Новотный и Хехт, Основы нанооптики

Рис 3 11 Картина возбуждения одиночной молекулы. Образец, содержащий изолированную

О.1иночную молекулу, поточечно просканирован в фокальной плоскости сильно сфокусиро­ ванного лазерного пучка. Для каждой точки интенсивность флуоресценции записывается в шаблон и кодируется цветом. Скорость возбуждения в каждой точке определяется от­

носительной ориентацией собственных молекулярных дипольных моментов и направлением

вектора элеl\трического поля в этой точке Использование известного распределения поля

в фокусе лазерного излучения позволит нам восстановить картину дипольных моментов из

записанных шаблонов Сравните изображения, обозначенные как х, у и Z, с изображениями

на предыдущем рисунке

Можем ли мы экспериментально проверить правильность вычисленных нами ФОl<альных полей? Довольно изящный метод состоит в использовании одиночного

дипольного излучателя, такого как одиночная молекула, в качестве зонда для поля.

МО.lекула может быть помещена в окружающую среду с коэффициентом отраже­ ния /1 и при помощи точных приборов перемещаться в любую точку вблизи фокаль­

ной плоскости r = (:1',п,;;) = (р, Ч" z). Скорость возбуждения молекулы зависит от

произведения векторов Е· р., где р. - дипольный момент молекулы. Возбужденная

:\lO.lекула с определенной скоростью и вероятностью испытывает релаксацию и излу­

чает при этом флуоресцентный фотон. Для того чтобы все излученные таким образом

в секунду) будет пропорционально IE·p.12 • Таким образом, если мы знаем, как именно

ориентирована зондовая молекула, мы можем определить напряженность возбуждаю­

щеr'О поля в точке, где находится молекула. Например, молекула, вытянутая вдоль ос!! .1', даст информацию о х-компоненте фокального поля. Перемещая молекулу в новую точку, мы определим поле в этой точке. И вот таким образом, точка за точ­

кой, построим картину распределения напряженности той компоненты поля, которая

направлена вдоль дипольной оси пробной молекулы. Если мы сканируем в плоскости : = О, то с помощью молекулы, ориентированной вдоль оси х, мы сможем получить

изображения, показанные на рис. 3.10, в. Подобная возможность была реализована в различных экспериментах. Подробнее мы будем говорить об этом в гл. 9.

3.7. Фокусировка лазерных мод высокого порядка

Выше мы обсуждали фокусировку основной моды лазера, гауссова пучка. Как бу­ дут фокусироваться (10)- и (Оl)-моды? Мы вычислили их, с тем чтобы из них можно было построить тороидальные моды с произвольной поляризацией. В зависимости

от того, как именно мы будем накладывать их друг на друга, мы получим

_lинейно-поляризованную тороидальную моду:

3.8. Предел слабой фокусировки

Прежде чем переходить к следующим вопросам, нам необходимо удостовериться в том, что наши формулы для сфокусированных полей воспроизводят известные

выражения для параксиального приближения в пределе малых Ошах. В этом пределе можно сделать следующие замены: cos О i':::j 1, а sin () i':::j (). Однако для того чтобы

учесть фазу, необходимо в интегралах 100, ... ,114 оставить слагаемое второго порядка cos () i':::j 1 - ()2/2, т. к. если мы оставим только первое слагаемое, то зависимость

от () совсем исчезнет. Для малых Х функции Бесселя ведут себя как .1,,(.1:) i':::j .1'''.

Применяя эти приближения, мы увидим, что сравнение интегралов 100, ... ,114 по­ казывает, что самым низким порядком по () обладает интеграл 100, а затем идут интегралы 111 и 112. И если интеграл 100 задает основную гауссову моду, то два дру­

гих интеграла определяют параксиальную эрмитову (10)- и (ОI)-моды. В принципе.

теперь вычисление интегралов 100, 1\0 и 111 может быть произведено аналитически. Однако в результате мы получим неудобные в использовании функции Ломмеля. поэтому ограничим наше рассмотрение только фокальной плоскостью z = О. Далее.

предположим, что мы имеем полное перекрытие выходной апертуры ио» 1). так что функция аподизации Iw(() может считаться постоянной. Используя подстанов­ ку Х = kp(), получим

Параксиальное поле сфокусированного гауссова пучка в фокальной плоскости

pvtnax

Это знакомое нам выражение для функции точечного источника в параксиаЛЬНОI\I

приближении. В разд. 4.1 мы увидим, что оно тесно связано с введенными Аббе

и Рэлеем определениями предела разрешения. Аналогичным образом получим фо­ кальные поля для (10)- и (OI)-моД в параксиальном приближении поля

(10)-мода:

(379)

(Оl)-мода:

(380)

Во всех случаях зависимость фокального поля от радиуса описывается функцией Бесселя, а не исходным гауссовым профилем. После прохождения через линзу форма пучка в фокальной плоскости становится осциллирующеЙ. Происхождение этих про­

странственных осцилляций связано с дифракционными максимумами, т. е. является

следствием граничных условий, которые мы наложили на безаберрационную линзу. Мы предположили, что 10 -+ 00, уменьшая 10, мы уменьшим и эти осцилляции

Однако это можно сделать только за счет размера светового пятна. Очень важно.

что форма этого пятна описывается функцией Эйри, а не Гаусса На самом деле.

свободно распространяющихся гауссовых пучков не бывает! Причина этого, как

показано в разд. 3.2.1, заключается в том, что гауссов профиль имеет фурье-спектр. который нигде не обращается в нуль и только асимптотически приближается к нулю

при kx , ky -+ 00. Таким образом, для получения гауссова профиля необходимо учи­

тывать затухающие, эванесцентные, компоненты поля, даже если их вклад невелик.

Осцилляции в профиле Эйри возникают по причине резкого обрезания высоких

пространственных частот. Чем более гладкой является эта отсечка, тем меньше

осцилляций в профиле пучка будет наблюдаться.

3.9. Фокусировка вблизи плоских поверхностей

Многие оптические приложения имеют дело с лазерными пучками, которые силь­ но сфокусированы вблизи плоских поверхностей. Примерами могут служить конфо­

ка.1ьная микроскопия, в которой используются линзы с числовой апертурой N А> 1,

оптическая микроскопия или хранение информации, основанные на использовании

иммерсионных объективов, и оптические пинцеты, в которых лазерный свет фокуси­ руется в жидкости, для того чтобы захватить микрочастицы. Угловое спектральное представление очень хорошо подходит для нахождения полей в этих задачах, т. к. поверхность представляет собой постоянную координатную плоскость. Для простоты

предположим, что имеется одна поверхность, разделяющая две диэлектрические

среды с коэффициентами преломления nl и n2 (см. рис. Расположена эта поверхность в точке z = ZO, а сфокусированное поле Е! освещает ее слева (z < zo). и если пространственные частоты k x и k y одинаковы с обеих сторон поверхности,

о величине k: этого сказать нельзя. Поэтому введем обозначение для величины kz

в области z <':0 k: I , которое определим следующим образом: kzl = (kr - k;' - k~)1/2.

И аналогично введем kz2 = (k~ - k; - k~)1/2 для области z > zo. Волновые векторы kl

и k~ равны соответственно kl = (VJjc)nl, k2 = (VJjc)n2.

Рис 3 16 Фокусировка лазерного пучка вблизи плоской поверхности, находяшейся в точке

.:: = '::0 между двумя диэлектрическими средами с коэффициентами преломления nl и n2

Наличие поверхности приводит к эффектам преломления и отражения света.

Таким образом, полное поле можно представить в виде

z < zo,

(3.81)

z> zo,

где Е, и Е/ представляют собой отраженное и прошедшее поля соответственно. Преломление плоских волн на плоской поверхности описывается коэффициентами отражения '/"', 1'1' И пропускания tS , tP Френеля, которые были определены в гл. 2 (соотношения (2.49) и (2.50». Верхние индексы указывают на то, что эти коэффи­ циенты зависят от поляризации поля. То есть мы должны разбить угловой спектр

произвольной плоской волны на В- и р-поляризованную компоненты:

(3.82)

80 Гл 3 Распространение и фокусировка оптических полей

Вектор E(s) параллелен поверхности, а вектор Е(Р) перпендикулярен ВОЛНОВОМУ вектору k и вектору E(S). Разложение входящего сфокусированного поля Е, на .<;-

ир-поляризованные поля уже было проделано в разд. 35. В соответствии с со­

отношением (3.39) получим в- и р-поляризованные поля путем проецирования Е,

на единичные векторы ПО и ПФ соответственно. Равенство (3.43) представляет ПО.lе

вдальней зоне как сумму в- и р-поляризованных полей, выраженных в переменных Н

иф. Используя подстановку (3.44), можно выразить ПОJlе через пространственные частоты kx и ky .

Вслучае когда ЕJ формируется из параксиального пучка, поляризованного в на­

правлении оси х, можно записать выражение для поля в дальней зоне (см. (3.51»)

р-поляризованное. В соответствии с рис. 3.16 мы предполагаем, что слева и справа

от линзы среда имеет один и тот же коэффициент преломления, т. е. 111 = 11 = 1/'

Вектор Еос представляет собой асимптотику в дальней зоне в направлении вектора s = (kx/k, ky/k, kzl/k) и отвечает полю на поверхности вспомогательной сферы

фокусирующей линзы. С помощью вектора Ех угловой спектр падающего сфокуси­ рованного пучка может быть получен в виде выражения (см. (3.33»

k.,.ky

Для определения отраженного и прошедшего полей (Er , Е/) введем следующие

zl

k.,.k y

(386)

Отметим, что для того чтобы отраженное поле распространялось в направлении

«назад», нам пришлось поменять знак k z2 в экспоненте во втором выражении. KpO~le

того, мы учли, что прошедшая волна распространяется с волновым вектором ko"2. Далее применим граничные условия на плоскости z = Zo, что позволит нам запи­

сать явные выражения для пока еще не определенных полей Е;'" и Е;'" Используя коэффициенты отражения и пропускания Френеля, получим

Эти выражения, совместно с (3.83)-(3.86), задают условия для решения задачи Они выполняются для поверхности раздела между двумя веществами, характеризу-

е~IЫ~IИ константами Е, и It,. В этом можно убедиться напрямую, выводя граничные

УС.l0ВИЯ при ~ = '::0 (см. задачу 3.7). Теперь мы можем получить распределение поля

вб,lИЗИ плоской границы раздела, освещаемой сильносфокусированным лазерным

ПУЧКОI\I Поле зависит от амплитудного профиля Еiпс(kх, ky ) падающего параксиаль­

ного пучка (см. (3.52)-(3.54» и от параметра удаленности от фокуса ZO. ПО существу параметр :0 вносит фазовый множитель в выражения дЛЯ Et' и E~. Хотя мы

Иl\lели в виду ситуацию, когда граница раздела одна, полученные результаты могут

быть обобщены для случая многослойной поверхности при помощи обобщенных

коэффициентов отражения/пропускания Френеля, учитывающих всю структуру [17].

На следующем шаге можно использовать соотношение (3.44) для преобразования h сферическим координатам. Как и ранее, можно перейти от двойных интегралов к одинарным, используя функции Бесселя. Однако не будем углубляться в этот

вопрос. а вместо этого обсудим некоторые важные следствия представленной выше

ПО.1я является наличие стоячих волн в более плотной среде. Эти стоячие волны возникают при углах О. меньших критического угла полного внутреннего отраже­

ния 8,. Для того чтобы понять это явление, рассмотрим одну плоскую волну из

УГ.l0ВОГО спектра падающего сфокусированного поля Е/. Это поле характеризуется

.1вумя волновыми векторами koГ и ky , а их поляризация и комплексная амплитуда

за.1аются фурье-спектром Е/. Поперечные волновые векторы одинаковы с обеих

сторон границы раздела, чего нельзя сказать о продольном волновом векторе:

k'i

Отсюда следует, что k:2 может быть как мнимой, так и действительной вели­ чиной. в зависимости от знака подкоренного выражения. А это, с свою очередь,

nl

10:2 является мнимой величиной. Таким образом, для О> ОС рассматриваемая волна

полностью отражается от поверхности, создавая эванесцентные волны на ее обратной стороне. Стоячие волны, показанные на рис. 3.17, являются прямым следствием

этого явления: все сверхкритические (О > Ос) плоские волны, входящие в падающее

сфокусированное поле, полностью отражаются от поверхности. Стоячие волновые распределения обусловлены «равновесовой» суперпозицией падающих и отраженных плоских полей из спектра начального поля. Из-за полного внутреннего отражения

6 .1 НОВОПIЫЙ. Б Хехт