§ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ 167

техники математического анализа. Так как круг радиуса r имеет пло-

щадь pr2, то проблема построения квадрата, площадь которого равна

√

площади круга с радиусом 1, равносильна построению числа p, равно-

√

го стороне искомого квадрата. Число p допускает построение в том и только том случае, если допускает построение число p. Исходя из данной нами общей характеристики чисел, допускающих построение, мы установили бы неразрешимость проблемы квадратуры круга, если бы показали, что p не содержится ни в каком поле Fk, возникающем из поля рациональных чисел посредством последовательных присоединений квадратных корней. Так как все числа, принадлежащие таким полям, являются алгебраическими, т. е. удовлетворяющими алгебраическим уравнениям с целыми коэффициентами, то неразрешимость квадратуры круга была бы доказана, если бы было установлено, что число p не алгебраическое, а трансцендентное (см. стр. 124).

Технический аппарат, необходимый для доказательства трансцендентности числа p, был создан Шарлем Эрмитом (1822–1905), который доказал вместе с тем трансцендентность числа e. Несколько усовершенствовав метод Эрмита, Ф. Линдеман (в 1882 г.) сумел доказать трансцендентность числа p и тем самым окончательно исчерпал вопрос, остававшийся без ответа на протяжении тысячелетий. Доказательство Линдемана — вне пределов, намеченных для этой книги, хотя оно и по плечу учащемуся, несколько знакомому с математическим анализом.

ЧАСТЬ 2

Различные методы выполнения построений

§4. Геометрические преобразования. Инверсия

1.Общие замечания. В настоящей, второй части этой главы мы систематически рассмотрим некоторые общие принципы, которые могут быть приложены к конструктивным проблемам. Многие

из этих проблем обозреваются гораздо легче, если смотреть на них с общей точки зрения «геометрических преобразований». Вместо того чтобы изучать отдельное построение, мы займемся сразу целым классом проблем, связанных между собой теми или иными процедурами преобразований. Способность бросать яркий свет на существо вещей, присущая идее класса геометрических преобразований, никоим образом не ограничена конструктивными проблемами, но имеет ближайшее отношение ко всей геометрии в целом. В главах IV

и V мы будем иметь случай оценить роль геометрических преобразований в этом более широком аспекте. Пока же

Lмы подвергнем изучению один из част-

ний являются вращения плоскости относительно неподвижной точки O, затем параллельные переносы, перемещающие каждую точку в данном направлении на одно и то же расстояние (это преобразование не имеет

неподвижных точек), и, наконец, в качестве несколько более общего примера следует назвать движения плоскости, которые можно представлять себе составленными из вращений и параллельных переносов.

Но в данный момент нас интересует иной, частный класс преобразований, — именно, инверсии относительно окружностей. (Иногда их называют круговыми отражениями, вследствие наличия приблизительного сходства с отражением в сферическом зеркале.) Пусть в неподвижной плоскости задана некоторая окружность C с центром O (называемым центром, или полюсом, инверсии) и радиусом r. Образ точки P опре-

деляется как точка P 0, лежащая на прямой OP по ту же сторону от O, что и P , и такая, что

Из этого определения следует, что если P 0 есть образ P , то и P есть (в данном преобразовании) образ P 0. Это дает право называть точки P и P 0 взаимно обратными относительно окружности C. Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно: в самом деле, из неравенства OP < r следует неравенство OP 0 > r и, напротив, из неравенства OP > r — неравенство OP 0 < r. Неподвижными точками плоскости являются точки самой окружности C.

Правило (1) не определяет никакого образа для центра O. Но ясно, что когда движущаяся точка P приближается к O, ее образ P 0 уходит неограниченно далеко. По этой причине иногда говорят, что при инверсии образом центра является бесконечно удаленная точка. Полезность этой терминологии вытекает из того обстоятельства, что она дает нам право утверждать, что инверсия устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости без исключения и их образами: каждая точка плоскости имеет один и только один образ и сама является образом одной и только одной точки. Отметим, что это последнее свойство принадлежит также и раньше приведенным примерам геометрических преобразований.

2. Свойства инверсии. Самое важное свойство инверсии заключается в том, что она преобразует прямые линии и окружности в прямые линии и окружности. Точнее, мы сейчас обнаружим, что в результате инверсии

а) прямая, проходящая через O, становится прямой, проходящей через O,

б) прямая, не проходящая через O, становится окружностью, проходящей через O,

в) окружность, проходящая через O, становится прямой, не проходящей через O,

г) окружность, не проходящая через O, становится окружностью, не проходящей через O.

Утверждение а) не требует доказательства, так как из самого определения инверсии ясно, что каждая точка на рассматриваемой прямой имеет в качестве образа другую точку на той же прямой, так что хотя отдельные точки на прямой перемещаются, но прямая в целом остается неизменной.

собами. Обозначим расстояния OA, OB, OA0, OB0, OM через a, b, a0, b0, m, и пусть t есть длина касательной к K, проведенной из точки O. По определению инверсии, мы имеем aa0 = bb0 = r2, а по элементарному геометрическому свойству окружности ab = t2. Если разделим первые равенства на второе, то получим

OPOR = OPOR0 , т. е. OP · OP 0 = r2.

Значит, P 0 есть искомая точка P .

Если данная точка P лежит внутри C, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса OP с центром P пересекала окружность C в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно редуцировать построение к предыдущему случаю посредством следующего простого приема.

Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки A и O, можно с помощью одного циркуля построить такую точку C, что AO = OC. Для этого достаточно провести окружность с центром O и радиусом r = AO. Затем, начиная от точки A, отметить последовательно на этой окружности такие точки P , Q, C, что AP = P Q = QC = r. Тогда C есть как раз искомая точка: это ясно из того, что треугольники AOP , OP Q, OQC — равносторонние, так что угол между OA и OC содержит 180◦ и OC = OQ = AO. Повторяя указанную процедуру, мы

имеем возможность отложить отрезок AO по прямой сколько угодно раз.

√

Кстати, так как длина отрезка AO равна r 3 (как читатель проверит

√

без всякого труда), то нам удалось построить 3, исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Теперь мы можем построить точку, обратную точке P относительно окружности C, как бы точка P ни была расположена внутри C. Прежде всего на прямой OP найдем такую точку R, что OR есть кратное OP , и вместе с тем R лежит уже вне C:

OR = n · OP.

Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние OP посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга C. Затем с помощью уже известного построения найдем точку R0, обратную точке R. Тогда будем иметь

r2 = OR0 · OR = OR0 · (n · OP ) = (n · OR0) · OP.

Останется построить точку P 0 по условию OP 0 = n · OR0, и задача будет закончена.

4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля. После того как мы научились находить точку, обратную данной, можно с помощью одного циркуля выполнить дальнейшие интересные построения. Например, сейчас мы найдем середину отрезка, концы которого A и B заданы, с помощью