ЕЩЕ ОБ ИНВЕРСИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯХ

186 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III

в виду частный случай пересечения в точке P произвольной кривой C с прямолинейным отрезком OL, проведенным из центра инверсии O. Кривая C0, обратная кривой C, пересекается с OL в точке P 0, обратной P , так как P 0, так же как и P , лежит на OL. Покажем, что угол x0 между OL и касательной к C в точке P по величине равен углу y0 между OL и касательной к C0 в точке P 0. Для этого возьмем точку A на кривой C вблизи P и проведем секущую AP .

Точка, обратная A, есть A0; так как она находится на прямой OA и на кривой C0, то является их точкой пересечения. Проведем также секущую A0P 0. По определению инверсии, r2 = OP · OP 0 = OA · OA0, или же

т. е. треугольники OAP и OA0P 0 подобны. Значит, угол x равен углу OA0P 0, который мы обозначим через y. Последний шаг в нашем рассуждении заключается в том, чтобы заставить точку A приближаться по кривой C к точке P . При этом секущая AP переходит в касательную к кривой C в точке P , и угол x стремится к x0. В то же время A0 будет приближаться к P 0 и прямая A0P 0 перейдет в касательную к кривой C0 в точке P 0, а угол y будет стремиться к y0. Так как при всяком положении точки A мы имеем равенство x = y, то оно сохранится и в пределе x0 = y0.

Наше доказательство еще не закончено, так как мы рассмотрели пока только случай пересечения кривой C с прямой, проходящей через центр O. Но рассмотреть общий случай пересечения двух произвольных кривых C и C теперь уже совсем легко. Пусть эти кривые пересекаются в точке P и образуют между собой угол z. Тогда прямая OP P 0 делит этот угол на два угла, из которых каждый в отдельности не изменяется при инверсии.

Следовало бы оговорить, что, хотя инверсия не изменяет величины угла, она, однако, изменяет направление его отсчета: если вообразим, что при постоянном увеличении угла x0 одна сторона его неподвижна, а другая вращается против часовой стрелки, то подвижная сторона соответствующего «обратного» угла вращается по часовой стрелке.

Частным следствием инвариантности углов при инверсии является то, что две ортогональные (т. е. пересекающиеся под прямым углом) окружности или прямые после инверсии сохраняют это свойство, и если две окружности взаимно касаются («пересекаются под углом, равным нулю»), то касаются и обратные им окружности.

Рассмотрим семейство окружностей, проходящих через центр инверсии O и еще через одну и ту же неподвижную точку плоскости A. Мы знаем (§ 4, пункт 2), что это семейство преобразуется в семейство прямых, проходящих через точку A0, являющуюся образом A. В то же время семейство окружностей, ортогональных первоначальному семейству,

сительно какого бы то ни было центра проблема Аполлония для трех данных окружностей трансформируется в соответствующую проблему для трех других окружностей: пусть читатель внимательно продумает, почему это так.

Отсюда легко понять, что если проблема решена для некоторой тройки окружностей, то тем самым ее можно считать решенной и для всякой тройки окружностей, которая из первой тройки может быть получена путем инверсии. Мы сумеем использовать это обстоятельство, выбирая из всевозможных «эквивалентных» троек такую, для которой проблема решается особенно просто.

B C B K C

O O

U

A A

Рис. 63. Подготовка построения, решающего проблему Аполлония

Предположим для определенности, что три данные окружности с центрами A, B, C взаимно не пересекаются и лежат каждая вне двух других, и допустим, что речь идет о нахождении окружности U с цент-

Аполлония

взаимно касающимися в некоторой точке, которую обозначим K (рис. 63). Затем произведем инверсию всей фигуры относительно какой-нибудь окруж-

ности с центром K. Окружности с центрами B и C станут параллельными прямыми b и c, а третья окружность превратится в некоторую окружность a (рис. 64). Мы уже знаем, что a, b, c могут

быть построены с помощью циркуля и линейки. Что касается искомой окружности U, то она преобразуется в окружность u, касающуюся прямых b, c и окружности a. Ее радиус r, очевидно, должен равняться половине расстояния между прямыми b и c; центр же ее O0 должен совпадать с одной из точек пересе-

чения средней линии между b и c с окружностью, концентрической окружности a, но имеющей радиус на r больший. Остается применить обратную инверсию к окружности u, и тогда получим искомую аполлониеву окружность U.

поглощающие света, то находящаяся в этой комнате освещенная точка создает бесконеч-

ное множество отражений, по одному на каждую из прямоугольных комнат, возникающих из первой посредством отражений (рис. 65). При менее правильной форме соединения зеркал, например при трех зеркалах, создается более сложная система отражений. Получающуюся

Рис. 66. Правильные системы треугольных зеркал

конфигурацию легко описать только в том случае, если отраженные треугольники, не перекрывая друг друга, полностью покрывают плоскость. Таким свойством обладают только прямоугольный равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник и прямоугольный треугольник, представляющий собою половину равностороннего (рис. 66).

Еще более курьезные обстоятельства возникают, если мы станем рассматривать повторные инверсии относительно пары окружностей. Поместившись между двумя концентрическими сферическими зер-