

Теорема 4 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Пусть даны две параллельные плоскости α и β и отрезки АВ

иСD параллельных прямых a и d, отсекаемые этими плоскостями (рис. 254, а). Проведем через прямые a и d плоскость γ (рис. 254, б). Она пересекает плоскости α и β по прямым АС и BD, которые, согласно теореме 2, параллельны. Поэтому четырехугольник АBСD — параллелограмм, его противоположные стороны АС и BD равны.

Из приведенного свойства вытекает, что если от всех точек плоскости отложить

по одну сторону от плоскости параллельные отрезки одинаковой длины, то концы этих отрезков образуют две параллельные плоскости. Именно на этом свойстве основано построение параллелепипеда с помощью отложения отрезков (рис. 255).

Теорема 5 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то данные две плоскости параллельны между собой.

Пусть плоскости α и β параллельны плоскости γ. Допустим, что

αи β не параллельны. Тогда плоскости α и β имеют общую точку, и через эту точку проходят две различные плоскости, параллельные плоскости γ, что противоречит теореме 3. Поэтому плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Теорема 5 является еще одним признаком параллельности плоскостей. Она широко применяется как в геометрии, так и в практической деятельности. Например, в многоэтажном здании параллельность плоскостей пола и потолка на каждом этаже гарантирует их параллельность и на разных этажах.

Задача 2. Доказать, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости α.

 Пусть плоскости α и β параллельны, а прямая а пересекает плоскость α в точке А. Докажем, что она пересекает и плоскость

β. Допустим, что это не так. Тогда прямая а параллельна плоскости β. Проведем плоскость γ через прямую а и произвольную точку плоскости β (рис. 256).

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым b и с. Со-

гласно теореме 2, b || с, то есть в плоскости γ через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Это противоречие и доказывает утверждение.

Попробуйте доказать самостоятельно, что если плоскость α пересекает плоскость β, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости β.

Пример 2. В тетраэдре АBCD точки K, F, Е — середины ребер DA, DС, DВ, а М и Р — центры масс граней АВD и ВСD соответственно.

1) Установить взаимное расположение плоскостей KEF и ABC;

DEF и ABC.

2) Построить линию пересечения плоскостей AFB и KEC.

3) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости АВD и проходящей через точку Р, если все рёбра тетраэдра равны а.

 Построим рисунок, соответствующий условию (рис. 257, а). 1) Плоскости KEF и ABC параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1’): пересекающиеся прямые KE и KF плоскости KEF параллельны пересекающимся прямым AB и AC плоскости ABC (на них лежат средние линии соответствую-

щих треугольников).

Плоскости DEF и ABC пересекаются по прямой BC, так как прямая BC принадлежит обеим плоскостям, а совпадать они не могут — точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

2) Плоскость AFB пересекается с плоскостью KEC по прямой, содержащей точку Р, так как прямые СЕ и BF, лежащие в этих плоскостях, находятся в плоскости BCD и пересекаются в точке Р. Другой точкой является точка пересечения Q прямых AF и CK в плоскости ACD (рис. 257, б). Очевидно, что эта точка является центром масс грани ACD. Искомым пересечением является прямая PQ.

3) Построим сечение, указанное в условии, пользуясь признаком параллельности плоскостей. Проведем через точки P и Q прямые, параллельные прямым DB и DA соответственно (рис. 257, в). Эти прямые пересекают отрезок CD в точке L. Последнее вытекает из свойства центра масс треугольника — он делит медианы треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины. Осталось применить теорему Фалеса. Таким образом, плоскости PLQ и BDA параллельны. Искомым сечением является треугольник LSN.

По построению, треугольники BCD и SCL подобны с коэффициентом подобия CECP = 32 . Поэтому LS = 32 BD . Аналогично уста-

навливаются равенства: LN = 32 AD , NS = 32 AB . Отсюда вытекает, что треугольники LSN и ABD подобны с коэффициентом подобия 32 . По свойствам площадей подобных треугольников,

SLNS = 49 SABD . Осталось найти площадь треугольника ABD. По-

скольку, по условию, все рёбра тетраэдра равны а, то SABD = 43 a2 .

Искомая площадь равна 313 a2.

Уместно обратить внимание на то, что ответ зависит лишь от площади грани ABD. Поэтому равенство всех рёбер является лишь средством найти эту площадь. Таким образом, данную задачу можно существенно обобщить.

Ответ. 1) KEF || ABC; 3) 313 a2 .

 Контрольные вопросы

1.Верно ли, что две плоскости параллельны, если каждая прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

2.Плоскости α и β параллельны. Существуют ли скрещивающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях?

3.Две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости. Параллельна ли этой плоскости третья сторона треугольника?

2. На рис. 259 изображен тетраэдр ABCD, точки K, F, M, N, Q — середины соответствующих рёбер. Укажите:

1) плоскость, проходящую через точку K параллельно плоскости ABC;

2) плоскость, проходящую через прямую BD параллельно плоскости MNQ.

3.Определите, чем является сечение фигуры плоскостью, проходящей через данные три точки, изображенные на рисун-

ках 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответственно в точках A1, B1, C1, D1.

2) Треугольник A1B1C1 является проекцией треугольника ABC на параллельную ему плоскость α. Точка М — середина ВС, М1 — проекция точки М на плоскость α.

Задачи

207. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки О, О1 — центры граней ABCD и A1B1C1D1 соответственно, М — середина ребра АВ.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей МО1О

и ADD1, ABD1 и СО1С1.

2°) Постройте точку пересечения плоскости DCC1 и прямой МО1 и линию пересечения плоскостей МСС1 и A1D1C1.

3) Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости AD1C1 и проходящей через точку О1, если ребро куба равно а.

208. В тетраэдре ABCD точки K, L, Р — центры масс граней ABD, BDC, ABC соответственно, а М — середина ребра AD.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACD

и KLP; МLK и ABC.

2°) Постройте точку пересечения плоскости ABC и прямой МL и линию пересечения плоскостей МKL и ABC.

3) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L и М параллельно прямой AD, если все рёбра тетраэдра равны а.

209. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки L, M, M1 — середины рёбер AB, AD и A1D1 соответственно.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей B1D1D

и LMM1.

2) Постройте плоскость, проходящую через точку М параллельно плоскости ACC1.

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M1 параллельно плоскости CDD1.

4) Определите взаимное расположение плоскостей МА1В1

и CDМ1.

5) Постройте плоскость, проходящую через прямую C1D1 параллельно плоскости CDM1.

210. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны между собой. Точки L, M и N — середины рёбер AS, BS, CS соответственно.

1°) Определите взаимное расположение: прямых LM и BC; прямой LN и плоскости ABD; плоскостей LMN и BDC.

2°) Докажите, что треугольники ABC и LMN подобны.

3) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMN; плоскостью LMN; плоскостью LBC.

4*) Какое из сечений пирамиды, проходящих через вершину S, имеет наибольшую площадь?

217.Постройте сечение тетраэдра, являющееся параллелограммом.

218°. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны.

219. Докажите, что множество всех прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной плоскости, образует плоскость, параллельную данной.

220. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что каждая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD, BC в вершинах параллелограмма.

221. Докажите, что плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, параллельны между собой, если обе они параллельны одной и той же плоскости.

222. Через точку О пересечения диагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость параллельно грани ABCD. Эта плоскость пересекает рёбра BB1 и CC1 в точках M и N соответственно. Докажите, что угол MON — прямой.

223. Докажите, что две плоскости параллельны между собой тогда и только тогда, когда каждая прямая, пересекающая одну из плоскостей, пересекает и вторую.

224*. В треугольной пирамиде SABC через отрезки AD и CE, где D — середина SB, а E — середина SA, проведите сечения пирамиды, параллельные между собой.

225. Найдите геометрические места:

1) середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях; 2*) середин отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

226*.Сторона АВ треугольника АВС, лежащего в плоскости α, параллельна плоскости β. Равносторонний треугольник А1В1С1 является параллельной проекцией треугольника АВС на плоскость β; АВ = 5, ВС = 6, АС = 9.

1) Установите взаимное расположение прямых АВ и А1В1,

ВС и В1С1, А1С1 и AC.

2) Найдите площадь треугольника А1В1С1.

227*.Даны две скрещивающиеся прямые. Укажите множество всех точек пространства, через которые можно провести прямую, пересекающую каждую из двух данных прямых.

Готовимся к тематичес-

кому оцениванию по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Задания для самоконтроля

1.Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли некоторые три из них лежать на одной прямой?

2.Могутлитриразличныеплоскостииметьровнодвеобщиеточки?

3.Могут ли две скрещивающиеся прямые быть одновременно параллельными третьей прямой?

4.Верно ли, что прямые а и b не параллельны, если не существует прямой с, параллельной а и b?

5.Могут ли равные отрезки иметь неравные проекции?

6.Может ли луч быть параллельной проекцией прямой?

7.Может ли квадрат быть изображением куба?

8.Верно ли, что через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой?

9.Всегда ли через данную точку можно провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, не содержащим эту точку?

10.Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

Ответы к заданиям для самоконтроля

Образец контрольной работы

Два параллелограмма АBCD и АBC1D1 лежат в различных плоскостях.

1°) Определите взаимное расположение прямых CD и C1D1.

2°) Определите взаимное расположение прямой C1D1 и плоскости

АВС.

3°) Постройте линию пересечения плоскостей DD1С1 и ВСС1.

4°)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостейАDD1 иВCC1.

5) Через точку М, делящую отрезок АВ в отношении 2:1, считая от точки А, проведите плоскость α, параллельную плоскости С1ВС. 6) Постройте точку пересечения прямой АС с плоскостью α и найдите отношение, в котором эта точка делит отрезок АС.

Тригонометрические

функции

С тригонометрическими функциями вы уже имели дело на уроках гео­ метрии. До сих пор их приложения, в основном, ограничивались решени­ ем треугольников, то есть речь шла о нахождении одних элементов тре­ угольника по другим. Из истории математики известно, что возникновение тригонометрии связано с измерением длин и углов. Однако, теперь сфера

ееприложений намного шире, чем в древности.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих τριγωνον

(trigonon) – треугольник и µετρεω (metreo) — меряю, изме-

ряю. Буквально оно означает измерение треугольников.

Вэтой главе систематизируется материал, уже известный вам из кур­ са геометрии, продолжается изучение тригонометрических функций и их приложений для характеристики периодических процессов, в частности, вращательного движения, колебательных процессов и т. п.

Большинство применений тригонометрии касаются именно перио­ дических процессов, то есть процессов, повторяющихся через равные промежутки времени. Восход и закат Солнца, изменения времен года, вращения колеса — это простейшие примеры таких процессов. Меха­ нические и электромагнитные колебания являются также важными при­ мерами периодических процессов. Поэтому исследование периодических процессов — важное задание. И роль математики в его решении является определяющей.

готовимся к изучению темы «Тригонометрические функции»

Изучение темы «Тригонометрические функции» целесообразно начать с повторения определений и свойств тригонометрических функций углов треугольников и их применений для решения как прямоугольных, так и произвольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов прямоугольного

треугольника

Таблица 24

Синусом острого угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = ac .

Косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosα = bc .

Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему:

tgα = ab .

Котангенсом острого угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgα = ab .

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = Ry ; cosα = Rx ;

tg α = xy ; ctg α = xy .

(х; у) — координаты точки А, расположенной на верхней полуокружности, α — угол, образованный радиусом ОА окружности с осью х.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

некоторых углов

Таблица 26

Угол t

Тест для диагностики готовности к изучению темы «Тригонометрические функции»

5.Сравните сумму синусов острых углов произвольного прямоугольного треугольника (обозначим ее через А) с единицей.

<1. Б. А = 1.

>1. Г. Сравнить невозможно. Расположите по возрастанию числа: а = sin 30°, b = cos 30°,

=tg 30°.

<b < c. Б. a < c < b. В. c < a < b. Г. b < a < c.

Сравните без вычислительных средств острые углы α и β,7.

15.Укажите координаты точки А, лежащей на окружности радиуса 1 (см. рис.).

(−1; 0). Б. (1; 0).

(0; − 1). Г. (0; 1).А.В.