§18. Перпендикулярність прямої і площини

Ðозглядається взаємне розміщення прямої і площини, яке моделює, зокрема, відношення вертикальності.

Можна навести багато прикладів взаємного розмі­ щення фізичних об’ектів, які характеризуються ма­ тематичним поняттям перпендикулярності прямої і площини: вертикальна колона перпендикулярна до поверхні зем­ лі (рис. 366), ніжки стола перпендикулярні до підлоги (рис. 367), шнур, на якому висить лампа, — до стелі (рис. 368), траєкторія тіла, що вільно падає, — до поверхні Землі тощо.

У наведених прикладах розміщення тіл моделюється таким взаємним розміщенням прямої і площини, при якому пряма, що перетинає площину, не має нахилу в жодному напрямі на площи­ ні. У зв’язку з цим необхідно узагальнити поняття перпендику­ лярності прямих на випадок простору, оскільки перпендикуляр­ ність прямих якраз і характеризує відсутність нахилу.

Дві прямі простору називаються перпендикулярни­ ми, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

!Як і в планіметрії, перпендикулярність прямих позначається знаком (наприклад, a b), перпендикуляр-

ність відрізків означає перпендикулярність прямих, які їх містять.

Поняття перпендикулярності прямих у просторі врешті зводиться до перпендику-

лярності прямих на площині. Дві прямі, що перетинаються, визначають площину, і поняття кута між такими прямими береть- ся із планіметрії. Тому, звичайно, шукаю-

чи приклади перпендикулярності прямих, звертаються до певних площин. Напри-

клад, в кубі ABCDA1B1C1D1 (рис. 369) кожна

грань — квадрат — визначає площину і в ній перпендикулярними є прямі, що проходять

через суміжні ребра (АA1 і AB, СC1 і C1D1 тощо), діагоналі (BC1 і СВ1 та ін.). Цікаво, що АA1 AB і АA1 AD, тобто у просторі через точку А прямої АA1 проходить не одна пряма, перпендикулярна до прямої АA1. Такого на площині не буває. Більше того, є впев- неність, що пряма АA1 перпендикулярна до прямої АС і, взагалі, до довільної прямої грані ABCD, що проходить через точку А, адже вона однаково нахилена до всіх цих прямих. Якщо мати на увазі, що площина

ABCD складається зі всіх прямих площини,

що проходять через точку A, то відсутність нахилу прямої до жодного напряму на площині (рис. 370) можна сформулювати у вигляді наступного означення.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої площини, що проходить через точ­ ку перетину даної прямої і площини.

Для позначення перпендикулярності прямої l та площини α також використовують знак : l α.

Звичайно, користуючись тільки означенням, виявити перпен- дикулярність прямої до площини неможливо, адже це зводилось би до проведення безлічі перевірок. Але приклад з кубом пока- зує, що перпендикулярність ребра АA1 до грані ABCD є наслідком перпендикулярності його до двох суміжних ребер цієї грані.

364Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Упрактичній діяльності вертикальність веж, опор, стовпів та інших конструкцій теж звіряють по їхній вертикальності двом напрямам. Вертикальність корінця напіврозкритої книги, що стоїть на столі, забезпечує його перпендикулярність до двох країв обкладинки, на які спирається книга і які лежать у площині стола. Іншими словами, для встановлення перпендикулярності прямої a до площини

досить перевірити перпендикулярність цієї прямої до двох перетинних прямих

площини α (рис. 371). Маємо просту і зручну ознаку перпендикулярності прямої

та площини.

Теорема 1 (ознака перпендикулярності прямої і площини).

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються і належать даній площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

У тому, що перпендикулярності даної прямої до однієї прямої площини не вистачає для її перпендикулярності до площини, можна переконатися за допомогою наступного прикладу. Ручка швабри перпендикулярна до перекладини, яка лежить на підло- зі (рис. 372, а), але цього недостатньо, щоб ручка була розміще- на вертикально. Але якщо ручку обертати навколо перекладини (рис. 372, б, в), то можна знайти положення, коли вона буде верти- кальною. Це якраз буде тоді, коли вона буде перпендикулярною ще до одного напряму на підлозі.

Теорему 1 можна використати для побудови вертикальних конструкцій.

Задача 1. Встановити щоглу вертикально за допомогою роз- тяжок, закріплених на щоглі на певному рівні.

 Зазвичай для встановлення щогли досить мати чотири роз- тяжки однакової довжини. Зрозуміло, що довжина розтяжок по-

винна бути більшою, ніж віддаль від землі до місця їхнього за- кріплення на щоглі.

Розмістимо основу щогли у даній точці О на поверхні землі, закріпимо вiльнi кінці двох розтяжок у точках В і В1, які розмі- щені на однаковій відстані від точки О і лежать на прямій, що проходить через точку О (рис. 373, а). Це забезпечує перпенди- кулярність щогли до прямої ВВ1. За допомогою двох інших роз- тяжок щоглу піднімають, обертаючи її навколо осі ВВ1. Потім фіксують те положення щогли, в якому вільні кінці розтяжок за- кріплюються у точках С і С1 , центрально-симетричних відносно точки О (рис. 373, б). Щогла стоїть вертикально, бо, за побудовою,

АО ВВ1 і АО СС1. ■

Існують і інші способи встановлення щогли. Наприклад, можна зменшити кількість розтяжок, брати розтяжки різної довжини, за- кріплювати їх на різних рівнях щогли. Але всі ці випадки вимага- ють забезпечення стійкої вертикальності щогли у двох напрямах.

Розв’язування завдання, сформульованого у задачі 1, звелося з позицій геометрії до побудови прямої, яка проходить через точку площини перпендикулярно до цієї площини. Саме у цьому поля- гає наступна задача.

Задача 2. Через дану точку площини провести пряму, пер- пендикулярну до цієї площини.

 Можливість побудови такої прямої фактично обґрунтовано у задачі 1. Залишилось лише перекласти це обгрунтування на ма- тематичну мову.

Нехай дано площину α і точку О на ній. Проведемо в площині α через точку О пряму l (рис. 374, а) і візьмемо деяку площину β, яка перетинає площину α по прямій l (як вибрати таку площину?). У цій площині побудуємо пряму АО, перпендикулярну до прямої l (рис. 374, б). У площині це завжди можна зробити однозначно.

Залишилося тільки повернути пряму ОА навколо прямої l так, щоб вона стала перпендикулярною до площини α. Для цього в площині α через точку О проведемо пряму ОВ, перпендикулярну до прямої l. А потім через прямі ОА і ОВ проведемо площину γ (рис. 374, в). Нарешті, проведемо у площині γ пряму ОС перпен- дикулярно до прямої ОВ. Вона і є шуканою. Справді, вона пер- пендикулярна до двох прямих площини a — до прямої ОВ, за по- будовою, і до прямої l, за означенням перпендикулярності прямої і площини. Справа в тім, що l γ, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (l OA, l OB, OA ∩ OB = {O}). Таким чином, двічі застосована ознака завершує доведення можливості прове- дення прямої, яка проходить через дану точку площини перпен- дикулярно до цієї площини. ■

!Побудова прямої, перпендикулярної до даної площини, яка проходить через дану точку, відноситься до основних побудов. У подальшому будемо замість опису побудови писати: «Проведемо пряму, перпендикулярну до площини».

до діагоналі AC.

 Зобразимо умову прикладу на рис. 375.

1) Пряма AC перпендикулярна до ребер АA1 і СС1. Це випливає з того, що вказані ребра перпендикулярні до площини грані, в якій лежить пряма AC, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1): АА1 АВ, АА1 АD; СС1 СВ, СС1 СD.

2) Прямі D1O і AC — перпендикулярні. Розглянемо трикутник AD1C (рис. 376). Він рівнобедрений: AD1 = D1C, як діагоналі рівних квадратів. Відрізок D1О є медіаною цього трикутника, проведеною до основи. А тому він є і висотою. Таким чином, прямі D1O і AC перетинаються під прямим кутом.

3) Пряма А1С1 перетинається з прямою В1D1 під прямим кутом у центрі О1 квадрата A1B1C1D1 (рис. 377). Залишилося довести, що пряма А1С1 перпендикулярна до прямої О1О, яка лежить у площині ВВ1D1. Але це випливає з того, що чотирикутник ACС1А1 є прямокутником: АA1 || CC1, АA1 = CC1, за властивістю транзитивності відношень паралельності і рівності, АА1 АС, СС1 АС (див. розв’язання завдання 1)). За ознакою перпенди- кулярності прямої і площини, пряма А1С1 перпендикулярна до площини ВB1D1, бо вона перпендикулярна до прямих B1D1 і О1О цієї площини.

4) Пряма, що проходить через точку M пер-

пендикулярно до діагоналі AC, паралельна прямій BD, оскільки BD також перпендику-

лярна до AC і всі ці прямі лежать в одній пло- щині (рис. 378). Побудова полягає у прове-

денні через точку M прямої MN, паралельної прямій BD. ■

Розглянуті задачі 1 і 2 полегшують сприйняття до- ведення ознаки перпендикулярності прямої і пло- щини (теорема 1). Запишемо цю теорему у знако-

символьній формі і доведемо її.

Теорема 1. Дано: а b, а c, b α, c α, b ∩ c = {O}.

Довести: а α.

 Відомо, що пряма а перпендикулярна до двох прямих b і c, які належатьплощиніα(рис.379,а).Зрозуміло,прямаапроходитьчерез точку перетину О прямих b і с (обґрунтуйте цей висновок). Візьмемо на прямій а довільну точку А і сполучимо її з кінцями рівних відрізків ОВ, ОВ1, ОС, ОС1, відкладених від точки О на прямих b і с (рис. 379, б). Тоді прямокутні трикутники АОВ, АОВ1, АОС, АОС1 рівні, бо вони мають один спільний катет AО i рівні катети ОВ, ОВ1, ОС, ОС1, а тому рівні і гіпотенузи АВ, АВ1, AC, АС1.

Покажемо, що пряма а перпендикулярна до довільної прямої т площини α, що проходить через точку О (рис. 379, в). Позна- чимо через М i M1 точки перетину прямої т зі сторонами чотири- кутника ВСВ1С1. Оскільки ВСВ1С1 — паралелограм (доведіть!), то точка О перетину його діагоналей є центром симетрії чотирикут- ника. Точки М, M1 — центрально-симетричні відносно точки О, тому ОМ = ОМ1 і АО — медіана трикутника АММ1.

Трикутники АВС і АВ1С1 рівні за трьома сторонами, томуABM = АВ1М1, а оскільки ВМ = В1М1 (хоча б з міркувань центральної симетричності цих відрізків відносно точки О), то i трикутники ABM та АВ1М1 рівні. Звідси AM = АМ1, трикутник МАМ1 — рівнобедрений з основою ММ1, його медіана АО є одно- часно і висотою. Тобто a т. ■

Поняття перпендикулярності прямої та площини пов’язане з симетричністю розміщення перпендикулярної до площини пря-

Нехай дана точка О не належить даній прямій а. Шукана пло- щина може бути задана двома прямими, які перетинаються. Згід- но з доведеною ознакою перпендикулярності прямої до площини, достатньо перпендикулярності цих прямих до прямої а. Отже, за- дача зводиться до побудови двох прямих, що перетинаються, пер- пендикулярних до прямої а, одна з яких проходить через точку О. Для цього через точку О і пряму а проведемо площину α і в ній побудуємо пряму т, що перпендикулярна до прямої а і проходить через точку О (рис. 382, а). Потім через пряму а проведемо площи- ну β, відмінну від α, і в цій площині через точку перетину прямих а і m проведемо перпендикулярну до а пряму п (рис. 382, б). Пря- мі m та n визначають шукану площину γ.

Випадок, коли дана точка лежить на даній прямій, розгля- дають аналогічно. Для цього через пряму а проводять довільну площину, а в ній — пряму m, яка перпендикулярна до прямої а і проходить через точку О. А далі все будується так само, як і в першому випадку. ■

Побудована в задачі 3 площина складається з прямих, які прохо- дять через точку даної прямої і перпендикулярні до цієї прямої.

Приклад 2. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD, точка О є центром основи ABCD.

1) Довести, що SO ABC; AC DBS.

2) Через точку В провести площину, перпендикулярну до пря­ мої SC.

3) Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через середину ребра АS перпендикулярно до прямої: а) BD; б) АВ.

(рис. 385, б), то площина MNP перпендикулярна до прямої АВ, тобто вона є площиною шуканого перерізу. Оскільки NP || AD, то NP || SAD, і площина перерізу перетинає грань SAD по відрізку MR, паралельному NP. Отже, перерізом є трапеція NMRP (легко довести, що вона рівнобічна, спробуйте це зробити). ■

99 Контрольні запитання

1. На рис. 386 зображено куб ABCDA1B1C1D1.

1) Які з прямих CD, C1D, D1D, B1B, C1B, A1B

перпендикулярні до прямої BD?

2) Які з прямих CD, АВ, А1С, D1C1, АC1, C1D перпендикулярні до площини грані ADD1A1?

2. На рис. 387 зображено правильний тетраедр ABCD, K — середина ребра ВС.

1) Чи можна стверджувати, що DK ABC? 2) Чи правильно, що ВС AKD?

3. Чи правильно, що через точку на прямій у про- сторі можна провести лише одну пряму, перпен-

дикулярну до даної прямої?

4. Чи перпендикулярні дві прямі, що перетина-

ються, якщо через одну з них можна провести площину, перпендикулярну до іншої прямої?

5. Чи правильно, що пряма, яка перпендикулярна до двох сто- рін трикутника, перпендикулярна до його площини?

6. Чи можна за допомогою двох косинців визначити напрям, перпендикулярний до площини стола?

7. Чи достатньо однієї пари розтяжок для забезпечення верти- кальності щогли?

8. Чи правильно, що пряма, яка перетинає круг у його центрі і перпендикулярна до двох радіусів круга, перпендикулярна до площини круга?

9. При поперечному розпилюванні дерев’яного бруса тесля три- має пилку так, щoб можна було бачити дві суміжні грані бру- са. З якою метою він це робить?

10. Як перевірити перпендикулярність осі свердла до площини стола, на якому закріплюють деталь?

Графічні вправи

1. На рис. 388 зображено квадрат ABCD, О—йогоцентр,М—серединасторони ВС, відрізок OS перпендикулярний до площини квадрата.

1) Як розміщені пряма BD і площина

АСS?

2) Яка площина перпендикулярна до прямої АС?

3) Як розміщені пряма ВС і площина MOS?

2. На рис. 389 зображено прямокутний трикут- ник АВС з прямим кутом А, відрізок АР пер- пендикулярний до площини трикутника.

1) Як розміщені прямі АР і АС?

2) Як розміщені площина РAВ і пряма АС?

3) Яка пряма перпендикулярна до площини

РАС?

3. На рис. 390 зображено прямокутник ABCD, відрізок DM перпендикулярний до площи- ни прямокутника.

1) Як розміщені прямі MD і DC?

2) Як розміщені площина MDА і пряма СD?

4. На рис. 391 зображено два прямокутники

ABCD і ABC1D1.

1) Чи правильно, що АВ ADD1?

2) Яка пряма перпендикулярна до пло- щини ВСС1?

5. Побудуйтерисунокзанаведенимиданими.

1) Пряма OS проходить через точку О перетину діагоналей квадрата АВСD і перпендикулярнадойогоплощини.Через

середину відрізка SC проведено пряму, перпендикулярну до цієї самої площини.

2) Через точку М діагоналі АС основи правильної чотирикутної піраміди SABCD проведено площи- ну перпендикулярно до цієї діагоналі.

374 Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Задачі

387. Дано куб АВСDА1В1С1D1.

1°) Знайдіть усі ребра куба, перпендикулярні до ребра АА1. 2°) Доведіть, що пряма, яка проходить через вершину куба А1 і центр грані ABCD, перпендикулярна до прямої BD.

3°) Через точку В проведіть пряму, перпендикулярну до прямої А1С1.

4) Доведіть, що кожна пряма, яка проходить через середину відрізка А1С1 і перетинає відрізок BD, перпендикулярна до прямої А1С1.

388. Відрізок OS проведено з центра O квадрата ABCD перпенди- кулярно до його площини, точка M — середина відрізка BC. 1°) Вкажіть прямі, перпендикулярні до прямої BD.

2°) Визначте взаємне розміщення площини АSС і прямої BD. 3°)Доведіть,щопрямаAD перпендикулярнадоплощиниSOM. 4) Через точку O проведіть площину, перпендикулярну до прямої AВ.

5) Побудуйте точки перетину площини, яка проходить через точку M і перпендикулярна до прямої BD, з прямими BS, BA, BC. Обчисліть площу трикутника, утвореного цими точками, якщо довжина сторони квадрата дорівнює 6 см, а відрізка OS — 4 см.

389. Відрізок CS проведено через вершину прямого кута C рівно- бедреного прямокутного трикутника ABC перпендикулярно до його катетів. Точка M — середина гіпотенузи AB, CB = = CS = CA = a.

1°) Вкажіть прямі, перпендикулярні до прямої CS і пря- мої MC.

2°) Визначте взаємне розміщення площини SCА і пря- мої ВС.

3°) Доведіть, що пряма AB перпендикулярна до площини

CMS.

4) Через точку M проведіть площину, перпендикулярну до прямої AC.

5) Обчисліть площу трикутника, площина якого перпенди- кулярна до прямої MS, одна із вершин — середина кате- та CB, а дві інші — точки перетину площини трикутника з прямими CA і MS.

390. На зображенні куба ABCDA1B1C1D1 побудуйте:

1°) пряму, що проходить через точку A1 перпендикулярно до площини BB1D;

2°) площину, що проходить через точку A1 перпендикулярно до прямої B1D1;

3°) пряму, що проходить через середину ребра АВ перпенди- кулярно до площини CDD1;

4°) площину, що проходить через середину ребра АА1 пер- пендикулярно до прямої DD1;

5) пряму, що проходить через середину ребра АВ перпенди- кулярно до площини А1C1С;

6) площину, що проходить через точку A перпендикулярно до прямої СD1;

7*) пряму, що проходить через точку A1 перпендикулярно до площини АB1D1.

391. Точка S розміщена на однаковій відстані від усіх вершин квадрата ABCD і не належить його площині. Побудуйте: 1) пряму, що проходить через точку S, перпендикулярну до площини АВС;

2) площину, що проходить через середину K сторони AD, перпендикулярну до прямої AD;

3*) пряму, що проходить через середину М сторони CD, пер- пендикулярну до площини ABS;

4*) площину, що проходить через точку K перпендикулярно до прямої DS.

392.Кімната має довжину 6 м, ширину 5 м і висоту 3 м. Знайдіть відстань від світильника, який розміщено в центрі стелі, до нижніх кутів кімнати.

Доведіть, що через будь-яку точку простору можна провести пряму, перпендикулярну до даної прямої. Дослідіть, коли таку пряму можна провести лише одну.

Доведіть, що пряма, яка проходить через центри протилеж- них граней куба, перпендикулярна до цих граней. Доведіть, що прямі, які проходять через дану точку прямої і перпендикулярні до неї, утворюють площину, перпендику- лярну до цієї прямої.

Пряма а перпендикулярна до площини α і перпендикуляр- на до прямої b, що не лежить у площині α. Доведіть, що пря- ма b і площина α — паралельні.

397.Доведіть, що через точку, яка лежить за межами площини, можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до цієї площини.

398.Два відрізки AB і CD, які лежать у площині α, точкою пере- тину E поділяються навпіл. Точка K знаходиться поза пло- щиною α, причому KA = KB і KC = KD. Доведіть, що пряма KE перпендикулярна до площини α.

399.Доведіть, що прямі a i b — паралельні, якщо вони мають дві спільні перпендикулярні прямі.

Доведіть, що прямі, які перпендикулярні до даної площини

і перетинають дану пряму, лежать в одній площині.

401*. Знайдіть множину всіх точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А і В.

402.Побудуйте переріз куба площиною:

1°) що проходить через середину ребра перпендикулярно до цього ребра;

2)що проходить через середину діагоналі грані куба пер- пендикулярно до цієї діагоналі.

403.У правильному тетраедрі SABC точка K — середина ребра

SC.

1°) Доведіть, що площина AKB перпендикулярна до прямої

SC.

2)Зобразіть перерізи тетраедра площинами, що проходять через вершину А перпендикулярно до прямих BC і SB. Зна- йдіть лінію перетину цих перерізів.

Дано три мимобіжні прямі.

1)Побудуйте паралелепіпед, три ребра якого лежать на цих прямих.

2)Доведіть, що можливе існування лише одного такого па- ралелепіпеда.

3)За яких умов побудований паралелепіпед буде прямим; прямокутним?

Вправи для повторення

405.Знайдіть периметр фігури, в якої сторони перпендикулярні, за даними, поданими на рис. 392.

406.На катетах прямокутного трикутника АВС побудовано квад­ рати (рис. 393). З їхніх вершин до прямої АВ проведено пер- пендикуляри DK і HM. Доведіть, що трикутник АВС можна скласти з трикутників BDK і AHM.