
- •Звернення до читача
- •Вступ
- •1. Числові множини
- •2. Обчислення і розрахунки
- •3. Функціональні залежності
- •4. Основні властивості функцій
- •5. Корені n-го степеня
- •6. Степеневі функції з раціональними показниками
- •7. Основні поняття й аксіоми стереометрії
- •8. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •9. Паралельне проектування
- •10. Зображення фігур у стереометрії
- •11. Паралельність прямих і площин
- •12. Паралельність площин
- •13. Тригонометричні функції числового аргументу
- •14. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
- •15. Властивості і графіки тригонометричних функцій
- •16. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них
- •17. Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності
- •18. Перпендикулярність прямої і площини
- •19. Зв’язок між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин
- •20. Перпендикулярність площин
- •21. Ортогональне проектування
- •22. Перпендикуляр і похила
- •23. Вимірювання відстаней у просторі
- •24. Вимірювання кутів у просторі
- •Відповіді і вказівки до задач

§16. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них
У даному параграфі розглянемо велику групу формул, пов’язаних з тим, що поворот на кут α +β можна реалізувати в результаті двох послідовних поворотів — на кут α і на кут β, та їхні застосування.
|
|
1. Формули додавання |
|
|
Формулизведеннядозволяютьвважати,щокутиα і β |
|
|
|
|
|
належать проміжку [0; π]. Розглянемо на тригономе- |
|
|
тричному колі точки Рα і Рβ, маючи на увазі, що векто- |
|
|
|
ри OPα |
і OPβ утворюють кути α і β з віссю абсцис. Кут між вектора- |
|
ми OPα |
і OPβ може дорівнювати α −β, якщо α ≥ β (рис. 339), |
β − α, якщо β > α (рис. 340). У будь-якому з цих випадків косинус цього кута дорівнює cos(α −β).
Точки Рα |
і Рβ мають |
відповідно |
координати |
(cos |
α; sin α) |
||||||
і (cos β; sin β). Такі самі координати мають і вектори OPα |
і OPβ . За |
||||||||||
означеннямскалярногодобутку, OPα |
OPβ = |
|
|
|
cos(α −β) = |
||||||
OPα |
|
OPβ |
|||||||||
= cos(α −β), |
оскільки |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
OPα |
= |
OPβ |
|
|
|
|
|
|

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
299 |
Оскільки скалярний добуток векторів a = (x1 ; y1 ) і b = (x2 ; y2 ) виражається через їхні координати за формулою: ab = x1x2 + y1 y2 , то маємо:
OPα OPβ = cosα cosβ + sinα sinβ.
Порівнявши одержані результати, матимемо: cos(α −β) = cosαcosβ + sin αsinβ.
Косинус різниці двох кутів дорівнює сумі добутків косинусів та синусів цих кутів.
Як наслідок, отримуємо формулу косинуса суми кутів:
cos(α +β) = cos(α −(−β))= cosαcos(−β)+ sin αsin (−β).
З урахуванням парності косинуса і непарності синуса, одержимо:
cos(α +β) = cosαcosβ −sin αsinβ.
Косинус суми двох кутів дорівнює різниці добутків косинусів та синусів цих кутів.
Виведемо тепер формули синуса суми двох кутів. Скориставшись формулами зведення і косинуса різниці двох кутів, матимемо:
π |
|
π |
|
|
= |
||
sin (α +β) = cos |
2 |
−(α +β) |
= cos |
2 |
− α |
−β |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
||
= cos |
2 |
− α cosβ + sin |
2 |
− α sinβ = sin αcosβ + cosαsinβ. |
||
Отже, |
|
|
|
|
sin (α +β) = sin αcosβ + cosαsinβ.
Синус суми двох кутів дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого плюс добуток косинуса першого кута на синус другого.
Для синуса різниці маємо:
sin (α −β) = sin (α + (−β))= sin αcos(−β)+ cosαsin (−β) = = sin αcosβ − cosαsinβ.

300 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
Таким чином,
sin (α −β) = sin αcosβ − cosαsinβ.
Синус різниці двох кутів дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого мінус добуток косинуса першого кута на синус другого.
Ïðèê ëàä 1. Не користуючись обчислювальними засобами,
знайти sin 15°.
Представимо 15° у вигляді різниці 45° – 30°. Тоді, користуючись формулоюсинусарізницідвохкутів,знайдемо:sin15°=sin(45°–30°)=
=sin45°cos30°–cos45°sin30°= |
2 |
|
3 |
− |
2 |
|
1 = |
2 |
( 3 −1). |
|||||
2 |
2 |
2 |
4 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Відповідь. |
( 3 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ïðèê ëàä 2 . Обчислити cos (α – β), якщо |
|
|
||||||||||||
cosα = −0,8, 2 < α < π, |
||||||||||||||
sinβ = −12 , π < β < |
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З формули косинуса різниці двох кутів випливає, що для |
||||||||||||||
розв’язання задачі необхідно знайти sin α |
і cos β. З основної тригоно- |
метричноїтотожностіможназнайтиsin2α:sin2α=1–cos2α=1 – 0,64 =
= 0,36. Оскільки |
π |
< α < π, то sin α > 0, тому sinα = |
0,36 = 0,6. |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно обчислимо cos β. З основної тригонометричної тотож- |
||||||||||||
ності маємо: cos2 β =1 −sin2 β =1 −144 = |
|
25 |
. Оскільки |
π < β < |
3π |
, |
||||||
169 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
169 |
|
2 |
|
|||||
то cos β < 0 і cosβ = − |
|
25 |
= − |
5 |
. Тепер можна обчислити cos (α – β), |
|||||||
169 |
|
|||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
за формулою косинуса різниці двох кутів: cos (α – β) = cos α cos β +
|
|
|
|
5 |
|
|
12 |
|
|
16 |
. |
||
+ sin αsinβ = −0, |
8 |
− |
|
|
|
+ |
− |
|
|
0,6 = − |
|
||
13 |
13 |
65 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Відповідь. − |
16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
301 |
Використовуючи одержані формули синуса і коси- |
|
нуса суми двох аргументів, можна вивести формули |
|
додавання для тангенса: |
|
tg(α +β) = tgα + tgβ , tg(α −β) = |
tgα − tgβ . |
1 − tgαtgβ |
1 + tgαtgβ |
Справді,
tg (α +β) = sin ((α +β)) = sin αcosβ + cosαsinβ. cos α +β cosαcosβ −sin αsinβ
Припускаючи, що cosα ≠ 0, cosβ ≠ 0 , і поділивши на cosα cosβ чисельник і знаменник останнього дробу, матимемо:
sin αcosβ |
+ cosαsinβ |
|
|
|
sin α + sinβ |
|
tgα + tgβ |
|||||
cosαcosβ |
|
cosαcosβ |
|
|
|
cosα |
cosβ |
|
||||
tg (α +β) = cosαcosβ |
|
sin αsinβ |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
1 − tgαtgβ |
|||||
− |
1 |
− |
sin α |
|
sinβ |
|||||||
cosαcosβ |
cosαcosβ |
|
cosα |
cosβ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, справджується твердження:
тангенс суми двох аргументів дорівнює сумі тангенсів доданків, поділеній на різницю між одиницею і добутком цих тангенсів.
Замінюючи β на (–β) і використовуючи непарність тангенса, одержимо формулу для тангенса різниці.
Тангенс різниці двох аргументів дорівнює різниці тангенсів зменшуваного і від’ємника, поділеній на суму одиниці і добутку цих тангенсів.
Аналогічно можуть бути виведені формули котангенса суми і різниці двох аргументів, але вони вживаються дуже рідко. За необхідністю їх можна вивести самостійно.
Ïðèê ëàä 3 . Обчислити tg 105°.
Представимо 105° у вигляді суми 45° + 60°. Тоді, користуючись
формулою тангенса суми двох кутів, знайдемо: tg 105° = tg (45° + 60°) =
= |
|
tg45°+ tg60° |
|
1 + |
3 |
(1 + |
3 )(1 + |
3 ) |
|
4 + 2 3 |
= −2 − 3. |
|
|
= |
1 − |
3 |
= (1 − |
3 )(1 + |
3 ) |
= |
−2 |
||
1 − tg45° tg60° |
Відповідь. −2 − 3.

302 Розділ 3. Тригонометричні Функції
|
Контрольні запитання |
|
|
|
1°. |
Чому дорівнює значення виразу sin 22°cos23°+ cos22°sin 23°? |
|||
2. |
Чому дорівнює значення виразу |
tg86°− tg26° |
? |
|
1 + tg86° tg26° |
||||
|
|
|
3.Як за допомогою формули для тангенса суми двох кутів обчислити tg75°?
Чи можна стверджувати що:
5. |
Чи можна з формули для косинуса суми двох кутів вивести |
|||||||||
|
формулу для косинуса різниці двох кутів? |
|||||||||
6. |
Чи можна обчислити: |
|
4 |
|
||||||
|
1) |
cos |
π |
+ α |
|
, якщо відомо, що sin α = |
; |
|||
|
|
|
|
5 |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2) |
|
π |
|
|
, |
якщо відомо, що tgα = |
; |
|
|
|
tg |
4 |
+ α |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
sin( |
α −β), |
якщо відомо, що sinα = − |
15 , cosβ = |
4 ; |
||||||
|
tg (α −β), якщо відомо, що tgα = 6 , |
17 |
5 |
||||||||
4) |
tgβ = 7 ? |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|
7*. За яких умов не має змісту формула тангенса різниці двох |
|||||||||||
кутів? |
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
а) |
|
+ |
= sin |
+ sin |
; |
|
|
||||
sin |
3 |
|
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
б)sin63°cos12°+cos63°sin12°=sin32°cos43°+sin43°cos32°? |
8*. Чи можна за допомогою формул додавання обчислити зна-
π |
|
? |
|
чення tg α, якщо відоме значення tg |
4 |
+ α |
|
|
|
|
2.Тригонометричні функції подвійного
іполовинного аргументів
Як наслідок формул додавання при α = β одержи-
мо формули подвійного кута:
sin 2α = sin(α + α) = sin αcosα + cosαsin α = 2sin αcosα;
cos2α = cos(α + α) = cosαcosα −sin αsin α = cos2 α −sin2 α.
Отже,
sin 2α = 2sin αcosα; cos2α = cos2 α −sin2 α.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
303 |
Ïðèê ëàä 4. Знайти значення cos 2α, якщо sin α = –0,8. За формулою косинуса подвійного кута маємо:
cos2α = cos2 α −sin2 α =1 −sin2 α −sin2 α =1 −2sin2 α =1 −2 (−0,8)2 =
=–0,28.
Відповідь. –0,28.
Ïðèê ëàä 5 . Спростити вираз: |
2cos2 α −1 |
. |
|
||
|
sin α cosα |
|
Застосовуючи послідовно основну тригонометричну тотож- |
ність, формулу синуса подвійного кута, формулу косинуса подвій- |
|||||
ного кута і означення котангенса, дістанемо: |
|
||||
|
2cos2 α −1 |
= 2cos2 α − cos2 α −sin2 α |
= |
cos2α |
= 2ctg 2α . |
|
sin α cosα |
1 |
|||
|
1 |
|
|
||
|
|
2 sin 2α |
|
2 sin 2α |
|
Відповідь. 2ctg 2α . |
|
|
|
Зформул подвійного кута можна вивести формули для синуса
ікосинуса половинного кута. Фактично ми це почали реалізовувати при розв’язанні прикладів 4 і 5. Справді,
cos2α = cos2 α −sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2cos2 α −1,
або
cos2α = cos2 α −sin2 α =1 −sin2 α −sin2 α =1 −2sin2 α.
Ці рівності часто записують у такому вигляді: |
|
|
||||||
|
1 + cos2α = 2cos2 α, |
1 − cos2α = 2sin2 α. |
||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = cos2 α |
= 2cos2 α −1, |
cosα = cos2 α =1 −2sin2 α , |
||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 α |
= 1 + cosα |
, sin2 α |
= 1 − cosα. |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Ці формули називаються формулами половинного аргу- |
||||||||
менту, чи формулами зниження степеня. |
|
|
||||||
|
Як наслідок формули додавання для тангенса при |
|||||||
|
||||||||
|
α = β |
одержимо формулу тангенса подвійного кута: |
||||||
|
|
tg2α = tg (α + α) = |
tgα + tgα |
= |
2tg α |
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 − tgαtgα |
1 − tg2α |

304 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
Отже, tg 2α = 12−tgtgα2α.
Ïðèê ëàä 6 . Знайти значення tg 2α, якщо tg α = –0,5. |
|||||||||||||||||
За формулою тангенса подвійного кута, маємо: |
|||||||||||||||||
tg2α = |
2tgα |
= |
2 (−0,5) |
= − |
4 . |
|
|
|
|||||||||
1 − tg2α |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 −(−0,5)2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Відповідь. |
− |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формули половинного аргументу можна записати у вигляді: |
|||||||||||||||||
|
|
cos α |
|
= |
1 + cosα |
, |
|
|
sin α |
|
= |
|
1 − cosα |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
!Звернемоувагунате,щознаючитількиcosα ,неможливо без додаткових умов однозначно знайти cos α2 або sin α2 .
Зостанніх двох формул випливає формула для тангенса половинного кута:
|
|
|
|
|
tg α |
|
= |
1 − cosα. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 + cosα |
|
|
|
3 , π ≤ α ≤ 2π. |
|
|
||
Ïðèê ëàä 7. |
Обчислити cos α , якщо cosα = − |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
||
|
π |
|
α |
≤ π, то cosα |
|
α |
|
1 + cosα |
|
1 − |
|
|||||
Оскільки |
≤ |
< 0, cos |
= − |
= − |
4 |
= |
||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= −212 .
Відповідь. −212 .
Ïðèê ëàä 8 . Не користуючись обчислювальними засобами,
знайти sin 15°.
Один спосіб розв’язання цього завдання, який ґрунтувався на застосуванні формули косинуса різниці двох кутів, було наведено у п. 1 (приклад 1). Тут розглянемо інший спосіб.
Скориставшись формулою синуса половинного аргументу, враховуючи, що sin 15° > 0, одержимо:

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
305 |
sin15° = sin 30° |
|
|
1 |
− cos30° |
|
1 − |
3 |
|
|
1 |
|
|||
= |
|
= |
2 |
|
= |
2 − 3 = |
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
= |
2 2 (4 −2 3) |
= |
|
|
1 −2 3 |
+( 3) |
= |
|
|
( 3 −1). |
||||
|
4 |
|
4 |
|||||||||||
|
Відповідь. |
2 |
( |
3 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важливу роль у тригонометрії та її застосуваннях відіграє тангенс половинного кута. Через нього можна виразити всі інші тригонометричні функції:
|
|
α cos α |
|
|
|
2sin |
α cos |
α |
|
|
|
|
|
|
2tg |
α |
|||||||||||||
sinα = 2sin |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
. |
||||||||
|
|
|
2 α |
|
|
|
2 α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
cos |
+ sin |
|
|
1 |
+ tg |
2 α |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(чисельник і знаменник поділили на cos2 |
2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Аналогічно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
α |
|
cos2 α |
−sin2 α |
|
|
1 − tg2 α |
|
|
|||||||||||||||||||
cosα = |
|
|
2 |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|||||
|
1 |
|
cos |
2 |
α |
+ sin |
2 α |
1 |
+ tg |
2 α |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
2tg |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
tgα = |
= |
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cosα |
1 |
− tg |
2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Одержані формули називаються формулами універсальної
підстановки. Вони дозволяють звести доведення будь-якої тригонометричної тотожності чи розв’язання рівняння, в обох частинах яких стоять раціональні вирази відносно sinα і cosα, до доведення алгебраїчної тотожності чи розв’язання алгебраїчного рівняння з однією змінною. Для цього достатньо виразити sinα
і cosα через tg α2 і позначити tg α2 через t.
20 Математика, 10 кл.

306 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
Контрольні запитання
1.Чому дорівнює: а°) sin 15° cos15°; б°) cos222,5° – sin222,5°;
2.
3°.
4.
5.
6.
7.
8*.
в) |
2tg75° |
? |
|
1− tg2 75° |
|
Чому дорівнює: а°) sin 50°, якщо sin 25° = а; б) tg 70°, якщо tg 35° = a?
Чи існує такий кут α, що sinαcosα = 0,65?
Чи потрібно знати, в якій чверті знаходиться точка Рα, щоб за значенням cos α або sin α обчислити: а) cos 2α; б) sin 2α?
У якій чверті тригонометричного кола знаходиться точка Pt,
якщо sin t > 0, sin 2t < 0?
Якою є множина значень функції y = sin2 x – cos2 x?
Чи завжди можна стверджувати, що sin α |
= |
1 − cosα ? |
|
Чи можна стверджувати, що знак tg x |
2 |
|
2 |
збігається зі знаком sin x |
|||
2 |
|
|
|
для всіх допустимих значень х? |
|
|
|
3. Перетворення суми тригонометричних функцій на добуток
При розв’язуванні тригонометричних рівнянь або нерівностей корисно вміти подавати суму і різницю
синусів або косинусів у вигляді добутку тригонометричних функцій. Такі формули широко застосовуються у різних перетвореннях тригонометричних виразів.
Формули, на яких ґрунтуються перетворення суми тригономе-
тричних функцій на добуток, можна одержати з формул додавання. |
|||||||||||||||||
Нехай необхідно перетворити суму sin α |
+ sin β на добуток. За- |
||||||||||||||||
пишемо α і β у вигляді α = |
α +β |
+ |
α −β |
, |
β = |
|
α +β |
− |
|
α −β |
. Тоді |
||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
α +β |
+ |
α −β |
|
α +β |
− |
α −β |
||||||||||
sin α + sinβ = sin |
2 |
|
2 |
+ sin |
2 |
2 |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=sin α2+βcos α2−β + cos α2+βsin α2−β + sin α2+βcos α2−β −
−cos α2+βsin α2−β = 2sin α2+βcos α2−β.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
307 |
Таким чином, |
|
sin α + sinβ = 2sin α +βcos |
α −β. |
2 |
2 |
Одержали формулу суми синусів двох кутів. |
Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на косинус їхньої піврізниці.
Аналогічно виводяться формули |
різниці синусів, суми |
і різниці косинусів. Формула різниці синусів: |
|
sin α −sinβ = 2sin α −βcos α +β. |
|
2 |
2 |
Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса піврізниці цих кутів на косинус їхньої півсуми.
Формула суми косинусів:
cosα + cosβ = 2cos α2+βcos α2−β.
Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми цих кутів на косинус їхньої піврізниці.
Формула різниці косинусів:
cosα − cosβ = −2sin α2+βsin α2−β.
Різниця косинусів двох кутів дорівнює взятому із знаком “мінус” подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на синус їхньої піврізниці.
Рекомендуємо вивести формули різниці синусів, суми і різниці |
|||||||||
косинусів самостійно. |
|
|
|
||||||
Ïðèê ëàä |
9. Обчислити без обчислювальних засобів: |
||||||||
1) cos 75° |
|
cos 15°; 2) cos 5π + cos |
π |
. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|||
1) Скористаємось формулою різниці косинусів двох аргумен- |
|||||||||
тів:cos75°− cos15° = −2sin 75°+15° |
sin 75°−15° = −2sin 45°sin30° = |
||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
= −2 |
2 |
|
1 |
= − |
2 |
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
20*

308 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
5π π |
5π π |
2)cos 125π + cos12π = 2cos 12 2−12 cos 12 2+12 = 2cos 6π cos 4π =
=2 23 22 = 26 .
Відповідь. 1) − |
|
2 |
; 2) |
|
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Формули |
перетворення |
суми |
тригонометричних |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
функцій у добуток дозволяють розв’язувати різно- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
манітні задачі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
Ïðèê ëàä 10 . Довести тотожність: cosα −sin α = |
2 cos |
||||||||||||||||||||||||||||||
α + |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Скориставшись формулами зведення, замінимо cosα |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
, застосуємо формулу різниці косинусів двох кутів і не- |
||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
− α |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
парність синуса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
α + |
2 |
− α |
|
α − |
− α |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2sin |
|
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|||||||
cosα −sin α = cosα − cos |
|
− α |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|||||||
= −2sin |
|
sin |
α − |
|
|
= 2 |
|
|
|
sin |
|
− α = |
2 cos |
|
− |
− α |
= |
|
|||||||||||||
4 |
4 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 cos |
4 |
+ α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Останнє перетворення здійснено за допомогою формули зве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
дення: sin α = cos |
|
π |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
− α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З формул додавання можна одержати формули для суми і різ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ниці тангенсів двох кутів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
tg α + tg β = sin(α +β) ; |
tg α − tg β = sin(α −β) . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosαcosβ |
|
|
|
|
cosαcosβ |
|
|
Сума тангенсів двох кутів дорівнює відношенню синуса суми цих кутів до добутку косинусів тих самих кутів.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
309 |
Різниця тангенсів двох кутів дорівнює відношенню синуса різниці цих кутів до добутку косинусів тих самих кутів.
Доведемо, наприклад, першу з наведених формул.
tg α + tg β = sin α |
+ sinβ |
= sin αcosβ + sinβcosα |
= sin(α +β) . |
cosα |
cosβ |
cosαcosβ |
cosαcosβ |
Друга формула доводиться аналогічно. Рекомендуємо зробити це самостійно.
Формули перетворення різниці однойменних функцій двох ар-
гументів у добуток дозволяють одержати умови, за яких функції двох аргументів дорівнюють одна одній.
Ïðèê ëàä 11. Знайти умову, за якої синуси двох кутів дорівню- |
|||||||
ють один одному. |
|
|
|
||||
Нехайsinx=siny.Тодіsinx–siny=0,або 2sin |
x − y |
|
cos |
x + y |
|
= 0. |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Остання рівність справджується тоді, і тільки тоді, коли принаймні |
|||||||
один із співмножників дорівнює нулю. Якщо sin |
x − y |
= 0, |
то |
||||
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
x 2− y = πn (див. § 15), або x – y = 2πп, або x = y + 2πп, п Ζ. Якщо ж cosx +2 y = 0,то x +2 y = 2π + πn, x + y = π + 2πn, x = −y + π(2n +1),n Z.
Відтак, якщо синуси двох кутів х і у дорівнюють один одному, то справджується одне із співвідношень x = y + 2πп, або
x= −y + π(2n +1),n Z.
Зіншого боку, якщо справджується одне із зазначених співвід-
ношеньx =y +2πп,або x = −y + π(2n +1),n Z ,тоsinx =sin(y +2πn)=
=sin y, або sin x = sin (–y + 2πn + π) = sin(π – y) = sin y.
Співвідношення x = y + 2πп, x = −y + π(2n +1),n Z , можна за-
писати за допомогою однієї рівності: x = (–1)ky + πk, k Ζ. Справді, якщо k = 2n, то маємо перше співвідношення, при k = 2n + 1 — друге.
Відповідь. x = (–1)ky + πk, k Ζ.
Аналогічно можна одержати умову рівності двох косинусів, двох тангенсів. Радимо зробити це самостійно.

310 Розділ 3. Тригонометричні Функції
1°. |
Чому дорівнює значення виразу: |
|
|
а) sin 124° + sin 236°; |
б) cos 137° + cos 43°? |
2°. |
Як можна вивести формулу суми косинусів, використовуючи |
|
|
формулу суми синусів і формули зведення? |
|
Контрольні запитання |
|
|
3. |
Як порівняти cos 3 і cos 3,2, користуючись формулою різниці |
|
|
косинусів двох аргументів? |
|
4. |
Що більше: tg 3 чи tg 4,8? |
|
5. |
Як перетворити суму синуса і косинуса двох аргументів на до- |
|
|
буток? |
|
Задачі
318°. Скориставшись формулами додавання, доведіть такі фор- |
||||||||||||||
|
мули зведення: |
|
2) cos (270° +α) = sinα ; |
|
|
|||||||||
|
1) sin (180° – α ) = sinα ; |
|
|
|||||||||||
|
3) cos(π − α) = −cosα; |
|
3π |
|
|
|
|
|
||||||
|
4) sin |
− α = −cosα. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
319. |
Скориставшись формулами додавання, обчисліть: |
|
|
|||||||||||
|
1) cos 75°; |
2) cos 105°; 3) sin 15°; |
4) sin 75°; |
5) cos 165°. |
|
|||||||||
320. |
Обчисліть: |
– sin 8°cos 68°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1°) sin 68°cos 8° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2°) cos 10°cos 35° – sin 10°sin 35°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) sin 54°sin 24° |
– sin 66°cos 126°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4) cos 21°cos 24° |
– cos 69°cos 66°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
321°. Знайдіть: |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
24 |
|
|||
|
1) |
sin(α +β), |
sin(α −β), |
якщо |
sin α = − |
|
; |
cosβ = |
; |
|||||
|
|
25 |
||||||||||||
|
|
|
3π |
, 0 < β < π; |
|
|
17 |
|
|
|
|
|||
|
π < α < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
cos(α +β), cos(α −β), якшо cosα = −1 ; |
cosβ = |
1 ; |
π < α < π, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
32π < β < 2π;
3)tg(α +β) , tg(α −β) , якщо tg α = 35 ; tg β = 52 .
4)tg (45° − α) , якщо sin α = −1213 , 180° < α < 270° .

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
|
|
|
|
|
|
311 |
||||||||||
322°. Спростіть вираз: |
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
3π |
|
|
|
|||
1) |
|
π |
|
α − |
π |
|
; |
2) |
cos |
cos |
π |
+ sin |
sin |
π |
; |
||
sin α + |
|
−sin |
6 |
|
8 |
8 |
8 |
8 |
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
sin(α +β) + sin(α −β) ; |
|
|
4) |
cos(α +β) − cos(α −β) . |
|
|
||||||||||
|
sin(α +β) −sin(α −β) |
|
|
|
cos(α +β) + cos(α −β) |
|
|
||||||||||
5) |
sin15° + tg 30°cos15°; |
|
|
6) |
sin α + ctg 2αcosα . |
|
|
|
323.Доведіть тотожність:
1°) sin (α +β)+ sin (α −β) = 2sin α cosβ; 2°) sin (α +β)−sin (α −β) = 2sinβ cosα;
3)sin (α +β) sin (α −β) = sin2 α −sin2 β;
4)cos(α +β) cos(α −β) = cos2 α −sin2 β .
324*. Доведіть, що: |
2 , tgβ = 3 ,0 < α < |
|
|
|
||||
1) |
α +β = |
π, |
якщо tgα = |
π,0 < β < π; |
||||
|
|
4 |
|
5 |
7 |
2 |
|
2 |
2) |
α +β = |
π, |
якщо ctgα = 1 ,ctgβ = −2,0 < α < |
π, − |
π < β < 0. |
|||
|
|
4 |
|
3 |
|
|
2 |
2 |
325. Доведіть нерівність: |
|
2) cos 15° – cos45° < 0,3. |
||||||
1) cos 75° |
+ cos 15° > 1; |
|
||||||
Доведіть: |
|
і β — кути |
гострокутного |
трикутника, то |
||||
1) |
якщо |
α |
||||||
tgα tgβ >1; |
|
|
|
|
|
|
||
2) |
якщо α і β — гострі кути тупокутного трикутника, то |
tgα tgβ <1.
327.Синуси двох гострих кутів трикутника дорівнюють, відпо-
відно, 2029 і 35 . Знайдіть косинус зовнішнього кута трикутника, що не є суміжним з двома даними кутами.
Тангенси трьох гострих кутів дорівнюють, відповідно,
35 , 43 ,198 . Доведіть, що сума перших двох кутів на 45° пере-
вищує третій кут.
329. Знайдіть найменший додатний період і побудуйте графік функції:
1) y = sin x sin 2x – cos x cos 2x; 2) y = sin 3x cos x – cos 3x sin x;

312 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
|
3) |
|
|
|
|
|
|
π |
sin 2x |
+ cos |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = 2 sin |
4 |
4 |
cos2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
330. |
Знайдіть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1°) sin 2α; cos2α , якщо sinα = |
, |
|
< α < π ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2°) sin50°, якщо sin 25° = a; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3°) |
cosπ, |
якщо cos |
π |
|
= a; |
4) tg |
, якщо tg π |
= a. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
331. |
Знайдіть: sin |
α; cos α |
; tg |
α , |
якщо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
π; |
|
2 |
2) sinα = 0,6; π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1) cosα = 0,6; 0 < α < |
|
|
< α < π . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
332. |
Спростіть вираз: |
|
|
|
|
|
|
2°) cos2 2α −sin2 2α ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1°) sin 10° cos 10°; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3°) cos2 α −4 sin2 α cos2 α ; |
|
4) |
|
|
tg (45 − α) |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − tg2 (45 − α) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5°) 2sin αcosα(cos2 α −sin2 α); 6°) cos4 (45 |
− α) −sin4 (45 − α); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) |
sin |
2 |
π |
|
|
|
−sin |
2 |
π |
|
|
|
8) cos |
2 |
|
α − |
π |
|
|
2 |
|
π |
|||||||||||||
|
|
|
4 |
+ α |
|
|
|
− α ; |
|
|
|
− cos |
|
α + |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
||||||
|
9) |
1 − cos2γ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
1 −sin 2γ |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 + cos2γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + sin 2γ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
333. |
Спростіть вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1) |
2sin |
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
tgα tgβ + (tgα + tgβ) ctg(α +β) ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
− α + sin 2α ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
1 −sin 2α |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
1 |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
1 + sin 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tgα |
1 + tgα |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
1 |
− |
|
1 |
|
; |
|
1 + ctgα |
1 − ctgα |
|||||||
|
|
|
||||||
7) 1 −8sin2 β cos2 β; |
|
|||||||
9) |
|
tg2α tgα |
; |
|
10) |
|||
|
tg2α − tgα |
|
||||||
|
|
|
|
|
12*) 2sin 2α + 2 ;
6) sin α(1 + 2cos2α) ; |
|
||||
8) 0,125 – cos2x + cos4x; |
|
||||
tgα |
; |
11) |
1 −sin 2α |
; |
|
tg2α − tgα |
cosα −sin α |
||||
|
|
|
|||
13) |
2(1 + cos2α), π < α < π ; |
||||
|
|
|
2 |
|

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
313 |
|
14*) |
1 −sin α − 1 + sin α,0 < α < |
|
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
334. Доведіть, що: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) |
2sin2 α |
+ cosα =1; |
|
|
2) 2cos2 α − cos2α =1; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
cos2α |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
4) |
|
|
cos2α |
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ctg |
|
|
− α ; |
|
|
|
|
|
|
= tg |
|
− α |
; |
||||||||||||
|
1 −sin 2α |
4 |
1 + sin 2α |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) sin 2α – tg α = cos 2αtgα; 6) (ctg α – tg |
α) sin 2α = 2cos 2α; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) |
1 + sin α = 2cos |
2 |
|
|
π |
− |
α |
8) 1 −sin α = 2sin |
2 |
π |
− |
α |
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
; |
|
4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
335*. Обчисліть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1) |
cos π |
cos |
|
; |
|
|
|
|
|
|
2) cos20°cos40°cos60°cos80° ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
3) |
cos π |
cos 4π |
cos |
5π ; |
|
4) |
|
− |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
sin |
|
cos |
π |
|
|
|
|
||||||||
336. |
Дано функцію: |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1) |
|
y |
= sin |
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
− x |
+ (sin x − cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2) |
|
y = 2cos2x + sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Знайдіть її найменше і найбільше значення, найменший |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
додатний період, побудуйте її графік. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
337*. 1) |
Косинус кута при основі рівнобедреного трикутника до- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
рівнює 0,8. Знайдіть синус і косинус кута при вершині цього |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) |
Косинус кута при вершині рівнобедреного трикутника до- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
рівнює |
7 |
. Знайдіть синус і косинус кута при основі цього |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3) |
Знайдіть найменше значення площі прямокутного трикут- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ника, в якого висота, що проведена до гіпотенузи, дорівнює h. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
338. |
Дано функцію: |
|
|
|
|
|
|
2*) y = 2sin22x + cos2 2x; |
|||||||||||||||||||||||||
|
1) y |
= sin xcos x; |
|
|
|
|
|
|
3*) y = sin 2x(ctg x – 2ctg 2x).
Знайдіть найбільше і найменше значення функції та її найменший додатний період. Побудуйте її графік.

314 Розділ 3. Тригонометричні Функції
339°. Обчисліть, не користуючись обчислювальними засобами:
1) |
sin |
7π |
+ sin |
|
π |
; |
2) sin |
11π |
−sin 5π; |
|
3) cos |
11π |
+ cos 5π; |
|||||
12 |
12 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
12 |
12 |
|||||||
4) |
cos |
7π |
− cos |
|
π |
; |
5) cos 75° cos 105°; |
|
6) sin 75° sin 15°. |
|||||||||
12 |
12 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
340. Спростіть вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1°) |
sin α + sin3α |
; |
|
|
2°) |
2(cosα + cos3α) |
; |
|
||||||||||
|
cosα + cos3α |
|
|
|
|
2sin 2α + sin 4α |
|
|
||||||||||
3*) 1 + sin α + cosα; |
|
|
4) cos2 α −sin2 2α. |
|
|
|||||||||||||
341. Доведіть, що: |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||||
1) |
cos |
4 |
α −sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
α + sin 2α = 2 cos 2α − |
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)sin 2α + sin 4α −sin3α = tg 3α; cos2α + cos4α − cos3α
3)(sin α + sinβ)2 +(cosα + cosβ)2 = 4 cos2 α2−β;
4)(sin 2α + sin 4α)2 +(cos2α + cos4α)2 = 4 cos2 α;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α + |
π |
|
|
|
|
π |
|
α |
|
π |
|
α |
|
|
1 + ctg2α |
|
sin |
4 |
|
|
||||
5) |
|
|
= 2tgα; |
6) |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
tg |
4 |
+ |
2 |
|
− tg |
4 |
− |
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||
1 − ctg2α |
|
|
π |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α − |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
342. Подайте даний вираз у вигляді добутку або частки:
|
1) |
2 + 2cosα; |
2) |
3 −2cosα; |
3) 3 − tgα; |
4) 1 + tgα. |
|
||||||
343. |
Зменшіть степінь тригонометричної функції у виразі: |
|
|||||||||||
|
1°) 2cos2x; |
2) 2cos2x cos 2x; 3°) 2sin2 2x; |
4°) cos2 4x. |
||||||||||
344*. Знайдіть умову, за якої дорівнюють один одному: |
і β. |
||||||||||||
|
1) косинуси двох кутів α і β; |
2) тангенси двох кутів α |
|||||||||||
345. |
Доведіть, що: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) |
cos |
2π |
+ cos |
4π |
+ cos |
6π |
= −1 ; |
2) cos π + cos |
3π |
= 1 ; |
|
|
|
|
7 |
|
5 |
|
||||||||
|
|
7 |
|
|
7 |
2 |
5 |
2 |
|
3)1 + sin x + 1 −sin x = 2cosx2 , якщо 0 ≤ x ≤ 2π;
4)1 + sin x − 1 −sin x = 2sin 2x , якщо 0 ≤ x ≤ 2π;
5) ctgα + ctgβ = sin(α +β) |
; |
6) ctgα − ctgβ = sin(β − α) . |
sin αsinβ |
|
sin αsinβ |

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них |
315 |
346*.Доведіть тотожність, що коли α, β, γ — кути трикутника, то:
1) |
sin α + sinβ + sin γ = 4 cos |
α cos β cos |
γ |
|
; |
||||||
|
|
||||||||||
2) |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||
tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα =1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
3) |
tgα + tgβ + tgγ = tgα tgβ tgγ ; |
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
ctg α |
+ ctg β + ctg |
γ |
= ctg α |
ctg |
β ctg |
γ |
. |
|
||
2 |
2 |
|
|||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
347*. Тангенси двох кутів трикутника дорівнюють, відповідно, 1,5 |
|||||||||||
і 5. Знайдіть третій кут трикутника. |
|
||||||||||
348*. Дано функцію: |
|
|
2) y = sin x – cos x. |
||||||||
1) y = sin x + cos x; |
|
|
Знайдіть найбільше і найменше значення функції та її найменший додатний період. Побудуйте її графік.
Вправи для повторення
|
π |
|
π |
|
|
|||
|
sin |
3 |
− α |
+ sin |
4 |
+ α |
|
|
349. Знайдіть значення виразу |
|
|
|
|
, якщо α |
|||
π |
|
π |
|
|||||
|
|
|||||||
|
cos |
3 |
− α |
− cos |
4 |
+ α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набуває таких значень: 0,π |
,−π,− |
3π |
. |
|||
|
|
||||||
350. |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Знайдіть основний період функції: |
|||||||
|
1) y = 1 tgx + 2; |
2) |
y = −3sin5x; |
|
3) y = 3cos x . |
||
351. |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
Знайдіть множину значень функції: |
|||||||
|
1) y = 0,1tg 10x; |
|
|
2) y |
= 10sin 0,1x. |
||
352. |
Розв’яжіть нерівність: |
|
2) xtg 4 > ctg 5. |
||||
|
1) xtg 3 < ctg 6; |
|
|

316 |
Розділ 3. Тригонометричні Функції |
Назва формули
Формули
додавання
Формули
подвійного
аргументу
Формули зниження степеня
Формули
половинного
аргументу
Формули
універсальної
підстановки
Формули
перетворення
суми тригонометричних функцій
у добуток
Підсумок
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos (α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos (α+ β) = cosα cosβ |
– sinα sinβ. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin (α + β) |
= sin |
α cos |
β |
+ cos |
α sin |
β. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin (α |
– β) |
= sin |
α cos |
β |
– cos |
|
α sin |
β. |
|||||||||||||||||||||||||||||
tg (α +β) = |
|
tg α + tg β |
|
|
; tg (α −β) = |
|
|
tg α − tg β |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − tg αtg β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg αtg β |
|||||||||||||||
sin 2α = 2sin αcosα; cos2α = cos2 α −sin2 α; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2α = |
2tg α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos |
2 α |
= |
1 + cosα |
; |
sin |
2 α |
= |
1 − cosα |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
cos α |
|
= |
|
|
1 + cosα |
; |
|
sin |
α |
|
|
|
= |
|
1 − cosα. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α |
|
= |
|
|
|
1 − cosα . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 + cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg2 α |
|
|
|
|||||||||||
|
sinα = |
|
|
|
2 |
|
; |
cosα = |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 + tg2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg2 α |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2tg |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgα = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α + sinβ = 2sin α +βcos α −β. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
sin α −sinβ = 2sin α −βcos |
α +β. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
cosα + cosβ = 2cos |
α +β |
cos |
α −β |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
cosα − cosβ = −2sin |
α +β |
sin |
α −β |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
tg α + tg β = sin(α +β) |
; |
tg α − tg β = sin(α −β) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosαcosβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosαcosβ |