§4. Треугольник Шварца

1.Доказательство, предложенное Шварцем. Герман Амандус Шварц (1843–1921), выдающийся математик, профессор Берлинского университета, сделал многое для развития современной теории функций

ианализа. Он не считал ниже своего достоинства писать на темы элементарного содержания, и одна из его работ посвящена следующей задаче: в данный остроугольный треугольник вписать другой треугольник с минимальным периметром. (Говоря, что некоторый треугольник вписан в данный, мы подразумеваем, что на каждой из сторон данного треугольника имеется вершина рассматриваемого треугольника.) Мы убедимся в дальнейшем, что существует только один искомый треугольник: именно, его вершинами являются основания высот данного треугольника. Такой треугольник условимся называть высотным треугольником.

Шварц доказал минимальное свойство высотного треугольника, применяя метод отражения и основываясь на следующей теореме элементарной геометрии: в каждой из вершин P , Q, R (рис. 197) две стороны высотного треугольника образуют одинаковые углы со стороной данного треугольника, именно, каждый из этих углов равен углу при противоположной вершине данного треугольника. Например, углы ARQ

иBRP равны каждый углу C и т. д.

C

P

Q

O

A R B

Рис. 197. Высотный треугольник в треугольнике ABC

Докажем прежде всего эту теорему. Так как углы OP B и ORB прямые, то около четырехугольника OP BR можно описать окружность. Следовательно, P BO = P RO, так как названные углы опираются на одну и ту же дугу описанной окружности. Но угол P BO дополнительный к углу C, так как треугольник CBQ прямоугольный, а угол P RO дополнительный к углу P RB. Поэтому P RB = C. Таким же образом, рассуждая по поводу четырехугольника QORA, заключаем, что QRA = C и т. д.

376 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

Этот результат приводит к следствию, относящемуся к высотному треугольнику: так как, например, AQR = CQP , то при отражении относительно стороны AC данного треугольника сторона RQ направ-

на угол 2C, затем опять по часовой

стрелке на угол 2B; при третьем отражении — остается неизменной;

при четвертом — поворачивается на угол 2C против часовой стрелки и при пятом — на угол 2B опять против часовой стрелки. Итого, общий угол поворота равен нулю.

Благодаря указанному выше свойству высотного треугольника прямолинейный отрезок P P 0 равен удвоенному периметру треугольника P QR: действительно, P P 0 составляется из шести отрезков, по очереди равных первой, второй и третьей стороне P QR, причем каждая из

§ 4 ТРЕУГОЛЬНИК ШВАРЦА 377

сторон входит дважды. Таким же образом ломаная линия, соединяющая U и U0, имеет длину, равную удвоенному периметру треугольника UV W . Эта ломаная не короче, чем прямолинейный отрезок UU0. Что же касается прямолинейного отрезка UU0, то он равен P P 0, так

больше, чем периметр любого другого треугольника, вписанного в данный. Это и нужно было доказать. Итак, установлено, что минимум существует и что он реализуется в случае высотного треугольника. Что нет иного вписанного треугольника с тем же периметром — это, однако, не доказано, и это мы докажем дальше.

2. Другое доказательство. Следующее решение задачи Шварца является, вероятно, самым простым. Оно основывается на теореме, ранее доказанной в этой главе: если точки P и Q лежат по одну сторону прямой L (но не на ней самой), то сумма расстояний P R + RQ, где R — точка на L, обращается в минимум в том случае, если P R и QR образуют одинаковые углы с L. Пусть треугольник P QR, вписанный в данный треугольник ABC, решает поставленную минимальную задачу. Тогда точка R на стороне AB должна быть такой, чтобы сумма P R + QR была наименьшей, следовательно, углы ARQ и BRP должны быть равны; и точно так же AQR = CQP , BP R = CP Q. Таким образом, для искомого треугольника с минимальным периметром — если только таковой существует — должно быть выполнено то же самое свойство равенства углов, каким обладает высотный треугольник. Остается показать, что при таком условии наш треугольник не может отличаться от высотного. Кроме того, так как в теореме, на которую мы ссылались,

pq

A R B A R B

Рис. 199–200. Другое доказательство минимального свойства высотного треугольника

предполагается, что P и Q не лежат на AB, то доказательство не годится для случая, когда одна из точек P , Q, R совпадает с какой-нибудь вершиной данного треугольника (при этом периметр треугольника выродился бы в удвоенную соответствующую высоту); чтобы доказательство

ное значение типа минимакса для выражения вида p + q − r, где r — та сторона вписанного (в расширенном смысле) треугольника, которая соответствует тупому углу.

4. Треугольники, образованные световыми лучами. Если допустим, что треугольник ABC изображает комнату с зеркальными стенами, то высотный треугольник определяет единственный треугольный контур, который может быть образован световым лучом. Другие замкнутые многоугольные контуры также не исключены, как показывает рис. 203, но высотный тре-

угольник имеет три стороны.

Обобщим рассматриваемую проблему и спросим себя о возможных «световых треугольниках» в произвольной обла-

сти, ограниченной одной или несколькими гладкими кривыми; точнее говоря, нас интересуют треугольники, вершины которых лежат на заданных кривых, а каждые две прилежащие стороны образуют равные углы с соответствующей кривой. Мы

видели в § 1, что равенство углов является необходимым условием как для максимума, так и для минимума суммы соответствующих сторон, так что, смотря по обстоятельствам, могут возникать различные типы световых треугольников. Так, рассматривая внутренность единственной замкнутой гладкой кривой C, мы можем сказать, что вписанный треугольник максимального периметра должен быть «световым треугольником», обладающим вышеописанными свойствами. Или предположим еще, что каждая из вершин треугольника ABC имеет право находиться на ей соответствующей одной из трех замкнутых гладких кривых (идея Марстона Морса). Тогда световые треугольники характеризуются тем свойством, что их периметры имеют стационарные значения. Но такого рода значение может быть минимальным по отношению ко всем трем вершинам A, B, C; или может быть минимальным по отношению к двум каким-либо вершинам и максимальным по отношению к третьей, или минимальным по отношению к одной какой-нибудь из трех и максимальным относительно двух других; или, наконец, максимальным относительно всех трех. Всего, таким образом, существует по меньшей мере 23 = 8 типов световых треугольников, так как по отношению к каждой из вершин, и притом независимо, возможен максимум или минимум.

*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. В динамике и в оптике представляется задачей первостепенной важности дать описание пути или «траектории» части-

цы или светового луча в пространстве на протяжении неограниченного промежутка времени. Предполагая, что то или иное приспособление физически принуждает частицу или луч оставаться в некоторой ограниченной части пространства, особенно интересно установить, заполняет ли траектория в пределе эту часть пространства повсюду с приблизительно одинаковой «плотностью». Траектория, обладающая таким свойством, называется эргодической. Допущение существования эргодической траектории является исходной гипотезой для применения статистических методов в современных динамических и атомных теориях. Но известно лишь очень немного ситуаций, при которых может быть проведено строгое математическое доказательство «эргодической гипотезы».

Рис. 204–207. Четыре типа световых треугольников между тремя кругами

Простейшие примеры относятся к случаю, когда движение происходит на плоскости внутри замкнутой кривой C, причем предполагается, что «стенка» C представляет собой математически совершенное зеркало, отражающее частицу (в остальном — свободную) под тем же углом, под каким она падает на стенку. Так, например, прямоугольный ящик — идеализированный бильярдный стол с совершенным отражением, причем рассматриваемая частица играет роль бильярдного шара, — обеспечивает, вообще говоря, эргодическое движение: идеальный «бильярдный шар» на протяжении бесконечного промежутка времени побывает в окрестности любой наперед заданной точки, если только исключить некоторые особые начальные положения и направления движения. Мы не приводим здесь доказательства, впрочем, не представляющего труд-