§23. Вимірювання відстаней у просторі

ся таким самим, як і в планіметрії. Наприклад, відстань d від точки A до прямої a — це найкоротша відстань між цією точкою і точками прямої (рис. 483), a відстань між паралельними прямими а і b — це довжина d найкоротшого з відрізків, що сполучає точки цих прямих (рис. 484).

Такий самий зміст має і загальне поняття відстані між фігура- ми. Наприклад, вимірювання відстані d від пункту А до озера В (рис. 485), відстані d між озерами А і В (рис. 486) зводиться до ви- мірювання найкоротшого відрізка, який з’єднує точки цих фігур (точка теж є фігурою).

Узагальнення поняття відстані між фігурами у просторі не ви- кликає труднощів.

Відстанню між фігурами називають довжину най­ коротшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур.

Якщо фігури перетинаються, то будемо вважати, що відстань між ними дорівнює нулю. Це і зрозуміло, бо фігури в цілому «не віддалені» одна від одної. Для фігур, що не мають спільних точок, відстань між ними є однією з мір їхнього взаємного роз- міщення.

Зрозуміло, що задача знаходження відстаней між довіль- ними геометричними фігурами є надто загальною, а тому об- межимося детальним розглядом відстаней між найпростішими фігурами простору — точками, прямими, площинами. Як і в планіметрії, ці відстані реалізуються через довжини відповід- них перпендикулярів. Окрім того, до вказаних ситуацій частогусто зводиться задача про вимірювання відстаней між склад- нішими фігурами.

Теорема 1 (про відстань від точки до площини).

Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної площини.

Ця властивість відстані від точки до пло- щини безпосередньо випливає з властивості похилих і перпендикулярів. Справді, пер- пендикуляр, проведений з точки до площи- ни, менший від похилих, проведених з тієї самої точки до точок площини (рис. 487).

Теорема 2 (про відстань між прямою і площиною).

Відстань між прямою і паралельною їй площиною дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки прямої до даної площини.

Обґрунтування цієї властивості про від- стань між прямою і площиною спирається на властивості прямої, паралельної площині, і

теорему 1 про відстань від точки до площи- ни. Справді, відстань від кожної точки пря- мої до площини дорівнює довжині перпенди-

куляра, проведеного з даної точки до площини. Для точок прямої, паралельної площині, ці відстані є рівними (рис. 488).

Теорема 3 (про відстань між паралельними площинами).

Відстань між паралельними площинами дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки однієї площини до другої площини.

Обґрунтування теореми 3 аналогічне об- ґрунтуванню теореми 2. Відмінність поля- гає лише в тому, що перпендикуляри прово- дяться з усіх точок однієї площини до другої

(рис. 489).

Наведенимивластивостямиширококористуютьсяурізнихсфе- рах діяльності людини, у побуті. Наприклад, за їхньою допомогою визначають відстані від літака до поверхні землі, від світильника до підлоги, від дроту лінії електропередач до поверхні землі, між стелею і підлогою тощо.

Приклад 1. Площини правильного трикутника ABS і квадра- та ABCD зі стороною a — перпендикулярні, точки L, K, M є серед- инами відповідно сторін DC, AB, AS. Знайти відстань:

1) від точки А до прямої ВS;

2)від точки А до площини SBC;

3)від прямої AD до площини SBC;

4)між площинами MKL і SBC.

1)Відстань від точки А до дорівнює довжині перпендикуляра ного з точки А до прямої ВS у площині

Оскільки трикутник ABS — правильний таким перпендикуляром буде медіана цього трикутника (рис. 490). Її довжина прямої ВS, проведе­ ­ABS., тоАР

дорівнює 23 a.

2) Відстань від точки А до площини SBC дорівнює, за властивістю відстані від точки до площини (теорема 1), довжині перпендикуля-

ра, проведеного з точки А до площини SBC. Цим перпендикуля- ром буде відрізок АР, де Р — середина сторони SB (див. рис. 490). Справді, відрізок АР перпендикулярний до сторони SB трикутни- ка ABS, бо він є медіаною правильного трикутника. Пряма ВС перпендикулярна до площини ABS, бо вона лежить в одній з пер-

паралельності прямої і площини (теорема 1 § 11): AD || ВС. Тому шукана відстань, за властивістю відстані між прямою і площиною (теорема 2), дорівнює відстані від точки А до площини SBC і, за

попереднім завданням, дорівнює 23 a.

Розглянемо детальніше доведення властивостей відстаней у просторі. Оскільки теорема 1 є прямим наслідком властивостей похилих і перпендикуля-

рів, розглянемо доведення теореми 2.  Нехай маємо пряму l і паралельну до неї

площину α (рис. 493). Оскільки відстань між прямою l і площиною α — це довжина найко-

ротшого відрізка, що сполучає їхні точки, то довжина похилої, яка сполучає точки прямої

і площини, не може бути шуканою відстанню. Доведемо, що довжини всіх перпендикулярів,

проведених із точок прямої l до площини α,

рівні між собою. А тому відстань між прямою і площиною дорів- нює довжині кожного з таких перпендикулярів.

Проведемо з двох точок А і В прямої l перпендикуляри АА1 і ВВ1 до площини α. Оскільки прямі, що перпендикулярні до однієї площини, паралельні між собою (теорема 2 § 19), то через прямі АА1 і ВВ1 можна провести площину, яка містить l. Пряма А1В1 є лі- нією пеpeтину цієї площини з площиною α (чому?). Однак у цьому

(навіть прямокутником). Звідси AA1 = BB1. ■

Доведення теореми 3 аналогічне доведенню попередньої тео- реми.

 Як і в теоремі 2, похила, що з’єднує дві точки паралельних площин, не може визначати відстань між ними. А всі перпендику- ляри, проведені з точок однієї з площин до другої, паралельні, за теоремою про паралельність прямих, перпендикулярних до пло- щини (теорема 2 § 19). До речі, вони одночасно перпендикуляр- ні до обох площин, за теоремою про паралельні площини, одна з яких перпендикулярна до прямої (теорема 3 § 19).

Нехай α і β — паралельні площини, а АА1 і ВВ1 — два довільні перпендикуляри, що

з’єднують точки цих площин (рис. 494). Вони паралельні, а тому рівні, за теоремою про відрізки паралельних прямих між паралель-

ними площинами (теорема 4 § 12). Можна і безпосередньо довести рівність цих відрізків, розглянувши чотирикутник АА1В1В, як це було зроблено при доведенні теореми 2. ■

За допомогою поняття відстані можна характеризувати паралель- ність прямої і площини, паралельність площин. При цьому справджу- ютьсянаступнітвердження,якієоберненимидотеорем2і3.

Теорема 4 (ознака паралельності прямої і площини).

Якщо всі точки прямої лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від площини, то пряма і площина — паралельні.

Теорема 5 (ознака паралельності площин).

Якщо всі точки однієї площини лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від другої площини, то ці площини — паралельні.

Справді, при виконанні умов цих тверджень відповідні фігури не можуть мати спільних точок, інакше б відстань між ними до- рівнювала нулю.

Твердження будуть правильними, якщо умови виконуються не для всіх точок, а для кількох. У першому твердженні досить при- пустити,щоумовавиконуєтьсядлядвохточокпрямої,удругому—

для трьох точок, які не лежать на одній прямій (рис. 495, 496). Спробуйте довести це самостійно. Наведені твердження широко використовуються у практиці як ознаки паралельності прямої і площини, двох площин. Так, паралельність поверхні стола до під- логи забезпечується однаковою довжиною його ніжок.

Приклад 2. У тетраедрі SABC основа АВС — рівносторонній трикутник зі стороною 6 см, бічні грані SAB, SAC, SBC — рівнобе- дрені трикутники з бічним ребром 5 см. Знайти відстань від цен- тра О основи до площини бічної грані.

 Відстань від точки О до площини SBC дорівнює довжині перпендикуляра ОK із точки О на площину SВС (рис. 497). Точка О лежить на перетині медіан (і висот!) трикут-

Графічні вправи

1.На рис. 499 зображено куб ABCDA1B1C1D1 з ребром а, точки М, М1 — середини ребер AD1, A1D1 відповідно. Знайдіть відстань:

1)від точки A1 до прямої AB;

2)від точки D1 до прямої AB;

3)від точки A1 до площини BCC1B1;

4)від точки A1 до площини AB1C1D;

проведено перпендикуляр KS до площини трикутника. До- вжина KS становить 6 см. Знайдіть відстань:

1) від точки С до площини AKS;

2) від точки А до площини KCS;

3) від точки S до прямої ВС.

465. Дано куб ABCDA1B1C1D1 з ребром а. Знайдіть відстань: 1°) від точки А1 до площини BDD1;

2°) від прямої В1D1 до площини АВС; 3°) між протилежними гранями куба; 4°) від точки А1 до прямої BD;

5) між прямими AD1 i CC1;

6*) від точки A1 до площини AB1D1;

7*) між площинами CD1B1 і DA1B.

466. Точка М лежить на відстані b від усіх вершин квадрата ABCD зі стороною а і центром в точці О. Знайдіть відстань: 1°) від точки М до площини АВС;

2°) від точки А до площини ВМD;

3) від точки О до площини МСD, якщо b = 23 a ;

4) від точки M до прямої CD;

5) між прямими ОМ і АD.

467. Кінці відрізка віддалені від деякої площини на 1 см і 4 см. Знайдіть відстань від середини відрізка до площини.

468. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 16 см і 12 см. На якій відстані від площини трикутника лежить точка,

віддалена від кожної вершини трикутника на 10 2 см? 469. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 6 см. На

якій відстані від площини трикутника розміщена точка, яка віддалена на 9 см від:

1) сторін трикутника; 2*) кожної з прямих, що містять сторони трикутника?

470°. Якщо з двох точок, які знаходяться на різних відстанях від площини, провести рівні похилі, то на цій площині більшою буде проекція тієї похилої, що проведена з ближчої до пло- щини точки. Доведіть це.

471. Якщо з точки А, що знаходиться поза площиною α, опусти- ти перпендикуляр на цю площину, а з його основи провести

Підсумок

Головне означення

Відстанню між довіль- ними фігурами назива-

ють довжину найкорот- шого з відрізків, який сполучає точки даних фігур.

Властивості відстаней

Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпенди- куляра, проведеного

з даної точки до да- ної площини.

Відстаньміжпрямою і паралельною до неї

площиною дорівнює довжині перпенди- куляра, проведено-

го з довільної точки прямої до даної пло- щини.

Відстань між пара- лельними площина- ми дорівнює довжи- ні перпендикуляра, проведеного з до- вільної точки однієї площини до другої площини.