§19. связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей

Äанный параграф посвящен установлению связей между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей, широко применяемых в геометрии и ее приложениях.

О существовании связей между параллельностью и

перпендикулярностью в пространстве свидетельствует наш опыт. Действительно, столбы, установленные вертикально, параллельны между собой (рис. 394); параллельны вертикально направленные ледовые сосульки (рис. 395), вертикаль-

ные колонны, украшающие сооружения (рис. 396), и т. п.

Хорошо известно содержание аналогичных связей в планиметрии: два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собой, и наоборот, прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй. Однако для прямых в пространстве эти утверждения не всегда выполняются (попробуйте сами привести соответствующие примеры). Вместе с тем можно изучать ситуации, связанные с параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве.

Рассмотрим детальнее связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью их плоскости. Эти связи отражают отношения между реальными объектами, которыми мы пользу-

Теорема 1 (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости).

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Приведенная теорема является признаком перпендикулярнос- ти прямой и плоскости, то есть с ее помощью устанавливают пер- пендикулярность прямой и плоскости. Её широко используют не только в геометрии, но и в практической деятельности. Сооружение стен здания с

использованием отвеса является яркой ил- люстрацией применения этого признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, нить отвеса расположена вертикально, и если кромка сооружения параллельна нити, то она также верти- кальна (рис. 398).

Рассмотрение теоремы 1 естественно порождает вопрос: будут ли параллельны две прямые, перпендикулярные одной плоскос- ти? Ответ на него нам подсказывает опыт (два вертикально уста- новленных столба — параллельны!), и он подтверждается следу- ющей теоремой, обратной теореме 1.

Теорема 2 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости).

Еслидве прямые перпендикулярны однойитойжеплоскости, то они параллельны.

Приведенная теорема также является признаком. С её помо- щью устанавливают параллельность прямых в пространственных конструкциях. Ведь вертикальность или перпендикулярность

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 391

плоскости иногда более легко проверить (особенно на громоздких объектах), чем параллельность. Речь идет, например, о располо- жении поперечных балок при сооружении потолка здания, рас- познавании параллельности прямых в геометрических конфигу- рациях и др.

Не менее важными в геометрии и ее приложениях являются связи между параллельностью плоскостей и их перпендикуляр- ностью прямой. Речь идёт о двух плоскостях и одной прямой. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна прямой, то как будет расположена вторая плоскость по отноше- нию к этой прямой? Как расположены две плоскости, если они обе перпендикуляр-

ны прямой? Ответы на эти вопросы также нам подсказывает опыт практической деятельности. Если вбить гвоздь в доску перпендикулярно одной стороне доски, то он будет перпендикулярен и противопо- ложной (рис. 399). Если на ось колесной пары насадить колеса с обеих сторон так, чтобы их плоскости были перпендикуляр- ными оси, то плоскости этих колес будут параллельны (рис. 400).

Сформулируем два взаимно обратных утверждения, отражаю- щие связь между параллельностью плоскостей и их перпендику- лярностью прямой.

Теорема 3 (о параллельных плоскостях, одна из которых пер- пендикулярна прямой).

Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и вторая плоскость перпендикулярна этой же прямой.

Теорема 4 (о двух плоскостях, перпендикулярных прямой).

Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

Привлекает внимание родство приведенных двух пар теорем. Каждую из них можно сформулировать, заменив термин «пря- мая» на «плоскость», и наоборот.

Теоремы 3 и 4 также являются признаками.

392 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 3) иллюстрируется рас- положением опорных колонн относительно пола и потолка. Если плоскости потолка и пола параллельны, то колонну достаточ- но поставить перпендикулярно полу, что-

бы она была перпендикулярна и потолку

(рис. 401).

Практическую ценность признака, выраженного в теореме 4, иллюстрирует транспортировка железобетонной пря- моугольной плиты в горизонтальном по- ложении с помощью крана. Для этого ис-

пользуют четыре одинаковых троса, концы которых закреплены в точках А1, А2, А3, А4

плиты и с крюком в точке S (рис. 402). По­

скольку плита висит свободно, то трос, на котором закреплен крюк, перпендикулярен поверхности земли и расположен на прямой, проходящей через центр масс плиты (для однородной плиты). Если пренебречь толщиной плиты, то ее центр находится на пересечении диагоналей прямоугольника А1А2А3А4. Поскольку SA1 = SA2 = SA3 = = SA4, то прямая, соединяющая точку S с точкой пересечения диаго- налей, перпендикулярна плоскости плиты (задача 1 §18). Поэтому, согласно теореме 4, плита расположена горизонтально.

Приведенные примеры не исчерпывают всего разнообразия применений рассмотренных признаков при решении практичес- ких задач. Важными являются данные признаки и для последую- щего углубления геометрических знаний.

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 393

П р и м е р 1 . Из вершины A квадрата ABCD проведен отрезок AM, перпендикулярный плоскости ABC. Построить:

1) плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно пря- мой АС;

2) прямую, проходящую через середину отрезка MC перпендику- лярно плоскости ABC.

 Изобразим условие примера на рис. 404, а.

1) Рассмотрим плоскость МАС. По условию, прямая МА пер- пендикулярна прямой АС. Для построения искомой плоскости достаточно провести через точку А еще одну прямую, перпенди- кулярную прямой АС. Поскольку прямая BD перпендикулярна прямой АС, то искомая прямая должна быть параллельной пря- мой BD.

Построение. Через точку А проведём прямую АK, параллель- ную прямой BD (рис. 404, б). Она перпендикулярна прямой АС. Плоскость МАK перпендикулярна прямой АС, по признаку пер- пендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18).

2) Пусть N — середина отрезка МС (рис. 405, а). Искомая прямая параллельнапрямойМА,потеоремеопараллельностипрямых,пер- пендикулярных плоскости (теорема 2). Это — необходимое условие.

Оно и достаточно, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (теорема 1).

Построение. Через точку N проведём прямую, параллельную прямой МА (рис. 405, б). Точка ее пересечения О с плоскостью квадрата является центром квадрата, поскольку прямая NО ле- жит в плоскости МАС и проходит через середину отрезка АС (по теореме Фалеса). ■

Рассмотрим доказательство приведенных теорем о связях между параллельностью и перпендику- лярностью прямых и плоскостей. Указанная связь между двумя парами теорем и между собой в парах

позволяет надеяться, что доказательство одной из теорем облег- чит доказательство других. Начнем с теоремы 1. Запишем ее в знакосимвольной форме.

Теорема 1. Дано: а1 ||а2, а1 α.

Доказать: а2 α.

 Для доказательства теоремы воспользуемся признаком пер-

пендикулярности прямой и плоскости.

Обозначим через О1 точку пересечения прямой а1 и плоскос- ти α. Согласно теореме о пересечении плоскости параллельными прямыми (теорема 6 § 8), прямая а2, параллельная прямой а1, также пересекает плоскость α в некоторой точке О2 (рис. 406, а).

Возьмем на прямых а1 и а2 точки А1 и А2 по одну сторону от плоскости α так, чтобы отрезки О1А1 и О2А2 были равными. Четы- рехугольник О1А1А2О2 (рис. 406, б) является параллелограммом, так как О1А1 || О2А2, О1А1 = О2А2. Аналогично строим параллело­ грамм О1В1В2О2 для произвольного направления в плоскости α. Для этого через точки О1 и О2 в плоскости α проведем произволь- ные параллельные прямые, на которых выбираем точки В1 и В2 аналогично выбору точек А1 и А2 (рис. 406, в).

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 395

Из приведенных построений вытекает, что четырехугольник А1В1В2А2 является параллелограммом. Действительно, отрез- ки А1А2 и В1В2 — параллельны и равны, по свойствам транзи- тивности отношений параллельности прямых и равенства длин

(A1A2 || О1О2, O1O2 || B1B2, A1A2 = О1О2, O1O2 = B1B2).

А теперь рассмотрим треугольники А1О1В1 и А2О2В2. Они равны потрёмсторонам:А1О1 = А2О2, О1В1 = О2В2, попостроению,А1В1 =А2В2 как противоположные стороны параллелограмма. Поэтому равны соответствующие углы этих треугольников, в частности, А1О1В1 = = А2О2В2. Но угол А1О1В1 по условию — прямой. Поэтому прямым будет и угол А2О2В2. А это означает, что прямая а2 перпендикулярна каждой прямой плоскости α, проходящей через точку О2. По опреде- лению, она перпендикулярна плоскости α. ■

Теорема 2. Дано: а1 α, а2 α.

Доказать: а1 ||а2.

Пусть прямые а1 и а2 перпендикулярны плоскости α, О1, О2 — точки их пересечения с плоскостью α (рис. 407, а). Через точку О2 проведем прямую b, параллельную прямой а1 (рис. 407, б). По те- ореме 1, b α. Если прямая b не совпадает с прямой а2, то через них можно провести плоскость β, пересекающую плоскость α по прямой с (рис. 407, в). Прямые а2 и b перпендикулярны прямой с, по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Одна- ко в плоскости через данную точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Полученное проти- воречие означает, что прямые а2 и b совпадают, то есть а1 ||а2. ■

Доказательство теорем 3 и 4 проводится по такой же схеме, что и доказательство теорем 1 и 2 соответственно. Сделайте это само- стоятельно, пользуясь указанием, приведенным после формули- ровок теорем 3 и 4.

Важностьрассмотренныхтеоремдлястереометриииееприложе- ний, как уже отмечалось, связана с тем, что каждая из них являет- ся признаком: первая и третья — признаками перпендикулярности прямой и плоскости, вторая — признаком параллельности прямых, четвертая — признаком параллельности плоскостей. Этим самым расширяются наши возможности при изучении взаимного располо- жения прямых и плоскостей, проведении построений.

Обобщением результата задачи 1 является следующая тео- рема.

Теорема 5 (о прямой, перпендикулярной данной плоскости).

Через произвольную точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и к тому же только одна.

 Первая часть теоремы о существовании такой прямой обоснована в решении задачи

1. Для доказательства единственности та- кой прямой допустим противное, а именно:

через некоторую точку А проходят две раз- личные прямые а1 и а2, перпендикулярные плоскости α (рис. 408). По теореме 2, они па- раллельны, то есть не имеют общих точек.

Это противоречие и доказывает утвержде- ние. ■

Аналогичное обобщение имеет и результат задачи 2 предыду- щего параграфа.

Теорема 6 (о плоскости, перпендикулярной данной прямой).

Черезлюбуюточкупространствапроходитплоскость,перпендикулярная данной прямой, и к тому же только одна.

 Существование такой плоскости обос- новано в решении задачи 3 предыдущего параграфа. Осталось доказать единствен- ность плоскости, удовлетворяющей услови- ям теоремы. Как обычно в таких случаях, допустим противное, а именно: через дан-

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 397

ную точку А проходят две различные плоскости α1 и α2, перпенди- кулярные прямой а (рис. 409). По теореме 4, они параллельны. Но эти плоскости имеют общую точку А. Полученное противоречие и доказывает утверждение. ■

П р и м е р 2 . Из вершины А квадрата АBСD проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата, и на ней взята точка S. Построить:

1) прямую, проходящую через центр О квадрата перпендику- лярно его плоскости;

2) плоскость, проходящую через середину Р отрезка АS перпен- дикулярно ему;

3) плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно пря- мой BD;

4) прямую, проходящую через точку А перпендикулярно плос- кости SBD.

 1) По условию, прямая AS перпендикулярна плоскости квад- рата. Любая другая прямая, перпендикулярная этой плоскости, будет параллельна прямой AS, по теореме 2, то есть параллель- ность прямой AS является необходимым условием перпендику- лярности искомой прямой плоскости. Она является и достаточ- ным условием, по теореме 1.

Построение. Через точку О прово- дим прямую ОЕ параллельно прямой АS (рис. 410). Прямая ОЕ перпендикулярна плоскости квадрата, по теореме о двух па-

раллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости.

2)Поусловию,прямаяАSперпендикуляр-

на плоскости АBCD.Любая другая плоскость, перпендикулярная прямой АS, будет параллельной плоскости ABCD, по теореме 4. Параллельность искомой плоскости плоскости ABCD является, по теореме 3, и достаточным условием.

Построение. Проведем через точку Р плоскость, параллельную плоскости ABCD.

Для этого через точку Р проведем прямые

РK и РL, параллельные прямым АD и АВ соответственно (рис. 411). Плоскость РKL

параллельна плоскости АBCD, по призна- ку параллельности плоскостей, а потому

является искомой.

398 Перпендикулярность прямых и плоскостей

3) Диагонали квадрата перпендикулярны, то есть ВО АО (см. рис. 410). Поэтому прямая АО лежит в искомой плоскости. Если через точку О провести еще одну прямую ОЕ, перпендику- лярную ВО, то прямая ВО будет перпендикулярной плоскости АОЕ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (тео- рема 1 §18). Эта плоскость содержит точку А.

Построение. Проведем через точку О прямую ОЕ, параллельную прямой АS. Она будет перпендикулярной плоскости АBCD (рис. 412). Прямая ОЕ перпендикулярна

прямой ВО, по определению перпендику- лярности прямой и плоскости. Плоскость АОЕ является искомой.

4) Рассмотрим треугольники ABD и SBD

(рис. 413, а). Они равнобедренные, так как

АD = АВ, по условию, а равенство SB = SD вытекает из равенства прямоугольных треугольников ASD и ASB. Их медианы SO и АО являются высотами, а потому прямая BD перпендикулярна плос- кости AOS, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1). В прямоугольном треугольнике AOS из вершины пря- мого угла А проведем высоту АЕ (рис. 413, б). Прямая АЕ является искомой. Действительно, проведем в плоскости SBD через точку Е прямую EF параллельно прямой BD. Эта прямая будет перпен- дикулярной плоскости AOS, по теореме 1. А это означает, что она перпендикулярна прямой AE. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18), прямая AE перпендикуляр- на плоскости SBD. ■

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 399

99 Контрольные вопросы

1.Верно ли, что две прямые, перпендикулярные некоторой плоскости, лежат в одной плоскости?

2.Могут ли два боковых ребра пирамиды быть перпендикуляр- ными плоскости основания пирамиды?

3.Можно ли провести прямую, перпендикулярную двум пересе- кающимся плоскостям?

4.Существует ли взаимосвязь между расположением ножек сто- ла относительно его поверхности и пола, на котором он сто- ит?

5.Существует ли сечение куба плоскостью, перпендикулярной ровно двум его рёбрам?

6.Можно ли провести плоскость, перпендикулярную одновре- менно двум скрещивающимся прямым?

7.Почему ледовые сосульки, свисающие с крыши весной, можно считать параллельными между собой (пренебрегая их толщи- ной)?

8.На потолке закреплен крюк. С помощью канатов необходимо подвесить к нему платформу так, чтобы ее плоскость была го- ризонтальной. Как это сделать?

9.Можно ли через данную точку пространства провести три вза- имно перпендикулярные прямые? А четыре?

10.Сколько различных плоскостей определяют четыре прямые, перпендикулярные одной плоскости?

Графические упражнения

400 Перпендикулярность прямых и плоскостей

2. На рис. 415 изображен правильный треугольник ABC, O — его центр, OS —

отрезок, перпендикулярный плоскости треугольника, точки M, N — соответс- твенно середины сторон АВ, ВС. Уста-

новите взаимное расположение: 1) прямой АВ и плоскости SOC;

2) прямой MN и плоскости SOB;

3) прямой АС и плоскости MNS.

3. На рис. 416 изображен круг с центром О, АВ и CD — его взаимно перпенди-

кулярные диаметры, МВ — касательная к окружности, OK, BL — равные отрезки,

перпендикулярные плоскости круга. Ус- тановите взаимное расположение:

1) прямой BL и плоскости AOC;

2) прямой BM и плоскости LOK;

3) прямой BM и плоскости COK;

4) прямой KL и плоскости DOK;

5)плоскостей DOK и MBL;

6)прямой BK и плоскости CLD.

4.Постройте рисунок по приведенным данным.

1)Плоскость, проходящая через ребро АВ правильного тетра- эдра SABC, перпендикулярна ребру SC.

2)Через точку М, лежащую на диагонали АС правильной че- тырехугольной пирамиды SABCD, проходит плоскость, пер- пендикулярная АС.

Задачи

407.Из вершины прямого угла С равнобедренного прямоуголь- ного треугольника ABC проведена прямая, перпендикуляр- ная плоскости этого треугольника, и на ней взята точка S. Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку S перпендикулярно прямой AB;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AS перпен- дикулярно плоскости ABC;

3°) плоскость, проходящую через точку A параллельно плос- кости BCS;

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 401

4) прямую, проходящую через точку C перпендикулярно плоскости ABS, если AC = 23 CS.

408. ИзсерединыK гипотенузыBC равнобедренногопрямоуголь- ного треугольника ABC проведена прямая, перпендикуляр- ная плоскости этого треугольника, и на ней взята точка M. Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно прямой AC;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AM пер- пендикулярно плоскости ABC;

3°) плоскость, проходящую через точку A параллельно плос- кости BCM;

4) плоскость, проходящую через точку K перпендикулярно прямой AM, если MK = CK.

409. Из центра О правильного треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, и на ней взята точка S. Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку О перпендикулярно прямой ВС;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AS перпен- дикулярно плоскости АВС;

3) плоскость, проходящую через середину отрезка AS пер- пендикулярно прямой OS;

4*) прямую, проходящую через точку А перпендикулярно плоскости BCS.

410. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте:

1°) прямую, проходящую через центр грани A1B1C1D1 пер- пендикулярно противоположной грани; 2°) плоскость, проходящую через вершину А перпендику- лярно диагонали BD;

3) прямую, проходящую через центр грани АА1В1В перпен- дикулярно плоскости ВDD1;

4*) плоскость, проходящую через точку D перпендикулярно прямой ВD1.

411. В тетраэдре SАBС все грани — правильные треугольники, точка О — центр АВС, D — середина ребра ВС, точка N при- надлежит ребру SА.

1°) Определите взаимное расположение прямой SO и плос- кости АВС.

2°) Определите взаимное расположение прямой ВС и плос- кости ASD.

3) Проведите через точку N прямую, перпендикулярную грани АВС.

4*) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку N перпендикулярно прямой ОS.

412°. Два электрических провода необходимо протянуть от столба высотой 7 м к зданию высотой 4 м. Сколько нужно иметь провода, если расстояние от здания до столба равно 10 м и на провисание провода нужно добавить 3% от его расчетной длины?

413. Сторожевая башня для охраны участка прямоугольной фор- мы установлена в одной из вершин прямоугольника. Рассто- яния от наблюдателя, стоящего на башне, до остальных вер- шин прямоугольника равны а, b, с, причем а > b > с. Чему равняется высота башни?

414. Три параллельные прямые а, b, с не лежат в одной плос- кости. Через точку М, лежащую на прямой а, проведены перпендикуляры к прямым b и с, пересекающие их, соот- ветственно, в точках Р и Q. Докажите, что прямая РQ пер- пендикулярна прямым b и с.

415. Через точку О, находящейся на высоте СD треугольника АBС, проведен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Дока- жите, что плоскость, проходящая через прямые СD и ОМ, перпендикулярна прямой АB.

416*. Даны плоскость α и прямая а, пересекающая плоскость в точке М и не перпендикулярная α. Докажите, что в плос- кости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямой а, и к тому же лишь одна.

417. На прямой, перпендикулярной плоскости α, взяты две точ- ки А и В, не лежащие в плоскости α, а в плоскости α взяты две точки X и Y. Известно, что ХА > ХB. Сравните отрезки

YА и YВ.

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 403

Упражнения для повторения

418.Докажите, что все прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой плоскости, образуют эту плоскость.

419.Как разделить отрезок пополам, пользуясь лишь шаблоном: а) прямого угла; б) острого угла?

420.Стороны параллелограмма равны 2 м и 16 дм; расстояние между большими сторонами — 8 дм. Определите расстояние между меньшими сторонами.

Итог

Основные утверждения