§20. Перпендикулярність площин

Ðозглядається відношення перпендикулярності площин — одне з найважливіших і найзастосовніших у геометрії простору та її застосуваннях.

Із усього розмаїття взаємних розміщень двох пло­ щин на особливу увагу і вивчення заслуговують ті, при яких площини перпендикулярні одна до одної

(наприклад, суміжні стіни кімнати, паркан і ділянка землі, двері і підлога тощо) (рис. 417, а–в).

Наведені приклади дають змогу побачити одну з основних влас­ тивостейвідношення,якемимаємовивчати,—симетричністьрозмі­ щення кожної з площин відносно до іншої. Симетрія забезпечується тим, що площини начебто «зіткані» з перпендикулярів. Спробуємо уточнити ці спостереження.

Нехай маємо площину a і пряму с на ній (рис. 418, а). Прове­ демо через кожну точку прямої с прямі, перпендикулярні до пло­ щини a. Всі ці прямі паралельні між собою (чому?) і складають, за задачею 1 § 8, деяку площину β (рис. 418, б). Природно назвати площину β перпендикулярною до площини a.

У свою чергу, всі прямі, які лежать у площині α і перпендику- лярні до прямої с, складають площину α і перпендикулярні до площини β (рис. 418, в). Справді, якщо а — довільна така пряма, то вона перетинає пряму с у деякій точці М. Через точку М прохо- дить у площині β перпендикулярна до α пряма b, тому b a. Отже, а с, а b, тому а β. Виходить, що площина α перпендикулярна до площини β, а пряма с є лінією їхнього перетину.

Дві площини називаються перпендикулярними, як­ що кожна з них утворена прямими, що перпендику­ лярні до другої площини і проходять через точки пе­ ретину цих площин.

Перпендикулярність площин α і β позначається звичним уже знаком : α β.

Однузілюстраційцьогоозначенняможна уявити, якщо розглянути фрагмент кімнати дачногобудинку(рис.419).Наньомупідлога і стіна складені з дошок, перпендикулярних до стіни і підлоги. Тому вони — перпендику- лярні. На практиці це означає, що підлога горизонтальна, а стіна вертикальна.

Наведене означення важко використати при фактичній перевірці перпендикуляр-

ності площин. Але якщо уважно проаналізувати міркування, які привели до цього означення, то бачимо, що перпендикулярність площин α і β забезпечила наявність у площині β прямої b, пер- пендикулярної до площини α (див. рис. 418, в). Ми дійшли ознаки перпендикулярності двох площин, яка найчастіше застосовується на практиці.

Теорема 1 (ознака перпендикулярності площин).

Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини є перпендикулярними.

394Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Нехай площина β проходить через пряму b, перпендикуляр- ну до площини α, і с — лінія перетину площин α і β (рис. 420, а). Всі прямі площини β, які паралельні прямій b і перетинають пря- му с разом з прямою b, утворюють площину β. За теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (те- орема 1 § 19), всі вони разом з прямою b перпендикулярні до пло- щини α. Тобто площина β складається із прямих, які проходять через лінію перетину площин α і β і перпендикулярні до площини

α (рис. 420, б).

ТеперуплощиніαчерезточкуАперетинупрямихb іспроведемо пряму а, перпендикулярну до прямої с (рис. 420, в). Пряма а перпендикулярна до площини β, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (а с, за побудовою, а b , бо b α). Повторив- ши попередні міркування, одержимо, що площина α складається із прямих, перпендикулярних до площини β, які проходять через лінію перетину площин. Згідно з означенням, площини α і β — перпендикулярні. ■

Наведена ознака дає змогу встановлювати перпендикуляр- ність площин або ж забезпечувати її.

Приклад 1. Приладнати щит до стовпа так, щоб він був роз- міщений вертикально.

 Якщо стовп стоїть вертикально, то досить довільно припасу- вати щит до стовпа і закріпити його (рис. 421, а). Згідно з розгля-

нутою вище ознакою, площина щита буде перпендикулярною до поверхні землі. У цьому випадку задача має безліч розв’язків.

Якщо ж стовп стоїть похило до землі, то досить до стовпа при- ладнати вертикальну рейку (рис. 421, б), а потім щит припасу- вати і до рейки, і до стовпа. У цьому випадку положення щита є цілком певним, оскільки стовп і вертикаль визначають єдину площину. ■

У попередньому прикладі «технічне» завдання звелось до ма- тематичної задачі проведення через дану пряму площини, пер- пендикулярної до іншої площини.

Приклад 2. З вершини A квадрата ABCD проведено перпен- дикулярний до його площини відрізок AK, AB = AK = a.

1) Визначити взаємне розміщення площин AKC і ABD, AKD і ABK. 2) Побудувати площину, яка проходить через пряму BD перпен- дикулярно до площини ABC.

3) Провести через середину F відрізка KC площину, перпендику- лярну до площини KAС.

4) Знайти площу трикутника BDF.

 Побудуємо рисунок, який відповідає умові прикладу (рис. 422).

1) Площини AKC і ABD — перпендику- лярні, за ознакою перпендикулярності пло- щин (теорема 1): AK ABD, за умовою. Пло- щини AKD і ABK також перпендикулярні,

за ознакою перпендикулярності площин (те-

орема 1). Справді, пряма AB, через яку проходить площина ABK, перпендикулярна до площини AKD, за ознакою перпендикуляр- ності прямої і площини (теорема 1 § 18): AВ AD, як суміжні сто- рони квадрата; AВ AK, бо AK ABD.

2) За ознакою перпендикулярності площин, для шуканої побудови достатньо через деяку точку прямої BD провести пряму, перпендикулярну до площини ABС. А для цього достатньо через цю точку провести пряму, паралельну прямій AK. Справді, за умовою, пряма AK перпендикулярна до площини ABC і тому, згідно з теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (теорема 1 § 19), побудована пряма буде перпендикулярною до площини ABC.

Побудова. Через точку B проводимо пряму BЕ, паралельну прямій AK (рис. 423). Площина BDЕ є шуканою.

ABС, то й пряма FОбуде до неї перпендикулярна, за теоремою про

Дослідження властивостей відношення перпенди- кулярності площин та його застосувань почнемо з простої, але дуже корисної теореми.

Теорема 2 (про перпендикуляр до лінії перетину перпендику- лярних площин).

Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, що належить одній площині і перпендикулярна до лінії перетину цих площин, перпендикулярна до другої площини.

 Нехай перпендикулярні площини α і β перетинаються по прямій с, а пряма b у площині β перпендикулярна до прямої с і перетинає­ її в точці В (рис. 425). За означенням перпендику- лярності площин, у площині β через точку В проходить пряма b1, перпендикулярна до площини α. Зрозуміло, що вона перпенди- кулярна до прямої с. Але ж через точку прямої в площині можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої.

Тому прямі b і b1 збігаються. А це означає, що пряма однієї площини, яка перпенди- кулярна до лінії перетину двох перпенди- кулярних площин, перпендикулярна до другої площини. ■

Застосуємо розглянуту теорему до об- ґрунтування ще однієї ознаки перпендику-

лярності площин, яка є важливою з огляду подальшого вивчення взаємного розміщен- ня двох площин.

Нехай площини α і β — перпендикуляр- ні, пряма с — лінія їхнього перетину. Через довільну точку А прямої с проведемо в пло-

щинах α і β прямі а і b, перпендикулярні до прямої с (рис. 426). За теоремою 2, прямі а і b перпендикулярні відповідно до площин

β і α, тому вони перпендикулярні між со- бою: а b. Прямі а і b визначають деяку

площину γ. Лінія перетину с площин α і β перпендикулярна до площини γ, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18): с а, с b, а γ, b γ. Якщо врахувати довільність вибору точки А на прямій с і той факт, що через точку А прямої с проходить єдина площина, яка перпенди- кулярна до неї, то можна зробити наступний висновок.

Теорема 3 (про площину, перпендикулярну до лінії перетину перпендикулярних площин).

Площина, перпендикулярна до лінії перетину двох перпендикулярних площин, перетинає ці площини по перпендикулярних прямих.

Таким чином, встановлено ще одну властивість перпендику- лярних площин. Ця властивість є характеристичною, тобто якщо вона справджується для деяких двох площин, то площини пер- пендикулярні між собою. Маємо ще одну ознаку перпендикуляр- ності площин.

Теорема 4 (друга ознака перпендикулярності площин).

Якщо прямі перетину двох площин третьою площиною, перпендикулярною до лінії їхнього перетину, перпендикулярні, то дані площини теж перпендикулярні.

398 Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

 Нехай площини α і β перетинаються по прямій с, і площина γ, яка перпендику-

лярна до прямої с, перетинає площини α і β відповідно по прямих а і b (рис. 427). За умовою, а b. Оскільки γ с, то а с. А тому пряма а перпендикулярна до площини β, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18). Звідси випливає, що площини α і β — перпендикулярні, за

ознакою перпендикулярності площин (теорема 1). ■

Заслуговують на увагу і теореми про зв’язки перпендикуляр- ності двох площин до третьої площини з їхнім взаємним розмі- щенням.

Теорема 5 (про лінію перетину двох площин, перпендикуляр- них до третьої площини).

Якщо дві площини, що перпендикулярні до третьої площини, перетинаються, то лінія їхнього перетину перпендикулярна до цієї площини.

 Нехай площини α і β, перпендикуляр- ні до площини γ, перетинаються по прямій а

(а D g, чому?), і А — точка перетину прямої а з площиноюγ(рис.428).ТочкаАналежитьлініям перетинуплощинγ іα, γ іβ,а,заумовою,α γ і

β γ.Тому,заозначеннямперпендикулярнос- ті площин, через точку Аможна провести пря- мі, які лежать у площинах α і β і перпенди-

кулярні до площини γ. Оскільки через точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини,

то побудовані прямі збігаються, одночасно збігаючись з лінією пере- тину площин α і β. Таким чином, пряма а — лінія перетину площин α і β — перпендикулярна до площини γ. ■

Розглянемо теорему, яка описує зв’язок між паралельністю i перпендикулярністю площин. Відповідний результат ми вже мали для прямих і площин.

Теорема 6 (про паралельні площини, перпендикулярні до тре- тьої площини).

Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до третьої, то і друга площина перпендикулярна до неї.

 Нехай площини α і β — пара- лельні, а площина γ перпендикуляр- на до площини α. Оскільки площина

γ перетинає площину α , то вона по- винна перетинати і паралельну їй площину β. Візьмемо в площині α до-

вільну пряму т, перпендикулярну до площини γ , і проведемо через неї, а також — через довільну точку площи- ни β, площину δ (рис. 429). Площини

δ і β перетинаються по прямій п, а оскільки α ║β, то т║п (теорема

2 § 18). Із теореми 1 випливає, що п γ, а тому перпендикулярною до площини γ буде і площина β, яка проходить через пряму п. ■

Доведена теорема дає ще одну ознаку перпендикулярності площин.

Далі розглянемо ряд задач на побудову перпендикулярних площин. Через задану точку провести площину, перпендику- лярну до даної, можна за допомогою ознаки перпендикулярності площин (теорема 1). Достатньо через цю точку провести пряму, перпендикулярну до даної площини (див. задачу 1 § 19). А потім через побудовану пряму провести площину. Вона буде перпенди- кулярною до даної площини, за вказаною ознакою. Зрозуміло, що таких площин можна провести безліч.

Більш змістовною є задача про побудову площини, перпенди- кулярної до даної, за умови, що вона проходить через дану пряму. Зрозуміло, що якщо дана пряма перпендикулярна до даної пло- щини, то таких площин можна побудувати безліч. Залишилося розглянути випадок, коли дана пряма не перпендикулярна до даної площини. Можливість такої побудови обґрунтовано на рівні фізичних моделей прямих і площин у прикладі 1.

Задача 1. Довести, що через довільну пряму, не перпенди- кулярну до площини, можна провести площину, що перпендику- лярна до даної площини.

 Нехай дано площину α і пряму l, l B\ a. Візьмемо на прямій l довільну точку М і проведемо через неї пряму т, перпендику- лярну до площини α (рис. 430, а). Оскільки, за умовою, l не пер- пендикулярна до α, то прямі l і т перетинаються. Через ці прямі можна провести площину β (рис. 430, б), яка, згідно з ознакою пер-

пендикулярності площин (теорема 1), буде перпендикулярною до площини α. ■

Приклад 3. Через вершину А правильної піраміди SABC з основою ABC провести пряму, перпендикулярну до площини біч- ної грані SBC.

 Для розв’язання даної задачі скорис- таємось теоремою про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин (теорема 2). Нехай K — середина ребра BC (рис. 431). Площини AKS і BCS — перпен- дикулярні, за ознакою перпендикулярнос-

ті площин (теорема 1). Справді, ВС SK і ВС АK, як медіани, проведені до основ у рівнобедрених трикутниках. Тому, за озна- кою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18), пряма ВС перпендикулярна

до площини AKS. Площина BCS проходить через пряму, перпендикулярну до площини

AKS.

Побудова. Проведемо в площині AKS з

точки A пряму AL, перпендикулярну до пря-

мої KS — лінії перетину площин AKS і ВСS

(рис. 432). За теоремою про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних пло-

щин (теорема 2), пряма AL перпендикуляр- на до площини ВСS. ■

10.Чому висок щільно прилягає до вертикальної стіни, а до по- хилої — не обов’язково?

11.Чи можна до похилого стовпа прикріпити щит так, щоб він був перпендикулярним до поверхні землі?

12.Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

Задачі

421.Відрізок OS проведено з центра О квадрата ABCD перпен- дикулярно до його площини.

1°) Визначте взаємне розміщення площин ACS і АВС . 2°) Визначте взаємне розміщення площин ACS i BDS .

3) Побудуйте площину, що проходить через пряму OS, пер- пендикулярну до площини ABS.

1°) Знайдіть довжину відрізка BD, якщо AC = 1 см.

2) Доведіть, що площина BKD (K лежить на прямій AC) перпендикулярна до площини кожного із трикутників тоді і тільки тоді, коли K є серединою сторони AC.

426. Прямокутник ABCD, сторони якого 3 см і 4 см, перегнули по діагоналі AC так, що трикутники ABC і ADC розмістились в перпендикулярних площинах. Визначте відстань між точ- ками B і D після того, як перегнули прямокутник ABCD.

427. Через дану точку проведіть площину, перпендикулярну до кожної з двох даних площин.

428°. Доведіть, що площини суміжних граней куба є перпендику- лярними.

429. Площини α і β перпендикулярні між собою. З точки А пло- щини α проведено перпендикулярну до площини β пряму АВ. Доведіть, що пряма АВ лежить у площині α.

430. Доведіть, що коли площина і пряма, яка не лежить у цій площині, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою.

431. Через точки A і B, що лежать на лінії перетину p перпенди- кулярних між собою площин α і β, проведено перпендику- лярні до p прямі AA1 в α, BB1 в β. Точка X лежить на прямій AA1, а точка Y — на BB1. Доведіть, що пряма BB1 перпенди- кулярна до прямої BX, а пряма AA1 — перпендикулярна до прямої AY.

432*. Через середину кожної сторони трикутника проведено пло- щину, перпендикулярну до цієї сторони. Доведіть, що всі три проведені площини перетинаються по одній прямій, перпендикулярній до площини трикутника.

Вправи для повторення

433.У рівносторонньому трикутнику зі стороною b визначте: 1) висоту; 2) радіуси вписаного та описаного кіл.

434.З однієї точки проведено до даної прямої перпендикуляр і дві похилі. Визначте довжину перпендикуляра, якщо по- хилі дорівнюють 41 см і 50 см, а їхні проекції на дану пряму відносяться, як 3 : 10.

435.Визначте катети прямокутного трикутника, якщо бісектриса прямого кута поділяє гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см.

Підсумок

Головне означення

Дві площини назива-

ються перпендикуляр­ ними, якщо кожна з них утворена прямими, що перпендикулярні до другої площини і прохо- дять через точки пере- тину цих площин.