§6. Аналитическое представление

1.Вводные замечания. В раннем периоде развития проективной геометрии существовала настойчиво проводимая тенденция выполнять все построения на синтетической или, как говорилось, «чисто геометрической» основе, вовсе избегая применения чисел и алгебраических методов. Выполнение этой программы встретило на своем пути большие затруднения, так как всегда оставались какие-то пункты, в которых алгебраические формулировки казались неизбежными. Полный успех

в построении чисто синтетической проективной геометрии был достигнут только к концу XIX в. и только ценой значительных осложнений. В этом отношении методы аналитической геометрии оказались гораздо более плодотворными. Для современной математики характерна иная тенденция — положить в основу построения понятие числа, и в геометрии эта тенденция, идущая от Ферма и Декарта, возымела решительный триумф. Аналитическая геометрия перестала быть подсобным аппаратом, играющим служебную роль в геометрических рассуждениях,

истала самостоятельной областью, в которой интуитивная геометрическая интерпретация операций и результатов уже не является последней

иокончательной целью, а принимает на себя функцию руководящего принципа, помогающего угадывать и понимать аналитические факты. Такое изменение значения геометрии есть последствие постепенного развития геометрии в историческом плане — развития, широко раздвинувшего рамки классических концепций; оно же обусловило вместе с тем почти органическое слияние геометрии и анализа.

Ваналитической геометрии под «координатами» геометрического объекта понимается какая угодно совокупность чисел, позволяющая определить этот объект однозначно. Так, точка определяется своими прямоугольными координатами x, y или своими полярными координатами r, j; с другой стороны, например, треугольник определяется координатами трех вершин, что в целом составляет шесть координат. Мы знаем, что прямая линия в плоскости x, y представляет собой геометрическое место всех точек P (x, y) (об обозначениях см. стр. 92), координаты которых удовлетворяют некоторому линейному уравнению

Поэтому можно три числа a, b, c назвать «координатами» этой прямой. Например, a = 0, b = 1, c = 0 определяют прямую y = 0, т. е. ось x; a = 1, b = −1, c = 0 определяют прямую x = y, которая делит пополам угол между положительной осью x и положительной осью y. Таким же образом следующие уравнения определяют «конические сечения»:

x2 + y2 = r2 — окружность радиуса r с центром в начале координат,

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 — окружность радиуса r с центром (a, b), x2 + a2

y2

b2 = 1 — эллипс и т. д.

Более или менее наивный подход к аналитической геометрии заключается в том, чтобы, отправляясь от чисто «геометрических» представлений — точка, прямая и т. д., — переводить их затем на язык чисел. Современная точка зрения противоположна. Мы отправляемся от множества всевозможных пар чисел x, y и называем каждую такую пару

точкой, так как можем, если пожелаем, наглядно интерпретировать такую пару чисел с помощью общедоступного понятия геометрической

точки. Точно так же прямая линия является геометрическим представлением или интерпретацией линейного уравнения, связывающего x и y. Указанный перенос акцента от интуитивного понимания геометрии к аналитическому открывает возможность, в частности, простой и вполне строгой трактовки бесконечно удаленных точек в проективной геометрии; он же необходим для более глубокого проникновения в эту область. Для тех читателей, которые обладают достаточной предварительной математической подготовкой, мы дадим теперь некоторый очерк применения аналитических методов в проективной геометрии.

*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. В обыкновенной аналитической геометрии прямоугольными координатами точки на плоскости являются снабженные знаками расстояния точки от двух взаимно перпендикулярных осей. Но в такой системе координат не находится места для бесконечно удаленных точек расширенной проективной плоскости. Поэтому, если мы хотим пользоваться аналитическими методами в проективной геометрии, то необходимо найти такую координатную систему, которая смогла бы включить идеальные точки наравне с обыкновенными. Легче всего дать описание такой координатной системы, если представить себе данную плоскость X, Y (которую будем обозначать через p) расположенной в трехмерном пространстве с прямоугольными координатами x, y, z (эти буквы обозначают снабженные знаками расстояния точки от трех координатных плоскостей, образованных осями x, y и z). Представим себе, что плоскость p параллельна координатной плоскости x, y и находится на расстоянии 1 от нее, так что трехмерные координаты точки P в плоскости p будут (X, Y , 1). Принимая начало O координатной системы за центр проектирования, заметим, что всякой точке P взаимно однозначно соответствует некоторая прямая OP , проходящая через начало координат (см. стр. 98). В частности, бесконечно удаленным точкам плоскости p соответствуют прямые, проходящие через O и параллельные p.

Посмотрим теперь, что же представляет собой система однородных координат для точек плоскости p. Чтобы найти однородные координаты обыкновенной точки P в этой плоскости, возьмем прямую OP и на ней выберем произвольную точку Q, отличную от O (рис. 93). Обыкновенные трехмерные координаты x, y, z точки Q считаются однородными координатами точки P в плоскости p. В частности, координаты (X, Y , 1) самой точки P являются ее однородными координатами. Но вместе с тем ее же однородными координатами явятся любые числа (tX, tY , t), где t 6= 0, так как координаты всех точек прямой OP (кроме O) имеют как раз такой вид. (Мы исключаем точку (0, 0, 0), потому что она лежит на всех прямых, проходящих через O, и не может служить

для их различения.)

Система однородных координат, конечно, представляет известное неудобство в том отношении, что нужны три числа вместо двух для определения точки, и, самое главное, координаты точки определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя. Но она имеет то безусловное преимущество, что она охватывает и идеальные, бесконечно удаленные точки плоскости p. Действительно, такой идеальной точке P

z

Рис. 93. Однородные координаты

соответствует некоторая прямая, проходящая через O и параллельная p; всякая точка Q на такой прямой имеет координаты вида (x, y, 0); таким образом, однородные координаты идеальных точек плоскости p имеют вид (x, y, 0). Нетрудно написать в однородных координатах уравнение прямой линии на плоскости p. Для этого достаточно заметить, что прямые, соединяющие O с точками этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через O. В аналитической геометрии доказывается, что уравнение такой плоскости имеет вид

Это же есть и уравнение данной прямой в однородных координатах. Теперь, когда геометрическая модель, изображающая точки плоско-

сти p в виде прямых, проходящих через O, отслужила свою службу, можно ее отбросить и дать следующее чисто аналитическое определение расширенной плоскости:

Точка есть не что иное, как тройка действительных чисел (x, y, z), из которых не все равны нулю. Две такие тройки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) определяют одну и ту же точку, если существует такое число t 6= 0, что

x2 = tx, y2 = ty1, z2 = tz1.

Другими словами, можно, не меняя самой точки, умножать ее координаты на произвольный множитель, отличный от нуля. (Потому эти координаты и называются однородными.) Точка (x, y, z) обыкновенная, если z отлично от нуля, и идеальная, если z равно нулю.

Прямая линия в плоскости p состоит из всех точек (x, y, z), удовлетворяющих линейному уравнению вида

где a, b, c — постоянные числа, не все равные нулю. В частности, бесконечно удаленные точки плоскости p удовлетворяют уравнению

согласно определению, это — также уравнение прямой, именно — бесконечно удаленной прямой плоскости p. Так как прямая определяется уравнением вида (10), то тройка чисел (a, b, c) может быть рассматриваема как однородные координаты прямой (10). Далее следует, что при произвольном t 6= 0 тройка чисел (ta, tb, tc) представляет собой координаты той же прямой, так как уравнение

удовлетворяется в точности теми же координатными тройками (x, y, z), что и уравнение (10).

В этих определениях обнаруживается полная симметрия между точкой и прямой: и та и другая определяются тройкой чисел — однородными координатами (u, v, w). Условие того, что точка (x, y, z) лежит на прямой (a, b, c), выражается равенством

ax + by + cz = 0,

и это же есть вместе с тем условие того, что точка с координатами (a, b, c) лежит на прямой с координатами (x, y, z). Например, арифметическое тождество

2 · 3 + 1 · 4 + (−5) · 2 = 0

означает, что точка (3, 4, 2) лежит на прямой (2, 1, −5), и в равной мере, что точка (2, 1, −5) лежит на прямой (3, 4, 2). Эта симметрия и представляет собой основу двойственности между точкой и прямой в проективной геометрии, так как всякое соотношение между точками и прямыми становится некоторым соотношением между прямыми и точками, если координаты точек считать координатами прямых, а координаты

прямых — координатами точек. Толкуя по-новому те же алгебраические операции и результаты, мы получаем теоремы, соответствующие первоначальным в смысле двойственности. Необходимо заметить, с другой стороны, что в обыкновенной плоскости X, Y ни о какой двойственности не может быть речи, так как уравнение прямой в обыкновенных координатах

aX + bY + c = 0

несимметрично относительно X, Y и a, b, c. Только включение в рассмотрение бесконечно удаленных элементов (точек и прямой) обеспечивает применимость принципа двойственности.

Чтобы перейти от однородных координат x, y, z обыкновенной точки P в плоскости p к обыкновенным прямоугольным координатам, мы просто полагаем X = xz , Y = yz . Тогда X, Y обозначают расстояния точки P от двух перпендикулярных осей в плоскости p, параллельной x- и y-осям, как показано на рис. 93. Мы знаем, что уравнение

aX + bY + c = 0

представляет прямую в плоскости p. Полагая X = xz , Y = yz и умножая на z, мы найдем, что уравнение той же прямой в однородных координатах будет

ax + by + cz = 0,

как это уже было указано на стр. 214. Так, уравнение прямой 2x − 3y + z = 0 в обыкновенных прямоугольных координатах X, Y примет вид 2X − 3Y + 1 = 0. Разумеется, последнему уравнению бесконечно удаленная точка рассматриваемой прямой с однородными координатами (3, 2, 0) уже не отвечает.

Остается сказать еще одно. Нам удалось получить чисто аналитическое определение точки и прямой; но что можно сказать о важном понятии проективного преобразования? Можно установить, что проективное преобразование, понимаемое в том смысле, как это было разъяснено на стр. 197, задается аналитически системой линейных уравнений

ными координатами x, y, z точек в плоскости p. С аналогичной точки зрения можно определить проективное преобразование как такое, которое задается системой уравнений вида (4). Теоремы проективной геометрии тогда становятся теоремами, говорящими о поведении числовых троек (x, y, z) при таких преобразованиях. Например, доказательство инвариантности двойного отношения при проективных преобразованиях превращается в легкое упражнение из области алгебры линейных преобразований. Не будем вникать в детали этой аналитической процедуры и вернемся вместо того назад — к проективной геометрии в ее более наглядном аспекте.

§ 7 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ЛИНЕЙКИ 223

§ 7. Задачи на построение с помощью одной линейки

В следующих построениях предполагается, что единственным инструментом служит линейка.

Задачи 1–18 заимствованы из одной работы Я. Штейнера, в которой он доказывает, что при геометрических построениях можно обойтись без циркуля, если задан фиксированный круг с центром (см. главу III, стр. 173). Читателю рекомендуется проделать эти задачи в указанном порядке.

Четверка прямых a, b, c, d, проходящих через точку P , называется гармонической, если двойное отношение (abcd) равно −1. В этом случае говорят, что c, d гармонически сопряжены с a, b и обратно.

1)Докажите, что если в гармонической четверке a, b, c, d прямая a делит пополам угол между c и d, то прямая b перпендикулярна к прямой a.

2)Постройте четвертую гармоническую к трем данным прямым, проходящим через одну точку. (Указание: воспользуйтесь теоремой о полном четырехстороннике.)

3)Постройте четвертую гармоническую к трем данным точкам на одной прямой.

4)Даны прямой угол и произвольный угол с общей вершиной и одной общей стороной. Удвойте данный произвольный угол.

5)Дан угол и его биссектриса b. Постройте перпендикуляр к b в вершине данного угла.

6)Докажите, что если проходящие через точку P прямые l1, l2, . . . , ln пересекают прямую a в точках A1, A2, . . . , An и прямую b в точках B1, B2, . . . , Bn, то все точки пересечения пар прямых AiBk и AkBi (i 6= k; k = 1, 2, . . . , n)

лежат на одной прямой.

7)Докажите, что если в треугольнике ABC прямая, параллельная стороне BC, пересекает AB в точке B0 и AC в точке C0, то прямая, соединяющая точку A с точкой D пересечения прямых B0C и C0B, делит пополам BC.

7а) Сформулируйте и докажите теорему, обратную 7.

8)На прямой l даны три такие точки P , Q, R, что Q есть середина отрезка P R. Постройте прямую, параллельную l и проходящую через данную точку S.

9)Даны две параллельные прямые l1 и l2; разделите пополам данный отрезок AB на прямой l1.

10)Через данную точку P провести прямую, параллельную двум данным параллельным между собой прямым l1 и l2. (Указание: используйте 7.)

11)Штейнер предлагает следующее решение задачи об удвоении данного отрезка AB при условии, что задана прямая l, параллельная AB: через точку C, не лежащую ни на прямой l, ни на прямой AB, провести прямые CA

иCB; пусть A1 и B1 — соответственно точки их пересечения с прямой l. Затем (см. 10) провести через C прямую, параллельную l; пусть D — точка ее пересечения с BA1. Если E — точка пересечения AB и DB1, то AE = 2 · AB.

Докажите последнее утверждение.

12)Разделите отрезок AB на n равных частей, если задана прямая l, параллельная AB. (Указание: пользуясь 11, отложите сначала n раз данный