§13. Тригонометричні функції числового аргументу

228 Розділ 3. Тригонометричні Функції

він суміщався з нерухомою стороною. Цю другу сторону ми нази-

ватимемо рухомою і вважатимемо, що кут утворюється обертан-

ням рухомого променя навколо вершини кута. Одержані при цьому кути називають кутами обертання.

На рис. 263 зображено кут, утворений обертанням рухомого променя ОА1 навколо точки О, з нерухомим променем ОА. Траєкторією

руху точки А1 променя ОА1 є лінія AА1. Вона є дугою кола з центром у точці О і з радіусом ОА1 (або ОА). Отже, точка рухається по дузі кола з

радіусом R = ОА.

Зазвичай кути в геометрії вимірюють в градусах: 1 градус

розгорнутого кута. Кути обертання теж можна вимірювати в градусах. Але деколи більш зручною є інша міра.

При обертанні фіксована точка рухомого променя описує дугу кола з центром у вершині кута

(рис. 264). Вимірювання кутів обертання можна замінити вимірюванням довжини дуги кола. Щоб виключити вплив величини радіуса, мірою

кута вважають не довжину дуги l, а відношення

цієїдовжинидорадіусаR.Такаміраназивається

радіанною.

!Відношення шляху, пройденого точкою А, до радіуса R не залежить від радіуса. Тому це відношення може бути прийнято за міру кута обертання.

Радіанною мірою кута обертання називається відношення шляху, пройденого від початкового положення фіксованою точкою рухомого променя, до відстані від цієї точки до початку променя.

Чисельно радіанна міра кута обертання дорівнює шляху, яке пройде точка рухомого променя, що знаходиться на одиничній відстані від вершини.

За одиницю при радіанному вимірюванні кута обертання приймають міру кута, що спи-

рається на дугу, довжина якої дорівнює довжині радіуса (рис. 265). Ця одиниця називається радіаном.

Термін “радіан” походить від латинського radius — радіус.

Рух точки по колу багато у чому схожий з рухом точки по прямій. Щобвизначитиположенняточкинапрямій,недостатньознатишлях, пройденийнеювідпочатковоїточки,—потрібновказатищенапрям руху. Зазвичай на прямій фіксують додатний напрям, а положення точки визначається одним числом, додатним чи від’ємним.

Обертання рухомого променя навколо вершини кута можливе в двох протилежних напрямах. Геометрично два кути на рис. 266–267 є рівними, але як кути обертання їх слід вважати за різні.

При обертанні на площині будемо вважати додатним напрямомобертаннянапрямпротирухугодинниковоїстрілки(рис.268). Обертання за годинниковою стрілкою будемо вважати від’ємним (рис. 269). Відповідно, кути, що утворюються такими обертаннями, будемо вимірювати додатними і від’ємними числами.

Наприклад, годинник на рис. 270 показує 10 хвилин на одинадцяту, або 50 хвилин до одинадцятої години. Тут обертання хвилинної стрілки вимірюється або від’ємним кутом (за

годинниковою стрілкою), або додатним, тільки вибір напряму ми позначаємо не знаком мінус чи плюс, а словами «10 хвилин на одинадцяту»

і «50 хвилин до одинадцятої».

Кут в 90° одержимо, якщо промінь ОА1 здійснить чверть повного оберту навколо точки О проти годинникової стрілки (рис. 271, а); результатом

півоберту променя ОА1 проти годинникової стрілки є кут 180°

(рис. 271, б). Кут (–150°) — це 150360 = 125 повного оберту променя ОА1 навколо точки О за годинниковою стрілкою (рис. 272, а).

232 Розділ 3. Тригонометричні Функції

Використовуючи від’ємні міри кутів, можна модуль міри будь-

якого кута, в межах повного оберту, звести до числа, що не переви-

щує півоберту. Наприклад, при градусному вимірюванні кутів замість проміжку 0° ≤ α ≤ 360° можна завжди розглядати кути в проміжку–180° ≤ α ≤ 180°,прирадіанномувимірюваннізамістьпроміжку 0 ≤ α ≤ 2π — розглядати проміжок −π ≤ α ≤ π. Так, замість

кута 225° можна розглядати кут –(360° – 225°) = –135°; замість кута

мірювання кутів, послуговуються також меншими одиницями ви-

мірювання: 601° =1′(кутова мінута), 601′ =1′′ (кутова секунда). Градусною мірою кута послуговуються в оптичних приладах.

Мінута — від латинського minuta — зменшена (частка), від minuo — зменшую, розбиваю на дрібні частини.

Секунда — від латинських secunda (division gradi) —

друге (ділення градуса), secundus — наступний.

У техніці за одиницю вимірювання кутів приймають повний

розгорнутого кута, чи велику поділку кутоміра, яка дорівнює

100 «тисячним». У мореплавстві одиницею вимірювання є румб,

що дорівнює 1 частині повного оберту.

32

 Контрольні запитання

1°. Чи можна здійснити поворот годинникової стрілки на: а) 270°;

б) 360°; в) 450°; г) –60°; ґ) –290°; д) –512°?

2°. Чому дорівнюють у радіанах величини кутів: а) правильного трикутника; б) прямокутного рівнобедреного трикутника?

3°. Чому дорівнює радіанна міра кута АОВ, зображеного на рис. 273, якщо довжина

дуги MN дорівнює 0,5ON?

4.Чому дорівнює у градусній мірі кут оберту маховика, що зробив за годинниковою стрілкою: 1) 1 оберт; 2) 1,5 оберту?

Які кути описують хвилинна і годинна стрілки за: 1) 20 хв; 2) 5 год?

Чому дорівнюють наближено градусні і радіанні міри кутів обертання, позна-

чених стрілками на рис. 274.5.6.

2. Тригонометричне коло

Як відомо, між дійсними числами і точками коорди- натноїпрямоїіснуєвзаємнооднозначнавідповідність. Уявімо собі, що точка рухається по координатній прямій від початку координат. Якщо вона рухається у додатному напрямі і пройде відстань, що дорівнює трьом одиницям виміру довжини, то вона потрапить у точку А(3) (рис. 275). Якщо ж вона рухається у напрямі, протилежному до напряму координатної прямої, і пройде ту саму відстань, то вона потрапить у точку В(–3) (див. рис. 275). Зверніть увагу на те, що в обох випадках від- стань, пройдена точкою, дорівнює модулю ко- ординати точки, в яку вона потрапляє.

Взагалі, нехай маємо довільне число t. Вважатимемо, що точка рухається вздовж прямої, причому в додатному напрямі, якщо t > 0, і у від’ємному напрямі, якщо t < 0. Коли пройдена відстань дорівнюватиме |t|, точка потрапить у положення, що відповідає числу t. Таким чином, кожному дійсному числу відповідає одна і тільки одна точка Pt координатної прямої (рис. 276 а, б). Відтак

ми можемо не розрізняти число t і точку Pt .

Так само ми можемо не розрізняти міру кута обертання t і число t. Це дає змогу побудувати відповідність між дійсними числами і точками одиничного кола, користуючись вимірюванням відстані вздовж кола. Для цього на координатній площині розглянемо одиничне коло (тобто коло з радіусом 1) з центром у початку

координат (рис. 277, а) — його називають тригонометричним колом. Точку А з координатами (1; 0) називають початком відліку (на колі!). Довільне число t можна зобразити точкою на тригонометричному колі.

Нехай задано число t. Уявімо собі, що деяка точка рухається по

тригонометричному колу. Свій рух вона починає з положення А.

Вважатимемо, що вона рухається проти годинникової стрілки,

тобтовдодатномунапрямі,якщоt >0,ізагодинниковоюстрілкою,

тобто у від’ємному напрямі, якщо t < 0. Якщо t = 0, то точка зна-

ходиться в точці А. Коли пройдена відстань дорівнюватиме |t|, точка потрапить у положення, що відповідає числу t. Позначимо

точку, в яку вона потрапляє, через Pt (рис. 277, б). Зрозуміло, що точка P0 збігається з точкою А.

Таким чином, кожному дійсному числу t на тригонометрично-

му колі відповідає точка Pt . За побудовою, точку Pt одержують з точки А за допомогою повороту її навколо початку координат на t

радіан, оскільки на одиничному колі довжина пройденого шляху

дорівнює модулю радіанної міри кута повороту.

Користуючись наведеною побудовою, неважко вказати точки

Користуючись результатом розв’язання прикладу 3, можна знаходити на тригонометричному колі точки, які відповідають числам, вираженим у до-

лях числа π.

кладі 3) у додатному напрямі (її довжина дорівнює 4π ). Одержимо точку Е – середину дуги ВС (рис. 280). Вона і відповідатиме числу

Ïðèê ëàä 8 . Знайти на тригонометричному колі точки і записати, яким числам вони відповідають, якщо вони мають: 1) ордина-

240 Розділ 3. Тригонометричні Функції

 Контрольні запитання

ку Pt на тригонометричному колі. Позначимо через (х; у) координати точки Pt (рис. 287, а).