Новотный и Хехт, Основы нанооптики

(: > -'::0), максимумы относительных интенсивностей для различных плосковолно­

вых компонент пучка составляют max[E~J/max[E~] = О,ОЗ, max[E~J/max[E;] = О,4З.

Таким образом, по сравнению с ситуацией, когда разделяющая поверхность отсут­

ствовала (см. рис. З.I0), интенсивность продольного поля приблизительно в четыре раза сильнее Как понять это явление? В соответствии с граничными условиями на

поверхности поперечные компоненты поля Е;]" и Еу должны быть непрерывными при

прохождении через поверхность. В то же время продольные компоненты изменяются

по закону

(З.94)

При =2 = 2,З04 изменение Е; с разных сторон границы раздела составит 5,З. Это

качественное рассуждение не противоречит точно подсчитанным величинам. В фо­

кальной плоскости продольное поле имеет два максимума непосредственно рядом

с оптической осью. Их расположение ориентировано вдоль направления поляризации,

что и приводит К вытягиванию формы пятна. Относительная величина тax[E~]

остается небольшой, однако в присутствии границы раздела возрастает в 10 раз. для того чтобы построить картину распределения дипольной ориентации произ­

ВО.1ЬНО ориентированных одиночных молекул, желательно, чтобы все три компоненты

возбуждающего поля (Е/., Еу, Ez ) в фокусе имели сравнимую величину. Было по­

казано, что это может быть достигнуто при освещении кольцевым пучком, когда

центральная часть лазерного пучка затемняется [18]. Такой пучок можно получить,

ес.1И разместить в центре возбуждающего пучка препятствие, например диск. В этом

с.lучае интегрирование по плосковолновым компонентам должно происходить в диа­

пазоне [Blllill . • . Вшах], а не как прежде, по полному диапазону [о ... Вшах]. Используя

кольцевое освещение, мы отбросим плосковолновые компоненты, распространяющи­ еся вблизи оптической оси, подавляя тем самым поперечные компоненты электри­ ческого поля. Вследствие этого продольные компоненты поля в фокусе возрастут по сравнению с поперечными. Кроме того, локальная поляризация поверхности границы

раздела за счет продольных компонент поля приведет к увеличению Еу-компоненты

ПО,lЯ. Следовательно, наличие сильных продольных компонент поля является необ­

ходимым условием возникновения сильного поля Еу вблизи поверхности границы раздела. Оказывается, что можно создать такой кольцевой пучок, чтобы три распре­ де.lения, показанные на рис. З.l О, в-д, имели сопоставимую величину.

3.10. Изображение фокального пятна в отраженном свете

Интересно исследовать свойства отраженного поля Ет, задаваемого уравнения­ :\IИ (З 85) и (З.87). Изображение отраженного пятна может быть записано с помощью

экспериментальной установки, показанной на рис. З.18. Расположенная под углом 450 светоделительная пластина отражает часть входящего пучка наверх, где он фокуси­ руется при помощи объектива с высокой числовой апертурой вблизи плоской поверх­

ности. Расстояние между фокусом (z = О) и поверхностью обозначено zo. Отраженное

поле собирается этой же линзой, пропускается через светоделительную пластину

и затем фокусируется второй линзой на плоскость изображения. В схеме имеются

четыре различные среды, и мы обозначим их с помощью показателей преломления,

указанных на рис. З.18. Нас будет интересовать результирующее распределение поля в плоскости изображения. Покажем, что в случае, когда пучок падает из оптически

бо.lее плотной среды, изображение пятна в отраженном свете будет сильно искажено. Отраженное поле в дальней зоне Е;:О до момента, когда оно будет преломлено

первой линзой, описывается соотношением (З.87). Теперь мы можем отразить это

поле двумя линзами и перефокусировать его в плоскость изображения. Необхо-

Г.1е :1) означает смещение из фокуса (см. (3.87». Далее поле преломляется той же

.1ИНЗОЙ с фокусным расстоянием f:

(3.99)

и распространяется как коллимированный пучок вдоль оси z в отрицательном на­ праВ.lении. В декартовых координатах поле будет иметь вид

(3.100)

Такой вид поле имеет непосредственно после преломления вспомогательной сферой

радиуса .г. Для падающего излучения, сфокусированного на идеально отражающую

поверхность, расположенную в Zo = О, коэффициент отражения гР = 1, а г" = _1').

В ЭТО~1 случае мы получаем просто E~ = -Еiпспх, что, кроме знака «-,), полностью

совпадает с полем, которое рассматривается как входное в (3.49). Разница в знаке

указывает на то, что отраженное поле распространяется «сверху вниз».

Чтобы получить в произвольной точке вид отраженного коллимированного пуч­

ка, распространяющегося вдоль оптической оси, необходимо сделать подстановку

..,ill О = р/.г, ("ОН (} = [1 - (Р/f?P/2, где р означает расстояние от оптической оси

в направлении цилиндрического радиуса (см. задачу 3.8). Это позволяет нам по­

строить распределение поля в плоскости поперечного сечения к коллимированному

отраженному пучку. Мы видим, что коэффициенты Френеля изменяют поляризацию

и амплитудный профиль пучка и, что еще более важно, его фазовый профиль. ЕС.1И смещение из фокуса нулевое (zo = О), вариации фазы возникают только на расстояниях Р > Ре, при которых коэффициенты Френеля становятся комплексными.

Это критическое расстояние равно р" = fn2/n' и представляет собой радиус, соот­ ветствующий критическому углу полного внутреннего отражения ОС = arc8in(n2/nl).

ЕС.1И (!, < J. то условием отсутствия искажений является n2 > n,.

Теперь перейдем к преломлению на второй линзе 1'. Сразу после преломления

Г.1е мы ввели новый азимутальный угол О', как показано на рис. 3.18. Это поле отвечает полю в дальней зоне Е;:", которое необходимо подставить в (3.33) для

вычисления распределения в пространстве изображения. Выразим поле в декартовых

координатах поля, используя соотношения (3.41)-(3.42) для по' и пф, тогда получим

1) Отметим. что коэффициенты отражения ТР и т" при нормальном падении плоской волны

ОТ.lичаются на множитель -1. т е r8 (B = О) = -ТР(В = О). - Примеч. авm

па.1ающиЙ пучок имеет гауссов профиль, определенный в (3.52). Используя соотно­

шение (3.57), можно проинтегрировать по ф, и тогда окончательно получим

()

()

х ехр[(i/2)kзz(f/ /')2 sin2О + 2ik t Zo сонO]dO. (3.111)

Здесь ./'". - функция аподизации, определенная соотношением (3.56). Видно, что пятно зависит от коэффициентов Френеля и величины смещения из фокуса Zo.

Последний только добавляет к каждой плосковолновой компоненте дополнительный фазовый набег. Если верхняя среда 'ТI2 является идеальным проводником, то выпол­

няется условие "1' = - r" = 1, и тогда интеграл [21 равен нулю. В этом случае пятно

в отраженном свете является линейно-поляризованным и симметричным относитель­

но вращения

для того чтобы перейти к обсуждению распределений поля в плоскости изоб­

ражения. положим '1/1 = 1,518 в области объекта и nз = 1 в области изображения,

и числовую апертуру линзы равной 1,4 (Ошах = 67,260). На рис. 3.19 в нижнем ряду

показана интенсивность электрического поля IEr l2 для случая идеально отражающей

поверхности в зависимости от небольшого смещения из положения фокуса. На ней

хорошо видно. что форма и размер пятна не слишком сильно зависят от этого

смещения.

При этом. как показано в верхнем ряду рис. 3.19, ситуация приобретает суще­ ственно иной характер, если среда, находящаяся по ту сторону плоской поверхности, имеет меньший показатель преломления, чем среда, в которой происходит фокуси­

ровка. т. е. 11'2 < 11 t. В этом случае отраженное пятно сильно меняется в зависимости от величины смещения относительно фокуса. Форма пятна заметно отличается от

гауссовой. представляя собой пятно оптической системы, обладающей осевым астиг­

матизмом. Общий размер пятна возрастает, поляризация более не сохраняется по причине того, что [о, и [2, становятся сравнимы по порядку величины. Изображения, показанные на рис. 3.19, могут быть воспроизведены в лабораторных условиях. Од­

нако если использовать дихроичные светоделительные пластины, следует учитывать,

что для .~- и р-поляризаций они имеют несколько различные параметры. И действи­

тельно. изображения на рис. 3.19 очень чувствительны к относительным величинам

в суперпозиции двух поляризаций. Использование на пути отраженного пучка по­

.1яризатора позволит изучать каждую поляризацию в отдельности, как показано на

рис. 3.20 Обратим внимание, что максимум интенсивности картины в отраженном

свете не соответствует настройке положения фокуса на плоской поверхности.

Фокус наведен на поверхность в том случае, когда центр полученного изоб­

ражения обладает максимумом интенсивности ио(р, Z )). Изображения на рис. 3.19

Несмотря на то что, казалось бы, все отраженное излучение исходит от поверхности,

:\Ibl наблюдаем видимый источник, находящийся над ней. Проследим за максимумом

из.lучения, двигаясь из области дальнего поля в направлении к поверхности, и уви­

.1И!\l. что излучение отклоняется в сторону фокуса. Это свидетельствует о том, что

.1анныЙ источник излучения действительно находится в фокусе. Таким образом, мы \lOжем сформулировать важный результат, который состоит в том, что отраженный

свет. связанный с угловым диапазоном [О ... ос], исходит из реального фокуса, на­ ХО.1ящегося на поверхности, а свет, связанный с угловым диапазоном [ОС ..• Вшах],

исход,Ит из мнимого фокуса, находящегося над поверхностью. Необходимо уточнить,

что .I\IНИМЫЙ. фокус над поверхностью не является реальной геометрической точкой.

Он представляет собой множество точек, распределенных вдоль вертикальной оси. Bo.1Hbl. исходящие из этих точек, имеют разные относительные фазы и образуют

конический волновой фронт, схожий с конусом Маха в гидродинамике. Возникающие

врезультате тороидальные аберрации были впервые исследованы Мэкером (Maeker)

иЛеХl\Iаном (Lеhmап) [21].

Наблюдение аберраций в изображении, полученном при отражении от фокальной точки. имеет важные следствия для конфокальной микроскопии и записи инфор­

:\Iации В этих методиках отраженный пучок фокусируется на маленькое отверстие

в п.носкости изображения. По причине аберраций отраженного пятна б6льшая часть

отраженного света задерживается отверстием, нарушая чувствительность системы

и ее разрешение. Однако было показано, что этот эффект дает огромный контраст

в с.1учае. если образец обладает металлическими и диэлектрическими свойства­

\IИ [20], Т. к. металлическая поверхность не вносит аберрациЙ. И в заключение необ­

ХО.lИI\IO подчеркнуть, что пятно в реальном фокусе на поверхности слабо зависит от

Рис. 3.21 Рассеянное излучение лазера (отраженное и прошедшее), сфокусированного на

границу раздела воздух-стекло Параметры те же, что и на рис. 3.17. Линии указывают каж~­ щееся направление излучения для наблюдателя, находящегося в дальней зоне Лучи сходятся в мнимом фокусе, расположенном на расстоянии ~ О ... >. над поверхностью Плосково.1новые

компоненты с углами в диапазоне [О ... 8е] исходят из фокальной точки на поверхности.

сверхкритические плоские волны исходят из мнимого фокуса, находящегося над поверхностью. давая вклад в аберрации, показанные на рис. 3.19 Размер изображения 16>'х 31>'

ее свойств, а аберрации связаны исключительно с изображением в отраженном свете

Понимание изображений, представленных на рис. 3.19, 3.20, чрезвычайно важно при

юстировке оптических систем, например, для того, чтобы убедиться, что фокальная

плоскость лазера совпадает с границей раздела стекло-воздух (плоскостью объекта).

Задачи

3.1.Приосевой гауссов пучок не является строгим решение!VI уравнений Максвелла.

поэтому его поле не свободно от расходимости ('\7 . Е =F О). Потребовав выпол­

нения равенства '\7 . Е = О, можно вывести выражение для продольной проекции поля E z . Предполагая, что Еу = О, получите Ez в первом неисчезающеl\l

порядке малости. Изобразите схематически распределение IEz 12 в фокальной

плоскости.

3.2. Получите разложение произвольного оптического поля на поперечное электри­

ческое (ТЕ) и поперечное магнитное (ТМ) поля. Продольная компонента поля

E z исчезает в случае ТЕ-поля, тогда как в случае ТМ-поля исчезает Н:

3.3.Рассмотрите поля, выходящие из рассеченного полого идеально проводящего металлического волновода квадратного сечения со стороной ао. Величина 00

подобрана таким образом, что волновод поддерживает лишь TEo1-моду нижнего

порядка, поляризованную в направлении х. Предполагая, что влиянием краев

разрезанных сторон волновода на поля можно пренебречь, (а) рассчитайте пространственный спектр Фурье электрического поля в выход­

ной плоскости (z = О);

(б) рассчитайте и постройте соответствующее дальнее поле (Е· Е*).

3.4.Проверьте, что в сильносфокусированном гауссовом пучке энергия сохраняется. как описано в разд. 3.6. Для этого сравните поток энергии через поперечные

плоскости по обе стороны от оптических линз. Для удобства выберите одну из плоскостей так, чтобы она проходила через точку фокуса (.:: = О). Поток энергии

удобнее всего рассчитать, вычислив проекцию на ось z усредненного по вре­

мени вектора Пойнтинга (Sz) и проинтегрировав ее по площади поперечной

плоскости Указание: используйте условие ортогональности функций Бесселя

х

О

Проверьте размерности!

35 Рассмотрите малое круглое отверстие радиуса ао в бесконечно тонком идеально проводящем экране, освещенном падающей по нормали плоской волной, поля­

ризованной вдоль оси х. В длинноволновом пределе (л ~ ао) электрическое

поле в апертуре (.: = О, х2 + у2 ~ a~) получено Баукампом [22]:

где Бо - амплитуда поля падающей волны. Соответствующий пространствен­

ный фурье-спектр рассчитан Ван Лабеке и др. [23]:

(а) Выведите фурье-спектр продольной компоненты поля E z .

(б) Найдите выражение для поля Е = (Ех, Еу, E z ) в произвольной точ­

ке (./',,IJ, z).

(в) Рассчитайте дальнее поле и выразите его в сферических координатах

(1·, /),.р) как Е = (Е" Е,1, Е<р) в произвольной точке (х, у, z).

36 Отраженное изображение лазерного луча, сфокусированное на диэлектриче­ ской границе раздела, дается равенствами (3.109)-(3.111). Получите эти выра­ жения из равенства (3.100), которым определяется отраженное поле. Обратите

внимание на то, что поле распространяется противоположном по отношению

к оси:. направлении.

3,7, Покажите, что поле Е, определенное через Er, E r и Е! В разд. 3.9, удовлетворя­ ет граничным условиям на поверхности z = Zo. Покажите, что уравнение Гельм­

гольца и условия расходимости удовлетворены в каждом из полупространств.

3 8, Чтобы скорректировать аберрации, возникающие при отражении сильносфоку­

сированного пучка от границы раздела, мы разрабатываем пару фазовых пла­

стин. С помощью поляризатора-светоделителя коллимированный отраженный

пучок расщепляется на два полностью поляризованных пучка (см. рис. 3.18

и равенство (3.100». Искажения фазы в каждом пучке исправляются фазовой

пластинкой. После коррекции пучки вновь сводятся на плоскости изображения. Рассчитайте и постройте распределение фазы каждой фазовой пластинки, если

исходное поле представляет собой гауссов пучок (fo --+ 00), сфокусированный

объективом с N А = 1,4 на границе раздела стекло-воздух (zo = О) и отра­

женный от оптически более плотной среды с n) = 1,518. Что произойдет, если фокус сместится от границы (zo =F О)?

Список литературы

Muller М , Squier J, Wilson К R., and Brakenhoff G J зо microscopy о! tгапsрагеп! objects using third-harmonic generation // Microsc 1998 V 191. Р 266-274

2 Siegman А Е Lasers - Мill Уаllеу, СА. University Science Books, 1986

3.Mandel L. and Wolf Е Optica! Coherence and Quantum Optics - New York CamlJridge University Press, 1995.

4. Zauderer Е. Соmр!ех argument Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussial1 beams / / J Ор!

17.Chew W С. Waves and Fie!ds in Inhomogeneous Media - New York Уап Nostrand Reinho!d, 1990

18.Sick В., Hecht В., and Novotny L. Orientational imaging of single molecules Ьу annular

illumination / / Phys Rev. Lett. 2000 У.85. Р.4482-4485

19Jackson J D. Classical Electrodynamics. - New York. John Wi!ey & Sons, 3rd edn . 1998

20Karrai К, Lorenz Х, and Nouotny L. Enhanced reflectivity contrast iп сопfосаl soli(j

23 Van Labeke D , Barchiesi D , and Baida Р. Optical characterization о! nanosources used 111 scanning near-fie!d optical microscopy / / Opt Soc Аm А 1995 V 12 Р 695-703