Техника интегрирования

Теорема, доказанная на стр. 462, сводит проблему интегрирования функции f(x) в пределах от a до b к нахождению функции G(x), первообразной по отношению к функции f(x). Интеграл тогда просто равен разности G(b) − G(a).

Для таких первообразных функций (определяемых с точностью до постоянного слагаемого) употребительно наименование «неопределенный интеграл» и чрезвычайно удобное обозначение

Z

G(x) = f(x) dx,

без обозначения пределов интегрирования. (Это обозначение может несколько дезориентировать начинающего: см. замечания на стр. 462.)

Из каждой формулы дифференцирования легко получить, путем ее обращения, некоторую формулу неопределенного интегрирования. К этой, несколько эмпирической, процедуре мы здесь добавим два важных правила, которые по существу представляют собой не что иное, как обращение правил дифференцирования сложной функции и произведения двух функций. В их интегральной форме их называют правилами интегрирования посредством подстановки и интегрирования «по частям».

A) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования слож-

ной функции

H(u) = G(x),

где функции

x = y(u) и u = f(x)

предполагаются взаимно обратными в рассматриваемой области. В таком случае мы имеем

H0(u) = G0(x) y0(u).

Полагая

G0(x) = f(x),

и также

G0(x) y0(u) = f(x) y0(u),

а это вследствие предыдущей формулы для H0(u) равносильно

Z

H(u) = f[y(u)] y0(u) du.

Итак, принимая во внимание, что H(u) = G(x), мы получаем

Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 457), это правило принимает практически очень удобный вид

ZZ

f(x) dx = f(x) dudx du;

оказывается, что мы не сделаем ошибки, если символ dx заменим символом dudx du — так, как будто бы dx и du были числами, а dudx — их

отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами.

Z

Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы

ZZ

откуда следует

Z

J = dxx ln x,

ctg u du = ln sin u.

Иэтот результат проверяется дифференцированием. в) Допустим, что задан интеграл более общего вида

положив x = y(u), f(x) = x, мы найдем:

Z

J =

Z

г) J = sin x cos xdx. Полагаем sin x = u, cos x = dudx. Тогда

ZZ

ZZ

з) J = Z √1 − x2 dx. Полагаем x = cos u, dudx = − sin u. В таком случае

ZZ

Принимая во внимание, что

√

sin 2u = 2 sin u cos u = 2 cos u 1 − cos2 u,

приходим к формуле

J = − 12 arccos x + 12 x√1 − x2.

Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посред-

(Сравните с примерами ж), з).)

Б) Правило дифференцирования произведения (стр. 451)

(p(x) · q(x))0 = p(x) · q0(x) + p0(x) · q(x)

в интегральной форме записывается следующим образом:

ZZ

В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям. Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид p(x) q0(x), причем неопределенный интеграл q(x) от функции q0(x) известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции p(x) q0(x) к проблеме интегрирования функции p0(x) q(x), что часто оказывается более простым.

Z

а) J = ln x dx. Положим p(x) = ln x, q0(x) = 1, так что q(x) = x.

Тогда формула (II) нам дает

ZZ

ln x dx = x ln x − xx dx = x ln x − x.

Z

б) J = x ln x dx. Положим p(x) = ln x, q0(x) = x. Тогда

Z

в) J = x sin x dx. На этот раз положим p(x) = x, q(x) = − cos x и

получим

Z

x sin x dx = −x cos x + sin x.

Вычислите по частям следующие интегралы:

(Указание: воспользуйтесь упражнением 130.)

Z

Интегрируя по частям sinm x dx, мы получаем замечательную фор-

мулу для числа p в виде бесконечного произведения. Напишем функцию sinm x в виде sinm−1 x · sin x и проинтегрируем по частям в пределах

ZZ

так как первый член в правой части (II), pq, обращается в нуль при x =

0 и x = p . Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие

2

p

2

Z

значения интегралов Im = sinm x dx (формулы различаются в зависи-

0

мости от четности n):

Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, мы получаем

Остается положить n → ∞; тогда, убедившись, что средняя часть нера-

ДОБАВЛЕНИЕ 1

Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке*

Существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Наиболее существенной стороной этого разрыва является отсутствие в курсе средней школы элементов математического анализа, которые совершенно необходимы для понимания основных идей физики и многих разделов техники.

Курсы высшей математики для техников, химиков, биологов и специалистов по сельскому хозяйству в наших вузах содержат достаточно солидное изложение элементов классического анализа, но оставляют совершенно в стороне ряд более общих и новых идей математики, относящихся, например, к проективной геометрии, топологии, более высоким разделам вариационного исчисления и т. п. Между тем, эти идеи становятся все более существенными для всей совокупности точных и технических наук.

Наконец, молодежь, избирающая своей специальностью математику или те разделы естественных наук (механику, астрономию, физику), изучение которых в высшей школе связано с прохождением вполне современного большого курса математики, часто нуждается в том, чтобы еще на стадии перехода из средней школы в высшую в более легкой и наглядной форме познакомиться с различными разделами математики вплоть до наиболее высоких и современных.

Выпускаемая в русском переводе книга Р. Куранта и Г. Роббинса может в некоторой мере заполнить указанные выше разрывы между систематическими учебными курсами математики и естественными запросами различных категорий читателей в направлении общего ознакомления с более высокими разделами математики.

Отдельные главы этой книги в значительной мере независимы друг от друга (см. указания автора «Как пользоваться книгой») и могут пред-

*О причинах, вызвавших появление этой вклейки, см. предисловие В. М. Тихомирова, с. 5. — Прим. ред. наст. изд.

ВКЛЕЙКА В ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ 541

ставить интерес в первую очередь для следующих категорий читателей.

1.Главы VI–VIII позволяют читателям с подготовкой в размере курса средней школы в сравнительно легкой форме познакомиться с основными идеями высшей математики (дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление).

2.Читателям, прошедшим краткий курс высшей математики, — инженерам, химикам, многим преподавателям математики в средней школе — будут по преимуществу интересны главы I–V, вводящие их в менее знакомые им разделы математики, и некоторый дополнительный материал в последних главах. Главы I–V будут интересны также тем выпускникам средней школы, которые пожелают, в связи с выбором специальности, познакомиться с современной математикой.

3.Наконец, многие разделы книги могут быть использованы в школьных кружках любителей математики и в кружках и семинарах для студентов младших курсов физико-математических факультетов университетов, педагогических и учительских институтов.

Наша отечественная литература, обслуживающая перечисленные потребности, еще недостаточна. Поэтому Издательству представлялось весьма желательным ее пополнение хорошо написанной переводной книгой, хотя бы и содержащей некоторые недостатки и ошибки.

Первый из авторов книги, ответственный за ее общий замысел,—

Р.Курант является крупным математиком, имеющим заслуги по преимуществу в областях математического анализа, близких к вопросам математической физики. §§ 7–11 отражают в элементарных рамках данной книги собственные исследования Р. Куранта.

Теория чисел, геометрия и топология более далеки от личных интересов Р. Куранта. Выбор вопросов из этих областей иногда имеет несколько случайный характер, а их изложение в отдельных случаях не вполне точно. Однако подход к этим вопросам с точки зрения математика, привыкшего работать в области математического естествознания, иногда интересен и своеобразен.

Не ставя своей специальной целью излагать историю идей и методов математики, Курант, однако, не может избежать замечаний исторического характера. Последние крайне немногочисленны и явно неполны. Так, например, отмечая выдающихся математиков, внесших вклад в теорию чисел, Курант совершенно не упоминает великого русского аналитика П. Л. Чебышёва; говоря о развитии современной топологии, проходит мимо достижений школы советских топологов. В исторических ссылках Куранта имеются и прямые ошибки. Приоритет открытия неевклидовой геометрии бесспорно принадлежит великому русскому геометру Н. И. Лобачевскому; Курант этого не подчеркивает, и у читателя создается впечатление, что автор отдает предпочтение в этом вопросе Гауссу, который, владея лишь замыслом неевклидовой геометрии, не только не

дал этому замыслу достаточного развития, не только не опубликовал своих взглядов на этот вопрос, но и не позволял опубликовывать их тем, кому они были известны. Неправильно распределяет Курант заслуги между Зигелем и Гельфондом: решение общей проблемы Гильберта (доказательство трансцендентности чисел вида ab, где a — алгебраическое, а b — алгебраическое иррациональное число) целиком принадлежит А. О. Гельфонду. Тенденциозно и умаление заслуг И. М. Виноградова.

Наконец, в принципиальных философских вопросах математики Р. Курант является эклектиком. Поэтому Издательство предпочло сократить авторское введение «Что такое математика». Советскому читателю излишне пояснять, что пожелания автора относительно будущего математики, которые заканчивают это введение, не могут быть осуществлены буржуазной наукой. Это — задача советской математики.