§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ83

два результата вместе, мы приходим к общему неравенству

|A + B| 6 |A| + |B|,

которое справедливо независимо от знаков A и B.

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять

число n настолько большое, что интервал 0, n1 будет меньше, чем данный интервал (A, B); тогда по меньшей мере одна из точек вида mn

окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

§2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы

1.Введение. Если мы станем сравнивать по величине два прямолинейных отрезка a и b, то не исключена возможность, что a содержится

вb в точности целое число раз r. В таком случае длина отрезка b очень просто выражается через длину отрезка a: длина b в r раз больше, чем длина a. Может случиться и так, что целого числа r, которое обладало

бы указанным свойством, не существует; но при этом возможно, что, раз-

Если осуществляется соотношение вида (1), то говорят, что два отрезка a и b соизмеримы, так как они обладают некоторой «общей мерой»: таковой является отрезок длины na , который содержится в отрезке a

ровно n раз, а в отрезке b ровно m раз. Некоторый отрезок b соизмерим или несоизмерим с отрезком a в зависимости от того, можно или нельзя подобрать два таких натуральных числа m и n (n 6= 0), что имеет

место равенство (1). Обращаясь к рис. 9, предположим, что в качестве отрезка a избран единичный отрезок [0, 1], и рассмотрим всевозможные отрезки, у которых один из концов совпадает с 0. Тогда из этих отрезков те и только те будут соизмеримы с единичным отрезком, у которых второй конец совпадает с некоторой рациональной точкой mn .

Рис. 9. Рациональные точки

Для практической цели измерения рациональных чисел всегда совершенно достаточно. Даже с точки зрения теоретической, поскольку рациональные точки расположены всюду плотно, могло бы показаться, что все точки на числовой оси — рациональные. Если бы дело обстояло именно так, то всякий отрезок был бы соизмерим с единичным. Но дело обстоит не так просто, и в установлении этого обстоятельства заключается одно из самых поразительных открытий в математике: оно было сделано уже в древнейшие времена (в школе Пифагора). Существуют несоизмеримые отрезки, или иначе (если мы допустим, что каждому отрезку соответствует некоторое число, выражающее его длину), существуют иррациональные числа. Осознание этого факта было научным событием величайшей значимости, почти откровением. Весьма возможно, что именно оно положило начало тому, что мы теперь считаем строгим математическим методом и рассматриваем как вклад в науку, сделанный древними греческими математиками. Без сомнения, это замечательное открытие глубоко повлияло на всю математику и даже философию от древних времен и до наших дней.

Евдоксова теория несоизмеримых величин, изложенная в геометрической форме в «Началах» Евклида, представляет собой тончайшее достижение греческой математики (ее изложение обыкновенно пропускается в разжиженных пересказах Евклида, предназначенных для школьного обучения). Эта теория получила подобающую ей высокую оценку лишь в конце XIX столетия — после того как усилиями Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса была создана строгая теория иррациональных чисел. Мы изложим в дальнейшем эту теорию в ее современном арифметическом аспекте.

Прежде всего установим: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Предположим, что сторона квадрата избрана в качестве единицы длины, длину же диагонали обозначим через x. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы получаем:

x2 = 12 + 1√2 = 2.

(Такое число x обозначают символом 2.) Если бы x было соизмеримо с единицей, то можно было бы найти два таких целых числа p и q,

86 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

когда речь идет о несоизмеримых отрезках. Если мы требуем, чтобы существовало взаимное соответствие между числами, с одной стороны, и точками на прямой линии — с другой, то неизбежно приходится ввести в рассмотрение иррациональные числа.

Подводя итоги до сих пор сказанному, мы констатируем, что иррациональное число обозначает длину отрезка, несоизмеримого с единицей. В следующих разделах мы должны будем уточнить это несколько смутное и всецело геометрическое определение и в результате придем к определению, более удовлетворительному с точки зрения логической строгости. Рассматривая этот вопрос, мы будем вначале исходить из десятичных дробей.

думать еще подобные и более общие примеры.

2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. Чтобы покрыть числовую ось везде плотным множеством точек, нет необходимости использовать всю совокупность рациональных чисел: достаточно, например, ограничиться только теми числами, которые возникают при подразделении единичного отрезка на 10, потом на 100, 1000 и т. д. равных частей. Получающиеся при этом точки деления соответствуют «десятичным дробям». Так, числу 0,12 = 101 + 1002 соответствует точка, расположенная в первом единичном интервале, во втором «подынтервале» длины 10−1, и именно она есть начальная точка третьего «подподынтервала» длины 10−2 a−n означает a1n . Если такого рода десятичная

дробь содержит n знаков после запятой, то она имеет вид

f = z + a1 · 10−1 + a2 · 10−2 + a3 · 10−3 + . . . + an · 10−n,

где z — целое число, а коэффициенты a — цифры 0, 1, 2, . . . , 9, обозначающие число десятых, сотых и т. д. Сокращенно число f записывается в десятичной системе следующим образом: z,a1a2a3 . . . an. Мы убеждаемся непосредственно, что такого рода десятичные дроби могут представлены виде обыкновенных дробей pq , где q = 10n; так, например,

Если окажется, что p и q имеют общий множитель, то дробь можно сократить, и тогда знаменатель будет некоторым делителем числа 10n.

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ87

С другой стороны, несократимая дробь, у которой знаменатель не есть делитель некоторой степени 10, не может быть представлена в виде де-

0,004; но 13 не может быть написана как десятичная дробь с конечным

числом n десятичных знаков, как бы ни было велико n: в самом деле, из равенства вида

следовало бы

10n = 3b,

а последнее равенство невозможно, так как 3 не входит множителем ни в какую степень числа 10.

Возьмем теперь на числовой оси какую-нибудь точку P , которая не соответствует никакой конечной десятичной дроби; можно, например, взять рациональную точку 13 или иррациональную точку √2. Тогда в процессе последовательного подразделения единичного интервала на 10 равных частей точка P никогда не окажется в числе точек деления: она будет находиться внутри десятичных интервалов, длина которых будет неограниченно уменьшаться; концы этих интервалов соответствуют конечным десятичным дробям и приближают точку P с какой угодно степенью точности. Рассмотрим несколько подробнее этот процесс приближения.

Предположим, что точка P лежит в первом единичном интервале. Сделаем подразделение этого интервала на 10 равных частей, каждая длины 10−1, и предположим, что точка P попадает, скажем, в третий из этих интервалов. На этой стадии мы можем утверждать, что P заключена между десятичными дробями 0,2 и 0,3. Подразделяем снова интервал от 0,2 до 0,3 на 10 равных частей, каждая длины 10−2, и обнаружим, что P попадает, допустим, в четвертый из этих интервалов. Подразделяя его, как раньше, видим, что точка P попадает в первый интервал длины 10−3. Теперь можно сказать, что точка P заключена между 0,230 и 0,231. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности и приводит к бесконечной последовательности цифр a1, a2, a3, . . . , an, . . ., обладающей таким свойством: каково бы ни было n, точка P заключена в интервале In, у которого начальная точка есть 0,a1a2a3 . . . an−1an, а конечная — 0,a1a2a3 . . . an−1(an + 1), причем длина In равна 10−n. Если станем полагать по порядку n = 1, 2, 3, 4, . . ., то увидим, что каждый из интервалов I1, I2, I3, . . . содержится в предыдущем, причем их длины 10−1, 10−2, 10−3, . . . неограниченно уменьшаются. Мы скажем, более кратко, что точка P заключена в стягивающуюся последователь-

ность десятичных интервалов. Например, если точка P есть 13 , то все

88 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

цифры a1, a2, a3, . . . равны 3, и P заключена в любом интервале In

от 0,333 . . . 33 до 0,333 . . . 34, т. е. 13 больше чем 0,333 . . . 33 и меньше

чем 0,333 . . . 34, сколько бы ни взять цифр после запятой. Мы скажем в этих обстоятельствах, что n-значная десятичная дробь 0,333 . . . 33 «стре-

причем точки обозначают, что десятичная дробь может быть продлена «до бесконечности». √

Иррациональная точка 2, которая была рассмотрена в пункте 1, также приводит к бесконечной десятичной дроби. Но закон, которому подчиняются последовательные цифры десятичного разложения, на этот раз далеко не очевиден. Мы затрудняемся указать формулу, которая давала бы цифру, стоящую на n-м месте, хотя можно вычислить столько цифр, сколько мы пожелали бы себе заранее назначить:

12 = 1 < 2 < 22 = 4 (1,4)2 = 1,96 < 2 < (1,5)2 = 2,25

(1,41)2 = 1,9881 < 2 < (1,42)2 = 2,0264 (1,414)2 = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,002225

(1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449 и т. д.

В качестве общего определения мы скажем, что точка P , которая не может быть представлена в виде десятичной дроби с конечным числом десятичных знаков, представляется в виде бесконечной десятичной дроби z,a1a2a3 . . ., если, каково бы ни было n, точка P лежит в интервале длины 10−n с начальной точкой z,a1a2a3 . . . an.

Таким образом, мы устанавливаем соответствие между всеми точками числовой оси и всеми (конечными или бесконечными) десятичными дробями. Теперь мы попытаемся ввести предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Те бесконечные десятичные дроби, которые не представляют рационального числа, называются иррациональными числами. До середины XIX столетия соображения, подобные приведенным выше, казались достаточными для объяснения того, как устроена система рациональных и иррациональных чисел — числовой континуум. Необычайные успехи математики, достигнутые начиная с XVII столетия, в частности, развитие аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений, твердо базировались именно на таком представлении о системе чисел. Однако в период критического пересмотра принципов и консолидации результатов стало ощущаться все более и более явственно, что понятие иррационального числа должно быть подвергнуто

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ89

более точному и глубокому анализу. Но, прежде чем перейти к очерку современной теории числового континуума, нам придется рассмотреть и разобрать — на более или менее интуитивной основе — одно из ма-

тематических понятий капитальной значимости — понятие предела.

√ √

Упражнение. Вычислите приближенно 3 2 и 3 5 с ошибкой, не превышающей 10−2.

3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. Как мы видели в предыдущем пункте, иногда случается, что некоторое рациональное число s приближается последовательностью других рациональных чисел sn, причем индекс n принимает последовательно все значения 1, 2, 3, . . . Так, например, можно взять: s = 13 , тогда s1 = 0,3,

s2 = 0,33, s3 = 0,333 и т. д. Вот еще пример. Разобьем единичный интервал на две равные части, вторую половину — снова на две равные части, вторую из полученных двух частей — снова на две равные части и т. д., пока наименьший из полученных таким образом интервалов не станет равным 2−n, где n — сколь угодно большое наперед заданное число, например, n = 100, n = 100 000 и т. д. Затем, складывая вместе все интервалы, кроме самого последнего, мы получаем общую длину

вится сколь угодно малой, или «стремится к нулю», при неограниченном возрастании n. Говорить, что эта разность равна нулю, когда n равно «бесконечности», не имеет никакого смысла. Бесконечное в математике связывается с некоторым процессом, не имеющим конца, и никогда не связывается с актуальной величиной. Желая описать поведение sn, мы говорим, что сумма sn стремится к пределу 1, когда n стремится к бесконечности, и пишем

причем то, что возникает справа, есть бесконечный ряд. Последнее «равенство» не следует понимать в том смысле, что имеется в виду сложить вместе бесконечное число слагаемых: это только сокращенная запись того факта, что 1 есть предел конечных сумм sn, получающийся, когда n стремится к бесконечности (и ни в коем случае не равно бесконечности). Итак, равенство (4), заканчивающееся неопределенным символом «+ . . .», как бы стенографирует некоторую точную мысль, выражаемую, по неизбежности, длинным рядом слов:

«1 равна пределу (при n, стремящемся к бесконечности) выражения

Еще более кратко и более выразительно пишут следующим образом:

Говоря о пределах, рассмотрим еще пример. Пусть перед нами имеется бесконечная последовательность различных степеней числа q:

q, q2, q3, q4, . . . , qn, . . .

Если −1 < q < 1, например, q = 13 или q = − 45 , то qn стремится к нулю

при неограниченном возрастании n. При этом если q — отрицательное число, то знаки qn чередуются: за + следует −, и обратно; таким образом, qn стремится к нулю «с двух сторон». Так, если q = 13 , то q2 = 19 ,

q3 = 271 , q4 = 811 , . . . ; но если q = − 12 , то q2 = 14 , q3 = − 18 , q4 = 161 , . . .

Мы утверждаем, что предел qn, когда n стремится к бесконечности,

равен нулю, или, символически,

(Между прочим, если q > 1 или q < −1, то qn уже не стремится к нулю, а неограниченно возрастает по абсолютной величине.)

Приведем строгое доказательство утверждения (7). Мы видели на стр. 34, что при любом целом положительном значении n и при условии p > −1 имеет место неравенство (1 + p)n > 1 + np. Пусть q — какое-то

положительное число, меньшее единицы, например, q = 109 . Тогда можно положить q = 1 +1 p, где p > 0. Отсюда следует

q1n = (1 + p)n > 1 + np > np,

или же (см. определение (4) на стр. 74)

0 < qn < p1 · n1 .

Значит, qn заключено между постоянным числом 0 и числом p1 · n1 , ко-

торое стремится к нулю при неограниченном возрастании n (так как p — постоянное). После этого ясно, что qn → 0. Если q — отрицательное чис-

ло, то мы положим q = −1 +1 p, и тогда qn будет заключено между чис-

лами − p1 · n1 и p1 · n1 ; рассуждение заканчивается так же, как раньше. Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию

(Частный случай q = 12 был рассмотрен выше.) Как уже было показано (см. стр. 32), сумма sn может быть представлена в более простой и

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ91

и, вычитая (8а) из (8), убеждаемся, что все члены, кроме 1 и qn+1, взаимно уничтожаются. В результате будем иметь

(1 − q)sn = 1 − qn+1,

или же, деля на 1 − q,

С понятием предела мы встретимся, если заставим n неограниченно возрастать. Мы видели только что, что qn+1 = q · qn стремится к нулю, если −1 < q < 1, и отсюда можем заключить:

в полном соответствии с равенством (4); подобным же образом

или, иначе, 0,9999 . . . = 1. Совершенно так же конечная дробь 0,2374 и бесконечная дробь 0,23739999 . . . представляют одно и то же число.

В главе VI мы вернемся к общему обсуждению понятия предела, рассматривая вопрос с современной, логически более строгой точки зрения.