Новотный и Хехт, Основы нанооптики

34 Гл. 2. Теоретическое введение

очень удобно. Эта форма может быть получена из дифференциальной, если мы воспользуемся теоремами Гаусса и Стокса, что приводит к следующим выражениям:

ds -- элемент кривой, av -- поверхность элементарного объема V, а aS -- границу

поверхности S. Интегральная форма уравнений Максвелла позволяет нам найти необходимые граничные условия в том случае, если мы применим их к бесконечно

малой части рассматриваемой границы. В этом случае границу можно рассматривать

как плоскую, а поля как однородные с обеих сторон (см. рис. 2.1). Рассмотрим

малый прямоугольный контур aS на границе, расположенный так, как показано

Рис. 2.1. Контуры интегрирования для вывода граничных условии на поверхности i:JD'J.

разделяющей домены D i и D j

на рис. 2.l, а. Так как площадка S (ограниченная контуром aS) может быть произ­

вольно уменьшена, электрический и магнитный потоки через нее становятся равными нулю. Однако это не относится к току, т. к. может существовать поверхностная

плотность тока К. Первые два уравнения Максвелла позволяют получить граничные

условия для тангенциальных компонент поля 1)

1)Заметим, что n и Пз являются разными векторами. пв перпендикулярен поверхностям S

иaV, в то время как n перпендикулярен границе aDij - Примеч. авm

rJ.e n - единичный вектор нормали к поверхности. Соотношения для нормальных

компонент поля могут быть получены с помощью рассмотрения бесконечно малого

параллелепипеда объема V и поверхности av, как показано на рис. 2.1,6. Считая

по.1Я однородными с обеих сторон поверхности и вводя поверхностную плотность заряда (1, из третьего и четвертого уравнений Максвелла получим граничные условия

J..1Я нормальных компонент поля:

в большинстве реальных ситуаций источников на поверхности отдельных доме­

нов нет и величины J( и (1 обращаются в нуль. Четыре соотношения для граничных УС.l0ВИЙ (2.39)-(2.42) не являются независимыми, т. к. поля С обеих сторон границы

ПОJ.чиняются уравнениям Максвелла. Можно легко показать, что, например, условия

J..1Я нормальных компонент автоматически выполняются, если выполняются условия

J..1Я тангенциальных компонент на всей поверхности, а поле внутри обоих гранича­

ШИХ доменов подчиняется уравнениям Максвелла.

2.8.1. Коэффициенты отражения и пропускания ФренеJlЯ. Применяя гра­

ничные условия к случаю плоской волны, падающей на плоскую границу раздела

J.BYX сред, мы получим известные коэффициенты отражения и пропускания Френеля.

Подробный вывод этих коэффициентов можно найти во многих учебниках (напри­

:\Iep. [31). Здесь мы лишь кратко изложим основные результаты.

Произвольно поляризованная плоская волна ЕI exp(k l . r - iuЛ) всегда может

быть записана как суперпозиция двух линейно-поляризованных плоских волн. Как правило, удобно выбрать направление этих двух поляризаций параллельным и

перпендикулярным плоскости падения, определяемой волновым вектором k плоской

ВО.1НЫ И нормалью n к плоской поверхности границы раздела:

Вектор E~") параллелен поверхности границы раздела, а вектор Е}Р) перпенди­ КУ.lярен вектору k и вектору Е}в). Индексы (8) и (р) происходят от немецких слов

senkrecht (перпендикулярный) и parallel (параллельный) соответственно и относятся

к ПJlОСКОСТИ падения. А для отраженной и прошедшей волн под индексами (8) и (р)

понимают их поляризацию.

Как показано на рис. 2.2, мы обозначили диэлектрические постоянные области

1) Области. в которой свет распространяется до того, как испытывает отражение и прелом­

среды. И хотя электрическое и магнитное поля изначально были введены для описа­

ния сил в законах Кулона и Ампера, уравнения Максвелла ничего не говорят о силах

и энергиях, действующих в системе. Такое базовое понятие, как сила Лоренца,

описывает силы, действующие исключительно на движущиеся заряды. Но парадокс

Абрагама-Минковского говорит, что силы, действующие на произвольный объект, не могут быть согласованным образом получены из заданного электромагнитного

ПОJ1Я Интересно, что законов Кулона и Ампера оказалось достаточно, для того чтобы вывести силу Лоренца. Хотя при выводе уравнений Максвелла их пришлось

дополнить током смещения, сила Лоренца от этого не изменилась. Меньше про­

тиворечий возникает в вопросе энергии. Но и в этом случае теорема Пойнтинга,

дающая правдоподобное соотношение между электромагнитным полем и энергией,

не является прямым следствием уравнений Максвелла. Для дальнейшего изложения

це.1есообразно записать теорему Пойнтинга ').

Скалярно домножая уравнение (2.2) на поле Е и вычитая из этого соотношения

уравнение (2 1). скалярно умноженное на вектор Н, получим

Учитывая. что выражение в левой части уравнения равно V'. (Е х Н), и интегри­

руя обе части по пространству с учетом теоремы Гаусса, перепишем это выражение

И хотя данное соотношение уже представляет собой формулировку теоремы ПоИнтинга. для более глубокого понимания подставим В и D, выразив их из наибо­

.1ее общих соотношений (2.6), (2.7). Тогда соотношение (2.52) можно будет перепи­

Это соотношение является прямым следствием уравнений Максвелла и, таким образом. справедливо в той же мере. Теорема Пойнтинга предлагает интерпретацию слагаемых. входящих в это соотношение. Она утверждает, что первое слагаемое

соответствует полному потоку энергии, входящему в объем V или исходящему из

него. второе слагаемое соответствует скорости изменения энергии внутри объема V,

а оставшиеся в правой части слагаемые описывают скорость диссипации энергии

1) В отечествеНllОЙ литературе эту теорему принято называть теоремой Умова-Пойнтинга

Мы здесь и в дальнейшем придерживаемся названий. принятых в мировом научном сообще­

стве - Прuмеч пер

плотность электромагнитной энергии. Если среда внутри объема V является линейной, последние два слагаемых становятся равными нулю и остается только слагаемое, отвечающее за диссипацию энергии j . Е. Однако последние два слагае­

мых могут быть связаны с нелинейными потерями. Вектор 8 называется вектором

ПоЙнтинга. В общем случае ротор любого произвольного вектора, будучи добав­

ленным к вектору 8, не меняет закона сохранения энергии (2.53), но наиболее

удобным оказывается именно вид, представленный в (2.54). Заметим, что ток j

всоотношении (2.53) - это ток, связанный с диссипацией энергии, и он не включает

всебя поляризационные токи и токи намагничивания.

Особый интерес представляет усредненная по времени величина вектора 8. Она

описывает полную плотность потока мощности и необходима для расчета распре­

деления излучения (диаграммы направленности). Предполагая, что поля являются

гармоническими во времени и среда является линейной, и усредняя по времени

где слагаемое в правой части описывает средние потери энергии в объеме \.

Величина (8) представляет собой средний вектор Пойнтинга:

В дальней зоне электромагнитное поле является полностью поперечным. Более

того, электрическая и магнитная компоненты находятся в фазе, и отношение их

амплитуд постоянно. В этом случае вектор (8) может быть выражен только через

J.toJ.t

где n r представляет собой единичный вектор в радиальном направлении, а величина. обратная величине, содержащей квадратный корень, - импеданс волны

2.10. Диадная функция Грина

Важным понятием теории поля является функция Грина: поле, произ~димое

точечным источником. В электромагнитной теории диадная функция Грина G непо­ средственно связана с электрическим полем Е в точке г, возникающим при излуче­

нии электрического диполя ~, расположенного в точке г'. В математической форме

это утверждение записывается таким образом:

(259)

Для усвоения концепции функции Грина рассмотрим ее с точки зрения матема­ тического формализма.

2.10.1. Математический формаJlИЗМ функции Грина. Рассмотрим следующее неоднородное уравнение, записанное в общем виде:

Здесь .с - линейный дифференциальный оператор, действующий на векторное по­ ле А, представляющее собой неизвестный отклик системы. Векторное поле В - это

известная функция источника, превращающая уравнение в неоднородное. Хорошо

известная теорема из теории линейных дифференциальных уравнений утверждает, что общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде суммы

полного решения однородного уравнения (В = О) и частного решения неоднородного

уравнения. Будем считать, что решение однородного уравнения нам известно (Ао).

Таким образом, нам необходимо найти произвольное частное решение.

Обычно решение уравнения (2.60) найти довольно сложно и проще бывает рас­ смотреть неоднородность специального вида, а именно б(г - r'), которая равна нулю всюду, кроме точки r = r'. Тогда линейное уравнение записывается в виде

.сG,(г,г')=Пiб(г-г') (i=x,y,z), (2.61)

где n, представляет собой произвольный постоянный единичный вектор. В общем

случае векторное поле G, зависит от положения r' неоднородности б(г - r'), поэтому вектор r' был также внесен в аргумент функции Грина G i . Три уравнения, отвечаю­

щие записи (2.61), в сокращенной форме могут быть записаны таким образом:

диада. Диадная функция G, удовлетворяющая уравнению (2.62), называется диадной

функцией Грина.

В качестве сле3,ующего шага предположим, что уравнение (2.62) было решено

ифункция Грина G известна. Домножая далее обе части этого уравнения на B(r')

иинтегрируя по всему пространству, где В i= О, получим

V

Если в правой части уравнения оператор .с может быть вынесен за знак интеграла, решение уравнения (2.60) запишется в виде

ванием произведения диадной функции Грина и неоднородности источника В по

объему V.

Предположение, что операторы .с и f dV' могут быть переставлены, не всегда

верно; поэтому необходимо проявлять особое внимание, учитывая поведение подын-

+-+

тегрального выражения. Как правило, G обладает сингулярностью в точке r = r'

и необходимо исключать из интегрирования бесконечно малую область вокруг точки r = r' (см. [4, 5]). Деполяризация основного объема также должна рассматри-

+-+

ваться отдельно, в зависимости от слагаемого L, обусловленного геометрической

формой рассматриваемого объема. Кроме того, в численных схемах основной объем ограничен, ~o приводит к необходимости введения еще одного корректирующего

С.1агаемого М. Но т. к. мы имеем дело с ситуацией, когда точечные источники поля

находятся вне объема V, r i. V, мы можем не рассматривать подобные сложные

моменты. Тем не менее мы все же вернемся к вопросу об объеме интегрирования

вдальнейшем.

2.10.2.Функция Грина электрического поля. Вывод функции Грина Д,1Я электрического поля наиболее удобно осуществлять, рассматривая векторный потен­

циал А, изменяющийся во времени по гармоническому закону, а также скалярный

где мы использовали соотношение D = ееоЕ. Потенциалы А и ф задаются соотноше­

ниями (2.66), (2.67) неоднозначно. Величина \/ . А может быть выбрана произвольно.

Условие, придающее однозначность уравнениям (2.66), (2.67), называется услови­ ем калибровки. Калибровка, которую мы приняли в соотношении (2.69). называется

т. е. получим неоднородное уравнение Гельмгольца. Оно выполняется независимо Д.1Я

каждой компоненты А, вектора А. Аналогичное уравнение может быть получено дJ1Я

скалярного потенциала ф:

При выводе скалярной функции Грина Go(r, r') для оператора Гельмгольца заме­

Координата r обозначает точку в пространстве, поле в которой нам необходимо

найти, а r' обозначает положение точечного источника. Если мы найдем СО. то

сможем определить частное решение для векторного потенциала А уравнения (2 70)

v

Аналогичное соотношение получаем для скалярного потенциала. Оба эти соот­

ношения требуют знания функции Грина, заданной уравнением (2.73). В свободном

пространстве единственным решением этого уравнения (см.[1]) является функция

±lklr-r'l

Go(r, r') = ~ 1 '1' (275)

7rr-r

Решение со знаком «плюс» соответствует расходящейся из центра волне, а со знаком «минус.) - волне, сходящейся к своему центру. В дальнейшем мы будем

прибегать исключительно к расходящимся волнам. Скалярная функция Грина может быть подставлена в (2.74), и тогда векторный потенциал может быть найден путем

интегрирования функции источника по объему V. Таким образом, у нас есть все необходимое для вычисления векторного и скалярного потенциалов для любого заданного распределения тока j и заряда р. Отметим, что функция Грина, как она

представлена в (2.75), верна только для однородного трехмерного пространства. <Dункция Грина, например, в двумерном пространстве или полупространстве будет

И~lеть другой вид.

Итак, мы свели формализм функции Грина к потенциалам А и ф, что позволяет Ha~1 работать со скалярными уравнениями. Но ситуация становится более сложной, ес.,и рассматривать электрическое и магнитное поля. Необходимость такого рассмот­

рения обусловлена тем, что источники тока, ориентированного вдоль оси ;1:, приводят

К возникновению магнитного поля, имеющего компоненты вдоль осей х, у и z. Одна­

ко для векторного потенциала это не так: наличие источника тока, ориентированного

вдоль оси ./', приводит к возникновению векторного потенциала, имеющего только

./·-КОl>lПоненту. Поэтому в случае электрического и магнитного полей нам необходимо

фОР~lировать функцию Грина, которая связывает все компоненты функции источ­

ника со всеми компонентами полей, или, иными словами, функция Грина должна представлять собой тензор. Такой вид функций Грина носит название дuадных функции Грина. Мы упоминали о них в предыдущем разделе. Для определения

диадной функции Грина мы рассматриваем волновое уравнение для электрического

ПО.1Я (2.31). В однородной среде оно имеет вид

для каждой компоненты вектора j мы можем определить соответствующую функ­ цию Грина. Например, для j:I' получим

(2.77)

Г,1е ", - единичный вектор в направлении оси х. Аналогичное уравнение может

быть записано для точечного источника в направлении у и Z. ДЛЯ того чтобы учесть

Б(г,г')

::!-'\--____,8 Е(г)

ПО.lе в точке r зависит от направления j, функция должна учитывать в структуре тензора все

возможные направления

все возможные направления, запишем общее определение диадной функции Грина