мы получаем разложение

1

x = a + .

a +

1

1

a + a + . . .

Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел e и p. Приведем их без доказательств:

1

e = 2 + ;

1 +

1

1

2 +

1

1 +

1

1 +

1

4 +

1

1 +

1

1 + 6 + . . .

§3. Пределы при непрерывном приближении

1.Введение. Общие определения. В § 2, пункт 1, нам удалось дать точное определение утверждению: «Последовательность an (т. е. функция an = F (n) натурального переменного n) имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности». Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: «Функция u = f(x) непрерывной переменной x имеет предел a при стремлении x к значению x1».

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного x употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда

нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

Начнем опять с частного примера. Функция f(x) = x + x3 определена x

для всех значений x, не равных нулю; при этом последнем значении x знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции y = f(x) для значений x в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при x, «стремящемся» к 0 с любой стороны, соответствующие значения u = f(x) «стремятся» к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности между значением функции f(x) и постоянного числа 1:

сколь угодно малой, ограничивая изменение

переменной x достаточно малой окрестностью значения x = 0. Так, например, при x = ±101 имеем f(x) − 1 = 1001 ; при x = ±1001 имеем f(x) − 1 = 101000 , и т. д. Вообще, если e есть некоторое положительное число,

то, как бы мало оно ни было, разность между f(x) и 1 будет меньше

√

чем e, если только расстояние точки x от точки 0 меньше числа d = e. В самом деле, если |x| < √e, то

|f(x) − 1| = |x2| < e.

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 313 мы дали определение: последовательность an имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу e, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое N (зависящее от e), что неравенство

|an − a| < e

выполняется для всех n, удовлетворяющих неравенству

n > N.

В случае функции f(x) непрерывного переменного x при x, стремящемся к некоторому конечному значению x1, мы просто слова «достаточно

большое n» (что характеризуется числом N) заменяем словами «достаточно близко к x1» (что характеризуется числом d) и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около 1820 г.: функция f(x) имеет предел a, когда x стремится к значению x1, если каждому положительному числу e, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое положительное число d (зависящее от e), что

|f(x) − a| < e

для всех значений x 6= x1, удовлетворяющих неравенству

|x − x1| < d.

Если это имеет место, принято писать

f(x) → a при x → x1.

В случае функции f(x) = x + x3 мы выше показали, что эта функ- x

ция f(x) имеет предел 1 при x, стремящемся к значению x = 0. В этом

√ 1

случае достаточно было всегда выбирать d = e.

2. Замечания по поводу понятия предела. e-d-определение предела — результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода к пределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными.

При изучении движения в частности и какого бы то ни было изменения в общем случае математики XVII и XVIII столетий принимали, как нечто достаточно наглядное и не подлежащее дальнейшему анализу, концепцию величины x, меняющейся и в своем непрерывном течении приближающейся к предельному значению x1. Они рассматривали другую величину u = f(x), зависящую от времени или от какой-нибудь другой зависящей от времени величины. Оставалось все же проблемой: какой точный математический смысл следует приписывать представлению о том, что f(x) «стремится» или «приближается» к определенному значению a, когда x движется к x1?

Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a1, a2, a3, . . . Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной x, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как x «приближается» к заданному

значению x1, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением» и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение — статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения. Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

В определении с помощью e, d независимое переменное не «движется»; оно не «стремится» и не «приближается» к пределу x1 в каком бы то ни было физическом смысле. Правда, эти обороты речи, как и символ →, сохраняются, причем математик вовсе не обязан отказываться от тех, в общем-то весьма полезных, интуитивных представлений, которые с ними связываются. Но когда в частном случае нужно дать ответ на вопрос, существует предел или не существует, то приходится прибегнуть именно к определению с помощью e, d. Спрашивать о том, насколько удовлетворительно это определение соответствует интуитивному «динамическому» представлению о стремлении к пределу, можно с таким же правом, как и о том, насколько удовлетворительно аксиомы геометрии описывают то, что мы называем пространством (в интуитивном смысле).

Обе формулировки в какой-то степени предоставляют возможность работать воображению, и вместе с тем обе они создают адекватную математическую основу для дальнейшего логического построения.

Как и в случае предела последовательности, ключ к правильному пониманию определения Коши лежит в обращении «естественного» порядка, в котором рассматриваются переменные. Прежде мы отмечаем

334 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

границу e для зависимого переменного, а уже потом стремимся определить подходящую границу d для независимого переменного. Когда мы говорим, что «f(x) → a при x → x1», то лишь сокращенно высказываем ту мысль, что этот процесс может быть выполнен для любого положительного числа e. В частности, ни одна из частей этого утверждения (например, «x → x1») не имеет смысла сама по себе.

Еще нужно подчеркнуть следующее. Заставляя x «стремиться» к x1, мы можем позволить x быть больше или меньше, чем x1, но возможность равенства явно исключается требованием x 6= x1: x стремится к x1, но никогда не принимает значения x1. Таким образом, мы можем применять наше определение к функциям, не определенным вовсе при x = x1, но имеющим тот или иной предел при x, стремящемся к x1, например, к

функции f(x) = , рассмотренной на стр. 325. Исключение значения x = x1 как раз соответствует тому факту, что, рассматривая последовательности an при n → ∞ например, предел an = n1 , мы никогда

не подставляем в формулу значения n = ∞.

Однако, что касается функции f(x), то когда x стремится к x1, ей не запрещено стремиться к пределу a таким образом, что при некоторых значениях x 6= x1 осуществляется равенство f(x) = a. Например, рассматривая функцию f(x) = xx при x, стремящемся к 0, мы никогда

не позволяем x быть равным 0, но зато, напротив, равенство f(x) = 1 справедливо при всех x 6= 0, и предел a существует и равен 1 в точном согласии с определением.

3. Предел sin x. Если x обозначает угол в радианном измерении,

то выражение определено для всех значений x, за исключением

значения x = 0, при котором оно принимает вид не имеющего смысла символа 0 . С помощью таблиц тригонометрических функций читатель

0 sin x

может подсчитать значение частного x для малых значений x. Эти

таблицы обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1, пункт 2), что градусная мера x связана с радианной мерой y

следующим соотношением: x = p y = 0,01745y (с точностью до пятого

180

десятичного знака). Из четырехзначных таблиц мы находим следующие

В силу определения тригонометрических функций с помощью единичного круга, мы имеем следующие соотношения для величины x, являющейся радианной мерой угла BOC (см. рис. 169) при ограничении

0 < x < p .

2

Площадь треугольника OBC = 12 · 1 ·

Совместно с неравенством (2) это дает окончательно нужные нам неравенства

Предельное соотношение (1) вытекает немедленно из неравенств (4).