§7. Дифференциальные уравнения

или

u0 + 3u = x2.

В более общем случае дифференциальное уравнение может содержать вторую производную u00 = f00(x) или производные более высокого порядка, как, например, уравнение

u00 + 2u0 − 3u = 0.

Во всех подобных случаях задачей является нахождение функции u = f(x), удовлетворяющей данному уравнению.

Решение дифференциальных уравнений есть широкое обобщение задачи интегрирования, понимаемой как нахождение первообразной функции по заданной функции g(x): последнее сводится к решению простейшего дифференциального уравнения

u0 = g(x).

Например, решениями дифференциального уравнения

u0 = x2

являются функции u = x3 + c, где c — произвольное постоянное.

3

2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.

Показательная функция u = ex является решением дифференциального уравнения

так как производная от показательной функции равна самой показательной функции. И вообще, функция u = cex, где c — произвольное постоянное, есть решение уравнения (1). Аналогично, функция

где c и k — две какие-нибудь постоянные, есть решение дифференциаль-

Обратно, всякая функция u = f(x), удовлетворяющая уравнению (3), имеет вид (2). В самом деле, пусть функции x = h(u) и u = f(x) взаимно обратные; в таком случае, следуя правилам дифференцирования обратной функции, найдем

h0 = u10 = ku1 .

Функцией, первообразной по отношению к найденной производной ku1 ,

является функция lnku; итак, x = h(u) = lnku + b, где b — некоторое по-

стоянное. Отсюда

ln u = kx − bk

и

u = ekx · e−bk.

Полагая постоянную величину e−bk равной c, получим

u = cekx,

как и нужно было предвидеть.

Большое значение уравнения (3) заключается в том, что оно «регулирует» физические процессы, в которых количество u какого-нибудь вещества представляет собой функцию времени

u= f(t)

ипритом изменяется таким образом, что скорость изменения в каждый момент пропорциональна количеству u вещества, имеющегося налицо. В этом случае скорость изменения в момент t, т. е.

u0 = f0(t) = lim f(t1) − f(t) , t1 − t

равна ku, где k — постоянный коэффициент пропорциональности, положительный, если u возрастает, и отрицательный, если u убывает. В обоих случаях функция u удовлетворяет дифференциальному уравнению (3); следовательно, она имеет вид

u = cekt.

Постоянная c определена, если известно количество вещества u0, имевшееся налицо в начальный момент, т. е. при t = 0. Величину u0 мы должны получить при подстановке t = 0 в уравнение (2):

u0 = ce0 = c;

отсюда и получается

Следует обратить внимание на то, что мы исходим из предположения, что задана скорость изменения величины u, и выводим закон (4), который позволяет вычислить фактическое количество вещества u в любой момент времени t. Эта задача как раз противоположна задаче нахождения производной от какой-нибудь функции.

Типичным примером явления указанного типа можно считать распад некоторого радиоактивного вещества. Пусть u = f(t) есть количество вещества в момент времени t; если принять гипотезу, что каждая индивидуальная частица вещества имеет некоторую определенную вероятность распада и что эта вероятность не зависит от присутствия других частиц, то скорость, с которой количество u будет распадаться в данный момент

Примером закона, близкого к рассмотренному только что закону показательной функции, может служить явление так называемых сложных процентов. Пусть некоторый капитал u0 (долларов) отдан в рост из расчета 3% (сложных) в год. По истечении одного года капитал станет

равным

u1 = u0(1 + 0,03);

Теперь, если начисление процентов происходило бы не один раз в год, а один раз в месяц, или, вообще, один раз в n-ю часть года, то по истечении t лет наращенный капитал выразился бы формулой

Если предположить, что число n очень велико, так что проценты присчитываются ежедневно или даже ежечасно, то, воображая, что n стремится к бесконечности, мы заметим, что величина, стоящая в скобках, стремится к e0,03 согласно сказанному в § 6, и в пределе капитал по истечении t лет выразится формулой

что соответствует процессу непрерывного присчитывания сложных процентов. Можно также вычислить время s, нужное для того, чтобы удвоить основной капитал, отданный в рост по 3 сложных непрерывно на-

Итак, капитал удвоился бы по истечении приблизительно 23 лет. Вместо того чтобы шаг за шагом проделывать описанную выше про-

цедуру и затем переходить к пределу, мы могли бы получить формулу (7), просто сказав, что скорость u0 возрастания капитала u пропорциональна этому капиталу, с коэффициентом пропорциональности k = 0,03, согласно дифференциальному уравнению

u0 = ku, где k = 0,03.

Тогда формула (7) вытекала бы непосредственно из общей формулы (4).

3. Другие примеры. Простые колебания. Показательная функция встречается часто в более сложных комбинациях. Например, функция

где k — положительная константа, является решением дифференциаль-

ного уравнения

u0 = −2kxu.

Функция (8) играет большую роль в теории вероятностей и в статистике, выражая, как говорят, «нормальный» закон распределения.

Тригонометрические функции u = cos t и v = sin t также удовлетворяют простому дифференциальному уравнению. Прежде всего обратим внимание на соотношения

u0 = − sin t = −v, v0 = cos t = u,

образующие «систему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями». Дифференцируя вторично, мы находим

u00 = −v0 = −u, v00 = u0 = −v;

таким образом, обе функции u и v временного переменного t могут рассматриваться как решение одного и того же дифференциального уравнения

Это — очень простое дифференциальное уравнение «второго порядка», т. е. уравнение, содержащее вторую производную от функции z. Оно, или, лучше сказать, его обобщение, содержащее положительную постоянную k2,

(решениями которого являются функции z = cos kt и z = sin kt), постоянно встречается при изучении теории колебаний, и потому «синусоидальные» кривые u = sin kt и u = cos kt (рис. 280) в высшей степени интересуют всех, кто занимается конструкцией механизмов, совершающих или порождающих колебательные движения.

Следует заметить, что дифференциальное уравнение (10) представляет «идеальный» случай, когда трение или сопротивление предполагаются отсутствующими.

В дифференциальном уравнении колебательного движения сопротивление выражается лишним членом, а именно rz0, так что уравнение имеет вид

490 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

его решениями являются «затухающие» колебания, выражающиеся ма-

что графически представлено на рис. 281. (В качестве упражнения читатель пусть проверит правильность этих решений путем дифференцирования.) Затухающие колебания того же самого типа, что и обыкновенные синусоиды или косинусоиды, но с течением времени их размах уменьшается вследствие присутствия показательного множителя, убывающего более или менее быстро, в зависимости от величины коэффициента трения r.

z

z

Рис. 280. Гармонические колебания

4. Закон движения Ньютона. Хотя более подробный анализ подобных явлений нами не предусмотрен, мы все же хотим включить их в общую схему, на основе которой Ньютон произвел подлинную революцию в механике и физике.

Рассмотрим вместе с Ньютоном движение некоторой частицы, имеющей массу m; обозначим ее пространственные координаты, являющиеся функциями времени t, через x(t), y(t), z(t); таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным x00(t), y00(t), z00(t). В истории науки фактом решающего значения оказалось осознание Ньютоном того, что величины mx00, my00, mz00 могут быть рассматриваемы как компоненты силы, действующей на частицу. С первого взгляда может показаться, что в этой формулировке содержится всего лишь формальное определение понятия «силы». Но большой успех Ньютона заключается в том, что он первый привел это определение в соответствие с действительными явлениями природы: дело обстоит так, как будто бы сама природа предоставляла силовое «поле», которое мы можем считать известным, тогда как нам ничего не известно заранее об интересующем

z

z

Рис. 281. Затухающее колебание

нас движении частицы в этом поле. Величайший триумф ньютоновской динамики — обоснование законов Кеплера о движении планет — ясно показывает полную гармонию между математическими концепциями Ньютона и явлениями природы. Прежде всего Ньютон предположил, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Если мы допустим, что Солнце находится в начале координатной системы, и примем величины x, y, z за координаты данной планеты, то компоненты силы по направлениям трех координатных осей будут равны соответ-

ственно

−k · rx3 , −k · ry3 , −k · rz3 ,

√

где r = x2 + y2 + z2 есть расстояние от Солнца до планеты, а k — постоянная тяготения, не зависящая от времени. Эти выражения определяют силовое поле независимо от движения в нем частицы. Известные нам данные, характеризующие это поле, нужно связать с общим ньютоновым законом движения (т. е. связать кинематические и динамические элементы); приравнивая два различных выражения вектора, мы получим

492 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

стремя неизвестными функциями x(t), y(t), z(t). Эту систему можно решить, и тогда обнаружится, что в полном согласии с кеплеровскими эмпирическими наблюдениями орбита планеты есть коническое сечение

сСолнцем в одном из фокусов, что площади, описываемые в равные промежутки времени радиусом-вектором, проведенным от Солнца к планете, равны между собой и что квадраты периодов полного обращения двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубам их расстояний от Солнца. Доказательство этих утверждений мы вынуждены опустить.

Задача о колебательном движении предоставляет более элементарную иллюстрацию метода Ньютона. Предположим, что мы имеем частицу, движущуюся по прямой линии, по оси x, и связанную с началом координат силой упругости, что можно, например, осуществить с помощью пружины или резинки.

Если частица выведена из положения равновесия (в начале координат) и помещена в некоторую точку с координатой x, то сила потянет ее назад. Мы предположим, что эта сила пропорциональна растяжению x; так как она направлена к началу координат, то представится в виде −k2x, где −k2 — отрицательный множитель пропорциональности, выражающий силу упругости пружины или резинки.

Мы предположим, далее, что налицо имеется трение, замедляющее движение, и что это трение пропорционально скорости x0 частицы с коэффициентом пропорциональности, равным −r. Тогда результирующая сила в любой момент времени выразится через −k2x − rx0, и, пользуясь общим принципом Ньютона, мы приходим к уравнению mx00 = −k2x −

rx0, или

mx00 + rx0 + k2x = 0.

А это — не что иное, как рассмотренное выше дифференциальное уравнение (11) затухающих колебаний. Предыдущий простой пример имеет большое значение, так как многие колебания механических или электрических систем могут быть математически записаны с помощью именно этого дифференциального уравнения. Здесь мы имеем типичный пример того, как отвлеченная математическая формулировка одним ударом обнажает внутреннюю структуру многих, казалось бы, совершенно различных и не связанных между собой отдельных явлений. Подобного рода абстрагирование от частного характера данного явления и пере-

494 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII

2) Где расположены угловые точки графика

Каковы точки разрыва производной f0(x)?

В качестве простого примера недифференцируемости уже иного типа

приведем функцию

y = f(x) = x sin x1 ,

получаемую посредством умножения функции sin x1 (см. стр. 304) на

множитель x; положим, по определению, что f(x) = 0 при x = 0. Эта функция, график которой для положительных значений переменного x изображен на рис. 285, непрерывна в каждой точке. График колеблется бесконечно часто в окрестности точки x = 0, причем «волны» становятся бесконечно малыми, если мы приближаемся к нулю. Наклон этих волн

дается формулой

f0(x) = sin x1 − x1 cos x1

(пусть читатель проверит это в качестве упражнения); при стремлении x к нулю этот наклон колеблется между все возрастающими положительной и отрицательной границами. Мы можем сделать попытку найти

Но при h → 0 это разностное отношение колеблется между −1 и +1 и не стремится ни к какому пределу, следовательно, функция не может быть продифференцирована в точке x = 0.

Эти примеры указывают на трудности, внутренне присущие самому вопросу. Вейерштрасс удивительно ярко проиллюстрировал положение вещей, построив непрерывную функцию, график которой не имеет производной ни в одной точке. В то время как дифференцируемость влечет за собой непрерывность, непрерывность, как показывает этот пример, отнюдь не влечет за собой дифференцируемости; в самом деле, функция Вейерштрасса всюду непрерывна, а вместе с тем нигде не дифференцируема. На практике трудности такого рода не встретятся. Обычно встречающиеся кривые являются «гладкими» (за исключением разве только отдельных изолированных точек), т. е. дифференцирование не только возможно, но даже сама производная является непрерывной. Что же в таком случае может нам помешать просто сделать оговорку, что никакие «патологические» явления не будут фигурировать в задачах, подлежащих нашему рассмотрению? Именно так и поступают в анализе те, кому приходится иметь дело только с

§ 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА 495

следует положить значение функций при x = 0 равным нулю.)

2. Интеграл. Аналогично и положение с интегралом от непрерывной функции f(x). Вместо того чтобы «площадь под кривой» принимать как величину, объективно существующую и которую a posteriori можно выразить с помощью предела последовательности конечных сумм, этот предел в анализе принимают в качестве определения интеграла. Эта концепция интеграла образует первичную основу, из которой затем выводится понятие площади. Мы вынуждены стать на эту точку зрения вследствие сознания того, что геометрическая интуиция обладает известной расплывчатостью, когда она применяется к таким общим аналитическим понятиям, как непрерывная функция. Мы начнем с по-

496 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII

строения суммы

n n

XX

где x0 = a, x1, . . . , xn = b — точки деления промежутка интегрирова-

например, vj = xj или vj = xj−1.)

Далее, мы образуем последовательность подобных сумм, в которых число n частных промежутков возрастает, причем длина максимального частного промежутка стремится к нулю. Тогда справедливо следующее основное положение: сумма Sn, составленная для данной непрерывной функции f(x), стремится к некоторому определенному пределу A, не зависящему от способа разбиения промежутка интегрирования и от вы-

b

R

бора точек vj. По определению, этот предел есть интеграл A = f(x) dx.

a

Конечно, существование этого предела должно быть аналитически доказано, если мы не хотим ссылаться на интуитивное геометрическое представление площади. Это доказательство приводится в каждом руководстве анализа, учитывающем требования математической строгости.

Сравнение дифференцирования и интегрирования приводит нас к следующему противопоставлению. Свойство дифференцируемости, несомненно, налагает ограничительное условие на класс всех непрерывных функций; вместе с тем фактическое выполнение операции дифференцирования сводится на практике к процедурам, основанным лишь на нескольких простых правилах. В противоположность этому каждая непрерывная функция без исключения интегрируема, так как обладает интегралом между любыми двумя данными пределами. Однако прямое вычисление интегралов, понимаемых как пределы сумм, даже в случае самых простых функций, вообще говоря, дело очень трудное. Но тут-то и оказывается, что основная теорема анализа во многих случаях становится решающим орудием при осуществлении интегрирования. И все же для большей части функций, в том числе даже для некоторых совершенно элементарных, интегрирование не дает простых явных выражений, и числовые выкладки для интегралов требуют более продвинутых методов.

3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой. Оторвав аналитическое представление интеграла от его первоначальной геометрической интерпретации, мы встречаемся с целым рядом других, не менее важных интерпретаций и приложений этого основного понятия. Например, в механике интеграл может быть интер-

претирован как выражение работы. Достаточно будет разъяснить это на следующем простом примере. Предположим, что некоторая масса движется по оси x под влиянием силы, направленной вдоль этой оси. Будем считать, что вся масса сосредоточена в одной точке с координатой x и что сила задана как функция этой точки f(x), причем знак функции f(x) указывает на направление силы. Если сила постоянна и передвигает массу из точки a в точку b, то работа, произведенная ею, равна произведению величины силы f на пройденный массой путь: (b − a)f. Но если сила меняется вместе с изменением x, то придется определять общую произведенную работу с помощью предельного процесса (подобно тому, как мы прежде определяли скорость). Для этой цели мы разобьем промежуток от a до b, как и прежде, на мелкие частные промежутки точками x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b; затем предположим, что в каждом частном промежутке сила остается постоянной и равной, скажем, величине f(xn), истинному значению силы в конечной точке, и вычислим работу, соответствующую такой «ступенчатой» силе:

n

X

Sn = f(xn)Δxn.

n=1

Если мы теперь, как раньше, станем уменьшать промежутки деления, заставляя n неограниченно расти, мы увидим, что сумма будет стре-

миться к интегралу

b

Z

f(x) dx.

a

Таким образом, работа, совершаемая непрерывно меняющейся силой, определена с помощью интеграла.

Вчастности, рассмотрим массу m, связанную с началом координат x = 0 упругой пружиной. Сила f(x), согласно рассуждению на стр. 486, будет пропорциональна x,

f(x) = −k2x,

где k2 — положительная постоянная. Тогда работа, совершенная этой силой при перемещении массы m из начала координат в точку b, выразится

интегралом

b

Z

(−k2x) dx = −k2 b2 ,

2

a

а работа, которую мы сами должны затратить при растяжении пружины

до точки b, равна +k2 b2 .

2

Другое приложение общего понятия интеграла — это вычисление длины дуги кривой. Предположим, что рассматриваемая часть кривой

Мы удовольствуемся лишь простым написанием этих интегральных выражений. Их можно было бы вычислить, применяя несколько более развитую технику интегрирования, чем та, которая имеется в нашем распоряжении, но мы не пойдем дальше в этом направлении.

§2. Порядки возрастания

1.Показательная функция и степени переменного x. В математике мы постоянно встречаемся с последовательностями чисел an, которые имеют бесконечный предел. Часто бывает нужно сравнить такую последовательность с другой последовательностью, например, чисел bn, тоже стремящихся к бесконечности, но, может быть, «быстрее», чем последовательность чисел an. Уточним это понятие: мы скажем, что bn стремится к бесконечности быстрее, чем an, или bn имеет более высокий

порядок возрастания, чем an, если отношение an (в котором как числи- bn

тель, так и знаменатель стремятся к бесконечности) стремится к нулю при возрастании n. Например, последовательность bn = n2 стремится к

бесконечности быстрее, чем последовательность a = n, а эта последо-

n √

вательность, в свою очередь, быстрее, чем последовательность cn = n,

Ясно, что ns стремится к бесконечности быстрее чем nr (при s > r > 0),

nr 1

так как ns = ns−r → 0.

Если отношение an стремится к некоторой конечной постоянной c, bn

отличной от нуля, то мы говорим, что обе последовательности an и bn стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью или что они имеют

одинаковый порядок возрастания. Так, например, an = n2 и bn = 2n2 + n

имеют один и тот же порядок возрастания, потому что

Могла бы возникнуть мысль, что возрастание любой последовательности an с бесконечным пределом может быть «измерено» с помощью степеней ns так же, как любой отрезок может быть измерен с помощью линейки с делениями. Стоило бы только для этого найти подходящую степень ns с тем же порядком возрастания, что и an, т. е. такую, что отношение anns стремится к некоторой конечной, отличной от нуля по-

стоянной. Но совершенно замечательным является то обстоятельство, что осуществить это отнюдь не всегда возможно — хотя бы потому, что

показательная функция an при a > 1 (например, en) стремится к бесконечности быстрее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы велик

и мы приходим к выражению, имеющемуся в соотношении (3) при s = 1.

Упражнения. 1) Докажите, что при x → ∞ функция ln ln x стремится к бесконечности медленней, чем ln x.

что при возрастании x производная «асимптотически равна» первому члену, ln1x , т. е. что отношение упомянутых величин при x → ∞ стремится к 1.

2. Порядок возрастания функции ln(n!). Во многих приложениях, например в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или «асимптоти- y ческое поведение» выражения n! при очень больших значениях n. Займемся здесь изучением логарифма от n!, т. е.

выражения

при n → ∞.

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма Pn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади

n+1

Z

ln x dx = (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1) + 1

0

под логарифмической кривой в пределах от 1 до n + 1 [см. стр. 532, упражнение а)]. Но в то же самое время сумма Pn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до n,

n

Z

ln x dx = n ln n − n + 1.

1

Отсюда мы имеем

n ln n − n + 1 < Pn < (n + 1) ln(n + 1) − n;

§ 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 503

разделив это неравенство на n ln n, получим

Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено

дение доказано.

Упражнение. Докажите, что упомянутые выше границы, соответственно, больше чем 1 − n1 и меньше чем 1 + n1 .

§3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения

1.Бесконечные ряды функций. Мы не раз уже имели случай указать, что, выражая величину s в виде «суммы бесконечного ряда»

мы не утверждаем ничего иного, кроме того, что s есть предел при возрастающем n последовательности конечных «частных сумм»

s1, s2, s3, . . . ,

где

Таким образом, равенство (1) равносильно предельному соотношению

где sn определено с помощью (2). Если предел (3) существует, то мы говорим, что ряд (1) сходится к значению s; напротив, если предел (3) не существует, то мы говорим, что этот ряд расходится.

Например, ряд

1 − 13 + 15 − 17 + . . .

сходится к значению p , а ряд

4

1 − 12 + 13 − 14 + . . .

сходится к значению ln 2; но, напротив, ряд

1 − 1 + 1 − 1 + . . .

расходится, так как частные суммы здесь равны поочередно то 1, то 0;

а ряд

1 + 1 + 1 + 1 + . . .

расходится по той причине, что частные суммы стремятся к бесконечности.

Нам приходилось уже встречаться с рядами, общий член которых есть функция переменной x, имеющая вид

bi = cixi,

причем ci не зависит от x. Такие ряды называются степенными; для них частными суммами являются многочлены

sn = c0 + c1x + c2x2 + . . . + cnxn;

прибавление постоянного члена c0 потребует лишь несущественного изменения обозначений в формуле (2).

Разложение функции f(x) в степенной ряд

f(x) = c0 + c1x + c2x2 + . . .

есть, таким образом, один из способов представить функцию f(x) приближенно с помощью простейших функций — полиномов. Подводя итоги предыдущим результатам и несколько дополняя их, составим следующий список уже известных нам разложений в степенные ряды:

Доказательство этих разложений может быть построено как простое следствие из соотношений (см. стр. 464)

Мы отправляемся от следующего очевидного неравенства:

cos x 6 1.

Интегрируя от 0 до x, где x есть некоторое фиксированное положительное число, мы находим по формуле (13) со стр. 437:

sin x 6 x;

интегрируя это еще раз, получим

1 − cos x 6 x2 ,

2

что равносильно

cos x > 1 − x2 .

2

Проинтегрировав последнее неравенство, найдем

sin x > x − x3 = x − x3 .

2 · 3 3!

Продолжая таким же способом до бесконечности, мы получаем две серии неравенств:

Установим теперь, что при неограниченном возрастании n имеет ме-

сто соотношение xn → 0. n!

Для того чтобы это доказать, выберем некоторое фиксированное чис-

Поскольку члены этих рядов, меняя поочередно знаки, убывают по величине (по крайней мере, при |x| 6 1), то ошибки, совершаемые при обрывании каждого из рядов на некотором члене, не превышают по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Эти ряды можно использовать при составлении таблиц.

Если ограничиться выписанными двумя членами, то совершаемая при этом

Если a = n есть целое положительное число, то Cna = 1, и в формуле (11) все коэффициенты Csa при s > n обращаются в нуль, так что мы просто получаем конечную формулу обыкновенной биномиальной теоремы. Одно из крупных открытий Ньютона, сделанных им в начале его деятельности, заключалось в том, что он обобщил биномиальную теорему на случай всех возможных значений показателя a как положительных, так и отрицательных, как рациональных, так и иррациональных. Если a не есть целое положительное число, то правая часть формулы (11) дает бесконечный ряд, сходящийся к значению, равному левой части, при −1 < x < +1. Если же |x| > 1, то ряд (11) расходится,

изнак равенства теряет всякий смысл.

Вчастности, подставляя в формулу (11) значение a = 12 , мы найдем разложение

Подобно другим математикам XVIII в., Ньютон не дал настоящего доказательства своей формулы. Удовлетворительный анализ сходимости и пределы, в которых разложение оказывается справедливым, не были установлены для подобных рядов вплоть до XIX в.

Разложения (4)–(11) являются частными случаями общей формулы Брука Тейлора (1685–1731), дающей разложение функции f(x) в степенной ряд вида

Подмечая закон, выражающий коэффициенты этого ряда cj с помощью функции f(x) и ее производных, можно утверждать справедливость этого разложения для очень обширного класса функций.

Здесь невозможно привести строгое доказательство формулы Тейлора; невозможно также точно сформулировать условия, при которых она справедлива. Но следующие общедоступные соображения прольют некоторый свет на относящиеся сюда взаимоотношения и существенные факты.

Допустим предварительно, что разложение (13) возможно. Далее предположим, что функция f(x) дифференцируема, что ее производная f0(x) дифференцируема, и так далее, так что существует бесконечная последовательность производных

f0(x), f00(x), . . . , f(n)(x), . . .

Наконец, будем дифференцировать бесконечный степенной ряд почленно точно так, как если бы это был конечный многочлен, не озабочиваясь вопросом о законности такой процедуры. После всех этих допущений можно определить коэффициенты cn, зная поведение функции f(x) в окрестности точки x = 0. Прежде всего, подставляя в формулу (13)

x = 0, мы находим

c0 = f(0),

снова подставляя значение x = 0, но на этот раз в формулу (130), мы

находим

c1 = f0(0).

подставляя затем в полученную формулу (1300) x = 0, мы видим, что

2! c2 = f00(0).

Аналогично, продифференцировав (1300) и затем подставив x = 0, полу-

чаем

3! c3 = f000(0)

и, продолжая дальше таким же образом, мы найдем общую формулу для коэффициента cn:

где f(n)(0) представляет собой значение n-й производной от функции f(x) при x = 0. В результате получим ряд Тейлора

Пусть читатель в качестве упражнения проверит, что в примерах (4)– (11) коэффициенты степенных рядов составлены как раз по этому закону.

2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. Одним из самых поразительных достижений Эйлера, полученных им на основе его формалистических манипуляций, является открытие тесной внутренней связи, существующей в области комплексного переменного между функциями синус и косинус, с одной стороны, и показательной функцией — с другой. Нужно заранее указать, что ни «доказательство» Эйлера, ни следующие далее доводы ни в какой мере не носят строгого характера; это — типичные для XVIII в. примеры формальных буквенных выкладок, пронизанных доверием к силе математического символизма.

Начнем с тождества Муавра, доказанного в главе II:

(cos nf + i sin nf) = (cos f + i sin f)n.

Подстановка f = nx приводит нас к соотношению cos x + i sin x = cos nx + i sin nx n .

Если x зафиксировано, то cos nx будет мало отличаться от cos 0 = 1 при неограниченном возрастании n; кроме того, так как

этому можно считать более или менее естественным такой предельный

переход:

cos x + i sin x = lim 1 + ixn n при n → ∞.

Преобразуя правую часть этого равенства согласно формуле (стр. 473)

Это и есть результат, полученный Эйлером.

Мы можем вывести эту самую формулу и другим, тоже формалистическим путем — из разложения функции ez:

ez = 1 + z + z2 + z3 + . . . ,

1! 2! 3!

вместо z подставляя ix, где x — действительное число. Если мы вспомним, что последовательными степенями числа i являются числа i, −1, −i, +1 и т. д., периодически, то, собирая действительные и мнимые части, мы получим

заменяя далее ряды в правой части их суммами cos x и sin x, мы снова получаем формулу Эйлера.

Такое рассуждение отнюдь не является настоящим доказательством соотношения (15). Против нашего второго «вывода» можно возразить, что разложение в ряд для функции ez было проведено в предположении, что z — действительное число; поэтому подстановка z = ix должна быть оправдана дополнительными соображениями. Точно так же полноценность первого рассуждения уничтожается тем, что формула

была раньше выведена только для действительных значений z.

Чтобы формула Эйлера из области чистого формализма перешла в область строгих математических истин, потребовалось развитие теории функций комплексного переменного — одного из величайших достижений XIX в. Многие другие глубокие проблемы стимулировали это далеко идущее развитие. Мы видели, например, что промежутки сходимости разложений различных функций в степенные ряды различны. Почему некоторые разложения сходятся всюду, т. е. для всех значений x, в то время как другие теряют смысл при |x| > 1?

Рассмотрим, например, геометрическую прогрессию (4), приведенную на стр. 498, которая сходится при |x| < 1. Левая часть этого ра-

же время ряд в правой части ведет себя очень странно: он принимает вид 1 − 1 + 1 − 1 + . . .

Этот последний ряд не является сходящимся, поскольку его частные суммы колеблются между 1 и 0. Это свидетельствует о том, что функция может порождать расходящийся ряд даже в том случае, если сама она не обнаруживает какой-либо иррегулярности. Правда, функ-

1

ция 1 + x становится бесконечной при x = −1. И так как легко доказать,

что сходимость степенного ряда в точке x = a > 0 влечет за собой сходимость в промежутке −a < x < a, то мы могли бы, пожалуй, усмотреть «объяснение» странного поведения нашего разложения в разрывности

как мы убеждаемся, подставляя x2 вместо x в формулу (4). Полученный ряд тоже сходится при |x| < 1; вместе с тем при x = 1 он снова приводит к ряду 1 − 1 + 1 − 1 + . . ., а при |x| > 1 он резко расходится, и однако же сама функция всюду ведет себя безупречно.

Оказывается, что полное объяснение этим явлениям возможно лишь

тогда, когда функции изучаются в области комплексных значений переменного x, охватывающей как действительные, так и мнимые его значе-

1

ния. Например, ряд для функции 1 + x2 должен расходиться при x = i,

так как знаменатель дроби при этом значении переменного равен нулю. Отсюда следует, что ряд должен расходиться при всех таких значениях x, что |x| > |i| = 1, поскольку можно доказать, что сходимость его для одного такого значения x повлекла бы за собой его сходимость при x = i. Таким образом, вопрос о сходимости рядов, которым полностью пренебрегали в период возникновения анализа, стал одним из главных факторов создания теории функций комплексного переменного.

3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. Ряды, члены которых являются простыми комбинациями целых чисел, особенно интересны. В качестве примера рассмотрим «гармонический ряд»

отличающийся от известного нам ряда, сумма которого равна ln 2, только знаками членов, стоящих на четных местах.

Поставить вопрос, сходится ли этот ряд, все равно, что спросить себя, стремится ли к конечному пределу последовательность чисел

Несмотря на то, что по мере продвижения по ряду (16) члены его приближаются к 0, легко увидеть, что ряд этот не сходится. Действительно, взяв достаточное количество членов, мы можем превысить любое положительное число; таким образом, sn возрастает беспредельно, и, значит, ряд (16) «расходится к бесконечности». Чтобы в этом убедиться,

заметим, что

1 s2 = 1 + 2 ,

Таким образом, например, частные суммы s2m превышают 100, если только m > 200.

Если гармонический ряд расходится, то, с другой стороны, можно доказать, что ряд

§ 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 511

сходится при всяком значении s, большем чем 1, и сумма его, рассматриваемая как функция переменного s, есть так называемая дзета-функция:

1 1 1 1

z(s) = lim 1 + 2s + 3s + 4s + . . . + ns при n → ∞. (20)

Эта функция, очевидно, определена только при s > 1.

Существует важное соотношение между дзета-функцией и простыми числами, которое мы выведем, исходя из свойств геометрической прогрессии. Пусть p есть какое-нибудь простое число; тогда при s > 1

Перемножим такого рода равенства, написанные для всех простых чисел p = 2, 3, 5, 7, . . . (не задаваясь вопросом о законности такой операции). В левой части мы получим «бесконечное произведение»

вэто же время в правой части мы получаем ряд

1 1

1 + 2s + 3s + . . . = z(s),

всилу того обстоятельства, что каждое целое число, большее чем 1, может быть единственным образом представлено как произведение степеней различных простых чисел. Итак, нам удалось выразить дзетафункцию в виде произведения

Если бы существовало только конечное число простых чисел, скажем, p1, p2, p3, . . . , pr, то произведение в правой части формулы (21) было бы обыкновенным конечным произведением и имело бы поэтому конечное значение даже при s = 1. Однако мы видели, что дзета-ряд

при s = 1

z(1) = 1 + 12 + 13 + . . .

расходится, стремясь к бесконечности. Это рассуждение, которое легко превратить в строгое доказательство, показывает, что существует бесконечное множество простых чисел. Конечно, это доказательство гораздо

запутаннее и искусственнее, чем данное Евклидом (см. стр. 40). Но оно столь же привлекательно, как трудный подъем на вершину горы, которая могла бы быть достигнута с другой стороны по комфортабельной дороге.

С помощью бесконечных произведений, подобных тому, которое дается формулой (21), функции иногда выражаются так же удобно, как и с помощью бесконечных рядов.

Другое бесконечное произведение, открытие которого представляет собой еще одно из достижений Эйлера, относится к тригонометрической функции sin x. Чтобы понять найденную Эйлером формулу, мы начнем со следующего замечания относительно многочленов. Если

f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn

есть многочлен степени n и имеет n различных нулей x1, . . . , xn, то, как известно из алгебры, функция f(x) может быть разложена на линейные

множители

f(x) = an(x − x1) . . . (x − xn)

(см. стр. 122). Вынося за скобку произведение x1x2 . . . xn, мы можем

где C — постоянная, равная a0, что легко установить, положив x = 0. Далее возникает вопрос: возможно ли аналогичное разложение уже не для полиномов, а для более сложных функций f(x)? (В общем случае ответ не может быть утвердительным, в чем легко убедиться на примере показательной функции, которая вовсе не имеет нулей, поскольку ex 6= 0 при любых значениях x.) Эйлер открыл, что для функции синус такое разложение возможно. Чтобы написать формулу в ее простейшем виде, мы рассмотрим не sin x, а sin px. Последняя функция имеет нулями точки x = 0, ±1, ±2, ±3, . . ., так как sin pn = 0 при всех целых n; иных же нулей она не имеет никаких. Формула Эйлера устанавливает соотно-

Стоящее справа бесконечное произведение сходится при всех значени-