§11. Паралельність прямих і площин

2. Пряма і площина мають єдину спільну точку. Можливість такого розміщення прямих і площин забезпечується тим, що поза площиною є точки простору. Довільна точ-

ка на площині i точка поза площиною ви-

значають пряму, що має з площиною одну спільну точку, тобто перетинає її.

3. Пряма і площина не мають спільних точок. У цьому разі їх називають пара-

лельними.

Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються паралельними.

Паралельність прямої а і площини α позначають звичним символом паралельності: a || α або α || a.

Користуючись означенням, можна встановити паралельність прямих і площин, пов’язаних з вершинами куба. Нехай дано

куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 225). Пряма A1B1 паралельна площині ABCD. Справді, ця

пряма лежить у площині ABВ1А1. І якби

вона перетинала площину ABCD, то це було

б у точці, яка є спільною для площин ABCD і ABВ1А1. Але ж спільні точки цих площин

утворюють пряму АВ, яка паралельна прямій A1B1. Таким чином, пряма A1B1 не має спільних точок з площиною АВCD, тобто вона паралельна площині ABCD. Цей висновок стосується кожної прямої, яка містить ребро куба, і площини, яка містить грань куба, що не має спільних точок з цим ребром (B1C1 і ADD1A1, C1D1 і ABВ1А1 тощо).

Розглянутий спосіб обґрунтування паралельності прямої і площини можна узагальнити у такому твердженні.

Теорема 1 (ознака паралельності прямої і площини).

Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна деякій прямій площини, то вона паралельна самій площині.

 Нехай пряма а не лежить у площині α і паралельна прямій b цієї площини (рис. 226, а). Проведемо через прямі а і b площину β (рис. 226, б) (чому це можна зробити?). Площини α і β перети-

196 Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Приклад 1. ДвапаралелограмиАВСDiАВС1D1 лежатьурізних площинах, N, M i K — середини сторін АВ, CD i АD1 вiдповiдно. 1) Визначити взаємне розміщення прямих i площин:

C1D1 i ABC; KN i DD1C; D1B i MKN.

2) Побудувати точку перетину L прямої KN з площиною ВСС1. 3) Обчислити довжину вiдрiзка KL, якщо KN дорівнює 2 см.

 Побудуємо рисунок, який відповідає умові (рис. 228).

1) Пряма C1D1 i площина ABC — па-

ралельні, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), адже

прямі C1D1 i AB — паралельні, за умо-

вою,прямаAB належитьплощиніABC, пряма C1D1 їй не належить.

Пряма KN перетинає площину DD1C. Справді, прямі СD i С1D1 — паралельні, за ознакою паралельності прямих (теорема 2 §8). Тому пряма C1D1 належить площині DD1C (чому?). У площині АВС1D1 прямі KN i С1D1 перетинаються. Таким чином, пряма KN має спільну точку з площиною DD1C.

Пряма D1B паралельна площині MKN. Справді, відрізок KN є середньою лінією трикутника АD1В. Тому пряма KN паралельна прямій D1В. Оскільки пряма D1В не лежить у площині MKN, то, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), пряма D1В паралельна площині MKN.

2) Пряма KN лежить у площині АВС1. Тому точка її перетину з площиною ВСС1 лежить на лінії перетину площин АВС1 і ВСС1, тобто на прямій ВС1.

Побудова. Знаходимо точку перетину прямих KN і ВС1 у площині АВС1, це і є шукана точка L (рис. 229).

3) Для обчислення довжини вiдрiзка KL зобразимо побудову на площині АВС1D1 (рис. 230). Розглянемо трикутники АKN і BLN. Вони рівні, за ознакою рівності трикутників: АN = BN, за умовою,

АKN = BLN як внутрішні різносторонні кути при паралельних AK і BL та січній KL, KNА = BNL як вертикальні кути. Звідси

NL = KN = 2 (см). Тому KL = KN + NL = 4 (см). ■

Відповідь. 3) 4 см.

Розглянемо твердження, обернене до ознаки паралельності прямої і площини. Для цього необхідно

поміняти умову і висновок цієї теореми.

Теорема 2 (обернена до ознаки паралельності прямої і площини).

Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині існує пряма, яка паралельна даній прямій.

Ця теорема є властивістю відношення паралельності прямої і площини. Наочно правильність наведеного твердження очевидна. Логічна її обґрунтованість випливає з наступної теореми, яка і сама корисна при розв’язуванні багатьох задач.

Теорема 3 (про лінію перетину площин, одна з яких проходить через пряму, паралельну другій).

Якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то лінія їхнього перетину паралельна даній прямій.

 Нехай пряма а паралельна площині α, а площина β містить пряму а і перетинає площину α по прямій b (рис. 231). Прямі a і b лежать в одній площині, за побудовою. Вони не мають спільних точок, бо тоді пряма a мала б спільні точки з площиною α. А, за умовою, пряма a паралельна площині α. Тому прямі а і b — паралельні. ■

Тепер зрозуміло, як довести теорему 2.

Через дану пряму, паралельну площині α, слід провести площину, яка перетинає площину α. Для цього

достатньо взяти в площині α довільну точку і через пряму а та обрану точку провести площину.

198 Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Задача 2. Провести через одну з двох мимобіжних прямих площину, паралельну іншій прямій.

 Нехай а і b — мимобіжні прямі. Проведемо через довільну точку В прямої b пряму а′, паралельну прямій а (рис. 232). Прямі а′ і b визначають площину α, яка, за ознакою паралельності прямої і площини, паралельна прямій а. ■

Приклад 2. У правильному тетраедрі DABC, усі ребра якого дорівнюють 6 см, точка K лежить на ребрі DB, і DK = 2 см. Точка M лежить на ребрі BC, і BM = 4 см. Точка P — середина AB.

1) Довести, що пряма KM паралельна площині ADC. 2) Довести, що пряма PM перетинає площину ADC.

3) Провести через точку P пряму, паралельну площині ADC, яка перетинає медіану BL трикутника BDC.

4) Побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки Р і K паралельно прямій АС.

5) Провести через центр грані BDC пряму, паралельну площинам ABD і ACD, і знайти довжину найбільшого відрізка цієї прямої, який належить тетраедру.

 Побудуємо рисунок, який відображає умову завдання

(рис. 233).

1) З умови випливає, що точки K і M поді-

ляють сторони BD і BC трикутника BDC в однаковому відношенні, рахуючи від вершини В. За теоремою, оберненою до теореми Фалеса,

пряма KM паралельна прямій DC. А тоді, за

ознакою паралельності прямої і площини (тео- рема 1), пряма KM паралельна площині ADC.

2) Точки P і M поділяють сторони BА і BC

трикутника AВC у різних відношеннях, раху-

ючи від вершини В. З теореми Фалеса випли-

ває, що пряма PM перетинає пряму AC. А це означає, що вона перетинає і площину ADC.

3) Розглянемо трикутник АBL (рис. 234), де L — середина CD. Точка P є серединою сторони AB, а точка Е — серединою сторони BL, відрізок РЕ є середньою лінією трикутника АBL. Тому пряма РЕ паралельна прямій АL, яка лежить у площині ADC. За

 Контрольні запитання

1. На рис. 237 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

1) У площинах яких граней паралелепіпеда лежить пряма CC1?

2) З площинами яких граней паралеле- піпеда перетинається пряма A1D?

3) Площинам яких граней паралелепі-

педа паралельна пряма BC?

4)ЯкрозміщенідіагоналіграніA1B1C1D1 відносно площини ABCD?

196. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Доведіть, що пряма СD паралельна площині трикутника АВМ.

197. Площина α паралельна стороні ВС трикутника АВС і проходить через середину сторони АВ. Доведіть, що площина α проходить через середину сторони АС.

198. Доведіть, що дві площини перетинаються, якщо:

1) через точку, яка не належить цим площинам, можна провести лише одну пряму, паралельну даним площинам; 2) одна із площин перетинає пряму, паралельну другій площині.

199. Побудуйте пряму, яка проходить через дану точку і паралельна двом даним площинам, що перетинаються.

200. Проведіть через дану точку простору площину, паралельну двом даним мимобіжним прямим.

201. Дано трикутну піраміду SABC. Побудуйте точку перетину площини ABC з прямою MN, якщо:

1°) точки M і N лежать на ребрах SC і SB;

2) точка M лежить на ребрі AS, а точка N — на грані BSC; 3*) точка M лежить на грані ABS, а точка N — на грані ASC.

202. Через центр грані AA1D1D куба ABCDA1B1C1D1 проведено дві прямі, паралельні прямим D1D і B1C відповідно.

1) Знайдіть кут між цими прямими.

2) Визначте взаємне розміщення побудованих прямих і пло-

щин BB1C1C та DD1C1C.

203. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через:

1°) вершини A, B, C1;

2°) вершини B, D і середину ребра AA1;

3°) середину ребра CD паралельно площині ADC1; 4°) центр грані CDD1C1 паралельно площині ADD1; 5) вершину A і середини ребер CC1 і C1D1;

6*) відрізок, який з’єднує середини ребер AA1 і B1C1, паралельно площині AB1C.

204. Дано тетраедр SABC і точку F на ребрі AB, яка поділяє відрізок AB у відношенні 3:1 (AF : FB).

1) Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через вершину C, середину ребра AS і паралельна прямій BS. 2*) У якому відношенні побудований переріз ділить відрізок, що з’єднує точку F і середину відрізка AC?

Вправи для повторення

205.Маємо паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

1)Вкажіть дві прямі, паралельні площині ABC, що проходять через одну точку.

2)Побудуйте площину, яка перетинає площину ABC і містить нескінченну кількість прямих, паралельних площині ABC. 3*) Чи можуть перетинатися площини ABC і A1B1C1?

206.Нехай прямі а і b перетинаються. Побудуйте площину, що проходить через дану точку простору паралельно як прямій а, так і прямій b.

Підсумок

Головне означення

Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються па-