§3. Замечания из области аналитической геометрии1

ность с центром C и радиусом r. Из формулы для расстояния между двумя точками (1) следует, что точки y этой окружности имеют координаты x,

y, удовлетворяющие уравнению

где k = r2 − a2 − b2. Обратно, если задано уравнение вида (3), причем a, b и k — произвольные постоянные и сумма k + a2 + b2 положительна, то с помощью алгебраической процедуры «дополнения до квадрата» мы можем написать то же уравнение в форме

(x − a)2 + (y − b)2 = r2,

где r2 = k + a2 + b2. И тогда ясно, что уравнение (3) определяет окружность радиуса r, центр которой — в точке C с координатами a, b.

Уравнение прямой линий еще проще по своей форме. Так, например, уравнение оси x имеет вид y = 0, так как координата y равна нулю для всех точек этой оси и ни для каких иных точек. Точно так же ось y имеет уравнение x = 0. Прямые, проходящие через начало и делящие пополам углы между осями, имеют уравнения x = y и x = −y. Легко показать, что всякая прямая линия имеет уравнение вида

где a, b, c — постоянные, характеризующие эту прямую. Как и в других случаях, смысл уравнения (4) тот, что пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению, являются координатами некоторой точки на прямой, и обратно.

y

B

B

Рис. 16. Эллипс с фокусами

Может быть, читатель учил в школе, что уравнение вида

представляет эллипс (рис. 16). Эта кривая пересекает ось x в точках A(p, 0) и A0(−p, 0) и ось y в точках B(0, q) и B0(0, −q). (Обозначение P (x, y) или, еще короче, (x, y), вводится ради краткости и должно быть расшифровано так: «точка P с координатами x и y».) Если p > q, то отрезок AA0 длины 2p называется большой осью эллипса, а отрезок BB0 длины 2q — его малой осью. Эллипс есть геометрическое место точек P , сумма расстояний которых от точек F (√p2 − q2, 0) и F 0(−√p2 − q2, 0) равна 2p. Читатель сможет проверить это в качестве упражнения, применяя формулу (1). Точки F и F 0 называются фокусами

представляет гиперболу. Эта кривая состоит из двух ветвей, пересе-

кающих ось x соответственно в точках A(p, 0) и A0(−p, 0) (рис. 17). Отрезок AA0 длины 2p называется «действительной» осью гиперболы. Гипербола, удаляясь в бесконечность, приближается к двум прямым qx ± py = 0, но так с ними и не пересекается; эти прямые называ-

ются асимптотами гиперболы. Гипербола есть геометрическое место

√

точек P , разность расстояний которых до двух точек F ( p2 + q2, 0) и F 0(−√p2 + q2, 0) по абсолютной величине равна 2p. Эти точки в случае гиперболы тоже называются фокусами; под эксцентриситетом гипер-

p

болы понимают отношение e = p2 + q2 . p

Уравнение

также определяет гиперболу, но такую, для которой асимптотами являются две оси (рис. 18). Уравнение этой «равносторонней» гиперболы геометрически означает, что площадь прямоугольника OP 0P Q0 (см. рис. 12), связанного с точкой P , для всякой точки P кривой равна 1. Равносторонняя гипербола несколько более общего вида

где c — постоянная, представляет собой частный случай гиперболы в

том же смысле, в каком окружность представляет собой частный случай эллипса. Отличительная характеристика равносторонней гиперболы заключается в том, что ее две асимптоты (в нашем случае — две оси) взаимно перпендикулярны.

y

P

x

Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой P (x, y), равна 1

Во всем этом для нас самым интересным является руководящая идея: геометрические объекты могут полностью описываться в арифметической или алгебраической форме. То же справедливо и относительно геометрических операций. Например, если нам требуется найти точки пересечения двух прямых, то мы рассматриваем два их уравнения

ax + by = c,

(8)

a0x + b0y = c0,

и для нахождения общей точки этих двух прямых достаточно решить систему (8); решение дает нам координаты искомой точки. Таким же образом точки пересечения двух произвольных кривых (скажем, окружности x2 + y2 − 2ax − 2by = k и прямой ax + by = c) находятся посредством совместного решения их уравнений.