Новотный и Хехт, Основы нанооптики

\' . [Со1] = \1Со. диадная функция Грина Gможет быть найдена из функции СО

с помощью соотношения (2.75) в виде

симость в волновых уравнениях, и тогда получающееся гармоническое уравнение

решается очень просто. Монохроматическое поле может быть представлено в фор­

ме (2.24), а любое произвольное поле, зависящее от времени, может быть получено при преобразовании Фурье (как сумма монохроматических полей). Тем не менее

Д.1Я изучения сверхбыстрых явлений необходимо сохранить явный вид временной

зависимости. В этом случае мы должны обобщить определения А и Ф следующим

образом 1):

что позволяет нам найти нестационарное уравнение Гельмгольца в лоренцевской

калибровке (см. (2.70»:

Аналогичное уравнение справедливо для скалярного потенциала ф. Определение ска.lЯРНОЙ функции Грина в данном случае необходимо обобщать:

Точечный источник теперь определен во времени и пространстве. Решение дЛЯ СО (СМ. [1]) имеет вид

8 (t' - [t =f ~Ir- r'I])

Г.1.е знак «-. связан с откликом, возникающим в момент t, более поздний, чем t'.

!::!спользуя со, мы можем построить нестационарную диадную функцию Грина

G(r. г'; t. (') аналогично тому, как мы делали это ранее. Так как в большинстве

С.lучаев мы будем работать со стационарными функциями Грина, то не станем здесь

вдаваться в детали, а заинтересованного читателя отсылаем к специальной литера­

туре по электродинамике. Работа с нестационарными функциями Грина позволяет

вводить произвольную временную зависимость, однако это сильно усложняет учет

эффектов дисперсии. Нестационарные процессы в диспергирующей среде удобнее описывать при помощи фурье-преобразования монохроматического поля.

2.11. Эванесцентные поля

Эванесцентные поля играют главенствующую роль в нанооптике. Термин «еvапеs­

сепt» происходит от латинского evanescere и означает исчезающий из вида или

1) Мы предполагаем, что среда является недиспергирующей, т. е. c(UJ) = с, а I1-(UJ) = 11-. -

Прu...,еч авт

44 Гл. 2. Теоретическое введение

незначumельный ). Эванесцентные поля могут быть описаны плоской волной вида

Eet{kr-wt). Они характеризуются тем, что как минимум одна из компонент волнового

вектора k, указывающая на направление распространения волны, является мнимой

величиной. В пространственном направлении, определяемом мнимой компонентой k. волна не распространяется свободно, а затухает экспоненциально. Эванесцентные по­

ля играют огромную роль в понимании эффекта удержания оптических полей в суб­

волновом диапазоне. В этом разделе мы обсудим основные свойства эванесцентных полей и познакомим читателя с простейшими экспериментальными устройствами.

позволяющими их создавать и измерять.

Эванесцентные поля никогда не возникают в однородной среде. а всегда связаны

со взаимодействием света с неоднородностями [7]. Простейший пример неоднородно­ сти - плоская поверхность. Рассмотрим плоскую волну, падающую на плоскую гра­

ницу раздела двух сред, характеризуемых оптическими константами E:)./I) и =;1./12

Как было показано в разд. 2.8.1, присутствие границы раздела приводит к появлению

прошедшей и отраженной волн, амплитуды и направления распространения которых

определяются коэффициентами Френеля и законом Снеллиуса соответственно.

Для вывода эванесцентных волн, возникающих в эффекте полного внутреннего

отражения от поверхности диэлектрической среды, воспользуемся конфигурацией

волн, показанной на рис. 2.2. Пусть ось х расположена в плоскости падения. Ис­

пользуя переменные, введенные в разд. 2.8.1, комплексный вектор прошедшей волны

запишем в виде

что может быть выражено исключительно через угол падения О) с использование1\)

соотношения kx = k) sin(O)). Подставляя его в основное уравнение, получим выраже­ ние для продольных волновых векторов (см. (2.46»:

JE:2J L2

Для n> 1 с увеличением О) подкоренное выражение в формуле для k:"2 становится

все меньше и меньше и в конечном итоге обращается в отрицательную величину

Критический угол ОС может быть определен при помощи соотношения

(294)

которое описывает отраженную плоскую волну с нулевым волновым вектором в на­

правлении z (kz2 = О). Следовательно, отраженная плоская волна распространяется

параллельно поверхности. Рассматривая это соотношение как уравнение для Н. по­

лучим

1) По смыслу этот термин близок к русскому «затухаюшиЙь. однако мы будем ИСПОJlьзовать

слово «эванесцентныЙь. т К В сфере нанооптики оно указывает на особую геометрию задачи и по этой причине используется русскоговорящим научным сообществом - Прuмеll пер

для границы раздела стекло-воздух на оптических частотах мы имеем следую­

щие параметры сред: С2 = 1, С\ = 2,25, М\ = М2 = 1, откуда для критического угла

ПО.lучаем величину ОС = 41 ,ВО.

для углов 0\ > ОС величина kz2 становится мнимой. Записывая прощедшее поле как функцию угла падения 0\, получим

--~----~..~--~--~X

Рис 2 4 Возбуждение эванесцентного поля при помощи полного внутреннего отражения. а -

званесцентная волна создается в среде, если на нее падает плоская волна с углом падения

fI, > В, . б - реальная схема эксперимента с использованием призмы и слабосфокусированного

гауссова пучка

Это соотношение описывает поле, распространяющееся вдоль поверхности, но

затухающее экспоненциально при распространении вглубь среды. Таким образом, П.lОская волна, падающая под углом ()\ > ОС, создает эванесцентное поле. Возбуж­

дение эванесцентной волны при сверхкритическом угле (0\ > ос) называется nол­ ньи" внутренним отражением (ПВО). Для рассмотренного выше случая границы стекло-воздух при угле падения 0\ = 450 показатель затухания 'у = 2,22/л. Это означает, что уже на глубине Л/2 от поверхности усредненное по времени поле

становятся мнимыми величинами, и, следовательно, фазы отраженной и прошедшей

волн сдвинуты относительно угла падения. Этот фазовый сдвиг является причи­

ной так называемого сдвига Гуза-Хэнша (Goos-Hanschen shift). Кроме того, для

р-поляризованного излучения фазовый сдвиг приводит к возникновению эллипти­

чески поляризованного эванесцентного поля с волновым вектором, вращающимся

в плоскости падения (см., например, [В] и задачу 2.5).

Эванесцентные поля, описываемые соотношением (2.96), могут быть получены

при пропускании светового пучка через стеклянную призму, как показано на схеме

(рис 2.4,6). Экспериментальное подтверждение существования таких быстрозатухаю­

щих полей опирается на использование прозрачных тел, толщина которых прибли­

жается к величине, меньшей Л/2, в пределах которой существуют затухающие поля.

Как показано на рис 2.5, это может быть достигнуто использованием, например,

2.11.1. Перенос энергии эванесцентным ПОJlем. Для прозрачной среды при угле падения, большем критического, вся мощность падающего излучения отра­

жается. Этот эффект также называется полным внутренним отражением. И это

естественно, т. к. при таком отражении от поверхности не возникает потерь и

никакая энергия не доставляется в среду, от которой происходит отражение. Для того чтобы убедиться в этом, нам необходимо рассмотреть усредненный по времени

поток энергии через плоскость, параллельную границе раздела. Это можно сделать,

где все поля берутся из верхней среды, т. е. среды пропускания. Применяя уравнение

Максвелла (2.25) к частному случаю плоской волны, мы сможем выразить магнитное

поле через электрическое:

(2.99)

Подставляя выражения для прошедших волн Е и Н в (2.98), мы показываем,

что величина (8): пренебрежимо мала (задача 2.4) и что макроскопическая передача

энергии в направлении, нормальном к поверхности, отсутствует.

С другой стороны, если мы рассмотрим передачу энергии в направлении вдоль

поверхности, то получим ненулевой результат:

Таким образом, эванесцентные поля переносят энергию вдоль поверхности в на­

правлении поперечного волнового вектора.

Отсутствие макроскопического потока энергии по нормали к поверхности не

означает, что эванесцентное поле не содержит в себе энергии. Например, исполь­

зуя флуоресценцию единичной молекулы в качестве зондирующего устройства, мы

можем построить распределение локального поля 1). Скорость, С которой флуорофор

испускает фотон под действием оптического электрического поля, может быть задана

выражением

(2.101)

где 11 - дипольный момент молекулы. Например, для в-поляризованного излучения

скорость флуоресценции молекулы сненулевым дипольным моментом, направленным

вдоль оси у, на расстоянии z от поверхности будет иметь вид

(2.102)

затухая в два раза быстрее, чем само электрическое поле. Отметим, что возбуждение молекулы возможно, даже если усредненный вектор Пойнтинга исчезающе мал.

2.11.2. Нарушенное ПОJlное внутреннее отражение. Если эванесцентные по­

.1Я взаимодействуют с веществом, то они могут быть преобразованы в распростра­ няющееся излучение [7]. Этот эффект является одним из важнейших в оптической

микроскопии ближнего поля, т. к. объясняет, каким образом информация о субвол-

1) Возбуждение флуоресценции единичной молекулы с помощью эванесцентных волн часто

используется для визуализации биологических объектов Так как облучается лишь малая часть всего образца. фоновое излучение чрезвычайно мало. Эта техника известна как флуо­

ресцентная микроскопия полного внутреннего отражения (ФМПВО) [10] - Примеч. авm

48 Гл. 2. Теоретическое введение

новых структурах передается в дальнее поле. Обсудим стоящую за этим физику на

ей плоскость приблизим к первой на расстояние d, находящееся в пределах харак­

терной длины затухания поля. Возможный способ экспериментально осуществить

такую ситуацию - использовать две призмы с достаточно плоскими или лишь слегка

неплоскими поверхностями, как показано на рис. 2.7, б. Эванесцентное поле в ЭТО~I

случае взаимодействует со второй поверхностью и может быть частично преобразо­ вано в распространяющееся поле. Эта ситуация аналогична квантовомеханическому

туннелированию через потенциальный барьер. Геометрия задачи показана на cxe~le рис. 2.7, а.

gз,lJt;J

рФ .~

Рис. 2.7. Прохождение плоской волны через систему двух параллельных поверхностей При возникновении нарушенного полного внутреннего отражения (НПВО) эванесцентное nO.le. создаваемое на поверхности В, частично преобразуется в распространяющуюся волну на.1 поверхностью А второй среды а - конфигурация задачи и определение ее параметров. А. В - поверхности между средами 2, 3 и 1, 2 соответственно, отраженные волны опущены Д.1Я ясности рисунка, б - схема эксперимента по наблюдению нарушенного полного внутреннего

отражения.

Поля наиболее удобно записать в парциальных терминах, относящихся к каждои среде. Парциальные поля, относящиеся к средам 1 и 2, представлены в виде супер­ позиции падающей и отраженной волн, в среде 3 мы наблюдаем только прошедшую волну. Характер распространения этих волн, т. е. являются они эванесцентными

или распространяющимися, в каждой из трех сред может задаваться посредством

продольного волнового вектора, задаваемого в каждой среде по аналогии с соотно­ шением (2.92). Продольный волновой вектор в среде с номером J имеет вид

систему с показателями преломления n2 < nз < nl, являющуюся частным случаем

схемы, представленной на рис. 2.7. Такая слоистость приводит к возникновению

трех режимов по углу падения, в которых прошедшее излучение в зависимости от

величины зазора d демонстрирует различное поведение:

1.Для 01 < arcsin( n2/nl) или kll < n2kO поле полностью описывается в виде

распространяющихся плоских волн. Интенсивность, переданная к детектору,

50 Гл. 2. Теоретическое введение

2.12. Угловое спектральное представление оптических полей

Угловое спектральное представление -- это математический метод описания оп­

тических полей в однородных средах. Оптические поля ОПИСblваются суперпозици­

ей плоских и эванесцеНТНblХ волн, являющихся решениями уравнений Максвелла. имеющими физический СМblСЛ. Разложение в угловой спектр является МОЩНbIМ методом описания распространения и фокусировки света. Кроме того, в паракси­ альном приближении описание через УГЛОВblе распределения окаЗbIвается в рамках

фурье-оптики, имеющей широкие следствия. Мы будем активно использовать уг­ ЛОВbIе распределения в гл. 3, 4 для обсуждения сильносфокусироваННbIХ лазеРНbIХ пучков и пределов пространственного разрешения. При помощи УГЛОВbIХ спектров Мь! поймем, как производится разложение в ряд произвольного поля С меняющейся амплитудой и направлением распространения по плоским (и эванесцеНТНbIМ) вол­

нам. Предположим, что Мь! знаем электрическое поле E(r) в произвольной точке пространства r = (х, у, z). Например, E(r) может бbIТЬ решением оптической задачи о рассеянии, как показано на рис. 2.9, таким что E(r) = Einc + Е,саН. В картине

-+---z

Рис 2.9. Угловое распределение полей, ВbIчисленное в плоскости Z = COllst, перпендикулярной

произвольно выбранной оси Z

углового спектра нарисуем произвольную ось z И рассмотрим поле Е в плоскости z = const, перпендикулярной Вblбранной оси. В этой плоскости произведем двумерное преобразование Фурье поля Е:

где х, у -- декартовЬ! координаТbI, а kx , ky -- соответствующие пространствеННbIе

чаСТОТbI или координаТbI в обратном пространстве. Аналогично. обратное преобразо­

вание Фурье дает

Обратим внимание, что стоящие в (2.105) и (2.106) поле Е = (Ea.Ey.Ez ) и его

фурье-образ Е = (Ех, Еу,Ez ) представляют собой векторы.

Таким образом, интеграЛbl Фурье справеДЛИВbI в отдельности для каждой из

компонент этих векторов. До настоящего времени мь! не наклаДbIвали никаких ограничений на поле Е, а теперь предположим, что среда в поперечной плоскости

является однородной, изотропной, линейной и не содержит источников поля. В таком с.1учае монохроматическое оптическое поле с угловой частотой VJ должно удовлетво­ рять векторному уравнению Гельмгольца:

Знаки «±. указывают, что мы имеем два решения: знак «+. означает волну, ко­ торая распространяется в полупространство z > О, в то время как знак «-. означает во.1НУ, которая распространяется в полупространство z < о. Соотношение (2.110) го­ ворит о том, что фурье-образ Е в произвольной плоскости изображения, описываю­

щейся условием z = COIlst, может быть получен умножением спектра в плоскости

объекта;:; = О на множитель ехр ±ikzZ. Этот множитель называется nроnагатором в обратном пространстве. В соотношении (2.109) мы определили, что квадратный корень для k: берется только с положительным значением. Это позволяет учитывать

только решения, остающиеся конечными при z --+ ±оо. Подставляя (2.110) в (2.106),

окончательно получим соотношение

которое называется спектральным nредставлением поля. Аналогичным образом мы

можем представить магнитное поле в виде углового спектра:

-ос

Используя уравнения Максвелла Н = (iVJJ1J.LO)-1 ('\1 Х Е), можно найти соотноше-

ние между фурье-спектрами Е и Н:

и Н удовлетворяют уравнению Гельмгольца, они не являются строгими решениями

уравнений Максвелла. Мы, кроме того, должны удовлетворить требованиям нулевой

дивергенции, '\1. Е = О и '\1. Н = о. Это условие ограничивает вектор k только

направлениями, перпендикулярными спектральным амплитудам (k· Е = k· Н = О).

52Гл. 2. Теоретическое введение

вслучае чисто диэлектрической среды без потерь коэффициен r преломления 11 является действительной положительной величиной. Волновой вектор ": в TaKO~1

случае может быть как действительным, так и мнимым, превращая множитель

ехр ±kzZ либо в осциллирующую, либо в затухающую функцию. Для опредеJlенной пары (k2·, ky ) мы ПОJlучаем два характерных решения:

Таким образом, мы удостовеРИJlИСЬ, что УГJlОВОЙ спектр действитеJlЬНО ЯВJlяется

суперпозицией ПJlОСКИХ и эванесцентных BOJlH. ПJlоские волны ЯВJlЯЮТСЯ ОСЦИJlЛИ­

рующими функциями ВДОJlЬ оси Z И ограничены УСJlовием k; + "~ ::;; "~ С другой стороны, УСJlовие k; + k~ > k2 задает режим эванесцентных BOJlH, испытывающих

экспоненциаJlЬНЫЙ спад аМПJlИТУДЫ ВДОJlЬ оси Z. На рис. 2.10 показано, что чем БО,lЬ­ ше yroJl между вектором k и осью z, тем БОJlьшие колебания будут наБJlюдаться в по­

перечной ПJlОСКОСТИ. ПJlоская BOJlHa, распространяющаяся в напраВJlении оси :. не

будет давать ОСЦИJlJlЯЦИЙ в поперечной ПJlОСКОСТИ (k; + k; = О), а в другом преде.1Ь­

ном СJlучае, BOJlHa, распространяющаяся под прямым yrJlOM К оси z, будет совершать

самые БОJlьшие КОJlебания в поперечной ПJlОСКОСТИ (k;. + k~ = О). Еще БОJIeе высокие

пространственные частоты возникают в СJlучае эванесцентных ПОJlеЙ. Теоретически

может быть ПОJlучен бесконечно широкий спектр пространственных частот. Однако

чем больше пространственная частота эванесцентого ПОJlЯ, тем быстрее спадает ПО.lе

ВДОJlЬ оси Z. Поэтому в действитеJlЬНОСТИ этот спектр все-таки ограничен.

.Е

'ЭваНССI\СНТНЫС

волны

Рис. 2 10 а - представление плоской волны, распространяющейся под углом.,:; к оси :. б -

иллюстрация поперечных пространственных частот плоских волн, падающих под раЗЛI1ЧIIЫ~111

углами. Поперечный волновой вектор (k;' + /.:~)(1/2) зависит от угла падения и ограничен

диапазоном [О, .... /.:], в - поперечные волновые векторы плоских волн k, и k'l наХО.1ЯТСЯ

внутри круга радиуса /.: Эванесцентные волны заполняют всю область вне круга

2.12.1. Угловое спектральное представление поля диполя. СИJlЬНО лока.1И­

зованные источники, такие как диполи, удобнее всего описывать в сферической

системе координат. Соответствующие решения BOJlHOBOrO уравнения называются МУJlЫИПОJlЯМИ. ДJlЯ того чтобы поставить эти решения в соответствие YfJlOBbI~1

распредеJlениям, нам необходимо записать ПОJlе этих источников в терминах плоских

и эванесцентных BOJlH. Начнем с векторного потенциаJlа А ОСЦИJlJlирующего ДИПО,lЯ.

ось которого напраВJlена ВДОJlЬ некоторой ПРОИЗВОJlЬНОЙ оси z. Векторный потенциа.l