
- •Звернення до читача
- •Вступ
- •1. Числові множини
- •2. Обчислення і розрахунки
- •3. Функціональні залежності
- •4. Основні властивості функцій
- •5. Корені n-го степеня
- •6. Степеневі функції з раціональними показниками
- •7. Основні поняття й аксіоми стереометрії
- •8. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •9. Паралельне проектування
- •10. Зображення фігур у стереометрії
- •11. Паралельність прямих і площин
- •12. Паралельність площин
- •13. Тригонометричні функції числового аргументу
- •14. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
- •15. Властивості і графіки тригонометричних функцій
- •16. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них
- •17. Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності
- •18. Перпендикулярність прямої і площини
- •19. Зв’язок між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин
- •20. Перпендикулярність площин
- •21. Ортогональне проектування
- •22. Перпендикуляр і похила
- •23. Вимірювання відстаней у просторі
- •24. Вимірювання кутів у просторі
- •Відповіді і вказівки до задач

§11. Паралельність прямих і площин
Розглядається одне з важливіших відношень у стереометрії — паралельність прямої і площини, його властивості і застосування.
У попередніх параграфах було розглянуто відно- шення паралельності прямих у просторі та його за-
стосування. He менш важливим як з теоретичного, так і з практичного погляду є відношення паралельності між прямими і площинами.
Навколо себе ми бачимо безліч прикладів, які ілюструють взаємне розміщення прямих і площин (наприклад, взаємне розміщення стін, стелі, підлоги в кімнаті та ліній їхнього перетину, перекладини футбольних воріт і поверхні землі, ручки й аркуша паперу тощо, рис. 222 – 224).
Аналіз випадків взаємного розміщення прямої і площини з погляду наявності у них спільних точок дає такі варіанти розміщень.
1. Пряма і площина мають принаймні дві спільні точки. Тоді, згідно з аксіомою С1,
пряма належить площині.
13 Математика, 10 кл.

194 |
Розділ 2. Паралельність прямих і площин |
2. Пряма і площина мають єдину спільну точку. Можливість такого розміщення прямих і площин забезпечується тим, що поза площиною є точки простору. Довільна точ-
ка на площині i точка поза площиною ви-
значають пряму, що має з площиною одну спільну точку, тобто перетинає її.
3. Пряма і площина не мають спільних точок. У цьому разі їх називають пара-
лельними.
Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються паралельними.
Паралельність прямої а і площини α позначають звичним символом паралельності: a || α або α || a.
Користуючись означенням, можна встановити паралельність прямих і площин, пов’язаних з вершинами куба. Нехай дано
куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 225). Пряма A1B1 паралельна площині ABCD. Справді, ця
пряма лежить у площині ABВ1А1. І якби
вона перетинала площину ABCD, то це було
б у точці, яка є спільною для площин ABCD і ABВ1А1. Але ж спільні точки цих площин
утворюють пряму АВ, яка паралельна прямій A1B1. Таким чином, пряма A1B1 не має спільних точок з площиною АВCD, тобто вона паралельна площині ABCD. Цей висновок стосується кожної прямої, яка містить ребро куба, і площини, яка містить грань куба, що не має спільних точок з цим ребром (B1C1 і ADD1A1, C1D1 і ABВ1А1 тощо).
Розглянутий спосіб обґрунтування паралельності прямої і площини можна узагальнити у такому твердженні.
Теорема 1 (ознака паралельності прямої і площини).
Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна деякій прямій площини, то вона паралельна самій площині.
Нехай пряма а не лежить у площині α і паралельна прямій b цієї площини (рис. 226, а). Проведемо через прямі а і b площину β (рис. 226, б) (чому це можна зробити?). Площини α і β перети-

Паралельність прямих і площин |
195 |
наються по прямій b (збігатися вони не можуть за умовою). Тоді, якщо пряма а має спільну точку з площиною α , то ця точка знаходиться на прямій b. Але це суперечить умові, адже прямі а і b — паралельні. Тому пряма а не має спільних точок з площиною α, тобто пряма а і площина α — паралельні. ■
Задача 1. Через дану точку М, що не лежить в площині α, провести пряму, паралельну α.
Візьмемо в площині α довільну пряму l. Пряма l і точка М визначають деяку площину β. Проведемо у площині β через точку М пряму a, паралельну прямій l (рис. 227). Згідно з ознакою паралельності прямої і площини, пряма a i площина α — паралельні. ■
Зауважимо, що через точку М, що лежить поза площиною α, можна провести
нескінченну кількість прямих, паралель- них даній площині. Це випливає, наприклад, з довільності вибору прямої l у розв’язанні задачі.
До речі, для довільної прямої а, паралельної площині α, існує нескінченна кількість прямих у площині α, які паралельні а.
!Надалі під паралельністю відрізка, променя площині (чи відрізка, променя — многокутнику тощо) розумітимемо паралельність відповідних прямих і площин, які визначаються даними фігурами.
13*

196 Розділ 2. Паралельність прямих і площин
Приклад 1. ДвапаралелограмиАВСDiАВС1D1 лежатьурізних площинах, N, M i K — середини сторін АВ, CD i АD1 вiдповiдно. 1) Визначити взаємне розміщення прямих i площин:
C1D1 i ABC; KN i DD1C; D1B i MKN.
2) Побудувати точку перетину L прямої KN з площиною ВСС1. 3) Обчислити довжину вiдрiзка KL, якщо KN дорівнює 2 см.
Побудуємо рисунок, який відповідає умові (рис. 228).
1) Пряма C1D1 i площина ABC — па-
ралельні, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), адже
прямі C1D1 i AB — паралельні, за умо-
вою,прямаAB належитьплощиніABC, пряма C1D1 їй не належить.
Пряма KN перетинає площину DD1C. Справді, прямі СD i С1D1 — паралельні, за ознакою паралельності прямих (теорема 2 §8). Тому пряма C1D1 належить площині DD1C (чому?). У площині АВС1D1 прямі KN i С1D1 перетинаються. Таким чином, пряма KN має спільну точку з площиною DD1C.
Пряма D1B паралельна площині MKN. Справді, відрізок KN є середньою лінією трикутника АD1В. Тому пряма KN паралельна прямій D1В. Оскільки пряма D1В не лежить у площині MKN, то, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), пряма D1В паралельна площині MKN.
2) Пряма KN лежить у площині АВС1. Тому точка її перетину з площиною ВСС1 лежить на лінії перетину площин АВС1 і ВСС1, тобто на прямій ВС1.
Побудова. Знаходимо точку перетину прямих KN і ВС1 у площині АВС1, це і є шукана точка L (рис. 229).
3) Для обчислення довжини вiдрiзка KL зобразимо побудову на площині АВС1D1 (рис. 230). Розглянемо трикутники АKN і BLN. Вони рівні, за ознакою рівності трикутників: АN = BN, за умовою,

Паралельність прямих і площин |
197 |
АKN = BLN як внутрішні різносторонні кути при паралельних AK і BL та січній KL, KNА = BNL як вертикальні кути. Звідси
NL = KN = 2 (см). Тому KL = KN + NL = 4 (см). ■
Відповідь. 3) 4 см.
Розглянемо твердження, обернене до ознаки паралельності прямої і площини. Для цього необхідно
поміняти умову і висновок цієї теореми.
Теорема 2 (обернена до ознаки паралельності прямої і площини).
Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині існує пряма, яка паралельна даній прямій.
Ця теорема є властивістю відношення паралельності прямої і площини. Наочно правильність наведеного твердження очевидна. Логічна її обґрунтованість випливає з наступної теореми, яка і сама корисна при розв’язуванні багатьох задач.
Теорема 3 (про лінію перетину площин, одна з яких проходить через пряму, паралельну другій).
Якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то лінія їхнього перетину паралельна даній прямій.
Нехай пряма а паралельна площині α, а площина β містить пряму а і перетинає площину α по прямій b (рис. 231). Прямі a і b лежать в одній площині, за побудовою. Вони не мають спільних точок, бо тоді пряма a мала б спільні точки з площиною α. А, за умовою, пряма a паралельна площині α. Тому прямі а і b — паралельні. ■
Тепер зрозуміло, як довести теорему 2.
Через дану пряму, паралельну площині α, слід провести площину, яка перетинає площину α. Для цього
достатньо взяти в площині α довільну точку і через пряму а та обрану точку провести площину.

198 Розділ 2. Паралельність прямих і площин
Задача 2. Провести через одну з двох мимобіжних прямих площину, паралельну іншій прямій.
Нехай а і b — мимобіжні прямі. Проведемо через довільну точку В прямої b пряму а′, паралельну прямій а (рис. 232). Прямі а′ і b визначають площину α, яка, за ознакою паралельності прямої і площини, паралельна прямій а. ■
Приклад 2. У правильному тетраедрі DABC, усі ребра якого дорівнюють 6 см, точка K лежить на ребрі DB, і DK = 2 см. Точка M лежить на ребрі BC, і BM = 4 см. Точка P — середина AB.
1) Довести, що пряма KM паралельна площині ADC. 2) Довести, що пряма PM перетинає площину ADC.
3) Провести через точку P пряму, паралельну площині ADC, яка перетинає медіану BL трикутника BDC.
4) Побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки Р і K паралельно прямій АС.
5) Провести через центр грані BDC пряму, паралельну площинам ABD і ACD, і знайти довжину найбільшого відрізка цієї прямої, який належить тетраедру.
Побудуємо рисунок, який відображає умову завдання
(рис. 233).
1) З умови випливає, що точки K і M поді-
ляють сторони BD і BC трикутника BDC в однаковому відношенні, рахуючи від вершини В. За теоремою, оберненою до теореми Фалеса,
пряма KM паралельна прямій DC. А тоді, за
ознакою паралельності прямої і площини (тео- рема 1), пряма KM паралельна площині ADC.
2) Точки P і M поділяють сторони BА і BC
трикутника AВC у різних відношеннях, раху-
ючи від вершини В. З теореми Фалеса випли-
ває, що пряма PM перетинає пряму AC. А це означає, що вона перетинає і площину ADC.
3) Розглянемо трикутник АBL (рис. 234), де L — середина CD. Точка P є серединою сторони AB, а точка Е — серединою сторони BL, відрізок РЕ є середньою лінією трикутника АBL. Тому пряма РЕ паралельна прямій АL, яка лежить у площині ADC. За

Паралельність прямих і площин |
199 |
ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), пряма РЕ |
|||||
паралельна площині ADC і перетинає медіану BL трикутника |
|||||
BDC. |
|
|
|
|
|
4) Проведемо через точку Р пряму, паралельну прямій AC, |
|||||
і позначимо її точку перетину зі стороною BC через F (рис. 235). |
|||||
Трикутник PKF |
є шуканим перерізом. |
|
|
||
5) Нехай О — центр грані BDC (рис. 236). У трикутнику ADF, де |
|||||
F — середина BC, проведемо пряму ОО1, паралельну прямій AD. |
|||||
ТодіпрямаОО1 будепаралельноюплощинамABD іACD,заознакою |
|||||
паралельностіпрямоїіплощини.ТрикутникиADF |
іОО1F |
—подібні. |
|||
Тому |
OO1 = |
OF |
. З умови маємо: AD = 6 см, |
DF = |
3 3 см, |
|
AD |
FD |
|
|
|
|
1 |
3 |
см. Звідси: ОО1 = 2 см. ■ |
|
|
OF = |
3 DF = |
|
|
||
Відповідь. 5) 2 см. |
|
|
Контрольні запитання
1. На рис. 237 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.
1) У площинах яких граней паралелепіпеда лежить пряма CC1?
2) З площинами яких граней паралеле- піпеда перетинається пряма A1D?
3) Площинам яких граней паралелепі-
педа паралельна пряма BC?
4)ЯкрозміщенідіагоналіграніA1B1C1D1 відносно площини ABCD?

200 |
|
Розділ 2. Паралельність прямих і площин |
|||||
2. |
Скільки існує площин, паралельних ре- |
||||||
|
бру ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 238) |
|
|||||
|
і таких, що проходять через: |
|
|||||
|
1) |
вершину D; |
|
|
|
|
|
|
2) |
ребро DС; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) |
діагональ грані AС; |
|
|
|
|
|
|
4) діагональ куба A1С? |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
3. |
Куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 239) перетина- |
||||||
|
ється площиною, що проходить через се- |
||||||
|
редини M, N ребер АВ і ВС паралельно |
|
|
||||
|
|
||||||
|
ребру DD1. |
|
|
||||
|
1) |
Який многокутник отримано у пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
різі? |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Чому дорівнює периметр перерізу, |
|
|
|
|
|
|
якщо ребро куба дорівнює а? |
|
|
|
|
|
|
4. |
УправильномутетраедріSABC (рис.240) |
||||||
|
площина α проходить через середину М |
||||||
|
ребраAS паралельнопрямійСS.Чиможе |
||||||
|
переріз тетраедра площиною α бути: |
||||||
|
1) |
трикутником; |
|||||
|
2) |
правильним трикутником; |
|||||
|
3) |
чотирикутником; |
|||||
|
4) |
ромбом? |
|||||
5. |
Відомо, що пряма паралельна площині. |
||||||
|
Чи паралельна вона кожній прямій цієї |
||||||
|
площини? |
||||||
6. |
Чи правильно, що діагональ грані куба |
||||||
|
паралельна протилежній грані куба? |
||||||
7. |
Чи можуть перетинатися площини, паралельні одній і тій са- |
||||||
|
мій прямій? |
||||||
8. |
Чи правильно, що через точку поза площиною можна провес- |
||||||
|
ти лише одну пряму, паралельну даній площині? |
||||||
9. |
Пряма мимобіжна з деякою прямою, що лежить у даній пло- |
||||||
|
щині. Чи може вона бути паралельною цій площині? |
||||||
10. |
Чи може площина, що проходить через середини двох сторін |
||||||
|
трикутника, перетинати його третю сторону? |

Паралельність прямих і площин |
201 |
Графічні вправи
1. На рис. 241 зображено тетраедр ABCD, точки K, F, M, N — середини відповідних ребер. Заповніть за наведеним зразком таблицю, вибравши необхідне розміщення прямих l і площин α.
l і α
Взаємне
розміщення
l × α l || α
l α
DB |
MN |
KC |
MN |
KF |
CF |
і AMN |
і ABC |
і DMN |
і ABD |
і DMN |
і ADN |
+ |
|
|
|
|
|
2.Побудуйте рисунок за наведеними даними.
1)Пряма АВ паралельна площині α, а площина АВС перетинає площину α по прямій CD.
2)Пряма а паралельна кожній з площин α і β, що перетинаються.
3)ПлощинапроходитьчерезвершиниВ,D1 кубаABCDA1B1C1D1 паралельно ребру CD.
Задачі
190. Трикутник АВС i паралелограм АВFD лежать у різних площинах, M, N, K — середини сторін АС, ВС, ВF вiдповiдно. 1°) Визначте взаємне розміщення прямих i площин: DF
i АВС; АВ i MNK; АС i DВF; МК i ВСD.
2°) Побудуйте точку Р перетину прямої BD з площиною АСF. 3) Обчисліть довжину вiдрiзка РK, якщо МN = 3 см.
4) Побудуйте пряму, паралельну площинам трикутника i паралелограма.
191. Ромб АВСD i прямокутник DВЕF лежать у різних площинах; M, N, K — середини сторін АD, АВ, EF вiдповiдно.

202 |
|
Розділ 2. |
Паралельність прямих і площин |
|
1°) Визначте взаємне розміщення прямих i площин: EF |
||
|
i АВС; МС i DЕF; МN i СFЕ; ВЕ i АDF. |
||
|
2°) Побудуйте точку Р перетину прямої МN з площиною ВСЕ. |
||
|
3) |
Обчисліть довжину вiдрiзка ЕF, якщо МN = 4 см. |
|
|
4) |
Побудуйте пряму, паралельну площинам ромба i прямо- |
|
|
кутника. |
|
|
192. |
Дано куб АВСDА1В1С1D1. |
|
|
|
1°) Визначте взаємне розміщення прямої CD і площин АВС, |
||
|
АВВ1, AA1D. |
|
|
|
2°) Доведіть, що пряма АВ1 паралельна площині CDD1. |
||
|
3) |
Через середину ребра A1D1 проведіть пряму, паралельну |
|
|
площинам АА1В і СС1В1. |
|
|
|
4°) Побудуйте пряму, що перетинає площини тільки чоти- |
||
|
рьох граней куба. |
|
|
|
5) |
Побудуйте лінію перетину площин ADC1 i A1D1C. |
|
|
6) |
Знайдіть кут між прямими А |
В і В С. |
193. |
|
1 |
1 |
Дано чотирикутну піраміду SABCD, в основі якої лежить |
|||
|
трапеція ABCD, ВС||AD. |
|
|
|
1°) Визначте взаємне розміщення прямої AD і площини BCS. |
||
|
2) |
Через середину ребра АS проведіть пряму, паралельну |
|
|
площинам АВС i BCS. |
|
|
|
3°) Побудуйте пряму, що перетинає площини тільки двох |
||
|
бічних граней. |
|
|
|
4*) Побудуйте лінію перетину площин, які містять проти- |
||
|
лежні бічні грані, що проходять через основи трапеції. |
||
194. Точка В лежить у площині α, а відрізок CD завдовжки 12 см |
|||
|
паралельний цій площині. Точка А лежить на відрізку ВС |
||
|
і ВА : AC = 4 : 3. |
|
|
|
1°) Побудуйте точку Р перетину прямої AD з площиною α. |
||
|
2°) Визначте взаємне розміщення прямих ВР і CD. |
||
|
3) |
Знайдіть довжину відрізка ВР. |
|
195. Трапеція ABCD лежить у площині α. Її основа ВС дорівнює |
|||
|
12 см. Точка М лежить поза площиною α, а точка K — сере- |
||
|
дина відрізка ВМ. |
|
|
|
1) Побудуйте точку N перетину площини ADK і відрізка МС. |
||
|
2) |
Визначте взаємне розміщення прямої KN і площини α. |
|
|
3) |
Знайдіть довжину відрізка KN. |

Паралельність прямих і площин |
203 |
196. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Доведіть, що пряма СD паралельна площині трикутника АВМ.
197. Площина α паралельна стороні ВС трикутника АВС і проходить через середину сторони АВ. Доведіть, що площина α проходить через середину сторони АС.
198. Доведіть, що дві площини перетинаються, якщо:
1) через точку, яка не належить цим площинам, можна провести лише одну пряму, паралельну даним площинам; 2) одна із площин перетинає пряму, паралельну другій площині.
199. Побудуйте пряму, яка проходить через дану точку і паралельна двом даним площинам, що перетинаються.
200. Проведіть через дану точку простору площину, паралельну двом даним мимобіжним прямим.
201. Дано трикутну піраміду SABC. Побудуйте точку перетину площини ABC з прямою MN, якщо:
1°) точки M і N лежать на ребрах SC і SB;
2) точка M лежить на ребрі AS, а точка N — на грані BSC; 3*) точка M лежить на грані ABS, а точка N — на грані ASC.
202. Через центр грані AA1D1D куба ABCDA1B1C1D1 проведено дві прямі, паралельні прямим D1D і B1C відповідно.
1) Знайдіть кут між цими прямими.
2) Визначте взаємне розміщення побудованих прямих і пло-
щин BB1C1C та DD1C1C.
203. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через:
1°) вершини A, B, C1;
2°) вершини B, D і середину ребра AA1;
3°) середину ребра CD паралельно площині ADC1; 4°) центр грані CDD1C1 паралельно площині ADD1; 5) вершину A і середини ребер CC1 і C1D1;
6*) відрізок, який з’єднує середини ребер AA1 і B1C1, паралельно площині AB1C.
204. Дано тетраедр SABC і точку F на ребрі AB, яка поділяє відрізок AB у відношенні 3:1 (AF : FB).
1) Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через вершину C, середину ребра AS і паралельна прямій BS. 2*) У якому відношенні побудований переріз ділить відрізок, що з’єднує точку F і середину відрізка AC?

204 |
Розділ 2. Паралельність прямих і площин |
Вправи для повторення
205.Маємо паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.
1)Вкажіть дві прямі, паралельні площині ABC, що проходять через одну точку.
2)Побудуйте площину, яка перетинає площину ABC і містить нескінченну кількість прямих, паралельних площині ABC. 3*) Чи можуть перетинатися площини ABC і A1B1C1?
206.Нехай прямі а і b перетинаються. Побудуйте площину, що проходить через дану точку простору паралельно як прямій а, так і прямій b.
Підсумок
Головне означення
Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються па-
ралельними. |
|
|
a || α. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Головні твердження |
||
Ознака |
пара- |
Якщо пряма, що не ле- |
|
|
лельності пря- |
жить у даній площині, |
|
||
мої і площини |
паралельна деякій пря- |
|
||
|
|
мій площини, то вона |
|
|
|
|
паралельна самій пло- |
b α,a || b a || α |
|
|
|
щині. |
|
|
Теорема, |
обер- |
Якщо пряма паралель- |
|
|
нена до ознаки |
на площині, то в цій |
|
||
паралельності |
площині існує |
пряма, |
|
|
прямої |
і пло- |
яка паралельна |
даній |
|
щини |
|
прямій. |
|
a || α b: b α, b || α |
|
|
|
|
|
Теорема про лі- |
Якщо площина |
прохо- |
|
|
нію перетину |
дить через пряму, пара- |
|
||
площин, |
одна з |
лельну іншій площині |
|
|
яких проходить |
і перетинає цю площину, |
|
||
через пряму, па- |
то лінія перетину пара- |
|
||
ралельну другій |
лельна даній прямій. |
a || α,a β,b =α ∩ β a || b |
||
|
|
|
|