Новотный и Хехт, Основы нанооптики

ка фотонов - не единственный ограничивающий фактор, связанный с разрешением. д.1Я того чтобы было возможно провести измерение, этот поток фотонов должен быть детектируемым, т е. обладать некоторой минимальной интенсивностью. Эти два

требования в некотором смысле противоречат друг другу, поэтому мы вынуждены

отыскивать компромисс между удержанием, или локализацией, света и его выходом.

1.3. Структура книги

Сфера исследований оптики всегда включала в себя как фундаментальные во­

просы (например, квантовую оптику), так и прикладные (например, проблемы пе­

редачи информации и вычислительных устройств). Нанооптика также может быть представлена в виде широкого спектра исследований - от приложений в области

нанотехнологий до фундаментальной нанонауки.

С точки зрения нанотехнологий, мы имеем дело с такими темами, как нанолито­

графия. прецизионная оптическая микроскопия (микроскопия высокого разрешения) и проблемы сверхплотного хранения информации. С точки зрения фундаменталь­

ных аспектов, мы должны отметить атомно-фотонные взаимодействия в оптическом б.1Ижнем поле, их возможные приложения к проблеме захвата атомов и эксперименты

по управлению ими. По сравнению со свободно распространяющимся светом картина

оптического ближнего поля представляется более сложной, т. к. требует введения так называемых виртуальных фотонов, отвечающих упомянутым выше экспоненциально затухаюшим полям. Введение формализма виртуальных фотонов может быть исполь­ зовано для описания локальных нераспространяющихся полей в целом. Подобные

виртуальные фотоны являются частицами того же типа, что и те, которые отвечают

за связи в молекуле (силы Ван-дер-Ваальса и Казимира), и, таким образом, они могут

быть использованы для селективного зондирования внутримолекулярной структуры.

Введение в квантовую оптику формализма виртуальных фотонов расширит область

фундаментальных экспериментов и создаст новые приложения. Настоящая книга

представляет собой введение в нанооптику, охватывающее все области ее исследова­

ний, от прикладных до фундаментальных. Схематично они представлены на рис. 1.2. В начале книги мы описываем теоретические основы нанооптики. Уравнения

Максвелла, инвариантные относительно преобразований пространства, составляют

надежную основу для развития теоретического подхода в нанооптике. Так как опти­

ческие ближние поля всегда связаны с веществом, мы приводим обзор соответству­ юших материальных уравнений, а также комплексных диэлектрических постоянных.

Исследуемые в контексте нанооптики системы, как будет видно из дальнейшего из­

.10жения, состоят из нескольких пространственных доменов, разделенных границами.

ПОЭТОМУ далее выводим уравнения Максвелла в виде, справедливом лишь в однород­ ной среде, и соответствующие граничные условия. Дальнейшее рассмотрение связано

с такими фундаментальными аспектами теории, как функция Грина и угловое спек­

тральное представление, особенно удобное, когда речь заходит о нанооптических ЯВ.1ениях. Подход, использующий угловое спектральное представление, ведет нас к дальнейшему изложению вопроса эванесцентных волн, связанных с только что УПОI\IЯНУТЫМИ виртуальными фотонами.

Локализация света является ключевой темой нанооптики. Для того чтобы зало­

жить основу дальнейшего обсуждения в гл. 3, мы анализируем вопрос о том, какова

наИ~lеньшая предельная область удержания света, которая может быть достигнута К.1ассическим способом, т. е. при помощи объектива микроскопа и другой апертурной фокусирующей оптики высокого порядка. Начиная с рассмотрения сфокусированных полей в параксиальном приближении, приводящем к хорошо известным гауссовым пучкам. мы переходим затем к рассмотрению сфокусированных полей, находящихся

тонкие устройства могут быть приближены к исследуемой поверхности и переме­ щаемы вдоль нее. Мы представляем и обсуждаем метод, основанный на измерении

СИ.l взаимодействия (сил скольжения) между зондом и объектом. В совокупности

эти три главы обеспечивают технический базис понимания современных методов, используемых в сканирующей микроскопии ближнего поля.

Затем мы вновь возвращаемся к обсуждению фундаментальных аспектов нано­

оптики, таким как испускание света и оптическое взаимодействие на нанометровом

диапазоне. Для начала мы показываем, что испускание света нанометровым объ­ ектом (атомом, молекулой), возникающее при электронных переходах, может быть рассмотрено в рамках дипольного приближения. Мы детально рассматриваем ре­

ЗУ.lьтирующее поле излучающего диполя и его взаимодействие с электромагнитным

ПО,lем. Дальнейшее рассмотрение связано со спонтанным распадом сложных систем

и в конечном итоге сводится к рассмотрению диполь-дипольного взаимодействия, переноса энергии и образования экситонных пар.

Завершив обсуждение дипольных излучателей, в том числе их физической реали­ зации в материальном мире, мы переходим в гл. 9 к некоторым экспериментальным

аспектам детектирования излучения квантовых объектов, таких как одиночные флуо­

ресцентные молекулы и полупроводниковые квантовые точки. Наряду с вопросами

о насыщении скорости счета и решением скоростных уравнений, мы обсуждаем такие интереснейшие вопросы, как неклассическая статистика фотонов, излученных кван­ товым излучателем, и когерентный контроль над волновой функцией. В заключение :\IbI показываем, как квантовые излучатели могут быть использованы для детального топографирования локализованных полей.

В гл. 10 мы возвращаемся к вопросу о дипольном излучении в нанометровом окру­ жении Здесь детально рассматривается очень важный для иллюстрации основных законов случай дипольного излучения вблизи плоской поверхности; рассчитывается

диаграмма направленности излучения и скорость релаксации дипольных излучате­

,1еЙ. а также обсуждается приближение диполь-изображение, которое может быть

использовано для получения приближенных результатов.

Если вместо одной рассмотреть множество поверхностей, образующих регуляр­

ную структуру, мы получим так называемый фотонный кристалл. Свойства такого

объекта могут быть описаны по аналогии с формализмом физики твердого тела путем введения оптической зонной структуры, которая может содержать в себе запрещен­

ные зоны. вследствие того что в определенных направлениях распространение света

невозможно. Дефекты фотонных кристаллов приводят к возникновению локальных

уровней. очень похожих на их твердотельные аналоги. В нанооптике они играют

особую роль, т к. могут рассматриваться как микроскопические резонаторы очень высокой добротности

В гл. 12 мы затрагиваем тему поверхностных плазмонов. Оптические поля могут

приходить во взаимодействие с коллективными резонансными возбуждениями заря­

довой плотности металлических структур различной геометрии и благодаря свойству

резонансности могут создавать локализованные и усиленные оптические ближние

ПО,lЯ. Мы предлагаем введение в эту тему, затрагивающее оптические свойства

б.lагородных металлов, плазмонов на тонких пленках и плазмонов на частицах.

В следующей главе мы обсуждаем оптические силы, возникающие в локализо­

ванных полях. Формулируется теория, основанная на использовании тензора напря­

жений Максвелла, который позволяет при известном распределении поля вычислить СИ,lЫ. действующие на частицу произвольной формы. Затем рассматриваем частный С,lучаЙ. вводя дипольное приближение, справедливое для частиц небольщой вели­ чины Из практических приложений рассмотрена модель, основанная на принципе

оптического пинцета. В заключение обсуждается передача углового момента при помощи оптического поля, а также силы, действующие в оптических ближних полях

Вследующей главе обсуждаются силы иного характера, а именно такие. которые возникают во флуктуирующих электромагнитных полях, включая СИ.1Ы Казимира-Полдера и электромагнитное трение. По ходу изложения также затраги­ вается проблема испускания излучения флуктуирующими источниками.

Взаключение мы подводим итоги теоретических методов, использующихся в на­

нооптике. Едва ли можно получить какой-либо новый результат без использования правильно выбранных численных методов. В конце учебника дан обзор достоинств

инедостатков некоторых наиболее мощных теоретических инструментов.

Список литературы

Haes А.1 and Van Duyne R Р А nanoscale optical biosensor: sensitivity and selectivity oi ап approach based оп the localized suгface plasmon resonance spectroscopy of triangular sil\er nanoparticles / / J Аm Chem. Soc. 2002. V. 124. Р. 10596.

2. Armani D. К., Kippenberg Т 1., Spillane S. М., and Vahala К.1 Ultra-high-Q toroid micro-

б. Gerard 1. М., Sermage В., Оауга! В , et al. Enhanced spontaneous emission Ьу quantum boxes

13.Denk W., Strickler 1 Н., and Webb W. W. 2-photon laser scanning fluorescence microscopy / / Science. 1990. V.248. Р.73-76

14 Zumbusch А., Holtom О. R , and Xie Х. S. Three-dimensional vibrational imaging Ьу coherent

V. 97 Р 8206-8210

16.Synge Е Н. А suggested model for extending microscopic resolution into the ultra-microscopic region / / Phil Mag. 1928. V 6. Р.356-362.

19.Binnig О., Rohrer Н., ОегЬег С , and Weibel Е. Tunneling through а controllabIe уасииm gap // Appl. Phys. Lett. 1982. V.40. Р.178-180

Глава 2

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Свет находится в самом интересном для исследования диапазоне электромаг­

нитного излучения, поскольку энергии световых квантов (фотонов) соответствуют

электронным переходам в веществе. Именно по этой причине наши глаза настроены на восприятие оптической части спектра и мы можем воспринимать красоту цвета.

Свет привлекает наше внимание еще и тем, что его можно представить и как

волну, и как частицу. Ни в одном другом диапазоне электромагнитного спектра мы не можем так ясно наблюдать корпускулярно-волновой дуализм, как в оптическом

И если длинноволновое излучение (радиочастотное и микроволновое) хорошо описы­

вается волновой теорией, а коротковолновое (рентгеновское) больше демонстрирует свойства частиц, то можно сказать, что эти два мира - волны и частицы -

«встречаются» В оптическом диапазоне.

Для описания оптического излучения в нанооптике, как правило, достаточно

волновой картины, что позволяет использовать классические уравнения Максвелла

Но при этом, конечно, системы, с которыми взаимодействует свет в нанооптике.

очень малы (молекулы, квантовые точки), что требует квантового описания свойств

вещества. Поэтому в большинстве случаев нам достаточно оставаться в рамках полу­

классической теории, которая объединяет классический подход к описанию поля и

квантовый - к описанию вещества. Однако в отдельных случаях нам придется выйти

за пределы полуклассического описания. Например, фотоны, испускаемые квантовой

системой, могут подчиняться неклассической статистике при возникновении эффекта антигруппировки фотонов (никакие два фотона не регистрируются одновременно)

В этой главе мы суммируем важнейшие сведения из электромагнитной теории.

которые сформируют необходимую основу для дальнейшего изложения Мы буде~1

обсуждать только основные свойства явлений, а для более детального изучения

отсылаем читателя к стандартным учебникам по электромагнетизму, таким как

книги Джэксона [1], Стрэттона [2] и др. Начнем с уравнений, сформулированных

Джеймсом Кларком Максвеллом в 1873 г.

2.1. Макроскопическая электродинамика

в макроскопической электродинамике сингулярности, возникающие при описании

зарядов и связанных с ними токов, устраняются за счет рассмотрения зарядовых

плотностей р и плотностей тока j. в дифференциальной форме и в системе еди­

ниц СИ макроскопические уравнения Максвелла имеют вид

П.l0ТНОСТЬ заряда. Компоненты этих векторных и скалярных полей образуют набор из

16 неизвестных В зависимости от свойств рассматриваемой среды количество этих

неизвестных может быть существенно сокращено. Например, в линейной изотропной однородной среде без источников электромагнитное поле полностью описывается двумя скалярными уравнениями. Уравнения Максвелла являются обобщением и

завершающим описанием законов, изначально сформулированных Фарадеем, Ам­

пером, Гауссом, Пуассоном и другими. Так как уравнения Максвелла являются

дифференциальными уравнениями, они определены с точностью до любых полей,

постоянных в пространстве и времени. Таким образом, подобные поля могут быть добавлены к полям (вычтены из них), подчиняющимся этим уравнениям. Необхо­

димо подчеркнуть, что понятие поля было введено для объяснения передачи сил от источника к объекту. Таким образом, физически наблюдаемыми величинами

являются силы, в то время как поля - это величины, введенные для разрешения

проблемы объяснения такого явления, как «действие на расстоянии». Отметим, что макроскопические уравнения Максвелла описывают поля, которые являются резуль­

татом усреднения в пространстве микроскопических полей, связанных с дискретными

зарядами. Таким образом, микроскопическая природа материи не учтена в макро­ скопических полях. Плотности заряда и тока рассматриваются как непрерывные функции в пространстве. Для того чтобы описать поля в пространстве масштаба атомов, необходимо использовать микроскопические уравнения Максвелла, в кото­

рых все вещество рассматривается как состоящее из заряженных инезаряженных

частиц.

Закон сохранения заряда неявно содержится в уравнениях Максвелла. Вычисляя дивергенцию от уравнения (2.2), принимая во внимание, что \7 . \7 х Н тождественно

равно нулю, и подставляя полученное соотношение в уравнение (2.3), исключа­

ем \:' . D и получаем уравнение непрерывности

Электромагнитные свойства среды, как правило, рассматриваются в терминах !\Iакроскопической поляризации Р и намагниченности М, в соответствии с соотно­

шениями

где =0 и /10 - проницаемость и восприимчивость вакуума соответственно. Эти соот­

ношения не накладывают никаких условий на среду и поэтому всегда справедливы.

2.2. Волновые уравнения

После подстановки полей D и В в роторные уравнения Максвелла с учетом

соотношений (2.6) и (2.7), комбинируя два получившихея уравнения, мы получаем

неоднородные волновые уравнения

30 Гл 2. Теоретическое введение

Константа с введена для обозначение величины (eo~o)-1/2 и известна как ско­

рость света в вакууме. Выражение в скобках в (2.8) может быть связано с полной

дР

цированную плотность тока проводимости jc. Слагаемые дt и v'х М отвечают

плотности поляризационного тока и тока намагниченности соответственно.

Волновые уравнения (2.8-2.9) не накладывают никаких условий на среду и, значит.

являются наиболее общими.

электромагнитного поля, уравнения Максвелла должны быть дополнены соотноше­ ниями, описывающими поведение вещества в присутствии поля. Эти соотношения.

характеризующие отклик вещества, известны как материальные уравнения. В недис­ пергирующей линейной изотропной среде они имеют вид

где символами Хе И Хт обозначены электрическая и магнитная восприимчивости соответственно. Для нелинейной среды правые стороны этих соотношений могут быть дополнены слагаемыми более высокого порядка. Для описания анизотропной

среды необходимо представить е и ~ в тензорной форме. Для описания восприим­

чивости бианизотроnных сред необходимо введение дополнительных параметров. связывающих векторы D и Е с векторами В и Н. ДЛЯ таких сложных сред решения

волнового уравнения могут быть найдены лишь в отдельных случаях. Когда речь идет

о неоднородных средах, в представленных выше материальных уравнениях величины

е, ~ и (j являются функциями пространства. Говорят, что среда обладает временн6й дисперсией, если ее параметры являются функциями частоты, и nространственной (гиротроnной) дисперсией, если материальные уравнения искривляются в простран­

стве. Электромагнитное поле в линейной среде может быть представлено в виде

суперпозиции монохроматических волн вида

где k и c.v - волновой вектор и угловая частота соответственно. В наиболее общем

виде амплитуда наведенного электрического смещения D(r, t) может быть записана

в виде 1)

1) В анизотропной среде диэлектрическая постоянная е: = f является тензором второго

порядка. - Прим.еч. авт.

Таким образом, временная зависимость немонохроматического электромагнитного поля может быть преобразована по Фурье, и каждая из спектральных компонент может быть в отдельности рассмотрена как монохроматическая. Общая временная

зависимость может быть получена при обратном фурье-преобразовании.

2.5. Монохроматические поля

Временную зависимость в волновых уравнениях можно исключить и получить

дифференциальные уравнения для монохроматической волны. Монохроматическая

волна может быть записана в виде 1)

и такие же зависимости могут быть получены для остальных полей. Отметим. что

функция E(r, t) является вещественной, а ее пространственная часть E(r) - ком­ плексной. Обозначение Е будет использоваться в обоих случаях, и для вещественной

части, зависящей от времени, и для комплексной пространственной части Для простоты изложения мы решили избегать введения дополнительных обозначений

Удобно представить поля монохроматической волны через их комплексные амплиту­ ды. Тогда уравнения Максвелла перепишутся следующим образом:

что эквивалентно уравнениям Максвелла (2.19)-(2.22) для спектров произвольных

полей, зависящих от времени. Таким образом, решение для E(r) эквивалентно спек­ тру E(r, LLI) произвольного зависящего от времени поля. Очевидно, что комплексные амплитуды поля зависят от угловой частоты LLI, Т.е. E(r) = E(r,LLI). Однако обыч­

но LLI не включают в аргумент. Функциями частоты и пространственной переменной

являются также и вещественные постоянные е, j..L и (1, Т.е. Е = .:(г,ш), l' = p(r...,:).

(1 = (1(r,LLI). Но для простоты мы, как правило, будем опускать этот аргумент. Из кон­

текста задачи будет видно, какое из полей, E(r, t), E(r) или E(r, ш), рассматривается

в данном случае.

2.6. Комплексная диэлектрическая проницаемость

При помощи линейных материальных уравнений мы можем выразить вихревые

уравнения Максвелла (2.25) и (2.26) в терминах E(r) и H(r). Для этого УМНОЖЮI

обе части первого уравнения на j..L-I, а затем применим к ним оператор ротора

Подставляя выражение V'х Н во второе уравнение, получаем