Г Л А В А II

Математическая числовая система

Введение

В дальнейшем мы должны в очень значительной степени расширить понятие числа, связываемое первоначально с натуральным рядом, для того чтобы сконструировать мощный инструмент, способный удовлетворять потребностям и практики, и теории. Исторически — в процессе долгой и неуверенно протекавшей эволюции — нуль, целые отрицательные числа и рациональные дроби приобрели постепенно те же права, что и числа натурального ряда, и в наши дни правилами действий со всеми этими числами прекрасно овладевает средний ребенок школьного возраста. Но для того чтобы обеспечить полную свободу в алгебраических операциях, нужно идти и дальше и охватить расширенным понятием также иррациональные и комплексные числа. Хотя эти обобщения понятия числа употреблялись уже столетия тому назад и на них базируется вся современная математика, но на прочный логический фундамент они были поставлены лишь в недавнее время. В настоящей главе мы дадим очерк основных этапов этого развития.

§1. Рациональные числа

1.Рациональные числа как средство измерения. Натуральные числа возникают как абстракция в процессе счета объектов, образующих конечные совокупности. Но в повседневной жизни нам приходится не только считать объекты, индивидуально отделенные один от другого, но и измерять величины, например такие, как длина, площадь, вес, время. Если мы хотим обеспечить свободу операций с результатами измерения таких величин, могущих неограниченно делиться на части, нам необходимо, не ограничиваясь натуральным рядом, расширить пределы арифметики и создать новый мир чисел. Первый шаг заключается в том, чтобы проблему измерения свести к проблеме счета. Мы выбираем сначала совершенно произвольно единицу измерения — фут, ярд, дюйм, фунт, грамм — смотря по случаю, и этой единице приписываем меру 1. Затем мы считаем число таких единиц, входящих в измеряемую величину. Может случиться, что данный кусок свинца весит ровно 54 фунта.

Но в общем случае, как мы замечаем, процесс счета «не сходится»: данная величина не измеряется абсолютно точно выбранной единицей, не оказывается ей кратной. Самое большее, что мы можем сказать в этом случае, — это то, что она заключена между двумя последовательными кратными этой единицы, допустим, между 53 и 54 фунтами. Если так действительно происходит, то мы делаем следующий шаг и вводим новые подъединицы, получающиеся от подразделения первоначальной единицы на некоторое число n равных частей. На обыкновенном языке эти новые подъединицы могут иметь те или иные названия; например, фут подразделяется на 12 дюймов, метр — на 100 сантиметров, фунт — на 16 унций, час — на 60 минут, минута — на 60 секунд, и т. д. Однако в общей математической символике подъединица, получаемая при подразделении первоначальной единицы на n частей, обозначается символом n1 , и если рассматриваемая величина содержит ровно m таких подъединиц, то ее мера тогда есть mn . Этот символ называется дробью или отноше-

нием (иногда пишут m : n). Последний, и самый существенный, шаг был совершен уже осознанно, после многих столетий накопления отдельных усилий: символ mn был освобожден от его конкретной связи с процессом измерения и самими измеряемыми величинами и стал рассматриваться как отвлеченное число, самостоятельная сущность, уравненная в своих правах с натуральным числом. Если m и n — натуральные числа, то символ mn называется рациональным числом.

Употребление термина «число» (первоначально под «числами» понимали только натуральные числа) применительно к новым символам оправдывается тем обстоятельством, что сложение и умножение этих символов подчиняются тем же законам, что и соответствующие операции над натуральными числами. Чтобы в этом убедиться, нужно сначала определить, в чем заключаются сложение и умножение рациональных чисел, а также определить, какие рациональные числа признаются равными между собой. Эти определения, как всем известно, таковы:

где a, b, c, d — произвольные натуральные числа. Например,

Эти самые определения мы вынуждены принять, если имеем в виду использовать рациональные числа для измерения длин, площадей и т. п. Но с более строгой логической точки зрения эти правила сложения и умножения и это толкование равенства по отношению ко вновь вводимым символам устанавливаются независимо по определению, не будучи

обусловлены какой-либо иной необходимостью, кроме взаимной совместимости (непротиворечивости) и пригодности к практическим приложениям. Исходя из определений (1), можно показать, что основные законы арифметики натуральных чисел продолжают сохраняться и в области всех рациональных чисел:

p + (q + r) = (p + q) + r (ассоциативный закон сложения),

Так, например, доказательство коммутативного закона сложения в случае дробей ясно из следующих равенств:

здесь первое и последнее равенства оправдываются определением сложения (1), а среднее есть следствие коммутативных законов сложения и умножения в области натуральных чисел. Читатель сможет, если пожелает, проверить таким же образом четыре остальных закона.

2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. Независимо от «практического» основания для введения рациональных чисел существует основание более глубокое и носящее в известном смысле еще более принудительный характер. Эту сторону дела мы рассмотрим здесь совершенно независимо от приведенных выше рассуждений. В обычной арифметике натуральных чисел мы всегда можем выполнять основные прямые операции — сложение и умножение. Но обратные операции — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Разность b − a двух натуральных чисел a и b есть по определению такое натуральное число c, что a + c = b, т. е. это есть решение уравнения a + x = b. Но в области натуральных чисел символ b − a имеет смысл лишь при ограничении b > a, так как только при этом условии уравнение a + x = b имеет решением натуральное число. На пути к снятию этого ограничения серьезный шаг был сделан уже тогда, когда был введен символ 0 для обозначения a − a. Но еще более значительным успехом было введение символов −1, −2, −3, . . . и вместе с тем определения

(b − a) = −(a − b)

для случая b < a: после этого можно было утверждать, что и вычитание обладает свойством неограниченной выполнимости в области всех целых — положительных и отрицательных — чисел. Вводя новые сим-

волы −1, −2, −3, . . . и тем самым расширяя числовую область, мы обязаны, конечно, определить операции со вновь вводимыми числами таким образом, чтобы первоначальные правила арифметических операций не были нарушены. Так, например, правило

которое лежит в основе умножения отрицательных чисел, есть следствие нашего желания сохранить дистрибутивный закон a(b + c) = ab + ac. Действительно, если бы мы, скажем, декларировали, что (−1) · (−1) = −1, то, полагая a = −1, b = 1, c = −1, получили бы (−1) · (1 − 1) = −1 − 1 = −2, тогда как на самом деле (−1) · (1 − 1) = (−1) · 0 = 0.

Понадобилось немало времени, чтобы среди математиков было хорошо осознано, что «правило знаков» (3) и вместе с ним все прочие определения, относящиеся как к отрицательным числам, так и к дробям, никак не могут быть «доказаны». Они создаются, или декларируются, нами самими с целью обеспечить свободу операций и притом без нарушения основных арифметических законов. Что может — и должно — быть доказываемо, так это только то, что если эти определения приняты, то тем самым сохранены основные законы арифметики: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный. Даже великий Эйлер пользовался совершенно неубедительной аргументацией, желая показать, что (−1) · (−1) «должно» равняться +1. Он говорил: «Рассматриваемое произведение может быть только или +1, или −1; но −1 быть не может, так как −1 = (+1) · (−1).»

Совершенно подобно тому, как введение отрицательных целых чисел и нуля расчищает путь для неограниченной выполнимости вычитания, введение дробных чисел устраняет арифметические препятствия, меша-

и существует как целое число только в том случае, если a есть делитель b. Но если это не так (например, при a = 2, b = 3), то мы просто

вводим новый символ ab , называемый дробью и подчиненный условию,

выражающемуся равенством a · ab = b, так что ab есть решение (4) «по

определению». Изобретение дробей как новых числовых символов обеспечивает неограниченную выполнимость деления, за исключением деления на нуль, которое исключается раз навсегда.

Выражения вроде 10 , 30 , 00 и т. п. останутся для нас символами, ли-

шенными смысла. Если бы мы допустили деление на 0, то из верного равенства 0 · 1 = 0 · 2 вывели бы неверное следствие 1 = 2. Иногда

бывает целесообразно обозначать такие выражения символом «бесконечность», однако с условием, чтобы не делалось даже попытки оперировать этим символом так, как будто бы он подчинялся обычным законам арифметики.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных. В этой расширенной области не только полностью оправдываются формальные законы — ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный, — но и уравнения a + x = b и ax = b всегда имеют реше-

ния x = b − a и x = ab с единственной оговоркой, что в случае второго

уравнения a не должно равняться нулю. Иными словами, в области рациональных чисел так называемые рациональные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполнимы неограниченно и не выводят за пределы области. Такие замкнутые числовые области называются полями. Мы повстречаемся с дальнейшими примерами полей ниже, в этой же главе, а также в главе III.

Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, является типичным примером характерного для математики принципа обобщения. Переход путем обобщения от натуральных чисел к рациональным удовлетворяет одновременно и теоретической потребности в снятии ограничений, которые наложены на вычитание и деление, и вместе с тем — практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений. Именно тот факт, что рациональные числа идут навстречу сразу теоретической и практической потребностям, придает им особую важность. Как мы видели, расширение понятия числа совершилось путем введения новых абстрактных символов вроде 0, −2 или 34 .

В наше время мы оперируем этими символами бегло и уверенно, не вдумываясь в их природу, и трудно даже себе представить, что еще в XVII столетии они пользовались доверием гораздо в меньшей степени, чем натуральные числа, что ими если и пользовались, то с известным сомнением и трепетом. Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за «конкретное» — воплощаемое в ряде натуральных чисел — обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности.

3. Геометрическое представление рациональных чисел. Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные — влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделать так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще, термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

Рис. 8. Числовая ось

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства A < B для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число A меньше, чем натуральное число B, то точка A лежит левее точки B. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число A меньше, чем рациональное число B (A < B), или что число B больше, чем число A (B > A), если разность B − A положительна. Отсюда следует (при A < B), что точки (числа) между A и B — это те, которые одновременно > A и < B. Каждая такая пара точек A и B, вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается [A, B] (а множество одних только промежуточных точек — интервалом (или промежутком), обозначаемым (A, B)).

Расстояние произвольной точки A от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной A и обозначается символом

|A|.

Понятие «абсолютная величина» определяется следующим образом: если A > 0, то |A| = A; если A < 0, то |A| = −A. Ясно, что если числа A и B имеют один и тот же знак, то справедливо равенство |A + B| = |A| + |B|; если же A и B имеют разные знаки, то |A + B| < |A| + |B|. Соединяя эти