§1. Числовые множества

Понятие числа относится к основным в математике. С ее развитием развивалось и обогащалось само понятие числа.

В этом параграфе сделан обзор основных числовых систем, изучавшихся ранее, подробнее рассматриваются множества рациональных и действительных чисел.

1. Множество рациональных чисел

Первоначальные представления о числах формировались постепенно под влиянием практической деятельности человека. С древних времен числа употреблялись: а) при счете; б) при измерении величин.

Изучение математики начинается со знакомства с натуральными числами, то есть с числами 1, 2, 3, 4, 5, …, используемыми при счете. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получают натуральные числа. Но разность и частное от деления натуральных чисел могут не быть натуральными числами.

Если присоединить к натуральным числам отрицательные числа и нуль, то множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел. Отрицательные целые числа вместе с натуральными позволяют характеризовать изменение численности какого-либо множества с учётом направления изменения. Например, если количество изделий, изготовленных рабочим за смену, изменились на + 20, то это означает, что оно увеличилась на 20, а если на –20, то — уменьшилось. То же самое относится к записи размера прибыли и убытка, температуры воздуха, скорости движения по течению и против течения реки и т. п.

Для любых целых чисел их сумма, разность и произведение являются целыми числами. Однако частное от деления двух целых чисел может не быть целым числом.

Дробные числа появились как результат измерения. Пусть нужно измерить длину классной доски. Допустим, что в длине классной доски уложился один метр и образовался остаток, меньший метра. В таком случае разделим метр, например, на 10 равных частей, измерим остаток десятыми долями метра и находим, что остаток содержит 7 десятых частей метра. Получили дробное

число 1107 . Целые числа вместе с дробными образуют множество рациональных чисел. При выполнении четырех арифмети-

ческих действий (кроме деления на 0) над рациональными числа-

ми всегда получают рациональные числа. Каждое рациональное

число можно представить в виде обыкновенной дроби mn , где т —

целое число, п — натуральное.

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N, множество целых чисел — Z, множество рациональных чисел — Q.

Каждое рациональное число можно представить также в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной. Например,

18 = 0,125; 2257 = 210028 = 2,28; 19 = 0,1111....

Последняя десятичная дробь является периодической с пери-

одом 1 и её записывают так: 0,(1) (читается: нуль целых и одна десятая в периоде).

Различные бесконечные десятичные дроби изображают различные рациональные числа. Исключение составляют дроби с периодом 9, которые можно считать другой записью дробей с периодом 0: 1,(9) =

= 1,999... = 2,000... = 2; 0,3(9)= 0,3999... = 0,4000... = 0,4. Для беско-

нечных десятичных дробей с периодом 9, как правило, применяют запись дробями с периодом 0. Если отождествить периодические дроби с периодом 9 с соответствующими периодическими дробями с периодом 0, то между рациональными числами и десятичными периодическими дробями будет существовать взаимно однозначное соответствие.

Òеîрема 1. Каждое рациональное число m можно пред- n

ставить в виде десятичной периодической дроби.

 Утверждение вытекает из того, что в процессе деления числителя m на знаменатель п после выделения целой части каждый из остатков будет меньше п, то есть остаток может равняться одному из чисел 0, 1, 2, …, п – 1. Поэтому не позже, чем после п-го шага, какой-то из остатков повторится, и, следовательно, в частном будет повторяться та же группа цифр. 

!Если при делении «уголком» получают конечную десятичную дробь, то её всегда можно записать в виде периодической с периодом, равным нулю, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечное множество нулей.

Заметим, что знаменатели дробей, рассмотренных в примере 1, своими простыми множителями имеют лишь числа 2 и 5: 40 = 23 5, 25 = 52. Оказывается, что и вообще, если знаменатель дроби имеет своими простыми множителями лишь числа 2 и 5, то такая дробь обращается в конечную десятичную дробь.

Дроби, знаменатели которых в своих разложениях на простые множители содержат числа, отличные от 2 и 5, обращаются в бесконечные десятичные дроби.

Пример 2. Записать каждое из чисел 53 , 569 , 56 , 112 , 358 в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

 53 =1,6666... =1,(6); 569 = 0,160714285714285... = 0,160(714285);

56 = 0,8333... = 0,8(3); 112 = 0,18181818... = 0,(18); 358 = 0,2285714285714... = 0,2(285714). 

Если х — отрицательное рациональное число, то в виде бесконечной десятичной дроби представляют ему противоположное число и перед полученным числом ставят знак «минус».

Справедливо и утверждение, обратное теореме 1.

Òеîрема 2. Каждая десятичная периодическая дробь

изображает определенное рациональное число.

Если десятичная дробь имеет своим периодом число 0, то это утверждение очевидно. Например, 2,73(0) = 2,73000... = 2,73 = 100273.

В общем случае можно воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = 1a−1q ,

где а1 — первый член геометрической прогрессии, q — ее знаменатель (|q| < 1).

Пример 3. Записать в виде обыкновенной дроби периодичес-

кую дробь: 1) 3(7); 2) 1,5(38).

 1) Запишем периодическую десятичную дробь без скобок: 3,7777... . Представим полученную дробь в виде суммы целой части, десятых, сотых и так далее долей:

3,7777... = 3 + 107 + 1007 + 10007 +... .

Слагаемые суммы 107 + 1007 + 10007 +... являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом

a1 = 107 и знаменателем q = 101 (|q| < 1).

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической

9 Контрольные вопросы

1°. Верно ли, что:

а) каждое целое число является натуральным; б) каждое целое число является рациональным?

2°. Какое множество дополняет множество целых чисел до множества рациональных чисел?

3°. Чему равен период десятичной дроби 49,35727272...?

4°. Какие из следующих обыкновенных дробей обращаются в ко-

нечные десятичные дроби: 163 , 497 , 56 , 507 ,1511 , 253 , 8021, 212 ,1257 ?

5. Сколько цифр содержит период представления рационально-

го числа 3 в виде бесконечной десятичной дроби?

11

2. Множество действительных чисел

Необходимость расширения множества рациональ- ных чисел обусловлена геометрическими и алгебраическими соображениями. Так, для точного измерения длин отрезков рациональных чисел не хватает.

Например, не существует рационального числа, равного длине гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника, если

длина его катета является единицей измерения ( 2 не является рациональным числом!)

Во множестве рациональных чисел не всякое уравнение вида х2 = а имеет решение. Например, уравнение х2 = 2 во множестве рациональных чисел не имеет решений, так как не существует рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2.

Новые числа можно ввести, используя бесконечные непериодические десятичные дроби.

В предыдущем пункте было показано, что любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби,

и каждая десятичная периодическая дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь не является периодической, то она не является рациональным числом. Например, дробь 0,12345678910111213..., в которой после запятой выписаны все натуральные числа, — непериодическая, а потому она не изображает никакое рациональное число. Данная дробь является иррациональным числом.

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Примеры иррациональных чисел: 0,35355355535555... (после

первой тройки – одна пятерка, после второй — две и т. д.), 2 =

= 1,41421356..., π = 3,1415926535... (отношение длины окружности к диаметру).

Иррациональные числа х и у, записанные в виде бесконечных десятичных дробей, сравниваются по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Если целая часть числа х меньше целой части числа у, то х < у. Если целые части двух чисел равны, то для их сравнения придется обратиться к их дробным частям. Например, 12,72241... < 12,72250..., поскольку у этих чисел равны целые части и первые три десятичных знака после запятой, а четвертый знак после запятой у левого числа меньший: 4 < 5.

Рациональные и иррациональные числа образуют множест-

во действительных или вещественных чисел. Это множест-

во обозначают буквой R. Каждое действительное число изображается в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной).

Действительныечисламожноскладывать,вычитать,умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля). Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. В прикладных задачах при выполнении действий над действительными числами их заменяют рациональными приближенными значениями.

Пример 4. Две материальные точки вращаются по окружностям радиусов 3 м и 4 м. Каждая из них за 1 с делает один оборот. Какое расстояние они вместе преодолеют за 1 с? Вычисления выполнить с точностью до 1 м.

 Искомое расстояние равно сумме длин двух окружностей, описанных данными материальными точками за 1 с. Поскольку длина окружности вычисляется по формуле l = 2πR, где R — ради-

ус окружности, l — её длина, то можно вычислить длину каждой окружности (при вычислении сохраняем один дополнительный десятичный знак): l1 = 2π 3 = 6π ≈ 6 3,1 = 18,6 (м), l2 = 2π 4 = 8π ≈ ≈ 8 3,1 = 24,8 (м). Искомое же расстояние равно l1 + l2 ≈18,6 + 24,8 = = 43,4 (м). Округлив результат до 1 м, получим: l1 + l2 ≈ 43 (м). 

Ответ. 43 м.

Геометрически действительные числа изображаются точками координатной прямой, то есть прямой с выбранными началом координат, положительным направлением отсчета и единицей масштаба.

Основное свойство действи тельных чисел .

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и наоборот, каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу.

Учитывая это соответствие, часто не различают число и изображающую его точку. Например, говорят «точка 5», «точка 2», «точка х» и обозначают соответствующую точку координатной прямой числом «5», «2», «х». Координатную прямую называют также числовой осью. То, что точка А имеет координату х, записывают так: А(х).

Обычно координатную прямую размещают горизонтально, положительное направление выбирают слева направо, начало координат обозначают буквой О. При этом, если а < b, то точка а расположена на числовой оси левее точки b (рис. 2, а); если же а > b, то точка а расположена правее точки b (рис. 2, б).

Пример 5. На координатной прямой изобразить точки по их

 Точку А(– 2) получим, если на координатной прямой отложим от начала координат в отрицательном направлении две еди-

делить единицу масштаба на три равные части и отложить вправо

две такие части. Точки C −1 ; D(0,3) строятся аналогично (еди-

2

ница масштаба делится соответственно на две части и на 10 равных частей). Для изображения точки E ( 2) можно воспользо-

ваться приближенным значениям 2 , например, 1,4. 

Геометрическая интерпретация действительных чисел позволяет наглядно ввести понятие модуля числа.

Расстояние от начала координат О до точки х называется модулем числа х и обозначается через |х|.

Из определения вытекает, что при х ≥ 0 расстояние от О до х равняется х, то есть модулем неотрицательного числа является само это число. Если же х < 0, то расстояние от О до х равняется –х, то есть модулем отрицательного числа является противополож-

Это равенство можно рассматривать как алгебраическую запись определения модуля действительного числа. Например,

3 = 3, −5 = 5, 1− 2 = 2 −1, x −1 = x −1,eсли x ≥ 1,

1 − x,eсли x < 1.

На координатной прямой также изображают числовые проме-

жутки: отрезки, интервалы, полуинтервалы. Ниже приведена их

Пользуясь понятиям модуля, легко записать некоторые геометрические утверждения в алгебраической форме. Например, «расстояние от точки х до точки 1 равно 2» означает, что |х – 1| = 2, а «расстояние от точки х до точки –1 меньше 3» — |х + 1| < 3.

Геометрическим смыслом модуля удобно пользоваться при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих выражения с модулями.

Пример 6. Решить уравнение |х + 2| = 1.

Перепишем данное уравнение в виде |х – (–2)| = 1. Геометрически оно означает, что расстояние от точки –2 до искомой точ-

ки х равно 1. Откладывая на координат- ной прямой (рис. 6) от точки –2 по обе стороны от нее отрезки длиной 1, получим: x1 = −3, x2 = −1. 

Ответ. – 3; – 1.

Пример 7. Решить неравенство: 1) x −5 ≤ 3; 2) |x + 2| > 1.

 1) Геометрический смысл задания состоит в том, чтобы найти множество то-

чек, удалённых от точки 5 на расстояние не больше 3. Изобразим эти точки на ри-

сунке (рис. 7). Запишем искомые точки в виде промежутка: [2; 8]. Решением неравенства являются точки отрезка [2; 8].

2) Неравенство можно переписать в

виде: |x – (–2)| > 1. Необходимо найти мно- жество точек х, удалённых от точки –2 на расстояние, превышающее 1. Изобразим эти точки на рисунке (рис. 8). Решением

неравенства являются точки множества (–∞; –3) (–1; +∞).

Ответ. 1) [2; 8]; 2) (–∞; –3) (–1; +∞).

9 Контрольные вопросы

1°. Среди приведенных чисел укажите натуральные, целые, рациональные, иррациональные: (– 3)3; (– 3)2; 3,14; π; 64 ; 50 ;

6.Назовите несколько положительных значений переменной а,

при которых значение выражения a является:

1) иррациональным числом; 2) рациональным числом.

7°. На рис. 9 изображены числовые множества. Запишите заданные множества в виде числовых промежутков.

8°. Изобразите на координатной прямой числовые множества:

9°. Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) 1< x <2; 2) 1 ≤ x ≤ 3; 3) – 1 < x ≤ 1; 4) x > 4; 5) х ≤ –3.

11.Даны точки А(3) и В(5). Найдите координаты точки:

1)симметричной точке А относительно В;

2)симметричной середине отрезка АВ относительно точки В.

12.Для каждого из следующих интервалов укажите его длину и координату его середины:

13.Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

15.Вычислите значение выражения:

1)−a −2 b , если a = −1,b = −2 ;

2)−1 − −3a + 4 b , если a = −4,b = 0. 2 a + b

16.Решите уравнение:

30 Функции, их свойства и графики

Упражнения для повторения

1) 0,08; 2) 0,6; 3) 2; 4) 3,2; 5) 0,0043.

21.На сколько процентов увеличится площадь круга, если его радиус увеличить на 20%?

22.Богдан и Гриша играли в одной баскетбольной команде. Богдан за игру 20 раз бросал мяч в корзину, при этом 15 раз его броски были меткими. Гриша сделал 25 бросков, из которых 18 оказались меткими. Кто из них был более метким в этой игре?

Итог

Основные понятия

координатной прямой.