Добавил:

quantum researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский государственный экологический университет

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

978-966-10-1272-0_Математика. Підручник для 10 класу. загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту.pdf

Скачиваний:

987

Добавлен:

24.03.2018

Размер:

8.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2626

 Відповіді і вказівки до задач

Розділ І

1. 1) 5,000…; 2) 2,333…; 3) – 0,428571428571…; 4) 1,4000… . 2. 1) 10027 ; 2) 92 ; 3) 2 9931 ; 4) 3 224495. 3. 1) 31511 < 30511 ; 2) − 76 < 75 ; 3) 43 < 56 ; 4) 0,58 < 127 .

4.	1) 1,5; 2) –0,03(81); 3) 0,041(6); 4)						1		. 5. Наприклад, 1) 0,54; 2) 0; 3) 0,34625;
4.	1) 1,5; 2) –0,03(81); 3) 0,041(6); 4)					24			. 5. Наприклад, 1) 0,54; 2) 0; 3) 0,34625;
	13					24
4)	13	. 6. Наприклад, 1) 2; 3; 5; 0,7; 2) 4; 9; 16; 0,25. 7. (– 5; –3]; (– 2; – 1); [0; 2].
	42					4. 11. 1) А1(7); 2) С(6). 12. 1) 1,26; 1,93; 2) 3π;
10. 1) \|x\| ≤ 2; 2) \|x – 1\| ≤ 2; 3) \|x + 1\| ≤						4. 11. 1) А1(7); 2) С(6). 12. 1) 1,26; 1,93; 2) 3π;
π	; 3) 4,28; 0,01. 14. 1)			1	; 2) 3− 8; 3) 3 2 −4; 4) 0,00(014). 15. 1) –3; 2) −							13 .
2	; 3) 4,28; 0,01. 14. 1)				; 2) 3− 8; 3) 3 2 −4; 4) 0,00(014). 15. 1) –3; 2) −							13 .
2			72									8
16.1)–2;1;2) 1 ,			3 ; 3)немаєрозв’язків;4) −2; +∞); 5)±3.17.1) (−∞; −5) (−1; + ∞);
		4	4							3		9
		1								3		9
2)	0;	; 3)немаєрозв’язків.18.1)				a		≥ а;2)–\|a\| ≤ а;3)\|a2\| = а2. 19.1)			; 2)		;
2)	0;	; 3)немаєрозв’язків.18.1)				a		≥ а;2)–\|a\| ≤ а;3)\|a2\| = а2. 19.1)		50	; 2)	50	;
		2
		2

3)	1	; 4)	3	; 5)	9	;	6)	3	1		.	20. 1)		8%; 2) 60%; 3) 200%; 4) 320%; 5) 0,43%.
	150		80		8				2
											1			1
21. 44%. 22.			Богдан.			23. 1) 7						;	2) 1		; 3) 261; 4) 14; 5) 32; 6) 1. 24. 1) 8091;
											6			30

2) 5041; 3) 2304; 4) 16; 5) 899											72		; 6) 196; 7) 1600; 8) 91. 25. ≈ 2,6 кг. 26. ≈ 133 м.
										121
27.	1)	14,7	≤ x ≤15,3;				2)
									14,5 ≤ x ≤14,9; 3) 95 ≤ x ≤105; 4) 5,1 ≤ x ≤ 5,3.

28. 1) Так. 2) Так. 3) Ні. 4) Так. 29. 1) 1080°; 2) 3400°; 3) 2,4

Дж/(кг К). 30. 0,286;

3,182; 0,615.

31. 0,11. 32. Зменшилась на 0,4 %. 33.

23,75%. 34.

2 %. 35. 860ї

проби. 36. ≈

32,9%; ≈ 35,8%; ≈

23,2%; ≈ 8,1%.

37.

32,364

г; 18,502 г; 7,134 г.

38.

10%; 20 %. 39.

20%. 40.

15 т.

41. 180 %.

42. Приблизно на 56%.

43. 2) (8; 0),

(0; –4); 3) –6; –4; 2; 4) 10; 8; –6.

45. У другій і четвертій; у першій і третій.

46. 1) f(–2) = 5, f(3) = 0,

f 1

= 3

3 ; 2) х = –1, х = 3; 3) х = 0, х = 2. 47. 1) x = − 3 ;

значення 2

функція

не

набуває;

–2.

48.

(−∞;+∞);

Відповіді і вказівки до задач				461
2) (−∞;−2) (−2;2) (2;+∞);	3) (−∞;−2) (−2;2) (2;+∞);	4)	−∞;	3	;
2) (−∞;−2) (−2;2) (2;+∞);	3) (−∞;−2) (−2;2) (2;+∞);	4)	−∞;	2	;
				2

5) (−∞;−3) (−3;2 ; 6) −1;0) (0;1 . 49. 1) D(f ) = −2;2 ; 2) E(f ) = −1;1 ; 3) 3;

4) f(x) > 0 при х (0; 2), f(x) < 0 при х (–2; 0); 5) функція непарна; 6) 1 (– 1); 7) два. 50. 1) 12 км; 2) 6 км; 3) другий; 4) перший. 51. Більш ніж 30 км/год.

55. 1) у= –1; 2) у= –х+ 2. 56. а) y = 32 x + 2; б) у= –2х+ 2; в) у= –х. 57. 1) V = t + 10,

t ≥ 0;2)13В.58. y = − 3x . 60.Відносноосіусиметричніточки3);відноснопочатку координат симетричні точки 2), 4). 61. Відносно осі у симетричний графік функ-

ції 3); відносно початку координат симетричні графіки функцій 1), 4), 5).
63. 1) \|x – 2\|; 2) \|a + 3\|;	3) \|a – b\|; 4) \|a + b\|. 64.			Парні функції: 2), 3), 5), 6); непарні
функції: 1), 7). 66. 1)	D(g) = 0;5 , D(f ) = −3;7 ; 2) E(g) = [–2; 2], E(f) = [–4; 3];

3) функція y = g(x) має два нулі:		х1 = 1,	х2 = 4; g(x) > 0 на множині [0; 1) (4; 5],
g(x) < 0 на проміжку (1; 4); функція y			= f(x) має три нулі: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 6;
f(x) > 0 на множині (0; 3) (6; 7], f(x) < 0 на множині [– 3; 0) (3;6); 4) функція

y = g(x) спадає на проміжку [0; 3] і зростає на проміжку [3; 5]; функція y = f(x)

зростає на кожному з проміжків [–3; 2], [5; 7] і спадає на проміжку [2; 5].

67. 1) 5 км/год; 2) 0,1 год, 0,3 год, 0,5 год; 3) швидкість зростала протягом наступних проміжків часу: 0 ≤ t ≤ 0,2 і 0,3 ≤ t ≤ 0,4; швидкість спадала про- тягом наступних проміжків часу: 0,2 ≤ t ≤ 0,3 і 0,4 ≤ t ≤ 0,6; 4) 8 км/год. 69. 1) Функція зростає на проміжку (– ∞; 2] і спадає на проміжку [2;+ ∞); 2) функція спадає на проміжку (– ∞; 1] і зростає на проміжку [1;+ ∞); 3) функ-

ція спадає на проміжку (–∞; 0,5] і зростає на проміжку [0,5;+ ∞); 4) функція

зростає у своїй області визначення [–1;+ ∞); 5) функція спадає на кожному з

проміжків (–∞; –2), (–2;+ ∞); 6) функція спадає на кожному з проміжків (–∞; 0), (0; + ∞). 74. 1) Ні; х1 = – 1,5, х2 = 3 – точки розриву; 2) у точці х1 = –1,5 функція не визначена, у точці х2 = 3 функція визначена; 3) f(3) = 1; 4) два. 76. 1) Два;

2)один;3)жодного.78.1)8;2)2;3)3.79. 1) 7 10; 2) −2a 3. 80.1) − 3; 2) a +b.

81. 2) Один; жодного; один. 82. 1) Зростає на R; 2) спадає на (– ∞; 0], зростає
на [0; + ∞); 3) спадає на R; 4) зростає на (–∞; 0], спадає на [0; +∞); 5) спадає на
(–∞; 1], зростає на [1; + ∞); 6) зростає на R. 83.							1) Парна; 2) непарна; 3) ні пар-
на, ні непарна; 4) ні парна, ні непарна.					85.		1) Один; 2) два; 3) два; 4) два.
86.1)4;2)–4;3)±5;4)немаєрозв’язків. 87. 1) 10; 2) 6;										3) −		6 ;		4) 576; 5)						49;
									4 5			5			5 6					3
6)	2,7; 7) 6; 8) 6; 9) 6; 10) 3. 88. 1)	2	;	2)		4	;	3)		;	4)	5	;	5)		. 89.				1) 3;
		3			3	15			3			4			a
																				1
2) 4; 3) 5; 4) 4. 90. 1) 9 5; 2) 12 10; 3) 3 2;				4) 20 12;				5)	6 20;		6) 15192.				91. 1)						;
																			625
2)	розв’язків немає; 3) 8; 4) –27. 92. 1)			1 b;		2) 3d3 ;			3) 2а; 4)					− 2 c. 93. 1)						7;
				2										3
2)	a −1; 3) a + 9 b; 4) 23 a −1. 94. 1) 53 2; 2) 33 5; 3) 3a2 3 2a;														4) 2		b	4 2b2 ;

5)	−a4 5a2 ; 6) m2 3 m2n2 ; 7) 2b2 4 a3b3 . 95. 1) 5 −15625;									2)		−6 2b6 ;			3) −4 2a4b4 ;

462														Відповіді і вказівки до задач
4)	− −b5 . 96.1)0;2)0;3) 3 5; 4) 2									5 ;5)–50;6) −2			3 ;7)–6;8)216.97.1)[3;+∞);
2)	(–∞; +∞); 3) (–∞; –1] [1; +∞); 4) (–∞; –1) (–1; +∞). 98. R = 4															8ηlQ		.
2)															π(p1 − p2 )			.
															π(p1 − p2 )
99. 1) ±3; 2)		15	91	;	3)		n(n−1) P
99. 1) ±3; 2)		15	8	;	3)		2	n . 101. 1) (–∞; 0) (0; +∞); 2)(–∞;1) (1;+∞);3)[0;+∞);
			8					2n				3
											0;	3		2) (0; 0); 3) (2; 0); 4) (1; 0);
4) [1; 2) (2; +∞); 5) [0; +∞); 6) (–∞; +∞). 102. 1)											0;	2	;	2) (0; 0); 3) (2; 0); 4) (1; 0);
		(−5 2;0);										2
5)	(0; 2);	(−5 2;0);					6)	(0;	1). 103. 1) 27;		2)		8;	3) 1024; 4) 0,2; 5)			0,5.
	1						1		1	5						1	1	;
104. 1) a2 ; 2) y−0,6 ; 3) x3 ; 4) a9									; 5) b6	; 6) a4 ;7) b−2. 105. 1) 1 + a; 2) x3; 3)						2a2 +b2		;
4)	a +b ; 5)		2		1	1	2	; 6)	(cy)−1 . 106. 1) ≈ 1,09; 2) ≈1,40; 3) ≈0,481; 4) ≈1,73;
4)	a +b ; 5)	a3 + a3b3					+b3	; 6)	(cy)−1 . 106. 1) ≈ 1,09; 2) ≈1,40; 3) ≈0,481; 4) ≈1,73;
5)	b
5)	≈2,03. 107. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) ні. 108. 1) Вісь х не перетинає; (0; 0,5);
																	4

5)вісь х не перетинає, (0; 1); 6) не перетинає осей координат. 109. 1) R;

2)(–∞;3) (3;+∞);3)[–3;+∞);4)(–3;+∞);5)(–∞;3);6)(–∞;5].110.1) y(x1 ) = 32 ; y(x2 ) = 2;

2)графік функції проходить через точки А і С; 3) функція набуває значень 22) (1; 0); вісь у не перетинає; 3) (1; 0), вісь у не перетинає; 4) (– 2; 0), 0;23 ;

і 0, значення –2 не набуває; 4) D( y) = 0;+∞),			E( y) = 0;+∞),			функція
зростаюча, неперервна; 5) рівняння f(x) = –1 коренів не має; рівняння f(x) = 3
іf(x)=2–x маютьпоодномукореню;6) 3 0,5 < 3	3	; 7)3.112.1)		1	0,6	1	0,6
	4					<		<
				5		3

2	0,6		7	−	1		3	1						1
2	0,6		7	−	7		3	−7	.		113. 1) Один; 2) один; 3) один. 114.	y	=	1	1
<		;	2)			<1 <			.		113. 1) Один; 2) один; 3) один. 114.	y	=	2	x5.
5			3				7							2
115.	1) (–∞; + ∞); 2) непарна.									116. 1) ≈ 167 м/хв.; 2) ≈0,51 м/хв.; 3)T			350 5
115.	1) (–∞; + ∞); 2) непарна.									116. 1) ≈ 167 м/хв.; 2) ≈0,51 м/хв.; 3)T		=	v		;
													v
4) не існує. 117. 1)						1	2)	2		;	2
4) не існує. 117. 1)						V 3 ;	2)	V 3		;	3) 6V 3 .

Розділ 2

118. Вказівка: скористайтесь тим, що поза кожною площиною існує безліч точок простору. 119. Вказівки: 1) розгляньте площину α, яка визначається даними точкою і прямою; 2) зверніть увагу на точки прямої, що проходять через А паралельно α. 120, 121. Вказівка: скористайтесь методом «від су- противного». 123. Вказівка: доведіть спочатку, що точка N лежить поза пло-

щиною АВС. 124. 1) В1С1; 2) А1В1; 3) АВ; 4) АВ; 5) BD; 6) B1D1. 125. Вказівка:

скористайтесь тим, що прямі АВ і с перетинаються, а с β. 126. Вказівка: побудуйте спочатку точку перетину площини АВС з прямою l. 127. Вказів ка: з’ясуйте, чи завжди можлива така побудова. 128. Вказівка: зверніть

Відповіді і вказівки до задач

463

увагу на те, що точка А є спільною для даних площин. 129. Вказівка: запи- шіть умову символічно: a = γ ∩a, b = γ ∩β. 130. Вказівка: визначте дані

прямі за допомогою чотирьох точок, які не лежать в одній площині. 131. Вка зівка: якщо фігура має три точки, що не лежать на одній прямій, то вона містить дві прямі, що проходять через ці точки. Тому і вся площина, яка ви- значається цими прямими, належить даній фігурі, бо вона складається із усіх прямих, що проходять через дві точки, взяті на кожній з цих прямих. Розгляньте інші випадки самостійно. 132. Вказівка: 4), 5) використайте те, що центр грані є точкою перетину діагоналей. 133. Вказівка: 2) – 4) вико- ристайте те, що центр грані є точкою перетину медіан. 134. 1) MN ||PQ,

MP||BC, AB ×PQ, MQ||BD; 2) паралелограм; 3) 14 см, 24 3 см2. 135. Так.

136.1) Мимобіжні; 2) перетинаються; 3) паралельні; 4) перетинаються.

137.1) Паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні; 4) перетинаються.

138.1) Паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні. 139. Вказівки: 1) до- слідіть умову існування шуканої точки; 2) з’ясуйте, чи залежить відповідь від існування точки перетину прямої АВ з площиною α; 3) СС1 = 3,5 см.

140.2) 15 см. 141. 2) 6 см. 142. 2) 4 см. 143. 1) AD · BC, DM×AN, AD||MN; 3) 3 : 1.

144.Вказівка: проведіть через перетинні прямі площину і застосуйте другу ознаку мимобіжності прямих. 145. Вказівка: 5) побудуйте спочатку перетин січної площини з площиною однієї з граней. 146. Вказівка: 4) розгляньте окремовипадок,колипрямаMN перетинаєплощинуABC іколинеперетинає.

147.Вказівка: 2) використайте те, що на площині кожна пряма, яка пере- тинає одну з паралельних прямих, перетинає і другу. 148. Вказівка: звер- ніть увагу на те, що точки А, В, С не лежать на одній прямій. 149. Вказівка: якщо існує ще одна пряма d, яка паралельна c і перетинає a і b, то вона ра- зом з c визначає площину, в якій містяться a і b (чому?). 150. Вказівки:

1)Нехай А а, b′ паралельна b і проходить через a. Спроектуйте пряму b паралельно c на площину, яка визначається прямими a і b′; 2) спробуйте спочатку через точку простору провести пряму, що перетинає дві мимобіжні прямі. 151. Не обов’язково. 152. 10 см, 15 см. 153. 24 см. 154. Вказівка: ви- користайте те, що діагоналі ромба перпендикулярні і що два перпендикуля- ри до прямої на площині паралельні. 155. Вказівка: 2) використайте те, що відрізок, який з’єднує середини основ рівнобічної трапеції, перпендикуляр- ний до основ. 156. Вказівки: 2), 3) використайте властивості бісектриси та висоти у рівносторонньому трикутнику; 4) спробуйте охарактеризувати центр кола, вписаного в рівносторонній трикутник, за допомогою медіан. 157. Вка зівка: 3) використайте те, що вісь симетрії рівнобічної трапеції і висота пер- пендикулярні до основ. 158. Вказівки: 1) охарактеризуйте центр кола за допомогою паралельних хорд; 2), 3) скориставшись вказівкою до попередньо- го завдання, побудуйте два перпендикулярні діаметри. 159. Вказівка: 1) ви- користайте те, що прямі АВ і А1В1 лежать в одній площині, і те, що пряма А1В1 лежать в площині β; 2) 4 см. 160. 2) 2 см. 161. 2) 10 см. 162. 1) Паралель- ною проекцією; 2) паралелограм. 163. Вказівка: проаналізуйте можливість побудови. 164. Вказівка: спроектуйте точки А і В на площину верхньої осно- ви паралельно бічному ребру. 165. Вказівка: спроектуйте точки А і В на площину відповідних граней паралельно ребрам, що перетинають ці грані. 166, 167. Вказівка: використайте розв’язання задачі 1 і прикладу 3 з § 9.

464 Відповіді і вказівки до задач

168. Вказівка: використайте те, що проекція центра шестикутника симе- трична проекції вершини B відносно середини проекції відрізка AC. 169, 170. Вказівка: застосуйте оборотність проектування. 171. Вказівка: побудова полегшується, коли до граней куба добудувати такі самі куби.

172. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4) acb+ c . 173. Друга бічна сторона без її кінців. 174. Вказівка: 1), 2) використайте властивість бісектриси, проведеної з

вершини рівнобедреного трикутника. 175. Вказівка: врахуйте неодно

значність розв’язку задачі. 176. Вказівка: 3) зверніть увагу на взаємне

розміщення бісектриси зовнішнього кута рівностороннього трикутника

і його сторін. 177. Вказівка: використайте те, що серединні перпендику-

ляри паралельні відповідним висотам. 178. Вказів ки: 1) обґрунтуйте те,

що основа бісектриси поділяє катет у відношенні 2:1; 2), 3) підрахуйте, в

якому відношенні поділяють гіпотенузу основа висоти, проведеної з вер-

шини прямого кута, та основа бісектриси кута в 30°. 179. Вказівка: ви-

користайте те, що менша діагональ поділяє цей ромб на рівносторонні

трикутники. 180. Вказівки: 1) використайте те, що точкою перетину діа-

гоналі квадрата поділяються навпіл; 2) врахуйте те, що задача має безліч розв’язків. 181. Вказівки: 2) встановіть взаємне розміщення сторін пря-

мокутника і осі симетрії трапеції; 3) доведіть, що центр кола є перетином

осі симетрії трапеції і медіани рівнобедреного трикутника, побудованого на бічній стороні трапеції та меншій основі. 182. Вказівки: 1) обґрунтуй-

те, що це перетин зображень осі симетрії трапеції і прямої, що проходить

через середину бічної сторони і основу висоти, опущеної з вершини тупого

кута; 2) центр кола лежить на перетині осі симетрії і бісектриси тупого

кута трапеції. Оскільки ми вміємо будувати зображення медіани до осно-

ви (бісектриси кута при вершині) рівнобедреного трикутника, то спробуй-

те побудувати на заданому тупому куті трапеції рівнобедрений трикут-

ник, бічні сторони якого дорівнюють бічній стороні трапеції. При цьому,

звичайно, потрібно враховувати «спотворення» відстані за різними напря- мами. 183. Вказівка: зобразіть хорду, паралельну даному діаметру. Як

шуканий діаметр поділяє цю хорду? 184. 1) Вказівка: зверніть увагу на те, що одна точка перетину площин вже відома, залишилось знайти ще

одну; 2) 32a. 185. 1) Вказівка: використайте те, що усі дані точки зна-

ходяться в двох гранях; 2) a3 ; 3) вказівка: знайдіть відношення, в якому шукана площина перетинає три ребра піраміди. 186. Вказівки: 3) про-

ведіть через центр грані SBC пряму, паралельну SB; 4) переріз буде пара-
лельним до грані ASC. 187. Вказівки: 3) скористайтесь слідом січної пло-
щини на площині грані ABCD; 4) знайдіть перетин січної площини з
ребром СС1. 188. 130° або 50°. 189. 1)			ВВ1, СС1, DD1; 3) ні. 190.		1) DF \|\| ABC,
AB \|\| MNK,	AC × DBF,	MK × BCD;	3) 3 см. 191. 1)	EF \|\| ABC,		MC × DEF,
MN \|\| CFE,	BE \|\| ADF;	3) 8 см. 192. 1) CD ABC,		CD \|\| ABB1 ,		CD × AA1D;
4) наприклад, пряма, що проходить через середини ребер АА					1	і СС; 6) 60°.
						1

193. 1) AD||BCS; 4) вказівка: обґрунтуйте, що шукана пряма паралельна

Відповіді і вказівки до задач

465

більше, то дві з них визначили б площину, паралельну обом даним пло- щинам, і тоді б вони були паралельні між собою; 2) поряд з прямою, пара-

лельною другій площині, розгляньте пряму, яка лежить у другій площині

і паралельна даній прямій. 199, 200. Вказівка:

врахуйте те, що такі по-

будови не завжди можливі. Вкажіть ці випадки.

201. Вказівка: 1)–3) по-

будуйте слід площини SMN на площині АВС. 202. 1) 45°; 2) побудовані

прямі паралельні площині BB1C1C;

площину DD1C1C одна з цих прямих

перетинає, а друга — паралельна їй. 203. 1) Чотирикутник ABC1D1;

2) трикутник BDK, де K — середина

AA1; 3) якщо

M, N — середини ребер

CC1, D1C1, то січна площина перетинає площину

AA1B

по

прямій,

паралельній MN. Далі скористайтесь методом слідів.

204.

1) Трикутник

SMN, де

M — середина AS, N — середина AB; 2) 1 : 1.

205.

2) Наприклад,

площина

АВС1; 3) вказівка: зверніть увагу на те, що прямі АВ

і А1В1

паралельні. 206. Вказівка:зверніть увагу на те, що така побудова не завжди

можлива. Вкажіть ці випадки. 207. 1) MO O || ADD ,

ABD ×CD C ;

2 a2.

208.1) ACD || KLP, MLK × ABC;3) 3 a2. 209.1) B D D || LMM

; 4)

MA B || CDM

210. 1) LM · BC, LN || ABD, LMN || BDC; 4) вказівка: перерізом є трикутник,

для обчислення площі якого варто скористатися виразом

1 bc sin a ,

де α —

кут при вершині S; b, c — прилеглі сторони. 211. 1) LM · BC, LN || ABС.

212. 3)

АВВ1 || DD1C1. 213. 1) Паралельні.

(a +b + c)(m + n),

або ж

(a +b + c)(m −n). 214. 2) Паралелограм. 215. 1) ML, де L = AB ∩CD;

2) пря-

1) Наприклад, переріз,

ма, що паралельна AD і проходить через М. 216.

що проходить через вершину А, В1,

D1 куба ABCDA1B1C1D1.

217. Напри-

клад, в тетраедрі SABC переріз, що проходить через середні лінії трикут-

ників SAB і САВ, паралельний спільній основі

АВ. 218. Вказівка: ско-

ристайтеся ознакою паралельності площин. 219. Вказівка

: дві прямі, що

основам.

194. 2) паралельні; 3) 16 см.

195. 2) паралельна; 3) 6 см. 196. Вка

зівка:

скористайтесь тим, що протилежні сторони прямокутника пара-

лельні.

197. Вказівка: площина α перетинає площину трикутника АВС

по прямій, паралельній ВС. 198. Вказівки:

1) якби таких прямих було

проходять через одну точку паралельно площині, визначають площину, паралельну даній. Потрібно довести, що ця площина і є шуканою. 220. Вказівка: скористайтесь тим, що ці площини паралельні двом площи- нам, що проходять через мимобіжні прямі AB і CD. 221. Вказівка: ско- ристайтесь властивостями прямої, яка перетинає одну з паралельних площин. 222. Вказівка: перерізом куба є квадрат з центром O і ребром MN. 223. Вказівка: доцільно міркувати «від супротивного». 224. Вказів ка: у ∆ADS проведіть середню лінію EF, а у ∆FCB — відрізок DK || FC,

K BC. Перерізи EFC і ADK — шукані. 225. 1), 2) Площина. 226. 1) AB || A1B1;

30 Математика, 10 кл.

466																																										Відповіді і вказівки до задач
BC × B1C1;								AC × A1C1;						2)			25				3 .				227. Вказівка: спроектуйте одну з прямих
																			4
на площину, що проходить через другу пряму паралельно першій.
																									Розділ 3																									53π.
228. 1)						2π		; 2)		3π;			3)		7π				;		4)				11π				; 5) −						11π				;	6)			3π				;	7)					229. 1) 60°;
228. 1)								; 2)		3π;			3)			6			;		4)			12					; 5) −										;	6)		20					;	7)					229. 1) 60°;
							3			10						6								12										6								20								75
2) –150°; 3)								≈ 114,6°; 4) 540°; 5) 225°; 6) –300°; 7) 270°. 231. 9°;135°;720°;1350°.
232.1)–310°,770°;2)–220°. 233.1) −																												13π				; 2)			−	10π					. 234.1)3см;2)2π см;3)0,4м.
232.1)–310°,770°;2)–220°. 233.1) −																																; 2)			−						. 234.1)3см;2)2π см;3)0,4м.
			π 1 .																											7								7																11π						84π.
235.								236.		1)			540					000 град./с;														2)		3					000π					рад/с.						237.				11π			; −
235.								236.		1)			540					000 град./с;														2)		3					000π					рад/с.						237.							; −
			2 c																																																			2						5
																																																3		− 1						2				2
238. 240π см/с.239.2,5рад/с.240.6πсм/с;270πсм.242.1)																																												−				3	;			;		−		2		;		2	;
238. 240π см/с.239.2,5рад/с.240.6πсм/с;270πсм.242.1)																																												−					;			;		−				;			;
																																																2			2			2						2
1		; −		3 ;				2) − 3 ;					− 1 ; 2 ; −													2				; −1 ; −									3 ; 3)									2			2			2						2
1		; −		3 ;				2) − 3 ;					− 1 ; 2 ; −													2				; −1 ; −									3 ; 3)					3 ; −						1		;	− 2 ; −							2 ;


	2		2							2			2						2					2									2					2								2				2				2						2
	2		2							2			2						2					2									2					2								2				2				2						2
		1 ;		3						3	; − 1								2					2								1 ;		3
	−			3			;	4)		3				;					2			;		2			;				−			3				.		243.				1) (–1; 0); 2) (1; 0); 3) (0; 1);
	−						;	4)						;								;					;				−							.		243.				1) (–1; 0); 2) (1; 0); 3) (0; 1);
		2	2										2						2				2									2		2
		2	2						2				2						2				2									2		2
			3				1						2						2																π																3π
4)					;			;	5)			−			; −								.	244.							1)					+		2πn,n Z;											2)				+ 2πn,n Z;
4)					;			;	5)			−			; −								.	244.							1)					+		2πn,n Z;											2)				+ 2πn,n Z;
							2						2						2															4																		4
		2					2						2						2															4																		4
3)		5π + 2πn,n Z;											4)			7π				+ 2πn, n Z.														245.						1)					4π			+ 2πn; 5π					+ 2πn,n Z;
3)		5π + 2πn,n Z;											4)				4			+ 2πn, n Z.														245.						1)				3				+ 2πn; 5π					+ 2πn,n Z;
		4															4																											3								3
2)		− π		+ 2πn;					π + 2πn,n Z.											246.						Наприклад,														1)		5π				; 3π			; 11π; 0;						π;				π	; 5π;
		4							4																																	4						2		6				3					2	6
2)		11π;					3π; 7π; π; 2π;								π	;	π;						3)			3π;					π;		π	; 0;					5π; 3π;							7π;				4)		π; 0;				5π; 3π;
		4					2		6				3		2		6									4					2		6					3				2				6						4				3				2
7π; π;			2π;					5)	5π; π;				2π		; π		;		π	; 0; 5π.										247. 1)							Безліч і чотири;															2)	безліч і дві;
6				3					4				3		2				6					3

3)безліч і вісім; 4) безліч і дві. 248. 1) − 35; 45; − 43 ; − 43 ; 2) 1213 ; −135 ; −125 ; −125 ;

3)12 ; − 23 ; − 13 ; − 3; 4) 47 ; 43 ; 37 ; 37 .

249.

	t		3π		2π	5π		7π	4π		5π
			3π		2π	5π		7π	4π		5π
Функція		4		3			4	6		3		3

sin t		2		3			2	1		3		3
						−		− 2	−		−
			2		2	−	2	− 2	−	2	−	2

Відповіді і вказівки до задач																																																																467

											t					3π								2π								5π									7π												4π								5π
																3π								2π								5π									7π												4π								5π
	Функція														4										3							4										6									3											3

				cos t										−				2						−		1				−			2							−		3											−	1								1
																										2																												2								2
																	2									2							2										2											2								2
					tg t											–1							−			3							1									1												3						−			3
					tg t											–1							−			3							1									3												3						−			3
																																										3

					ctg t											–1							−		1								1									3									1									−		1
					ctg t											–1							−			3							1																				3							−			3
	250.
											t				7π								−	5π						12π										−		7π										7π								13π
															7π								−	5π						12π										−		7π										7π								13π
	Функція														6										3							7										6									9											6
	Функція

				sin t												–								+								–										+									+											+
				cos t												–								+								+										–											–									+
					tg t										+									+								–										–											–									+
				ctg t											+									+								–										–											–									+
	251. 1) 0; 2) 1. 253. 1) 0; π; 2π;																						2)			0; 2π;			3)				π;		4)			π		;		3π		;	5)				3π			. 254.						1)		1 − a2 ;
	251. 1) 0; 2) 1. 253. 1) 0; π; 2π;																						2)			0; 2π;			3)				π;		4)		2			;				;	5)							. 254.						1)		1 − a2 ;
	a																			a							3				4						2					2								2
	a				;		2)			− 1 − a2 ; −										a			.		255.		3		,		4		. 257.						1)				x =					4 − y2 ,									y =			4 − x2 ;
	1 − a2				;		2)			− 1 − a2 ; −									1 − a2				.		255.		5		,		5		. 257.						1)				x =					4 − y2 ,									y =			4 − x2 ;
	1 − a2																		1 − a2								5				5
2) x = −							1				,	y =				x	2 −1					. 258. 1) 60°; 26°; 80°; 90° – α ; 45° – α;																																			3π		;	2) 150°;
2) x = −							1 − y2				,	y =					x					. 258. 1) 60°; 26°; 80°; 90° – α ; 45° – α;																																			8		;	2) 150°;
							1 − y2										x									7π.																															8
116°; 170°; 180° – α ; 135° – α;																										7π.		259. 1) +; 2) +; 3) –; 4) +; 5) +, якщо
										3π + 2πn і –, якщо −																8
	π + 2πn < t <									3π + 2πn і –, якщо −																π + 2πn < t <										π + 2πn . 260. 1) +; 2) –; 3) –; 4) +;
2										2																2									2				4 ; 2)																5
	5) –; 6) –. 261. 1) cos t = 0,6; ctg t = –0,75; tg t = –																																												sint = −										5		;	ctgt = 2,4;
	5) –; 6) –. 261. 1) cos t = 0,6; ctg t = –0,75; tg t = –																																												sint = −									13			;	ctgt = 2,4;
			5													5									12 ;										5				3												3			13										1
	tgt =		5			;	3)			cost = −						5		;			sint =				12 ;		ctgt = −								5		;		4)				cost =								3				;		sint =							1		;
		12													13										13										12																10													10
	tgt =	1		;			5) cos t						= –0,8; tg t										= –0,75; ctg t												= – 4					; 6)						sint = −									12		;		tgt = 2,4;
		3		5															5			12							5					12			3								3					4					13						3			4
				5															5			12							5					12											3					4											3			4
	ctg t	=						. 262.				1)				−					;				або							;	−				;			2)							;−								або					−			;		;
	ctg t	=		12				. 262.				1)				−		13			;	13			або							;	−				;			2)					5		;−			5					або					−	5		;	5	;
				12														13				13						13						13											5					5											5			5
			2 − 3								2 + 3						або							2 − 3				;−				2 +			3				;	4)							2 − 2								;	2 + 2								або
3)									;								або					−						;−											;	4)															;									або
				2							2															2							2															2										2

30*

468																																																		Відповіді і вказівки до задач
		2 −				2					2 + 2													1)						6				; 2)										12					. 264.1) −ctg										2			2)					2
−								;	−									.		263.				1)										; 2)					−										. 264.1) −ctg											a;		2)	−tg						a;
			2											2													5+				3 5											7+ 4 7
															1									1															1																1
3)	0;		4)			0;		5)							1		;		6)					1						;	7)								1								;	8)							1						;	9)		ctg2a;
3)	0;		4)			0;		5)				sin2 a					;		6)				cos2 a							;	7)		sin2 acos2 a														;	8)					sin2 acos2 a								;	9)		ctg2a;
												sin2 a											cos2 a										sin2 acos2 a																				sin2 acos2 a
10)		tg2 a;							11)						cos2 a;						12)			sin2 a;									13)						tg					α;		14)					сtg				α; 15) sin α, якщо
−	π	+ 2πn < a <											π		+ 2πn, n Z											і				−sin a,							якщо									π	+ 2πn < a < 3π												+ + 2πn,n Z;
	2										2																																			2									2
16) cos α, якщо														2πn < a < π + 2πn, n Z і																									− cos a,								якщо π + 2πn < a < 2π + 2πn,
n Z.
266.
				120°							135°						150°							210°								225°								240°							300°								315°				330°				390°
sin						3									2					1					−		1						2											3							3				2					−	1		1
																				2								2				−									−						−								−						2		2
						2								2						2								2				−	2								−			2			−				2				−		2				2		2
cos						1									2						3								3				2											1				1							2						3		3
					− 2						−							−						−								−											−	2				2
					− 2						−				2			−		2				−				2				−	2										−	2				2								2				2					2
	tg			− 3									– 1			−				1						1							1											3				− 3								– 1		−			1				1
	tg			− 3									– 1			−					3						3						1											3				− 3								– 1		−				3	3
																					3						3																																			3	3
ctg				−		1							– 1					−			3						3						1									1					−				1					– 1			−			3					3
ctg				−			3						– 1					−			3						3						1											3			−				3					– 1
267. 1) – 1								;	2)		1				; 3) –1; 4)									3;					5) –				3		; 6)									3		7)			−		3;				8) 1. 268. 1) −									3				−1;
267. 1) – 1								;	2)		2				; 3) –1; 4)									3;					5) –			2			; 6)							2				7)			−		3;				8) 1. 268. 1) −								2					−1;
						2					2																					2										2																					2
2)		−	2 ;			3)				3 −					3 ;		4)					3		−			2			−1.			269. 1)											sin			8π				;	2)			−cos8π					;		3)	−tg					π			;
2)		−	2 ;			3)					2				3 ;		4)					2		−		2				−1.			269. 1)											sin			9				;	2)			−cos8π					;		3)	−tg				12				;
				3π							2											2				2																					9								9												12
4)	ctg			3π		. 270. 1) −cos π															;	2)		cos						π	; 3)			−tg					π; 4)							ctg			π		. 271. 1) 0; 2) 1. 272. 1) 0;
4)	ctg		5			. 270. 1) −cos π															;	2)		cos						4	; 3)			−tg					π; 4)							ctg		6			. 271. 1) 0; 2) 1. 272. 1) 0;
			5																6											4								4				5						6			12												m2 −1
2) 0. 273. 1) 4; 2) –1; 3) 1; 4) –ctg α.																																	275.									5		. 276.							12			. 277. 1) 1; 2)									m2 −1								.
2) 0. 273. 1) 4; 2) –1; 3) 1; 4) –ctg α.																																	275.							13				. 276.							13			. 277. 1) 1; 2)									2								.
																																								13				; 21π;							13												2
278.			1)			385°;					745°;						–205°;							–335°; 2)											π	;		11π						; 21π;							−		9π; −19π						.	281.			1)				0,5;
										2																							5							5						5								5	5
2) −			3; 3) −							2			; 4) 3.							282. 1) 1; 2) 1; 3)																				1					;	4)			tg2 2a. 287. 1) 6π; 2)																	2π				;
2) −			3; 3) −										; 4) 3.							282. 1) 1; 2) 1; 3)																	sin2 a								;	4)			tg2 2a. 287. 1) 6π; 2)																					;
									2																												sin2 a																										3
3) не існує. 290. 1) ±																		π	, 0; 2) 0,										π , π. 291. 1) R; 2) R; 3) R; 4) вся координатна
																	2			π									2
пряма, крім чисел x =																				π		+ 2πn, n Z;												5) вся координатна пряма, крім чисел
		π																		2
x =		π		+ πn,n Z;											6) об’єднання проміжків 2πn;π + 2πn ,n Z;																																												7) об’єднання
		2									π								π
проміжків											π			+ 2πn;					π		+					,n Z.								292. 1) Парна.																		2)			Парна. 3) Непарна.
проміжків									−		2			+ 2πn;					2		+	2πn				,n Z.								292. 1) Парна.																		2)			Парна. 3) Непарна.
											2								2

Відповіді і вказівки до задач

469

4) Непарна. 5) Парна. 6) Ні парна, ні непарна. 293. 1)

;

3π

;

;2π

3π

−

;

294.1)

;

−π;

−

;π ;

−

;

3π

;

3π

295.

Зростає

на

кожному

проміжків

;

;2π

−π + 2πn;2πn ,n Z;

спадає на кожному з проміжків

2πn;π + 2πn , n Z;

2) зростає на кожному з проміж ків

+ 2πn;

n Z;

спадає на

−

2πn

3π

кожному з проміжків

2πn;

n Z;

зростає на кожному з

+ 2πn ,

проміжків

5π

2πn

;

3π

2πn

,n Z;

спадає

на

кожному

проміжків

2πn

5π

2πn

зростає

на

кожному

проміжків

;

n Z;

+ πn;

7π

n Z;

спадає на кожному з проміжків

5π

+ πn;

+ πn

−

+ πn

n Z; 5) зростає на кожному з проміжків

+ πn;

n Z; спадає на

−

+ πn ,

5π

кожному

проміжків

+ πn;

n Z;

зростає

на

кожному

+ πn ,

2π

7π

проміжків

+ πn;

n Z;

спадає

на

кожному

проміжків

+ πn

2π

+ πn;

n Z.

296.

sin 37° < sin 86°;

sin

220°

sin

260°;

+ πn

4π

cos

200°

cos

230°;

sin

−

< sin −

;

cos

−

< sin

;

3π

sin(−3) > sin(−2);

cos

> sin

;

297. 1)

[–1;1];

cos −

= sin

2) [–3; 3]; 3) [–4; 2]; 4) [0; 1]; 5)

−

;

6) [–3; 3]; 7)

−

;3 −

300. 1) Вся

−1;

−3

πn

координатна пряма, крім чисел x =

, n Z;

2) вся координатна пряма,

πn

крім чисел x =

+ πn,

n Z;

3) вся координатна пряма, крім чисел x =

x = − π + πn,

x = π

n Z;

вся координатна пряма,

крім чисел

+ πn, n Z.

301.1)Непарна.2)непарна;3)парна;4)парна;5)ніпарна,нінепарна;6)парна.

302.

tg(−80°) < tg(−50°);

> tg

4π

;

tg1 > tg1,6;

tg(−2) > tg(−3);

Відповіді і вказівки до задач

470

5) ctg

−

< ctg

; 6)

ctg95° > ctg117°;

ctg2 > ctg3;

8) tg

< ctg

. 303.1)Спа-

πn

;

, n Z; 2) cпадає на кожному з про-

дає на кожному з проміжків

міжків (πn;π + πn) , n Z; 3) зростає на кожному з проміжків

−

+ πn;

+ πn

3π

n Z; 4) зростає на кожному з проміжків

−

+ πn;

, n Z; 5) cпадає

+ πn

на кожному з проміжків																	−		π								, n Z; зростає на кожному з проміжків
на кожному з проміжків																	−		2		+ πn;πn						, n Z; зростає на кожному з проміжків
		π																	2																						π
		π					n Z;																																		π	+ πn;									Z;
πn;		2	+ πn ,				n Z;					6) зростає на кожному з проміжків −																													2	+ πn;			πn , n						Z;
		2																							π																2
																							πn;		π					,		n			Z; 7) зростає на кожному
спадає на кожному з проміжків																							πn;		2		+ πn			,		n			Z; 7) зростає на кожному
									π						5π										2
з проміжків									π	+ 2πn;					5π			+					, n Z; 8) спадає на кожному з проміжків
з проміжків							−		3	+ 2πn;					3			+		2πn			, n Z; 8) спадає на кожному з проміжків
									3						3
− 3π +3πn;9π +3πn													, n Z. 304. 1) (−∞;+∞) ; 2) (−∞;+∞) ; 3) (1;+∞) ; 4)																																		0;+∞);
	4						4
	4						4
5) {1}; 6)						(−∞;+∞);					7)		(−∞;0]. 305. 1) 1; –1; 2)																		3;			3		;		3)			2	+1; 0.				307. 1) 3;
5) {1}; 6)						(−∞;+∞);					7)		(−∞;0]. 305. 1) 1; –1; 2)																		3;			3		;		3)	2			+1; 0.				307. 1) 3;
	π; 2			1			π;											4) 3; π																3					2			2 ; 3π;				5
π;	π; 2			1		; 2;	π;		3) 2; 4π;1;									4) 3; π					;0;			5) 1; 2π; –1. 308. 1) 2,5;																2 ; 3π;				5	см; 2) 7;
	3			2			4															2																				3				4
0,5; 4π;					7	2	см; 3) 2; 1; 2π; 0 см; 4) 1,5; 6; π; −0,75 см. 309. 1) 5; 0,2; 10π; 2) 5 А;
0,5; 4π;						2
						2																					3					1														n
3) t = 0,05 + 0,2n с, n = 0, 1, 2, … . 310. 1) 220;																																1	; 60π; 2) 220 В; 3)													n	с, n = 0,
3) t = 0,05 + 0,2n с, n = 0, 1, 2, … . 310. 1) 220;																															30		; 60π; 2) 220 В; 3)												30		с, n = 0,
												π																			30														30
1, 2, … . 311. 1) 2; π;												π	; 2) паралельне перенесення вздовж осі t на																																π одиниць
												3																	вдвічі;						розтяг					від					6		втричі.
у від’ємному напрямі; стиск до осі у																													вдвічі;						розтяг					від			осі			t	втричі.
312. 1)					t = π +			2πn , n = 0,1,2,...;															2)		t = π			+		2πn , n = 0,1,2,...;												3)	t = 2π(n +1) ,
						3			3						π			2πn									2			3																	3			π
п = 0, 1, 2, ... .									4)			t	=		π	+		2πn				, n = 0, = 0, 1, 2, ... .313. 1)																			y = sin							+		π		;
п = 0, 1, 2, ... .									4)			t	=	6		+				3		, n = 0, = 0, 1, 2, ... .313. 1)																			y = sin				10πt			+		6		;
														6						3																														6
2)										π		.	314.					1) +; 2) –; так. 315. 1) 3; 2)																				−3	2;			3) 0; 4) 6; 5) –6.
2)	y = 7sin 6πt +									2		.	314.					1) +; 2) –; так. 315. 1) 3; 2)																				−3	2;			3) 0; 4) 6; 5) –6.
										2																												2
316. 1) ab; 2) 0; 3) a2 + b2; 4) – a2 – b2. 317. 1) 8; 2) –12; 3)																																						2	;		4) 17; 5) 26; 6) 10;
																																						− 3	;		4) 17; 5) 26; 6) 10;
7)	–8.		319. 1)							2 (		3 −1)					;			2)		−		2 ( 3 −				1)		;	3)				2 ( 3 −1)						;	4)				2 (	3 +1)					;
7)	–8.		319. 1)									4					;			2)		−			4					;	3)					4					;	4)					4					;
				(		3 +1)						4													4											4											4
5)	−		2	(		3 +1)		.		320. 1)									3		;	2)		2		;	3)			3	; 4)				2		.	321. 1)					−	297			; −		87			;
5)	−					4		.		320. 1)								2			;	2)	2			;	3)	2			; 4)			2			.	321. 1)					−	425			; −	425				;
						4												2					2					2						2										425				425

Відповіді і вказівки до задач																																																																471
2)	2		30 −1 ;							−2			30 −1 ;						3)		25;		5			; 4)			−		7		.		322. 1) cos α; 2)																	2		;	3)					tgactgβ;
2)			30 −1 ;										30 −1 ;						3)		25;		31			; 4)			−				.		322. 1) cos α; 2)																2			;	3)					tgactgβ;
			12								2	12									19		31							17																					2
4) −tgatgβ; 5)											2	;		6)			cos a				. 327.			24			. 329.1)									2π			; 2) π;3)π. 330.1)																−			336				;		527		;
4) −tgatgβ; 5)											3	;		6)		sin 2a					. 327.			145			. 329.1)									3			; 2) π;3)π. 330.1)																−			625				;		625		;
											3					sin 2a								145												3																						625						625
− 336			; 2) 2a 1 − a2 ; 3) 2a2 −1; 4)																							2a			. 331. 1) ≈ 0,447; ≈0,894; 0,5. 2) ≈ 0,949;
− 336			; 2) 2a 1 − a2 ; 3) 2a2 −1; 4)																						1 − a2				. 331. 1) ≈ 0,447; ≈0,894; 0,5. 2) ≈ 0,949;
527															1 sin20°;										1 − a2																					1 ctg2a;														1 sin4a;
≈ 0,316;						3.	332. 1)								1 sin20°;							2)				cos4a; 3)										cos2a;								4)		1 ctg2a;							5)							1 sin4a;
																2																														2														2
6) sin2a; 7) sin2a; 8) sin2a; 9) tg2γ; 10) tg2																																π				− γ						333.1)1;2)1;3)														tg2					π					;
6) sin2a; 7) sin2a; 8) sin2a; 9) tg2γ; 10) tg2																																		4		− γ			.			333.1)1;2)1;3)														tg2					4		− a			;
																																		4																											4
4)		tg2a;				5)			tg 2a;						6)				sin3a;				7) cos4β;										8)			1 cos4x;										9)			sin2a;						10)						cos2a;
																																				8																						1						1
11) cos a −sin a; 12)															2			sin a + cosa							; 13) −2cos a; 14) −2sin a .																								335. 1)											;	2)					;


	1 ;																																													2												4						16
																																														2												4						16
3)				4) 4. 336. 1) 0; 3; π; 2) – 1; 2; π. 337. 1) 0,96; –0,28; 2)																																																4				;		1		; 3) h2.
3)																																																			3		2			;		3		; 3) h2.
	8																																																		3		2					3
338. 1)					1	;−	1		;π;			2) 2;1;							π	;	3) 2; 0; π. 339. 1)															6		;		2)				−	2		; 3) −						2		;				4) −						6	;
338. 1)						;−	2		;π;			2) 2;1;							2	;	3) 2; 0; π. 339. 1)															2		;		2)				−	2		; 3) −					2			;				4) −					2		;
					2		2												2																	2									2							2												2
5)		3 −2				; 6)			1		. 340. 1)								tg2a; 2)				ctg2a					;	3) 2												a					π			a			4) cos acos3a.
																																			2 cos								cos					−			;
	4								4														cos a												2 cos					2			cos			4		−	2		;
	4								4														cos a																	2						4			2
																																																					2sin								π
									π			a							π		a									π						a								π				a					2sin								3	− a
									π			a							π		a									π						a								π				a													3
342.1) 4 cos											+			cos						−		;	2) −4 sin											+				sin								−		2	;		3)															;
342.1) 4 cos									8		+	2		cos					8	−		;	2) −4 sin											+				sin								−			;		3)							cos a								;
									8			2							8		2									12						2								12														cos a
						π
		2 sin						+ a																										1											1 cos 4x;
4)						4							.	343.					1)		1	+	cos 2x;							2)				1		+ cos 2x +																	3)					1 − cos4x;
4)					cos a								.	343.					1)		1	+	cos 2x;							2)				2		+ cos 2x +																	3)					1 − cos4x;
					cos a																													2											2
4)	1		+		1 cos 8x.							344.					1)			a = ±β + 2πn, n Z;																2)						a = β + πn, n Z.																347.						45°.
	2				2																									3 +						2								2 −1							3 +		2								2 −1
348. 1)					2;−			2;2π;							2)				2;−		2;2π . 349.									3 +						2	;							2 −1				;			3 +		2				;				2 −1					.
348. 1)					2;−			2;2π;							2)				2;−		2;2π . 349.																;					3 + 2						;									;									.
							2π																							1 − 2												3 + 2								1 − 2											3 + 2
350. 1) π; 2)											; 3) 8p. 351. 1) R; 2) [–10; 10]. 352. 1)																																									2)
350. 1) π; 2)											; 3) 8p. 351. 1) R; 2) [–10; 10]. 352. 1)																															ctg6				; + ∞ ;						2)				ctg5						;+∞ .
							5																																					tg3														tg4
353. 1) У першій; 2) у четвертій; 3) у першій; 4) у другій. 354. 1)																																																							3				;		2)				−1	;
																																																											;		2)				−1	;
		2									2																																												2									2
3)		2		;	4)		−				2	;		5)			0,8;			6) 0,6.				355. 1) (−1)n π															+ nπ ,							n Z;						2)						−		π +				2πn		,
3)				;	4)		−		2			;		5)			0,8;			6) 0,6.				355. 1) (−1)n π															+ nπ ,							n Z;						2)						−		π +				3		,
	2								2																											6							2																	6				3
− π		+ 2πn				, n Z;						3) ±					4π		+ 4πn,n Z; 4)											5π		+ 2πn,									π			+ 2πn, n Z;									5) немає роз
− π		+ 2πn				, n Z;						3) ±					3		+ 4πn,n Z; 4)										12			+ 2πn,							12					+ 2πn, n Z;									5) немає роз
3			3														3												12										12
в’язків; 6) немає розв’язків; 7) (−1)n+1 3π																													+3πn,n Z;														8) ±			π		+ πn,n Z;												9) немає
																								4																						3

472

Відповіді і вказівки до задач

розв’язків;10)(−1)n+1

+ nπ, π + 2nπ, n Z; 11) ±

2nπ,n Z; 12) ±

1 arccos(−0,6) +

+ pп, n Z; 13) 3(−1)n arcsin0,2 +3πn, n Z; 14) −0,5± arccos 0,9+ 2πn,

n Z.

356.

(−1)n+1 π + πn,n Z;

(−1)n π

+ πn,

n Z;

3π

+ 2πn;n Z;

π + 2πn,n Z.

357. 1) 2πn,n Z;

2) немає розв’язків; 3)

−

+ 2πn, n Z.

358.1) 2pn,

π + πn,n Z; 2)немаєнулів;3)

, n Z, n ≠ 0; 4) πn;

+ 2πn,n Z.

πn

359.

1) −13π

;−

5π; − π

; 7π

; 11π

;

7π;

9π

; 15π;

17π;

23π

; 25π

;

31π

;

33π

;

39π; 41π; 47π; 3) 7π

; 11π.

360. 1) ±

3π

+ 2πn,n Z; 2)

5π

+ 2πn; n Z.

1 arcsin

361. 1)

≈

83,6°;

≈

96,4°;

60°

30°. 362. 1)

−

До

прямокутного

трикутника

до

Вказівка:

прикласти

рівний

нього

трикутник

скористатися

теоремою

синусів.

1 + arcsin

R −r

363. 1) У першій; 2) у четвертій; 3) у першій; 4) у другій. 364. 1)

3; 2) −

;

; 4)–1.365.1) − 5π

1 arctg3 +

πn

3) −

+ πn,n Z; 2) −

+ 2πn,n Z;

,n Z;

arcctg(3 −

2) + πn,n Z;

+ 2πn,n Z;

+ πn,

5π + πn, n Z;

1 arcctg(−0,3) +

πn

, n Z;

2π

+ πn,n Z;

arcctg(−3) + πn,n Z;

10)

2π

+ 2πn;

arcctg(−0,5) + πn, n Z.

366. 1) −

+ πn,n Z;

3) −

+ πn, n Z. 367.1)

+ n,n Z;

2) 1; π

+ πn,

n = 0,1, 2,...;

+ πn; −

− πn,

п=0,1,2,.... 368.1) − π

+ 2πn,n Z;

2) π + 2πn,n Z;

2π

+ 6πn,

8π

+ 6πn, n Z.

π −2

2π

4π

369. 1) 50°; 2) 120°; 3)

370. 1)

5π

; −

;

;−

; 2)

−

7π

;

−

3π

;

5π

;

9π

;

0; 2π; 4π; 6π;

−

4π

; − π;−

2π

; −

; 0;

371.

+ 2πn;

(−1)

n π

+ πn,n Z;

π + 2πn;

3π

(−1)n+1 arcsin0,75+ + πn, n Z;

+ 2πn;

+ 2arcctg(−4) + 2πn,

(−1)n π

n Z;

+ πn;

arctg5+ πn,n Z; 5)

+ 2πn, n Z. 372. 1)

πn;

+ πn,

πn

n Z;

; π + 2πn,n Z;

+ πn,n Z; 4)

πn, n Z.

2 + 2πn;

Відповіді і вказівки до задач

473

373.1)

+ πn , n Z;2) ±

π +

πn ,n Z;

3) −

+ πn; −arctg4 + πn,

n Z;

+ πn;

arctg 2,5 + pn, n Z; 5)

+ πn,n Z;

arctg(1 ± 3) + πn,n Z;

+ πn;

2π

2) πn; 2πn

–arctg 2 + pn, n Z. 374. 1)

πn; ±

+ 2πn;

n Z;

,n Z;

+ πn;

2πn ; −

−

+ πn ,n Z;

π + 2πn;

+ πn;

n Z;

+ πn ,n Z; 6) 2pn,

πn ; ±

−

+ 2πn,n Z;

7) πn; n Z;

+ πn,

n Z.

375. ≈126°;

≈54°.

2arcctg 4S

π − arcctg 4S ;

376.

arctg

, π − arctg

a2 −b2

377.

arctg2 ≈ 63°26 ,

arctg2 ≈ 63°26 , π −2arctg ≈ 53°8;

2arctg 5 ≈ 48°11 ,

′

2arctg

′

π −4arctg

′

≈ 48°11 ,

5 ≈ 83°38 . 378. ≈ 75,5°; ≈ 75,5°; ≈ 29°. 379. ≈ 24°30′;

≈ 65°30′. 380. 1)

+ 2πn ≤ x ≤ π + 2πn,n Z; 2) π + 2πn ≤ x ≤ 3π + 2πn,n Z;

+ 2πn ≤ x ≤

3π

+ 2πn,n Z;

4) π + 2πn ≤ x ≤ 2π(n +1), n Z.

5π

381.

+ 2πn < x <

+ 2πn,n Z;

2) −

+ 2πn ≤ x ≤

+ 2πn,n Z;

4π

7π

11π

3) −

+ 2πn < x <

+ 2πn,n Z;

+ 2πn ≤ x ≤

+ 2πn,n Z;

5) −

+ 2πn ≤ x ≤

+ 2πn,n Z; 6) − 3π

+ 2πn < x <

3π + 2πn,n Z;

+ 2πn < x <

5π

+ 2πn,n Z; 8) 2π

+ 2πn ≤ x ≤ 4π + 2πn,n Z;

−

+ πn ≤ x <

+ πn,n Z; 10)

+ πn < x <

π + πn,n Z;

11) −

+ πn < x ≤

π + πn,n Z;

12) − π + πn < x < −

π + πn,n Z;

3π

13)

πn < x <

+ πn, n Z.

14)

+ πn < x < π + πn,n Z;

15) π(2n −1) < x < 2πn, n Z.

382.

+ πn < x < 3π + πn,n Z; 2)

+ 2πn < x < π + 2πn,n Z;

3πn

3πn , n Z.

+ 2πn < x < π + 2πn,n Z; 4)

< x <

π + 2πn ≤ x ≤ π

383.

1) −

+ 2πn,

n Z;

2) π + 2πn ≤ x ≤ 2π + 2πn,n Z;

474						Відповіді і вказівки до задач
3) πn ≤ x < π + πn, n Z.				384.1) −	π	+ 2πn ≤ x ≤ 7π + 2πn,n Z; 2) π		+ 2πn ≤ x ≤
≤ 7π	2				6	6	4
≤ 7π	+ 2πn,n Z;	3) −	π	+ πn < x <	π	+ πn,n Z; 4) πn < x <	5π + πn, n Z.
4			4		2		6
385.	1 + 6n ≤ t ≤	3 + 6n;		7 + 6n ≤ t ≤ 9 + 6n, n = 0,1,2,... .			386. 1)	0 < a ≤ π;
	2	2		2		2		3
2) π	< a < π .
3	2
					Розділ 4
387.	1) A1D1, A1B1, AD, AB; 3) вказівка: використайте результат виконання
завдання 2); 4)		вказівка: всі ці прямі лежать у площині						BDD1, яка
перпендикулярна до			А1С1. 388.		1)	SO, AC; 2) перпендикулярні; 4) SON, де
N – середина АВ; 5) 3			2 см2. 389. 1) CS CB, CS CM , CS CA,CM AB;

2) перпендикулярні; 5) 246 a2. 390. 1) А1С1; 2) АА1С1; 3) ВN, де N – середина

CD; 6) АDС1; 7) А1С. 391. 1) SO, де О – центр квадрата ABCD; 2) SKO; 3) висо- та з вершини М трикутника SMP, де Р – середина ребра АВ. 392. ≈ 4,9 м. 393.Вказівка:врахуйтевзаємнерозміщенняданихточкиіпрямої.394.Вка зівка: використайте те, що діагональний переріз куба є прямокутником. 396. Вказівка: проведіть через прямі а і b площину і розгляньте її перетин з площиною α. 397. Вказівка: застосуйте метод «від супротивного». 398. Вказівка: з’ясуйте, чим є відрізок KE для трикутників KAB і KCD. 399. Вказівка: для прямих, що лежать в одній площині, все зрозуміло. Якщо припустити, що прямі, що мають два спільних перпендикуляри, мимобіжні, то ці перпендикуляри є перпендикулярними і до паралельних площин, в яких лежать прямі, а тому вони паралельні між собою. 400. Вказівка: використайте те, що вказані прямі паралельні між собою. 402. Вказів ки: 1) розгляньте переріз площиною, яка проходить через середини паралельних ребер; 2) розгляньте переріз площиною, яка проходить через діагоналі протилежних граней. 403. 2) Перерізами є трикутники SAD та ACL, де D, L — середини відрізків BC і SB, а їх перетином є відрізок, що з’єднуєточкуA зточкоюперетинувідрізківSD іBK. 404.Вказівка:проведіть через всі пари мимобіжних прямих паралельні площини. 405. 2a + 2b. 406. Вказівка: проведіть з точки С перпендикуляри до ВА. 407. 1) SOC, де O — середина AB; 2) KL, де K, L — середини відрізків AS і AC; 3) вказівка: проведіть через точку A прямі, паралельні CS і CB; 4) вказівка: з точки C проведіть перпендикуляр до прямої SO. 408. 1) MKO, де O – середина AC; 2) пряма, що проходить через середину АМ паралельно MK; 3) вказівка: проведіть через точку A прямі, паралельні BC і KM; 4) BCL, де L — середина AM. 409. 1) AOS; 2) пряма, паралельна SO; вказівки: 3) скористайтесь тим, що пряма SO перпендикулярна до площини АВС; 4) доведіть, що пряма ВС перпендикулярна до площини ASO. 410. 1) Проходить через центри вказа- них граней; 2) АА1С; вказівки: 3) скористайтесь тим, що пряма А1С1 перпен- дикулярна до площини BDD1; 4) проведіть через точку D пряму, паралельну

Відповіді і вказівки до задач	475
прямій АС. 411. 1) SO ABC; 2) BC ASD. 412. ≈ 21,5 м. 413.	b2 + c2 − a2 .

а) побудуйте два прямокутники на даному відрізку і знайдіть точки перети-

ну їх діагоналей; б) побудуйте два рівнобедрених трикутники, основами яких
є даний відрізок. 420. 10 дм. 421. 1) Перпендикулярні; 2) перпендикулярні;
3) площина проходить через середину відрізка АВ; 4) площина проходить
через	перпендикуляр до	АВС,	проведений через	середину		АD.
422. 1) SDB ABC, SDB ABK; 4) 1 a2. 423. 1) Перпендикулярні; 2) пер-
		4	5 a2 . 424. Вказівки: 1) скористайте-
пендикулярні; 5) перпендикулярні; 6)
			2
ся тим, що медіана у правильному трикутнику є висотою; 2) скористайтесь
завданням 1); 3) врахуйте те, що BD AMC; 4) 4 см; 5) навпіл. 425. 1)					5	см;
			3		2
2) вказівка: використайте те, що зазначена площина єдина. 426. 1					337	см.
				5
427. Вказівка: розгляньте випадки, коли площини паралельні і коли пере-
тинаються. 428. Вказівка: вкажіть ребро однієї грані, перпендикулярне до
414. Вказівка: достатньо довести, що пряма a перпендикулярна до площи-
ни MPQ. 415. Вказівка: через точку D проведіть пряму, паралельну						OM.
416. Вказівка: це пряма, перпендикулярна до ортогональної проекції пря-
мої a	на площину α. 417. YA>YB. 418. Вказівка: через кожну точку площи-
ни проходить пряма, перпендикулярна до даної прямої.				419. Вказівки:

другої грані. 429. Вказівка: скористайтесь означенням перпендикулярності

площин і однозначністю перпендикуляра з точки до площини. 430. Вказів ка: скористайтесь тим, що площину, перпендикулярну до іншої площини,

можна вважати «зітканою» з перпендикулярних прямих до іншої площини.
431. Вказівка: доведіть, що, наприклад, ВВ1 α, і тоді ВВ1																			ВХ. 432. Вка
зівка: розгляньте спочатку дві вказані площини і встановіть властивості їх-
ньої лінії перетину. 433. 1)								3	b;	2)	3	b,		3	b,	3	b.	434. 40 см. 435. 21 см,
ньої лінії перетину. 433. 1)							2		b;	2)	6	b,	3		b,	2	b.	434. 40 см. 435. 21 см,
							2				6		3			2
28 см. 436. 1)					41	см; 2) 12		см.		437. 1)			13 см;			2) 4		см. 438. 1)		a2 + b2 ;
		2																		2	4
2)		2	ab. 439. Вказівка: спробуйте реалізувати конструкцію на прямокут-
2)	4
	4															10 см, 35 см. 445. 6 см. 446.
ному паралелепіпеді. 442. 130 см. 443. 8 см. 444.																10 см, 35 см. 445. 6 см. 446.
Або			674 см, або 25+ 399					см, або 25−					399			см. 447. 3			5 см,	arcsin 2 .
																					3
448. 12 см, 3				41	см, 20 см. 449.					2 2	см. 450. 45°. 451. 36 см. 452.									15	см.
453.			Вказівка:		в усіх випадках йдеться про побудову похилої																MK,
перпендикулярної до прямої								AB. Для цього доцільно спочатку побудувати
проекцію похилої						MK, перпендикулярну до AB, а потім скористатися
теоремою про				три		перпендикуляри.					454. 12					см,		178	см,	185	см.

455. Вказівка: скористайтесь тим, що похилі, проведені з точок перпендикуляра

476 Відповіді і вказівки до задач

до вершин прямокутника, своїми проекціями мають половини діагоналей.

456.	Вказівка:					з’ясуйте, який вид має трикутник АВС.																457.		1	3a2 + 1 d2 .
	a ,	5				29		7 a. 459.Так.460. 3																4	4
458.		5		a,		29	a,									41 см.461.1) ≈75м;2)≈27°;3)≈34м.
458.				a,		4	a,									41 см.461.1) ≈75м;2)≈27°;3)≈34м.
	4	4				4		4
462. 1) 2 см; 2)						4	11	см; 3) 2				11		см. 463. 1) 2				2	см; 2)				2 см; 3) 2 5			см.
						3			3									2							5
464. 1) 4			2		см; 2)		4	2	см; 3)			2	13 см. 465. 1)					2	a; 2) а; 3) а; 4)						1,5a;	5) а;
464. 1) 4			2		см; 2)		4	2	см; 3)			2	13 см. 465. 1)					2	a; 2) а; 3) а; 4)						1,5a;	5) а;
		3								a2			2			a		2			a2			a
		3						2		a2			2			a			2		a2			a
6) а; 7)			a.		466. 1)			b	−		;	2)			a; 3)		;	4)	b	−			; 5)	2	. 467. 2,5 см
6) а; 7)		3	a.		466. 1)			b	−	2	;	2)	2		a; 3)	2 2	;	4)	b	−	4		; 5)	2	. 467. 2,5 см
або 1,5 см. 468. 10 см. 469. 1)												78		см; 2)		78	см або 3			6		см. 470. Вказівка:

порівняйте вирази похилих через перпендикуляри і проекції. 471. Вказів ка: скористайтесь теоремою про три перпендикуляри. 472. Вказівка: слід

розглянути трапеції, побудовані на перпендикулярах, проведених з проти- лежних вершин прямокутника до поверхні Землі. Вони мають спільну серед- ню лінію. Оскільки порядок наступності вершин у задачі не обумовлено, то

може бути три варіанти відповіді: 1; 3; 5 м. 473. 37 см. 474. 5 см або 4 см (останній випадок може мати місце, коли точка ортогонально проектується за межі кута, і коли відстань від вершин сторін кута дорівнює відстані від

його вершини).									475.		2		a.	476. Вказівка: розгляньте трикутники АСВ і
його вершини).									475.	4			a.	476. Вказівка: розгляньте трикутники АСВ і
										4
BDC. 477. 82°. 478. 72° і 108° або 540°																			і 720°.			479. ≈ 1848 м. 480. 1)											arctg		2	;
BDC. 477. 82°. 478. 72° і 108° або 540°																			і 720°.			479. ≈ 1848 м. 480. 1)											arctg		3	;
																7			7																3
2)	arctg				2		; 3)		ABD SKC;							4)	30°;		5)		12 3		. 481. 1) 60°;									2)	arctg		3	;
2)	arctg				15		; 3)		ABD SKC;							4)	30°;		5)	57			. 481. 1) 60°;									2)	arctg		2	;
					15					1					2	3				57															2
										1					2	3
3)	ABS BDC;								4) arctg 2 ;					5)			. 482. 1) 30°; 2) 60°. 483. 1) 60° і 30°; 2) рівні;
3)	ABS BDC;								4) arctg 2 ;					5)		5	. 482. 1) 30°; 2) 60°. 483. 1) 60° і 30°; 2) рівні;
3)	4	6.			484. 1) ≈ 55°; 2) рівні; 3) ≈ 19°; 4)																1	a.		485. 1) 30°; 4)								8 2+		3	см;
3)	4	6.			484. 1) ≈ 55°; 2) рівні; 3) ≈ 19°; 4)															3		a.		485. 1) 30°; 4)								8 2+		3	см;
																				3
5)	4	2 −			3 см. 486. 1) 30°; 4) 2											2 +	3		см; 5)			2 −		3		см. 487. 2) Рівні; 3) 90°.
488.		3)			Рівні. 489.					1) 45°,					arctg		2	;	2)		arctg			2	;	arctg			2	;		π − arctg			2	;
					5												2							4					5			2		16	4
3)	arctg				5	. 490.			1) ≈ 1 м; 2) 30°. 491. ≈900 м. 493. 1) 8																	2 см; 2) 16 см; 3)								16	см.
3)	arctg				2	. 490.			1) ≈ 1 м; 2) 30°. 491. ≈900 м. 493. 1) 8																	2 см; 2) 16 см; 3)								3	см.
494. 30°. 495. ≈ 1,8 м. 496. Вказівка: нехай O = a ∩a.																												Відкладіть на трьох
даних прямих площини α														відрізки OA = OB = OC.													Тоді точки прямої									a
рівновіддалені від вершин трикутника ABC. 497. 1) a cos a , a sina; 2) arctg b																																				,
						a									a												2								a
						a									a											btg		a
arccos			a sin 2					; 3) arcsin				a cos			2	; 4) a;			π −2arctg							btg		2			;	arctg a sin a .
arccos			a sin 2					; 3) arcsin							2	; 4) a;			π −2arctg										2 a		;	arctg a sin a .
				b2 + a2									b2 + a2											2			2	sin	2 a					b
																								b + 4a				sin	2

 Предметний покажчик

Аксіоми стереометрії 131 Амплітуда гармонічного коливання 287

Арифметичний квадратний корінь 15

– корінь пго степеня 85 Арккосинус 325 Арккотангенс 332 Арксинус 320 Арктангенс 330

Асимптота вертикальна 77 Бічна грань піраміди 134

Вершина паралелепіпеда 134

– піраміди 134

– тетраедра 134 Відсоток 36 Відстань між фігурами 426

Гармонічні коливання 286 Гіпербола 55 Головна властивість кореня 91

Грань двогранного кута 446

– многогранника 133

– паралелепіпеда 134

– тетраедра 134 Графік гармонічного коливання 287

– косинуса 275

– котангенса 282

– синуса 275

– тангенса 281

– функції 53 Графічний спосіб задання функції 47

Двогранний кут 446 Дроби нескінченні десяткові 19

– періодичні 19

Еліпс 167

Значення функції в точці 46 Зображення фігури 180

Квадратична функція 46 Квадратний корінь 85 Координатна пряма 23 Корінь пго степеня 85 Косинус 241 Котангенс 241

Кругова частота гармонічного коли вання 287

Куб 133 Кубічний корінь 86 Куля 135

Кути з однаково напрямленими сторонами 445

Кут між площинами 441

– – прямими 438

– – прямою і площиною 438 Кут обертання 228 Кутовий коефіцієнт прямої 53

Лінійна функція 46 Лінійний кут двогранного кута 447 Лінія котангенса 244

– тангенса 244

Математична модель 8 Мимобіжні прямі146 Множина значень функції 46 Модуль числа25

Напрям проектування 161

Обернена пропорційність 46 Область визначення функції 46 Окіл точки 26

478	Предметний покажчик

Округлення чисел 33 Ортогональне проектування 406 Основа перпендикуляра 414

Основна властивість дійсних чисел 24

– тригонометрична тотожність 251 Осьова симетрія 369

Парабола 54 Паралелепіпед 134

– прямокутний134 Паралельна проекція точки на

площину 161

– – фігури на площину162 Паралельне перенесення графіка

функції 57 Паралельне проектування 161 Паралельні площини 206

– пряма і площина 194

– прямі 146 Переріз 139

Перетворення графіків функцій 57 Період функції 266

– – основний 270 Перпендикуляр до площини 363 Перпендикулярність площин 393

– прямих 362

– прямої і площини 363 Піраміда 134

– п-кутна 135

– правильна 135 Площина проекцій 161

– січна 139 Поворот навколо прямої 366 Показник кореня 89 Похила до площини 414

Початкова фаза гармонічного коливання 287

Природна область визначення функції 46

Проектуючі площини 162

– прямі 161 Проекція похилої 414

Радіан 229 Ребро двогранного кута 446

– многогранника 133

– паралелепіпеда 134

– піраміди 134

– тетраедра 134

Рівняння однорідне тригонометричне 334

Розтяг графіка функції 59

Симетрія відносно площини 409

– осьова 369

– просторової фігури 409 Синус 241 Синусоїда 275 Слід площини 191

Степінь з натуральним показником 15

– – раціональним показником 97

– – цілим від’ємним показником 15

Стиск графіка функції 59 Суміжні грані паралелепіпеда 134

Табличний спосіб задання функції 49 Тангенс 241 Тангенсоїда 281 Теорема косинусів 224

– синусів 224 Тетраедр 134

– правильний 134 Точка розриву функції 75 Тригонометричне коло 234

Формули додавання 298

– зведення 256

– подвійного кута 302

– половинного аргументу 303

– універсальної підстановки 305 Функціональна залежність 45 Функція 45

– зростаюча 67

– квадратична 46

– лінійна 46

– монотонна 67

– непарна 71

– неперервна 74

– парна 71

– періодична 266

– спадна 66

– степенева 82

– тригонометрична 241

Числа дійсні 23

– ірраціональні 22

– натуральні 18

– раціональні 19

– цілі 18

 Зміст

Звернення до читача ...................................................................................................	3
Вступ .............................................................................................................................	5
РОЗДІЛ 1. Функції, їхні властивості та графіки ..........................	11
§1. Числові множини .................................................................................................	18
§2. Обчислення і розрахунки ...................................................................................	31
§3. Функціональні залежності .................................................................................	45
§4. Основні властивості функцій .............................................................................	66
§5. Корені пго степеня ..............................................................................................	82
§6. Степеневі функції з раціональними показниками .........................................	97
РОЗДІЛ 2. Паралельність прямих і площин ..............................	117
§ 7. Основні поняття й аксіоми стереометрії ........................................................	127
§8. Взаємне розміщення двох прямих у просторі ................................................	145
§9. Паралельне проектування ...............................................................................	160
§10. Зображення фігур у стереометрії ...................................................................	179
§11. Паралельність прямих і площин ...................................................................	193
§12. Паралельність площин ...................................................................................	205
РОЗДІЛ 3. Тригонометричні функції .........................................	221
§13. Тригонометричні функції числового аргументу ..........................................	227
§14. Основні співвідношення між тригонометричними функціями .................	251
§15. Властивості і графіки тригонометричних функцій .....................................	266
§16. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них ..........................	298
§17. Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності .................................	317
РОЗДІЛ 4. Перпендикулярність прямих і площин ....................	357
§18. Перпендикулярність прямої і площини .......................................................	362
§19. Зв’язок між паралельністю і перпендикулярністю прямих і площин ......	378
§20. Перпендикулярність площин ........................................................................	392
§21. Ортогональне проектування ..........................................................................	406
§22. Перпендикуляр і похила ................................................................................	414
§23. Вимірювання відстаней у просторі ................................................................	425
§24. Вимірювання кутів у просторі ........................................................................	437
Відповіді і вказівки до задач ..................................................................................	460
Предметний покажчик ...........................................................................................	477

Навчальне видання

Афанасьєва Ольга Миколаївна Бродський Яків Соломонович Павлов Олександр Леонідович Сліпенко Анатолій Костянтинович

Математика Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів Рівень стандарту

Головний редактор Богдан Будний

Редактор Володимир Дячун

Художник обкладинки Володимир Басалига Дизайн та комп’ютерна верстка Андрія Кравчука

Підписано до друку 29.06.2011. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний.

Умовн. друк. арк. 27,80. Умовн. фарбо-відб. 55,60. Наклад 10 000 прим.

Видавництво «Навчальна книга – Богдан» Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців

ДК №370 від 21.03.2001 р.

Навчальна книга – Богдан, а/с 529, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопіль, 46008 тел./факс (0352) 52-19-66; 52-06-07; 52-05-48

Е-mail: publishing@budny.te.ua, office@bohdan-books.com www.bohdan-books.com

Друк ВВП «Місіонер». Зам. №

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2626

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия