Добавил:

quantum researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский государственный экологический университет

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

978-966-10-1703-9_Математика 10 кл Учебник Уровень стандарта.pdf

Скачиваний:

633

Добавлен:

24.03.2018

Размер:

26.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Функции, их свойства и графики

Каждому человеку постоянно приходится иметь дело с различными зависимостями между величинами. Поэтому изучение зависимостей является основным содержанием обучения в школе, а также в высшем учебном заведении. Чтобы убедиться в этом, достаточно полистать страницы учебников по физике, химии, техническим или общественным дисциплинам, научно-по- пулярных журналов и других изданий. С окончанием учебы не исчезает по требность учитывать, рассматривать и исследовать различные зависимости. Для строителей важной является зависимость стоимости строительства от его длительности, зависимость качества выполненных работ от качества строительных материалов. Для предприятий автомобильного транспорта представляет интерес зависимость расходов топлива от качества дорог. Перечень таких примеров из народного хозяйства, быта, политики и других сфер деятельности человека можно продолжить.

Начиная с XVII ст. изучение важнейших типов зависимостей стало одной из основных задач математики. В математику прочно вошли понятия переменной величины и функции, которые стали и остаются до настоящего

времени мощными средствами моделирования реальных процессов, а потому и одними из главных объектов исследования. В данном разделе заложены основы для изучения функциональных зависимостей между переменными величинами, выделены некоторые важнейшие классы функций, изучаются элементарные методы исследования функций, а также продолжается изучение одной из наиболее применимых функций — степенной.

готовимся к изучению темы «Функции, их свойства и графики»

Изучение темы «Функции, их свойства и графики» базируется практически на всем алгебраическом материале, изучавшемся в предыдущих классах. Главное предназначение этой темы как раз и заключается в его повторении, систематизации и углублении. Соответствующий материал представлен в виде таблиц.

Числа и вычисления

Таблица 1

Тема

Содержание

Примеры

Обыкновен- Сложение и вычитание дробей

+ 5

18 +

ные дроби

з одинаковыми

знаменателя-

a +b

a −b

=113 .

ми: c + c

;

− c

Чтобы

сложить

или

вычесть

дроби с разными знаменате-

лями, их вначале приводят к

общему знаменателю, а затем

выполняют действие по прави-

лу сложения или вычитания

дробей с одинаковыми знаме-

нателями.

ac .

Умножение:

Деление:

= a d =

ad .

Готовимся к изучению темы «Функции, их свойства и графики»

Тема

Проценты и пропорции

Содержание

1 % = 0,01.

р % от числа а равны 100ap .

Если р % от числа а равны b, то a = bp 100 .

Процентное отношение чисел а и b равно ab 100% . Основное свойство пропорции a :b = c :d — ad = bc .

Выражения и их преобразования

	Таблица 2
a2 −b2 = (a +b)(a −b),	(a ±b)2 = a2 ± 2ab +b2,
(a ±b)3 = a3 ±3a2b +3ab2 ±b3 ,	a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab +b2 ),
a3 +b3 = (a +b)(a2 − ab +b2 ),	ax2 +bx + c = a(x − x )(x − x	2	) ,
	1	2

где х1 и х2 – корни уравнения ax2 +bx + c = 0.

Функции и графики

Таблица 3

1. Линейная функция

y = kx + b.

График — прямая, не параллельная оси у. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси х: k = tgϕ.

2. Квадратичная фун-

кция y = ax2, а ≠ 0.

График — парабола, ветви которой направлены вверх, если а > 0, и вниз, если a < 0.

Функции, их свойства и графики

3. Обратная пропорци-

ональность y = k , k ≠ 0.

График – гипербола, ко-

торая при k > 0 располо-

жена в І и ІІІ четвертях,

а при k < 0 — во ІІ и ІV

четвертях.

4. Функция y =

x .

Определена

на

проме-

жутке [0; +∞).

Уравнения

Таблица 4

Тип уравнения

Решение

Линейное

Если а ≠ 0, то x = b .

уравнение

ах = b

Еслиа=0,b≠ 0,тоуравнениенеимееткорней.

Если а = 0, b= 0, то любое х является корнем

Квадратное

урав-

уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

нение ах2 + bx + c =

Если

D = 0, то уравнение имеет один корень

= 0, а ≠ 0,

D = b2 – 4ac

— его

x = −

дискриминант

Если

D > 0, то уравнение имеет два корня

= −b ± D .

1,2

Неполное квадрат-

ах2 + bx = 0 или х(ах + b) = 0, поэтому x = 0,

ноеуравнение (один

= − b .

из коэффициентов b

или с равен 0)

ах2 + c = 0 или x2 = −

Если −

> 0

, то x =

−

= − −

Если − ac < 0 , то уравнение не имеет корней.

Готовимся к изучению темы «Функции, их свойства и графики»						15
Определение степени с целым показателем
					Таблица 5
Степень с натуральным	n N,n >1 an = a a ... a. а1 = а.
показателем					n pаз
Степень с нулевым пока-	а0 = 1, а ≠ 0.
зателем
Степень с целым отрица-	a	−n	1		,a ≠ 0, n N .
тельным показателем			=
тельным показателем			=	an

Свойства степени с целым показателем

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями

Возведение степени в степень Степень произведения Степень частного

Таблица 6

ax ay = ax +y , x, y Z.

ax : ay = ax −y , x, y Z.

(ax )y = axy , x, y Q,. x, y Z. (ab)x = ax bx , x Z.

a x		ax		, x Z.
	=	b	x
b

Арифметический квадратный корень и его свойства

					Таблица 7
Определение	а ≥ 0 a ≥ 0,(				a)2	= a
Арифметический квадратный ко-	а ≥ 0, b ≥ 0			ab =		a b.
рень из произведения
Арифметический квадратный ко-	а ≥ 0, b > 0			a		a
рень из дроби				b	=		.
рень из дроби				b	=	b	.
Арифметический квадратный ко-	a2 =	a	.
Арифметический квадратный ко-	a2 =	a	.
рень из квадрата
рень из квадрата

тест для диагностики готовности к изучению темы «Функции, их свойства и графики»

1.Вычислите: −11 3 .

	А. − 27 .	Б.	8	.	В. −	8	.	Г.	27 .

	8	27			27				8
2.	Сравните без вычислительных средств числа a = 4 и b =									5 .
	А. a < b.	Б. a = b.			В. a > b.				5	6

	Г. Сравнить невозможно.
3.	После повышения цен на 10% цена товара составляла 220
	грн. Какой была начальная цена этого товара?								180 грн.
	А. 242 грн.	Б. 200 грн.			В. 198 грн.			Г.

4.Вычислите значение выражения x −2x3 при x = – 5 .

А. −3 5 .

Б. −2 5 .

В. 2 5 .

Г. 3 5 .

Сократите дробь

a −2

a2 −4

А.

Б.

В. a – 2.

Г.

a + 2

a −2

2− a

Представьте выражение

в виде степени числа а.

А. а15.

Б. а20.

В. а8.

Г. а9.

7. Укажите среди приведенных точек точку, через которую про-

ходит график функции y = −	2 .
	x		1				1
А. (− 1; − 2). Б. (− 1; 2).		−1;−	1			−1;−	1
А. (− 1; − 2). Б. (− 1; 2).	В.	−1;−	2	.	Г.	−1;−	2	.
			2				2

Тест для диагностики готовности к изучению темы				17
8.	Нарисункеизображёнграфикфункции…
	А. y = x +1 .	Б. y = x −1 .
	В. y = −x −1 .	Г. y = −x +1 .
9.	График функции у = х2 изображен на
	рисунке …
	А.	Б.	В.	Г.

10.Какая из приведенных функций является обратной пропорциональностью?

	А. y = 2x .				Б. y = x2 .				В. y =	2 .	Г. y = x .
11.										x
11.	На рисунке представлен график дви-
	жения туристаизпунктаАвпунктВ,
	где s — расстояние от пункта А в мо-
	мент		времени		t.	Сколько			времени
	двигался турист до привала?
	А.	2 ч.			Б.	3 ч.
	В.	1,5 ч.			Г.	1 ч.
12.	Из формулы s = vt						+1 выразите зависимость времени t > 0 от
	пути s.					2
	пути s.					t = 2s −2 .				2s + 2 .	Г. t = 2s −1 .
	А.	t =	v	.	Б.	t = 2s −2 .			В. t =	2s + 2 .	Г. t = 2s −1 .
13.			2s −2					v		v	v
13.	Сколько корней имеет уравнение 3х2									– 5х + 2 = 0?
	А.	Ни одного.			Б.	Один.			В. Два.		Г. Более двух.
14.	Решите систему неравенств								2x +1 ≥ 0,
14.	Решите систему неравенств
									1 − x > 0.
	А.	1 ;1 .			Б.		−1 ;1 .		В. −1; 1 .		Г. (1; + ∞).
							2
		2					2			2
15.	Найдите область определения выражения										1− 2x .
	А. x ≥		1 .		Б. x ≤ 1 .				В. x ≥ 2 .		Г. x ≤ 2 .
			2				2
16.	Решите неравенство x2							< 4 .
	А. (2; + ∞).				Б. (− 2; 2).				В. (−∞; −2) (2; + ∞). Г. (−∞; 2).

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия